金融工程12-期权的希腊字母

希腊字的定义 • delta（D）度量当股票价格增加1美元时期权价格的变化。 • gamma（G）度量当股票价格增加1美元时D的变化。 • vega度量当波动率有一个百分点的增加时期权价格的变化。
• theta（q）度量当生命期减少1天时期权价格的变化。 • rho（r）度量当利率有一个百分点（100个基差点）的增加时
Theta与股价的关系
X
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Gamma
• Delta对冲，只有在股票价格小幅度变化时才时有 效的.
• 当股票价格出现大幅度变化时，对冲组合就必须考 虑2阶导数, 即Gamma. 否则, 维持原来的Delta就 会出现风险。
• 即:
– Gamma变化较小时，Delta变化变化缓慢，一般不需要 频繁调整头寸。
证明：c S
N (d1) S
N (d1) d1
d1 S
Xer
N (d2 ) d2 d2 S
由于 d1 d2 ,则 S S
Xer N (d2 ) Xer（
1
e ） - d22 2
d2
2
d2 d1
Xer
2
exp(
1 2
(d12
2 d1
2 ))
Xer [ 1
e e ]
1 2
d12
5
Delta
• Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了期权价 值对标的资产价格变化的敏感性
D c S
• 图示
S(0)
6
Delta——无收益资产的欧式股票期权
• 利用BS公式，可以推导出
Dc N d1
D p N d1 1 0
• Delta与股价的关系
1
S(0)
7
• 命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1)
化就是0.6DS –如果整个组合的Delta等于0,意味着什么?
• 动态对冲
– 由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现 对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量
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Delta对冲
• 例子：BSM随机微分方程的推导
– 1个单位衍生工具空头， f 份股票
S
– BS采用Delta对冲方法，建立起包含期权的Delta中性头 寸
d1
ln( S
/
X
)
(r
T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln( S
/
X
)
(r 2 T t
/
2)(T
t)
4
• 根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项
Delta
Theta
Vega
Rho
Dc
c s
Ds
c t
Dt
c
D
c r
Dr
1 2
2c S 2
(Ds)2
(3)
这里省略S的下标t
Gamma
D Dt 1 G DS2 2
• Gamma中性与Gamma对冲
– 由于标的资产及其远期、期货合约的Gamma都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Gamma
– 要改变投资组合的Gamma，必须使用那些价格与标的 资产价格呈非线性关系的工具，例如期权
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Gamma——欧式股票期权
欧式股票期权的Gamma
• 其余支付红利率为q、股指期权、外汇期权、期货期权只要根 据定价公式即可得到其Delta值
• 衍生证券组合的Delta
n
D wiDi
i 1
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பைடு நூலகம்
Delta对冲
• 定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要 保护的头寸的Delta等于零
– Delta中性：资产(或者组合)的Delta等于零 – 如果Delta为0.6,意味着股票价格变化DS,期权价格的变
第十五章 期权的希腊字母
1
15章 期权的希腊字母
• 期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率、 无风险利率以及执行价格，其中易变的因素有四个：
– 股价：Delta, Gamma – 到期时间：Theta – 波动率：Vega – 无风险利率：Rho
2
期权的希腊字
期权的希腊字是指当公式的一个投入（参数）变化一单位而其它 投入保持不变时期权价值的变化。希腊字度量的重要用途之一 是评估风险的暴露。希腊字度量可以用于计算任何种类在下资 产上的期权，而不仅仅是股票期权上。
d1
2 2
2
8
N (d1)
1
e
1 2
d12
d1
2
d1
ln(S
/
X
)
(r
2
/
2)
d1 2 / 2 ln(S / X ) r
Xer N (d2 ) Xer [
1
e e ]
1 2
d12
d1
2 2
d2
2
Xer N (d1) eln(s / X )r d1
Xer N (d1) S er S N (d1)
– Gamma较大时，对冲组合的Delta对标的资产相当敏感， 若不调整Delta则风险较大。
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Gamma
• Gamma是期权的Delta对标的资产价格的偏导数，
也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数
G
D S
2 S 2
• Gamma度量了期权Delta对标的资产价格变化的 敏感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸性
期权价格的变化。
3
回顾：Black-Scholes模型
• 看涨期权的价格（为欧式期权到期时期望值的现值）
c er(T t) E[Max(ST X ,0)]
• 股票价格的概率分布
ln ST
~
ln S
(
2 )(T
2
t),
T t
• 看涨期权价格的解
c S N (d1 ) Xe r(T t) N (d 2 )
d1 X
d1
所以，最后两项相等，则 C S
N (d1)，命题成立。
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各种产品的Delta
• 远期合约：D=1 X为远期的交割价，当一个远期生效时，远期价 格等于合约规定的交割价格，远期价格F就是f=0
的X值 f (t) S (t) Xerf (T t)
• 无收益资产的欧式期权：买权：N(d1)；卖权- N(-d1)
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Theta——定义
• Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价 值随时间衰减的速度
– 有时也称为证券组合的时间损耗
• 单个期权的Theta几乎总是负值，因为随着到期日 的临近，期权往往是变得越不值钱(若其他因素不 变,而仅仅时间改变)
• 与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个完 全确定的量，无需进行对冲
– 换句话说，未来股价是不确定的，因而需要对冲；但时 间走向却没有不定性，无需对冲。
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Theta——欧式股票期权
• 欧式股票期权的Theta
– 买权
c
S0 N (d1 )
2T
rXerT N (d2 )
– 卖权
p
S0 N (d1 )
2T
rXerT N (d2 )
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Theta——欧式股票期权