信号与系统分析第四章
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信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
精品文档-信号与系统分析(徐亚宁)-第4章
F1= w0/(s^2+w0^2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)
F2= s/(s^2+w0^2)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-10】用MATLAB求解【例4-3】, 设τ=1 解 求解的代码如下： %program ch4-10 R=0.02; t=-2:R:2; f=stepfun(t, 0)-stepfun(t, 1); S1=2*pi*5; N=500; k=0:N; S=k*S1/N; L=f*exp(t′*s)*R; L=real(L);
本例中
和
的ROC均为
Re[s]>0,
极点均在s=0处。但
有一个s=0的零点，
抵消了该处的极点，相应地ROC扩大为整个s平面。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析 4.2.3 复频移(s域平移)特性
【例4-4】
, s0为任意常数 (4-12)
求e-atcosω0tU(t)及e-atsinω0tU(t)的象函数。
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
1. s 借助复平面(又称为s平面)可以方便地从图形上表示 复频率s。如图4-1所示，水平轴代表s Re[s]或σ, 垂直轴代表s的虚部，记为Im[s]或jω, 水平 轴与垂直轴通常分别称为σ轴与jω轴。如果信号f(t)绝 对可积，则可从拉氏变换中得到傅里叶变换：
f= exp(-t)+2*t*exp(-2*t)-exp(-2*t)
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
【例4-9】 用MATLAB求解【例4-2】 解 求解的代码如下：
%program ch4-9 syms w0t; F1=laplace(sin(w0*t)) F2=laplace(cos(w0*t))
(4-2)
(仅供参考)信号与系统第四章习题答案
e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
重庆邮电大学信号与系统课件第4章
f
(t )
etch tU
(t )
F (s)
(s
(s ) )2
2
23
通信与信息基础教学部
典型信号的拉普拉斯变换(1)
原函数
f (t)
像函数
F (s)
(t)
(t)
t (t)
Ae at (t)
sin0t (t)
cos0t (t)
24
通信与信息基础教学部
1
1 s 1 s2 A
sa
0 s2 02
1 2
s
1
s
1
1 2
s2
2s
2
s2
s
2
22
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
f
(t)
s ht
F (s)
s2
2
f
(t)
s h tU (t)
F (s)
s2
2
f
(t)
c h tU (t)
F (s)
s2
s
2
f (t) et s h tU (t) F (s)
(s )2 2
f (t) 1
2 j
j j
Fb
(
s)e
st
ds
拉普拉斯变换是将时域函数f(t)变为复频域函数Fb(s)；或作相 反的变换。此处时域变量t是实数，复频域变量s是复数。
（拉普拉斯变换建立了时域和复频域（s 域）间的联系。）
6
通信与信息基础教学部
拉普拉斯变换的收敛域(1)
拉普拉斯变换的收敛域
02
18
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第四章-3
时域展缩特性： f (at )
1 F( j ) a a
f (－t ) F (－j )
时移特性： f (t t 0 ) F ( j ) e j t0
f ( at b ) 1 a
b j F ( j ) e a ，a、b为常数, a
a
0
八 频移特性：
0
f (t )
2
t
2
c
c
F ( j )
t
c 0 c
六 时域展缩特性：
1 f ( t ) F ( j )，则 f (at ) F ( j ) , a 是不为零的实数 a a
|a|>1 |a|<1
时域压缩，频域扩展 时域扩展，频域压缩
门信号的频谱
当a＝－ 1时， f (－t ) F (－j ) 时域翻转对应频域翻转
例：求如图所示信号的频谱。
f (t )
1.5 1
f(t)=f1(t)+f2(t) 那么，利用傅里叶变化的线性性质，
-1.5
-0.5 0 0.5 1.5
t
f1(t) 1 1.5
F[f(t)]＝F[f1(t)]＋F[f2(t)]
-1.5
0
t
f2(t)
0.5 -0.5 0 0.5 t
三 奇偶特性 ——时域波形的对称性与频谱函数的关系 1.偶信号的频谱是偶函数，奇信号的频谱是奇函数。 2. 如果f(t)为实信号， 频谱的实部为偶函数，虚部为奇函数；
能量有限信号的 Passeval等式 1 2 2 绝对可积的非周期信号， E f ( t ) dt | F ( j ) | d 2 |F(jw)|2 ~w 能量谱
信号与系统第四章 现代信号分析与处理简介
机电工程学院 信号与系统课件 主 讲： 吕 长 飞
四、小波变换与多分辨分析
由泛函理论，任意信号可以看作是某个特定
集合中的一个元素，该特定集合包含相同属性的
所有信号。该特定的信号集合，称为信号空间。 L (R)信号空间包含所有定义在实数域R上的信 号，且每个信号都满足：
tR
2 2
x (t )
2
x(t)的小波展开式称为离散小波反变换 IDWT。
机电工程学院 信号与系统课件 主 讲： 吕 长 飞
三、小波展开与小波变换
小波信号yj,k(t)的定义为
y j ,k (t ) 2 j / 2y (2 j t k )
其中：
j, k Z
信号y(t)称为母小波(mother wavelet)信号。
l (t ),k (t ) l (t ) k (t )dt [k l ]
an x(t ),n (t ) x(t ) n (t )dt
傅里叶展开的基函数为sin(nw0t) ，正交归一化基。
机电工程学院 信号与系统课件 主 讲： 吕 长 飞
k
kZ
j L2
定义所有可由信号jk (t)线性表达的信号空间V0为
V0称为由信号jk (t)张成的闭信号空间 ，且 V0 L2
机电工程学院 信号与系统课件 主 讲： 吕 长 飞
四、小波变换与多分辨分析
若信号x(t)可以由信号jk (t)线性表达， 则表明存在着
x (t ) a k j k (t )
L2 V3 V2 V1 V0
机电工程学院 信号与系统课件 主 讲： 吕 长 飞
四、小波变换与多分辨分析
通过尺度函数j (t)的尺度展缩，就可以改变
四、小波变换与多分辨分析
由泛函理论，任意信号可以看作是某个特定
集合中的一个元素，该特定集合包含相同属性的
所有信号。该特定的信号集合，称为信号空间。 L (R)信号空间包含所有定义在实数域R上的信 号，且每个信号都满足：
tR
2 2
x (t )
2
x(t)的小波展开式称为离散小波反变换 IDWT。
机电工程学院 信号与系统课件 主 讲： 吕 长 飞
三、小波展开与小波变换
小波信号yj,k(t)的定义为
y j ,k (t ) 2 j / 2y (2 j t k )
其中：
j, k Z
信号y(t)称为母小波(mother wavelet)信号。
l (t ),k (t ) l (t ) k (t )dt [k l ]
an x(t ),n (t ) x(t ) n (t )dt
傅里叶展开的基函数为sin(nw0t) ，正交归一化基。
机电工程学院 信号与系统课件 主 讲： 吕 长 飞
k
kZ
j L2
定义所有可由信号jk (t)线性表达的信号空间V0为
V0称为由信号jk (t)张成的闭信号空间 ，且 V0 L2
机电工程学院 信号与系统课件 主 讲： 吕 长 飞
四、小波变换与多分辨分析
若信号x(t)可以由信号jk (t)线性表达， 则表明存在着
x (t ) a k j k (t )
L2 V3 V2 V1 V0
机电工程学院 信号与系统课件 主 讲： 吕 长 飞
四、小波变换与多分辨分析
通过尺度函数j (t)的尺度展缩，就可以改变
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使f (t) 的拉普拉斯变换F s － f t e dt存在的
－st
即复频率S= + j 中 的取值范围
例1：求因果信号f1(t )= et(t) 的拉氏变换(为实数)
解：
F (s) f1(t)e dt
st
0 e e dt
t st
收敛轴
说明2：为便于研究 t =0 时刻发生跳变的现象,规定
积分下限从0– 开始（这样规定的目的是为了 利用拉氏变换直接求出系统的全响应）
时域分析
S(复频)域~拉(普拉)斯变换
1) 微分方程 2) 复杂信号
代数方程 简单的初等函数
3) 卷积
相乘
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t)
Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S)
5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
为很多不满足绝对 可积的函数f (t)找到 变换域的分析方法。
S(复频)域分析法中基本变量为S = +j ， est为基本信号
(t)e e dt t jt
Fb(
j)
Fb (s)
f (t)e d
st
fb(t) f (t)e
2
Fb ( j)e
d
t 1
jt
2
f (t) 1
Fb ( j)e d
( j )t
2 j
f (t) 1
第4章 连续时间信号与系统的复频域分析
频域分析法中基本变量为 ，ejt为基本信号。
频域分析法的局限性 Yzs ( j) E( j) H( j)
1）有些函数FT不存在（如f (t)=et(t) >0时）
2）只能求yZS(t)而不能求yzi(t)及完全解。
3）某些简单函数的FT形式复杂[如(t) () + 1/j]
j Fb (s)e ds
j
st
令 S j 则d ds j
F(s) f (t)e dt (4 2)
st
2 j
f (t)
j F (s)e
ds (4 4)
1 j
st
双边拉普拉斯变换对
(又称复傅里叶变换对)
复变函数F (s)称为 f (t) 的双边拉氏变换( 象函数) 时间函数f (t) 称为 F(s)的双边拉氏逆变换( 原函数)
简写为 F(s)=ℒ[f (t) ] ， f (t)= ℒ-1[F(s)] f (t) F(s)
说明：拉氏变换可理解为广义的傅里叶变换
F (s) 0 f (t)e dt (4 5)
st
2 j
f
(t
)
1
j F (s)e ds
j
st
t0 (4 6)
当函数f (t) [如f (t)=et(t) >0时]不满足绝对可积条件[个别 特殊函数 如1、(t)、Sgn(t)等除外]时其FT不存在。
令fb(t)= e– t f (t) ( e– t 称衰减因子) 使 ltim fb (t)=0 (收敛）
ℱ[fb(t)]=
f
双边信号当 < 时其拉氏变换存在，其收敛域为 < Re[s]<
ห้องสมุดไป่ตู้
当 < 时
当 时
双边信号当 时没有公共的收敛域，其拉氏变换不存在，
可见双边拉氏变换收敛条件比较苛刻，限制了应用。
4.1.3 单边拉氏变换的收敛域
单边拉氏变换的定义
F(s) 0 f (t)e dt
解：F(s)
f2 (t)e dt
st
e e dt
0
t st
收敛轴
e
dt
s 0
1
(s )t
e
(s )t 0
α
收敛坐标
s
1
1
tlim
e (
)t
e
jt
反因果信号收敛域
无界 ReS
例3F：(s求) 双 边信f号(tf)e(t
)= et(t)+et (–t)
dt e e
的拉氏变换 dt 0 e e
dt
st
0 t st
t st
s s
1 1 已知：因果信号收敛域满足>
反因果信号收敛域满足<
4.1 连续时间信号的复频域分析---拉普拉斯变换
4.1.1 从傅立叶变换到拉普拉斯变换
f (t) F ( j) f (t)e dt
jt
2
f (t)
F ( j )e
d
1
jt
FT存在的条件：
f (t) dt 即f (t)绝对可积
0 e dt
(s )t
(s )
1
e (s )t
0
收敛坐标
s
1
1
ltim
e (
)t
e
jt
S
1
不无定界
ReS
因果信号收敛域 应满足> 0 =
例2：求反因果信号f2(t ) = - eαt (–t) 的拉氏变换 (α为实数)
st
2 j
f
(t)
1
j F (s)e ds
j
st
t0
0
t0
若 f (t)=0 t <0 即因果信号
说明1：本书主要讨论单边拉氏变换，没有特殊说明 均指单边拉氏变换
双边拉氏变换常用符号表示Fb（s）
F (s) 0 f (t)e dt
st
不定 S
1
应满足< 0 = α
S
f1(t )= et(t) 1
ReS
S
f2(t ) = - eαt (–t) 1
ReS
可见，求信号的双边拉氏变换时，要同时给出收敛域， 即任意信号和它的双边拉氏变换连同收敛域才是 一一对应的
0
t0
单边拉普拉 斯变换对
傅里叶变换 f (t) F(j) 建立了时域与频域间的关系
有明确的物理意义
拉普拉斯变换 f (t) F(s) 建立了时域与复频域间的关系
无明确的物理意义（工具）
j
S j
0
S平面
4.1.2 双边拉普拉斯变换的收敛域
收敛域的概念：
的取值范围