信号与系统分析第四章

0
t0
单边拉普拉 斯变换对
傅里叶变换 f (t) F(j) 建立了时域与频域间的关系
有明确的物理意义
拉普拉斯变换 f (t) F(s) 建立了时域与复频域间的关系
无明确的物理意义（工具）
j
S j
0
S平面
4.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域
收敛域的概念：
的取值范围

不定 S
1

应满足< 0 = α
S
f1(t )= et(t) 1
ReS
S
f2(t ) = - eαt (–t) 1
ReS
可见，求信号的双边拉氏变换时，要同时给出收敛域， 即任意信号和它的双边拉氏变换连同收敛域才是 一一对应的
时域分析
S(复频)域~拉(普拉)斯变换
1) 微分方程 2) 复杂信号
代数方程 简单的初等函数
3) 卷积
相乘
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t)
Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S)
5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
为很多不满足绝对 可积的函数f (t)找到 变换域的分析方法。
S(复频)域分析法中基本变量为S = +j ， est为基本信号
4.1 连续时间信号的复频域分析---拉普拉斯变换
4.1.1 从傅立叶变换到拉普拉斯变换
f (t) F ( j) f (t)e dt

jt
2
f (t)
F ( j )e
d
1
jt
FT存在的条件：
f (t) dt 即f (t)绝对可积

当函数f (t) [如f (t)=et(t) >0时]不满足绝对可积条件[个别 特殊函数 如1、(t)、Sgn(t)等除外]时其FT不存在。
令fb(t)= e– t f (t) ( e– t 称衰减因子) 使 ltim fb (t)=0 (收敛）
ℱ[fb(t)]=

f
(t)e e dt t jt
Fb(
j)

Fb (s)

f (t)e d

st
fb(t) f (t)e
2

Fb ( j)e
d
t 1
jt
2
f (t) 1
Fb ( j)e d

( j )t

2 j
f (t) 1
简写为 F(s)=ℒ[f (t) ] ， f (t)= ℒ-1[F(s)] f (t) F(s)
说明：拉氏变换可理解为广义的傅里叶变换
F (s) 0 f (t)e dt (4 5)

st
2 j
f
(t
)


1
j F (s)e ds
j
st
t0 (4 6)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
频域分析法中基本变量为 ，ejt为基本信号。
频域分析法的局限性 Yzs ( j) E( j) H( j)
1）有些函数FT不存在（如f (t)=et(t) >0时）
2）只能求yZS(t)而不能求yzi(t)及完全解。
3）某些简单函数的FT形式复杂[如(t) () + 1/j]
使f (t) 的拉普拉斯变换F s － f t e dt存在的

－st
即复频率S= + j 中 的取值范围
例1：求因果信号f1(t )= et(t) 的拉氏变换(为实数)
解：
F (s) f1(t)e dt

st
0 e e dt
t st
收敛轴
j Fb (s)e ds
j
st
令 S j 则d ds j
F(s) f (t)e dt (4 2)

st
2 j
f (t)
j F (s)e
ds (4 4)
1 j
st
双边拉普拉斯变换对
(又称复傅里叶变换对)
复变函数F (s)称为 f (t) 的双边拉氏变换( 象函数) 时间函数f (t) 称为 F(s)的双边拉氏逆变换( 原函数)
例3F：(s求) 双 边信f号(tf)e(t
)= et(t)+et (–t)
dt e e
的拉氏变换 dt 0 e e
dt

st
0 t st
t st
s s
1 1 已知：因果信号收敛域满足>
反因果信号收敛域满足<
双边信号当 < 时其拉氏变换存在，其收敛域为 < Re[s]<






当 < 时
当 时
双边信号当 时没有公共的收敛域，其拉氏变换不存在，
可见双边拉氏变换收敛条件比较苛刻，限制了应用。
4.1.3 单边拉氏变换的收敛域
单边拉氏变换的定义
F(s) 0 f (t)e dt
说明2：为便于研究 t =0 时刻发生跳变的现象,规定
积分下限从0– 开始（这样规定的目的是为了 利用拉氏变换直接求出系统的全响应）
解：F(s)
f2 (t)e dt

st
e e dt
0
t st
收敛轴
e
dt
s 0
1
(s )t
e

(s )t 0
α

收敛坐标

s

1
1

tlim
e (

)t
e
jt

反因果信号收敛域
无界 ReS
0 e dt


(s )t

(s )
1
e (s )t
0
收敛坐标

s
wenku.baidu.com

1
1

ltim
e (

)t
e
jt

S
1

不无定界
ReS

因果信号收敛域 应满足> 0 =
例2：求反因果信号f2(t ) = - eαt (–t) 的拉氏变换 (α为实数)

st
2 j
f
(t)


1
j F (s)e ds
j
st
t0
0
t0
若 f (t)=0 t <0 即因果信号
说明1：本书主要讨论单边拉氏变换，没有特殊说明 均指单边拉氏变换
双边拉氏变换常用符号表示Fb（s）
F (s) 0 f (t)e dt

st