上海证券：障碍期权的定价和希腊字母风险

向下敲入看跌期权: S>H
Payoff
=
{max(X
−
S; 0) K,
,
if
S ≤ H before else, at T
T
������������������(������ > H) = B − C + D + E，η = 1，ϕ = −1 ������������������(������ < H) = A + E，η = 1，ϕ = −1
+
H ������−������ (S)
������(������������
−
2������������������√������)]
其中：
������1
=
ln(������������) ������√������
+
(1
+
������)������√������
z
=
ln(������������) ������√������
D = ϕ������������(������−������)������(HS )2(������+1)������(������������2) − ϕ������������−������������(HS )2������������(������������2 − ������������√������)
向上敲出看涨期权: S<H
Payoff
=
{max(S
E
=
K������ −������������ [������(������������2
−
������������√������)
−
H 2������ (S)
������(������������2
−
������������√������)]
F
=
H ������+������ K[( S )
������(������������)
3.障碍期权的解析解 基于伊藤随机微分方程和风险中性定价原理，可以得到障碍期权
定价的解析解公式。需要注意的是，根据障碍水平 H 是否高于执行 价格 X，其解析解的定价公式并不相同。
S：股票价格 X：期权执行价格 H：障碍水平 K: 期权发生敲入或敲出后的支付 T: 到期时间 r:无风险利率 b:b=r-q,q 为股票股利率
未达到障碍时的期权支付 在期权到期日支付 K 在期权到期日支付 K 在期权到期日支付 K 在期权到期日支付 K Max(S-X,0) Max(S-X,0) Max(X-S,0) Max(X-S,0)
2
2014 年 11 月 19 日
数据来源：上海证券研究所
专题报告
为行文方便，之后本文中提到的障碍期权，均为欧式障碍期权。
日期：2014 年 11 月 19 日
证券研究报告/衍生品研究/专题报告
障碍期权的定价和希腊字母风险
邵 锐 S0870513050001 陈健宓 S0870514080001
021-53519888-1951 chenjianmi@
主要观点：
由于障碍水平的存在，障碍期权只在标的证券价格的一段区间内
2.障碍期权价格和障碍水平的关系 障碍水平越来越接近于执行价格，向下敲入看涨期权 （������������������ ）敲
入的可能性越大，期权的价格越高；向上敲入看涨期权 （������������������ ）敲入 的可能性越大，期权的价格也越高。向下敲出看涨期权（������������������）敲出 的可能性越大，期权的价格越低；向上敲出看涨期权（������������������）敲出的 可能性越大，期权的价格也越低。当障碍水平等于执行价格时，敲入
看涨期权价格等于香草期权价格。敲出看涨障碍期权价格为 0。 3.障碍期权价格和到期时间、波动率的关系
距到期日较远（1 年）时，波动率的增加会导致普通期权的价格
增加，敲入和敲出的概率也增加,向下敲入期权（������������������、������������������）的价格升 高，向下敲出期权（������������������、������������������）的价格降低。
向下敲入看跌期权（������������������）的价格随着波动率增加而上升。 4.期权希腊字母的数值解（Numerical Greeks）
在离散的情形下，我们可以用差分法求得期权希腊字母的近似值，
称为数值解。对于奇异期权，期权价格可以用蒙特卡洛模拟求得。因
此数值方法应用更广。
本文用 2014 年 4 月 8 日至 2014 年 5 月 19 日 28 个交易日的 HS300 指数价格构造了沪深 300 指数向下敲出看跌期权，并求出了这段时间 期权的 Delta 值。向下敲出看跌期权的 Delta 原先接近于零，在快到 期时接近于向下敲出边界，Delta 值变动剧烈。为了避免 Delta 剧烈波 动造成的复制成本增高，在实务中，我们会向下扩展敲出边界来减小
向上敲入看涨期
Payoff
=
{max(S
−
X; 0) K,
,
if
S ≥ H before else, at T
T
������������������(������ > H) = A + E，η = −1，ϕ = 1 ������������������(������ < H) = B − C + D + E，η = −1，ϕ = 1
向上敲入看跌期权: S<H
Payoff
=
{max(X
−
S; 0) K,
,
if
S ≥ H before else, at T
T
������������������(������ > H) = A − B + D + E，η = −1，ϕ = −1 ������������������(������ < H) = C + E，η = −1，ϕ = −1
2.障碍期权的基本分类 障碍期权按敲入和敲出，向上和向下，看跌和看涨共有八种不同
的组合：向下敲入看涨期权（������������������ ）、向上敲入看涨期权（������������������ ）、向下 敲入看跌期权（������������������ ）、向上敲入看跌期权（������������������ ）、向下敲出看涨期权 （������������������）、向上敲出看涨期权（������������������）、向下敲出看跌期权（������������������）、向上 敲出看跌期权（������������������）。障碍期权基本结构的主要变形包括：（1）部分 障碍期权，其障碍属性只在一段时间内存在，其余时候其支付和香草 期权一致。（2）非连续障碍期权，期权的激活和终止仅取决于某几个 特定日期。（3）欧式障碍期权和美式障碍期权。八种基本类型的欧式 障碍期权的支付形式为：
C = ϕ������������(������−������)������(HS )2(������+1)������(������������1) − ϕ������������−������������(HS )2������������(������������1 − ������������√������)
有效，因此它的价格相对于普通期权较便宜。在场外期权市场，障碍
期权占奇异期权市场的 70%-80%，是最有实际应用价值的期权。 1.障碍期权的分类
障碍期权按敲入和敲出，向上和向下，看跌和看涨共有八种不同
的组合：向下敲入看涨期权（������������������ ）、向上敲入看涨期权（������������������ ）、向下 敲入看跌期权（������������������ ）、向上敲入看跌期权（������������������ ）、向下敲出看涨期权 （������������������）、向上敲出看涨期权（������������������）、向下敲出看跌期权（������������������）、向上 敲出看跌期权（������������������）。相同方向的敲入敲出期权价格之和等于普通香 草期权。
Payoff
=
{max(S
−
X; 0) K,
,
if
S ≤ H before else, at T
T
������������������(������ > H) = C + E，η = 1，ϕ = 1 ������������������(������ < H) = A − B + D + E，η = 1，ϕ = 1
2014 年 11 月 19 日
表 1 欧式障碍期权的基本分类
障碍位置相对于标的股票价格
达到障碍时的期权支付
之下
Max(S-X,0)
之上
Max(S-X,0)
之下
Max(X-S,0)
之上
Max(X-S,0)
之下
在发生敲出时支付 K
之上
在发生敲出时支付 K
之下
在发生敲出时支付 K
之上
在发生敲出时支付 K
类型 向下敲入看涨期权 向上敲入看涨期权 向下敲入看跌期权 向上敲入看跌期权 向下敲出看涨期权 向上敲出看涨期权 向下敲出看跌期权 向上敲出看跌期权
符号 ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������