期权的定价和希腊字母
期权希腊字母
期权希腊字母 — 风险度量指标： THETA的说明
如下面例子所示，期权越接近到期，时间价值损失越 快。Theta用以测量每天期权价格大约的下降幅度。在下 面例子中，Theta约等于期权的价格变化。
期权希腊字母 — 风险度量指标： THETA计算器
Theta的数值通常为负值，其绝对值会随时间消逝而 变大， 也就是说愈接近到期日，权证的时间价值消失的 速度会愈快，最后到期时权证的时间价值应等于0。
期权希腊字母 — 风险度量指标： DELTA看跌期权/卖权PUT
对于看跌期权来说，Delta的变动范围为-1至0，而且 标的资产价格越低，Delta就越小。“平值”看跌期权Delta 为-0.5。从另一个角度来说，Delta的绝对值可以被认为是 看跌期权到期时为“实值”的可能性。
期权希腊字母 — 风险度量指标： DELTA的说明
Delta值的运用-Delta中性套期保值 （Delta Hedging）
如果投资者希望对冲期权或期货头寸的风险,Delta 就是套期保值比率。只要使头寸的整体 Delta值保持为0. 就建立了一个中性的套期策略。
期权希腊字母 — 风险度量指标：GAMMA
Gamma是指Delta的变化率，即给定标的资产价格发 生变化时Delta的变化率。(译注：就是为底层资产价格变 动一个单位时Delta的变动量)。Gamma在“平值”的时候最 大，在期权价格向“实值”或“虚值”变化的时候逐渐变小。 如下所示，期权价格的变化（到期之前）用一条曲线表示， 而不是直线。Delta是指曲线上任意一点的变化，而 Gamma则描述了delta的变化或者称之为曲线的曲率。对 于微积分的爱好者来说，Gamma是二阶导数。对于设法 对冲投资组合的交易员来说，理解Gamma至关重要。
期权定价及风险参数或希腊字母计算公式一览
期权定价风险参数/希腊字母计算公式一览一、Black —Scholes 期权定价模型Black —Scholes 期权定价模型适用于无红利欧式期权的定价，看涨期权定价公式如下：)()(2)(1d N Ke d SN C t T r ---=其中：t T t T r K S d --++=σσ))(2()ln(21；t T d d --=σ12。
二、风险参数/希腊字母Delta ：对标的物价格进行一阶求导，反映的是期权价格对标的物价格的敏感程度。
)(1d N Delta C =；1-)(1d N Delta P =Gamma对标的物价格进行二阶求导，反映的是期权价格对Delta 的敏感度。
t T s d N Gamma Gamma P C -)(1σ'==Vega对波动率进行一阶求导，反映的是期权价格对标的物波动率的敏感程度。
t T S d N Vega Vega P C -'==)(1Theta对时间进行一阶求导，反映的是期权价格对时间流逝的敏感程度。
)(2)(2)(1d N rKe tT S d N Theta t T r C ----'-=σ )-(2)(2)(1d N rKe tT S d N Theta t T r P --+-'-=σ Pho对无风险收益率进行一阶求导，反映的是期权价格对无风险收益率的敏感程度。
)()(2)(d N e t T K ho t T r C ---=ρ)-()(-2)(d N et T K ho t T r P ---=ρ 此外，极值波动率的计算公式为： ∑==N i i i l h N 12)ln(2ln 41σ。
金融工程第10章 希腊字符与期权对冲
delta
P(St St
,t)
N
(d1 )
1
标的资产
delta 1
gamma
gamma代表当标的风险St改变时，delta的变化率
不付红利股票的欧式看涨或看跌期权的gamma
gamma
2C(St ,t) St 2
Css
N ' (d1)
St T
gamma表示当St改变时，delta对冲应该调整多少
当gamma比较大时，表明delta变化非常快
非线性衍生品，指的是该衍生品的价格与标的资产的价格呈非线
性关系，例如期权。
所以为了达到 Gamma 中性，需要在组合中引入期权等非线性衍
生品。
期权的对冲
对冲
在套期保值时，比较重要的是保持 delta 中性、Gamma 中性和 Vega 中性。
为了同时使三者达到中性，需要标的资产以及基于该标的资产的 两种可交易衍生品。
delta对冲需要成本，而且也是有风险的
Delta对冲的成本
1、利息成本
时间段内的利息成本为
rC
2、期权的时间价值
当其他条件不变时，期权价值按如下比率减少
Ct
C(St ,t) t
时间段内的期权损失为 C(St ,t) t
3、利息收益
从空头寸收到的现金在时间段，会产生利息
rSt Cs
表示期权损益的偏微分方程
Vega的市场应用
vega允许投资者跟踪其头寸或者风险敞口对隐含波动率的变化 B S公式是在假定波动率为常数的情况下推导出来的
在波动率参数 变化的环境里，做市商通常对 直接报价
vega可以用来追踪期权价值对于的变化，vega对冲
Vega对冲
「期权系列」期权的风险管理利器—希腊字母
「期权系列」期权的风险管理利器—希腊字母一般的期权定价模型是由以下因素决定：相当资产的当前价格、波动率、无风险利率、期权到期时间以及行使价等。
在这些变数中，除了行使价是固定的，其他任何一个因素的变化都会造成相应期权价值的不断变化，这也给期权带来了相应的投资风险。
希腊字母作为度量期权风险的金融指标，常常被专业投资者所关注。
所以, 本文主要介绍以下几个主要希腊字母的含义及用途。
Delta值（Δ）1).含义Delta值又称对冲值，是衡量相关资产价格变动时期权价格的变化幅度，即Delta=期权价格变化/相关资产现货价格变化。
相关资产价格、行使价格、利率、波动率和距离到期日的天数等变数均对Delta 值有影响。
2).性质1、认购期权的Delta值为正数(0-1)，认沽期权的Delta值为负数(-1-0)，因为股价上升等价认购期权的Delta值会接近0.5，而等价认沽期权的则接近-0.5。
2、在其他条件条件不变时，认购期权的Delta值均随着相关资产价格的上升而增大; 相反认沽期权的Delta值均随着相关资产价格的下降而减少；3、随着到期日的减少，实值认购（认沽）期权Delta收敛到1（-1）；平值认购（认沽）期权Delta收敛到0.5（-0.5）；虚值认购（认沽）期权Delta收敛到0；3).应用Delta均值常用于中性套期保值，如果投资者想要对冲掉期权仓位风险，Delta值就是套期保值比率。
若头寸的Delta值持续为0，就建立了一个中性套期策略。
简单来讲，以做空认购期权为例假设一份长期认购期权的delta是0.8，则卖掉一份认购期权需要买入delta（0.8）份股票来做对冲，达到套期保值的效果。
Gamma 值（γ）1).含义Gamma值反映期权价格对delta值的影响程度，即delta变化量与期货价格变化量之比。
另外的，现在的Delta值将约等于之前的Delta值加上或减去Gamma 值。
2).性质1、对于长仓,无论认购期权或是认沽期权的gamma值均为正值。
期权中希腊字母的含义
H F = H Ae
− rT ∗
标的资产为股票指数
−( r − q )T ∗
标的资产为外汇
− r −rf T ∗
(
)
Greeks
11
Theta——定义 定义
1. Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价值 是期权价值对时间的偏导数， 是期权价值对时间的偏导数 随时间衰减的速度
股价：Delta, Gamma 股价： 到期时间： 到期时间：Theta 波动率： 波动率：Vega 无风险利率： 无风险利率：Rho
Greeks
3
Delta
1. Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了 是期权价值对标的资产价格的偏导数， 是期权价值对标的资产价格的偏导数 期权价值对标的资产价格变化的敏感性
卖权
买权
Greeks
24
Rho——外汇期权 外汇期权
1. 外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两个 外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此， rho，一个对应于本币利率 见上一页 ，另一个对应 见上一页)， ，一个对应于本币利率(见上一页 于外币利率
买权
rho c = −Te
卖权
− rf T
S0 N ( d1 )
Gamma与到期时间的关系 与到期时间的关系
in the money at the money out of the money
Greeks
19
Delta, Theta, Gamma的关系 的关系
1. 从BSM方程容易推导出三者的关系 方程容易推导出三者的关系
2. 如果投资组合是 如果投资组合是Delta中性的，则 中性的， 中性的
2. 基金经理常常创建合成期权进行投资组合保险 3. 期权合成技术——动态复制 动态复制 期权合成技术
期权风险指标--希腊字母
Delta值一、Delta值概述期权的风险指标通常用希腊字母来表示，包括：delta值、gamma值、theta 值、vega值、rho值等。
Delta值（δ），又称对冲值：是衡量标的资产价格变动时，期权价格的变化幅度。
用公式表示：Delta=期权价格变化/期货价格变化所谓Delta，是用以衡量选择权标的资产变动时，选择权价格改变的百分比，也就是选择权的标的价值发生变动时，选择权价值相应也在变动。
公式为：Delta＝外汇期权费的变化／外汇期权标的即期汇率的变化关于Delta值，可以参考以下三个公式:1.选择权Delta加权部位＝选择权标的资产市场价值×选择权之Delta值;2.选择权Delta加权部位×各标的之市场风险系数＝Delta风险约当金额;3.Delta加权部位价值＝选择权Delta加权部位价值＋现货避险部位价值。
二、Delta值的特性Delta具有以下特性：买权的Delta一定要是正值；卖权的Delta一定要是负值; Delta数值的范围介乎0到1之间; 价平选择权的Delta为0.5; Delta 数值可以相加，假设投资组合内两个选择权的Delta数值分别为0.5及0.3，整个组合的Delta数值将会是0.8。
对于看涨期权来说，期货价格上涨（下跌），期权价格随之上涨（下跌），二者始终保持同向变化。
因此看涨期权的delta为正数。
而看跌期权价格的变化与期货价格相反，因此，看跌期权的delta为负数。
交易者一定要注表1期权部位的delta值部位看涨期权看跌期权多头+ -空头- +期权的delta值介于-1到1之间。
对于看涨期权，delta的变动范围为0到1，深实值看涨期权的delta趋增至1，平值看涨期权delta为 0.5，深虚值看涨期权的delta则逼近于0。
对于看跌期权，delta变动范围为-1到0, 深实值看跌期权的delta趋近-1，平值看跌期权的 delta为-0.5，深虚值看跌期权的delta趋近于0。
希腊字母在期权中的应用
希腊字母在期权中的应用在衡量期权组合风险的时候，若用希腊字母来表示期权的风险指标，原本繁多复杂的期权交易和持仓就会显得简洁明了。
在交易中，投资者不仅要关注做多做空多少手不同的期权合约，而且还要注意所有持仓的Delta、Gamma等参数。
选择策略以最简单的买入标的和单腿策略为例，预计标的价格上涨，想要做多Delta，有买入期货、买入看涨期权和卖出看跌期权三种方法，但预计标的价格上涨的同时波动率下跌，即需要做多Delta、做空Vega，那么卖出看跌期权则是相对有利的策略。
对冲期权对于同一个品种的期货和期权，希腊字母都可以直接相加减。
当投资者利用跨式策略、价差策略、蝶式策略等多腿策略来交易期权时，有时候固定的策略并不能完美贴合投资者的交易需求，此时就可以根据叠加后的希腊字母总和去对冲存在风险的部分。
例如，当预计市场有重大消息披露、标的价格可能有大幅变化、波动率将会变大时，通常可以利用买入平值跨式期权策略来做多波动率。
比如说，当豆粕期货1901合约价格为3111元/吨时，同时买入行权价为3100元/吨的看涨期权和看跌期权构建买入跨式期权策略。
可以看到这个策略中，两个期权的Delta并没有完全对冲掉，还存在一小部分方向上的风险，当标的价格下跌时，会对这个跨式组合策略造成不利影响。
此时可以做空0.073倍的期货，得到-0.073个Delta，使得期权部位的总Delta为零。
管理持仓由于希腊字母可以直接相加减，当持有的期权合约类型、行权价、数量等各不相同时，可以通过计算持仓部位的希腊字母来管理持仓风险。
因此，即使持仓的头寸繁多复杂，利用希腊字母的叠加，持仓的风险状况就会变得更直观明了，分析起来也更方便。
下面以铜期权2018年9月21日收盘时的风险参数为例，假设同时持有数量不一、行权价不同的若干期权，结果如下表所示：那么仓位全部的风险参数总和计算如下：仓位的风险指标汇总如下：每新增或者减少一个期权，都能很清楚地观察到仓位变化。
期权的希腊字母
Gamma——欧式股票期权
Gamma与到期时间的关系
Delta, Theta, Gamma的关系
从BSM方程容易推导出三者的关系
如果投资组合是Delta中性的，则
如果Theta是较大的正数，Gamma就是很大的负数， 因此，Theta可以作为Gamma的替代指标使用
Vega
Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数，度 量了期权价值对标的资产波动率的敏感性
上图有助于理解动态复制技术
曲线表示卖权与标的股票价格的关系 切线的斜率表示卖权的Delta 截距表示复制投资组合在无风险资产上的投资额
随着股价的涨跌，切线的位置和方向将发生改变，其 斜率与截距都将发生变化
因此，动态复制需要经常性地调整头寸
2. 投资组合保险(股票+卖权)包含两个头寸 • 股票头寸：
股价：Delta, Gamma 到期时间：Theta 波动率：Vega 无风险利率：Rho
Delta
Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了 期权价值对标的资产价格变化的敏感性
图示
Delta——欧式股票期权
利用BS公式，可以推导出 Delta与股价的关系
1
X
Delta——欧式股票期权
动态复制在理论上虽然是“自融资策略”，但是，由于 存在交易成本，实际上不可能是“自融资策略”。基金 经理必须在交易成本与复制效果之间进行平衡
定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要保 护的头寸的Delta等于零
Delta中性：资产(或者组合)的Delta等于零
动态对冲
由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现 对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量
例子：BSM随机微分方程的推导
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平值（平价）：市场价格等于执行价格（不论是买权，还是卖权）。
路漫漫其悠远
期权的定价和希腊字母
买权（Call）
买方
卖方
从卖方买入买权
将买权卖给买方
支出权利金
获得权利金
有权利向卖方以约定价格买入 有义务将目标资产卖给买权持
标的资产
买方想要拥有期权，则必须支付给买方一定的权利金。
如果买方执行买（或者卖）目标资产时，买房有义务卖（或者买）相应的资产。
种类：
买权（看涨期权）：持有人拥有购买标的资产的权利；
卖权（看跌期权）：持有人拥有出售标的资产的权利；
奇异期权。
到期日：
欧式（主流）：到期日（或者到期的一段特定时间）才可以执行权利；
K
标的资产价格
期权的定价和希腊字母
二、期权的定价方法
1、BS期权定价模型 2、二叉树定价模型
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期权的定价和希腊字母
1、BS定价模型
布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model），简称BS模型，是一种 为期权或权证等金融衍生工具定价的数学模型，由美国经济学家迈伦·斯科 尔斯（Myron Scholes）与费雪·布莱克（Fischer Black）首先提出，并由罗 伯特·墨顿（Robert C. Merton）完善。该模型就是以迈伦·舒尔斯和费雪·布 莱克命名的。1997年迈伦·舒尔斯和罗伯特·墨顿凭借该模型获得诺贝尔经济 学奖（布莱克当时已逝）。
债券市场
利率互换
货币市场
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期权的定价和希腊字母
型态 保证金与日结 到期时间和履约价格
期权
权证
一般独立
经常嵌入
期权卖方
券商
履约价数量较多，期限 履约价一般只有一个，
一般不长于1年
期限也较长（1，2年）
做市商者
发行量 交易方向
专业做市者（期货自营 券商 商）
不固定 可以买，也可以做空
固定 只能买或者不做
买期保值
确定最低买价
卖期保值
确定最高卖价
但现货商套期保值一般仍是使用期货+卖期权！！
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买方不存在，卖方存在 买方稳定，买方不稳定 买方自由选择，卖方被动
不仅能保值还能增值 确定最高买价 确定最低卖价
期权的定价和希腊字母
专有名词：
期权的买方（持有人）有权利（但没有义务）在未来约定时间点以约定的价格 买（或者卖）约定数量的目标资产。
期货和期权之间的相互复制
期权复制期货： 1份买入期货=买入1份平价买权+卖出1份平价卖权； 1份卖出期货=卖出1份平价买权+买入1份平价卖权。 期货复制期权： 1份买权=买入delta份期货； 1份卖权=卖出delta份期货。
注意：由于delta随着价格的上涨和下跌会发生改变，因此需要经常调整期货合约数量。
为什么没有q？ 风险中性定价，期权的价格和上涨下跌的概率无关。 q = π,上涨概率固定，
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期权的定价和希腊字母
三、影响期权价格的因素
买权
卖权
履约价k
-
+
市场价s
+
-
距到期日时间T
+？
+？
无风险利率r
+？
-？
波动率σ
+
+
+：正向影响；-：反向影响；+？：大部分情况是正向；-？：大部分情况是
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期权的定价和希腊字母
下式为外汇的欧式期权定价模型：
C=S* e^(- Rfor *T)* N(d1)-X*e^(-r*T)*N（d2） P= X*e^(-r*T)*N（-d2） -S* e^(- Rfor *T)* N（-d1） d1=[ln（S/X）+(r- Rfor ）*T+T*б^2*1/2）]/б*T^(1/2) d2=d1-б*T^(1/2)
当期货价格上涨10点时，期货盈亏为：1000*10=10000点； 1、买权价格上涨10*0.5=5，卖出2000手买权的盈亏为：-2000*5=-10000点 2、卖权价格下跌10*（-0.5）=-5，买入2000手卖权的盈亏为：2000*（-5） =-10000点；
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期权的定价和希腊字母
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期权的定价和希腊字母
衡量delta的变化-Gamma（Γ）
Gamma=delta变动/标的资产价格的变动
无论是买权还是卖权的gamma永远为正； 同样履约价的买权和卖权的gamma值相同； 平价期权的gamma值最大。
Gamma对冲-规避delta的变动风险 举例2：
继续利用上面例子1的情况，平价买权的gamma为0.045. 原避险部位：delta=0，gamma=-2000*0.045=-90，会出现价格上涨则避险 不足，价格下跌则避险过量。
下面的步骤和一期模型相同， 多期模型类似， 买权和卖权的定价公式，除了下面不同，其他的相同。
Puu=Max[K-u*u*S,0] Pdu=Max[K-d*u*S,0] Pdd=Max[K-d*d*S,0]
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期权的定价和希腊字母
可以看出：期权的价格和标的资产的市价无关，只与市价和行权价之比有关。
上式中， y：连续红利。
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期权的定价和希腊字母
下式为期货的欧式期权定价模型：
C=F* e^(-r*T)* N(d1)-X*e^(-r*T)*N（d2） P= X*e^(-r*T)*N（-d2） -S* e^(-r*T)* N（-d1） d1=[ln（F/X）+T*б^2*1/2）]/б*T^(1/2) d2=d1-б*【T^(1/2)】
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期权的定价和希腊字母
B-S模型有7个重要的假设： 1、股票价格行为服从对数正态分布模式； 2、在期权有效期内，标的资产的无风险利率和波动率是常
数；
3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本； 4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后 被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。 6、不存在无风险套利机会； 7、证券交易是连续的； 8、投资者能够以无风险利率借贷。
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期权的定价和希腊字母
下式为无红利的欧式期权定价模型：
C=S*N(d1)-K*e^(-r*T)*N（d2） P= K*e^(-r*T)*N（-d2） -S*N（-d1） d1=[ln(S/K ）+(r*T+T*б^2*1/2）]/б*T^(1/2) d2=d1-б*T^(1/2) 上式中： N(d)：表示累计正态分布 ； C：买权； P：卖权； S：股票当前的价格 ； K：期权的执行价格 ； T：行权价格距离现在到期时间长度 ； б：表示波动率 ； r：表示无风险利率。
反向。
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期权的定价和希腊字母
1、履约价与买悠远
履约价
期权的定价和希腊字母
2、市场价格S与买权价格的关系
期权价格
卖权
买权
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市场价格
期权的定价和希腊字母
衡量标的资产价格变动的风险-delta（Δ）
delta=期权变动/标的资产价格的变动 N（d1）/N（-d1） 买权的delta为正值（大于0，小于1）；卖权的delta为负值（大于-1，小 于0）；平价期权的delta的绝对值为0.5。 随着标的资产价格上涨买权的delta趋近于1，卖权的delta趋近0，随着标 的资产价格的下跌，买权的delta趋近与0，卖权的delta趋近与-1.（相当于自 动加减仓位）
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期权的定价和希腊字母
下式为股票指数的欧式期权定价模型：
C=S* e^(-y*T)* N(d1)-K*e^(-r*T)*N（d2） P= K*e^(-r*T)*N（-d2） -S* e^(-y*T)* N（-d1） d1=[ln（S/K）+(r-y）*T+T*б^2*1/2）]/б*T^(1/2) d2=d1-б*T^(1/2)
美式（非主流）：到期日以前（含到期日）均可以执行权利。
百慕大式，以色列式，俄罗斯式……
行权价格：执行价格，既定价格或者履约价格。
标的资产：
现货期权：现货；
期货期权：期货。
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期权的定价和希腊字母
市场价格与行权价格的关系
实值（价内）：市场价格大于执行价格（买权），市场价格小于执行价格（卖权 ）；
π=（1+r-d）/（u-d）
C=[Cu*π+Cd*（1-π）]/（1+r）
Cu=Max[u*S-K,0]
Cd=Max[d*S-K,0]
二期价格可能变动为
u*u*S
q
q u*S
S
1-q
d*u*S
1-q
q
d*S
1-q
d*d*S
路漫漫其悠远
期权的定价和希腊字母
那么二期二叉树模型的买入期权定价公式为： Cu=[Cuu*π+Cdu*（1-π）]/（1+r） Cd=[Cdu*π+Cdd*（1-π）]/（1+r） Cuu=Max[u*u*S-K,0] Cdu=Max[d*u*S-K,0] Cdd=Max[d*d*S-K,0]
有人
主动（有权利没有义务）
比如：股票
路漫漫其悠远
被动（有义务没有权利）
期权的定价和希腊字母
买权的极限值：
最高：K=0，T→∞，买权的价格C=标的资产的价格S； 最低：K→∞，T→0，买权的价格C=0.
买权价格
路漫漫其悠远
K
标的资产价格
期权的定价和希腊字母
卖权（Put）