布莱克-舒尔斯期权定价模型(PPT 60张)
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期权定价模型：Black-Scholes期权定价模型 期货理论与实务 (金融期货) 教学课件
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、
方差率为 2S2的伊藤过程来表示：
dSSdtSdz
两边同除以S得：
dSdtdz （6.6）
S
则： SS tS z （6.12）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
d f( S fS ft1 2 S 2f22S2)d t S fS（d 6.z 13） f ( S fS ft 1 2 S 2f22 S 2 ) t S fS票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函 数G将遵循如下过程： dG ( G xa G t1 2 2 xG 2b2)d t G xb（d6z.8）
由于 dSSdtSdz （6.9）
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22S2)d t G SSd (6.1z0)
i1
当0时，我们就可以得到极限的标准布
朗运动： dz dt
（6.3）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
Black-Scholes期权定价模型46页PPT
变量x的漂移率为a，方差率为b2，都随时间变化。这就是伊 藤过程。
Ito引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
其中，d dG z 是( 一G xa 个 标 G t准1 2 布 2 x 朗G 2b 运2)d 动t。 G x由b d z 于a 和b都是x和t的函数， 因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
17.07.2021
如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者 绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的 收益率难以直接计算。
如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同 时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。
12
几何布朗运动的深入分析
在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值 为： Stt
可见，S在短时间内， S 具有正态分布特征
S
S~(t, t)
S
其均值为 t ，标准差为 t，方差为 2 t 。
17.07.2021
13
几何布朗运动的深入分析（2）
但态是分，布在的一性个质较：长的ห้องสมุดไป่ตู้间T后， S S 不再具有正
Black-Scholes期权定价模型
第六章
Black-Scholes期权定价模型
17.07.2021
2
Ito引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
其中，d dG z 是( 一G xa 个 标 G t准1 2 布 2 x 朗G 2b 运2)d 动t。 G x由b d z 于a 和b都是x和t的函数， 因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
17.07.2021
如果用百分比表示，例如美元对日元汇率变化收益率、日元对美元汇率变化收益率，两者 绝对值不会相等；而且其中一个服从正态分布，另一个就无法服从正态分布；交叉汇率的 收益率难以直接计算。
如果用对数收益率表示，两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反；可以满足同 时服从正态分布的假设；交叉汇率收益率可以直接相加计算。
12
几何布朗运动的深入分析
在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值 为： Stt
可见，S在短时间内， S 具有正态分布特征
S
S~(t, t)
S
其均值为 t ，标准差为 t，方差为 2 t 。
17.07.2021
13
几何布朗运动的深入分析（2）
但态是分，布在的一性个质较：长的ห้องสมุดไป่ตู้间T后， S S 不再具有正
Black-Scholes期权定价模型
第六章
Black-Scholes期权定价模型
17.07.2021
2
第6章 布莱克-斯科尔斯期权定价模型 PPT课件
由（6.10）可得
x2 b2 2t
(6.10)
E(x2 ) E(b2 2t) b2tE( 2 ) （6.11）
由于 : N(0,1),则 D( ) E[( 0)2] E( 2) 1
由（6.11）得到
E(x2 ) b2t
（6.12）
19 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
▪ 半强式效率市场假说认为， ➢ 证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息 调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已 公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的 证券。
▪ 强式效率市场假说认为， ➢ 不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都 已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”） 对挑选证券都没有用处。
▪ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
2 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
E(wT ) 0, wT wT w0 D(wT ) T
8 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
▪ 证明： N wT wT w0 wi , wi wi wi1 i t i 1
wt t t
（6.1）
这里，wt wt wt1,t : iid N (0,1)
布莱克—舒尔斯定价PPT课件
简化的模拟式: t 1 S0 1
S1 exp( z) exp(0.15 0.3z)
区间 [0，0.15]
股价个数 0
区间 [1.20,1.35]
股价个数 139
[0.15,0.30]
0
[1.35,1.50] 113
[0.30,0.45]
0
[1.50,1.65] 74
[0.45,[t
z
t ] 2t
13
E[ln(Stt / St )]
t
2 var[ln(Stt / St )]
t
通过计算对数收益序列
ln(Stt / St ),t 1, 2, , m
的均值和方差，再除以时间区间的长度 t ， 就可得资产收益对数的均值和方差。
下界:
38.56 40exp(0.15 0.004 0.31.96 0.004) S2
对于给定的置信水平 ,由标准正态分布表可
确定随机变量z的取值范围(z , z )，把所得取 值的上下界分别代入模拟式中, 即可得出该置 信水平下股票价格的变动范围。
12
估计资产收益对数的均值及其波动性( , )
票价格 )，如果采用正态分布的假定进行模拟
有可能产生负的价格.
8
实际的模拟过程
把整个时段分成若干个小的时间区间，对每 个时间区间递推使用模拟式, 得出资产在整个 时段内价格的一个走势，由此得出资产在期 末的一个价格。
假设需要模拟某股票一年以后的价格及其分布， 按一年有250个工作日算，把一年分成250个 时段, 在每一个时段使用模拟式
利用资产价格的历史数据来估计
Stt St exp(t z t )
布莱克斯科尔斯期权定价模型PPT课件
2、Put Option: Gives owner the right to sell an asset for a given price on or before the expiration date.
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
4、American Option：Gives owner the right to exercise the option on or before the expiration date.
Sichuan University
一、期权
思考： 期权与期货的主要区别？
Sichuan University
一、期权
(五）期权价格的合理界限 1.假设： 没有交易费用； 所有交易利润（减去交易损失后）具有相同的税率 可以按无风险利率借入和贷出资金 一旦有套利机会出现，市场参与者随时准备利用这些套利 机会。
Sichuan University
一、期权
2、符号 S：股票现价； X：期权执行价； T：期权的到期时间； ST：在T时刻股票价格； r: T时期到期的投资的无风险利率（连续复利）；
Sichuan University
一、期权
（二）期权合约的特点： 期权合约交易的是一种买卖证券的权力，而不是交易 证券本身； 期权的买方有权力买进或卖出，但没有义务买进或者 卖出； 期权的卖方有义务履行合约，却没有权利要求执行合 约； 期权买方要向期权卖方支付一定的费用，这就是期权 费（Premiun）或期权价格（Option Price）； 期权交易具有风险与收益形式上不对称的性质; 交易所中交易的大部分期权合约是标准化合约
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
4、American Option：Gives owner the right to exercise the option on or before the expiration date.
Sichuan University
一、期权
思考： 期权与期货的主要区别？
Sichuan University
一、期权
(五）期权价格的合理界限 1.假设： 没有交易费用； 所有交易利润（减去交易损失后）具有相同的税率 可以按无风险利率借入和贷出资金 一旦有套利机会出现，市场参与者随时准备利用这些套利 机会。
Sichuan University
一、期权
2、符号 S：股票现价； X：期权执行价； T：期权的到期时间； ST：在T时刻股票价格； r: T时期到期的投资的无风险利率（连续复利）；
Sichuan University
一、期权
（二）期权合约的特点： 期权合约交易的是一种买卖证券的权力，而不是交易 证券本身； 期权的买方有权力买进或卖出，但没有义务买进或者 卖出； 期权的卖方有义务履行合约，却没有权利要求执行合 约； 期权买方要向期权卖方支付一定的费用，这就是期权 费（Premiun）或期权价格（Option Price）； 期权交易具有风险与收益形式上不对称的性质; 交易所中交易的大部分期权合约是标准化合约
布莱克舒尔斯期权定价模型
布莱克舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用： ❖ 边界条件：
布莱克舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
二、布莱克-舒尔斯期权定价公式
❖ 股票价格服从对数正态分布，风险中性条件下以r取代μ，即：
❖ 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T 时刻）的期望值为：
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程 几何布朗运动
❖ ：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 ❖ ：证券收益率单位时间的方差 ❖ ：证券价格的波动率（Volatility） ❖ ：遵循标准布朗运动
几何布朗运动的离散形式
布莱克舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动的基本特征： ❖ 在短时间 后，证券价格比率的变化值
为：
❖ 因此： 方差为
❖ 即：
也具有正态分布特征，其均值为 ， ，标准差为
表示均值为m ，标准差为s的正态分布
布莱克舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖ 但是，在一个较长的时间T后， 不再具有正态分 布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
三、BS定价公式的基本扩展 无收益资产美式看涨期权的定价公式 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行 是不合理的，因此C=c 无收益资产美式看涨期权的定价公式是：
布莱克舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
有收益资产欧式期权-1
在收益已知情况下，标的证券价格可以分解成两部分： 期权有效期内已知现金收益的现值部分 一个有风险部分
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用： ❖ 边界条件：
布莱克舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
二、布莱克-舒尔斯期权定价公式
❖ 股票价格服从对数正态分布，风险中性条件下以r取代μ，即：
❖ 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T 时刻）的期望值为：
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程 几何布朗运动
❖ ：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 ❖ ：证券收益率单位时间的方差 ❖ ：证券价格的波动率（Volatility） ❖ ：遵循标准布朗运动
几何布朗运动的离散形式
布莱克舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动的基本特征： ❖ 在短时间 后，证券价格比率的变化值
为：
❖ 因此： 方差为
❖ 即：
也具有正态分布特征，其均值为 ， ，标准差为
表示均值为m ，标准差为s的正态分布
布莱克舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖ 但是，在一个较长的时间T后， 不再具有正态分 布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
三、BS定价公式的基本扩展 无收益资产美式看涨期权的定价公式 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行 是不合理的，因此C=c 无收益资产美式看涨期权的定价公式是：
布莱克舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
有收益资产欧式期权-1
在收益已知情况下，标的证券价格可以分解成两部分： 期权有效期内已知现金收益的现值部分 一个有风险部分
布莱克休尔斯莫顿期权定价模型(ppt41张)
15
布莱克—舒尔斯—默顿期权定价模型 11.3.1
假设： 1、证券价格遵循几何布朗运动，即 2、允许卖空标的证券；
和 为常数；
3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
一章布莱克-休尔斯-莫顿期权定价模型 11.0
MyronScholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧 式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响； 同年，RobertC.Merton独立地提出了一个更为一般化的 模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学 奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模 型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
14
11.2.６ 衍生品价格所服从的随机过程
当股票价格服从几何布朗运动 dS 时，由 Sdt Sdz 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)， 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
5
11.2.1
布朗运动
x a t b t ，显然，Δx也 普通布朗运动的离差形式为 具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b t ，方差为 b 2 t
1、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程， 其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音 。这种噪音是 由维纳过程的b倍给出的。 2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T ，方差为b2T。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型课件
§ 例6.3
Ø 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格 的期望值和标准差等多少？
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
25
6.2 B-S期权定价模型
§ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
§ 模型基本假设9个
Ø 无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。 Ø 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支
付； Ø 期权为欧式期权 Ø 证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
26
Ø 无交易费用：证券市场、期权市场、资金借贷 市场
Ø 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
1
6.1 证券价格的变化过程
§ 期权定价采用相对定价法
Ø 利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在 关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价 格，
§ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
lim D ( x2) [b 2 t]2D (2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
x a (x ,t) t b (x ,t) w
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
18
由（6.10）可得
x2b22 t (6.10)
E ( x 2 ) E (b 22 t) b 2 tE (2 )（6.11）
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
Ø 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格 的期望值和标准差等多少？
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
25
6.2 B-S期权定价模型
§ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
§ 模型基本假设9个
Ø 无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。 Ø 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支
付； Ø 期权为欧式期权 Ø 证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
26
Ø 无交易费用：证券市场、期权市场、资金借贷 市场
Ø 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
1
6.1 证券价格的变化过程
§ 期权定价采用相对定价法
Ø 利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在 关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价 格，
§ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
lim D ( x2) [b 2 t]2D (2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
x a (x ,t) t b (x ,t) w
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
18
由（6.10）可得
x2b22 t (6.10)
E ( x 2 ) E (b 22 t) b 2 tE (2 )（6.11）
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
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Байду номын сангаас
dS dt dz S
几何布朗运动的离散形式
S t t S
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动的基本特征： 在短时间 t 后，证券价格比率的变化值
S t t S
S 因此： S
S S
为：
也具有正态分布特征，其均值为 t ， 方差为 2 t ，标准差为 t
二、布朗运动
对普通布朗运动的理解：
d xa d t b d z
x at b t 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过 程
第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时
间为a 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。 这种噪音是由维纳过程的b倍。
普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。 期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合 约执行价格之间的预期差异变化 在现实中，资产价格总是随机变化的。
第一节 证券价格的变化过程
标 准 布 朗
二、布朗运动(Brownian Motion) ——维纳过程 运 动 设 t 代表一个小的时间间隔长度， z 代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特 征： z t 特征1： z 和 t 的关系满足：
S S
思考：
一 个 投 资 者 以 100 元 的 价 格 买 入 股 票 ，
首先获得 10% 的收益然后再损失 10% ，看上 去不赔不赚
但是，具体情况如何呢？
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz S
S t t S
章布莱克-舒尔斯期权定价模型
节证券价格的变化过程 节布莱克-舒尔斯期权定价模型
节期权定价中的希腊字母
Black-Scholes期权定价模型的基本思路：
相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是
标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影 响。
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权
( ) z ( 0 ) 表示变量z在T中的变化量，可以看作N个 以 zT 长度为 t 的小时间间隔中z的变化总量，其中 NT / t，
因此：
zT ( )z ( 0 ) t i
i 1
N
z也具有正态分布特征，均值为0，方差为T，标准差为
T
。
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动 普
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
S 即： ~ ( t, t) S
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
但是，在一个较长的时间T后， 不再具有正态分 布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
价格变化也是一个相应的随机过程。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机
过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种 不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生 证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确 定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一 个重要的方程：Black-Scholes微分方程。
通
布
朗
运
动
变量X遵循普通布朗运动：
d x a d tb d za d tb d t
a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 漂移率a：单位时间内变量z均值的变化值。 方差率b2：单位时间的方差
普通布朗运动的离差形式
x at b t
第一节 证券价格的变化过程
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
第一节 证券价格的变化过程
一、随机过程
随机过程（Stochastic Process）：
用来描述一个随机变量随时间变化的过程。 根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可
以做如下的划分：
时间的连续性 离散时间随机过程 连续时间随机过程 变量取值范围的连续性 离散变量随机过程 连续变量随机过程
其中，
代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0 的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值 相互独立。
当 t 0时，得到极限的标准布朗运动： dz
dt
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解： z 本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 t ， 标准差为 t 。 标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。 遵循布朗运动的变量z在时间T中的变化：
基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率为 S 、 方差率为 2 S 2 的伊藤过程来表示：
d S S d t S d z
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程 几 何 布 朗 运 动
：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 2 ：证券收益率单位时间的方差 ：证券价格的波动率（Volatility） d z ：遵循标准布朗运动
d x a ( x , t ) d tb ( x , t ) d z
dz是一个标准布朗运动 a、b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a，方差率为b2。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个 合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价 格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b 2 T ，标准差 b T 。 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程
伊藤过程 ( Ito Process )
假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
d xa d t b d z
dS dt dz S
几何布朗运动的离散形式
S t t S
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动的基本特征： 在短时间 t 后，证券价格比率的变化值
S t t S
S 因此： S
S S
为：
也具有正态分布特征，其均值为 t ， 方差为 2 t ，标准差为 t
二、布朗运动
对普通布朗运动的理解：
d xa d t b d z
x at b t 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过 程
第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时
间为a 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。 这种噪音是由维纳过程的b倍。
普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。 期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合 约执行价格之间的预期差异变化 在现实中，资产价格总是随机变化的。
第一节 证券价格的变化过程
标 准 布 朗
二、布朗运动(Brownian Motion) ——维纳过程 运 动 设 t 代表一个小的时间间隔长度， z 代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特 征： z t 特征1： z 和 t 的关系满足：
S S
思考：
一 个 投 资 者 以 100 元 的 价 格 买 入 股 票 ，
首先获得 10% 的收益然后再损失 10% ，看上 去不赔不赚
但是，具体情况如何呢？
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz S
S t t S
章布莱克-舒尔斯期权定价模型
节证券价格的变化过程 节布莱克-舒尔斯期权定价模型
节期权定价中的希腊字母
Black-Scholes期权定价模型的基本思路：
相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是
标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影 响。
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权
( ) z ( 0 ) 表示变量z在T中的变化量，可以看作N个 以 zT 长度为 t 的小时间间隔中z的变化总量，其中 NT / t，
因此：
zT ( )z ( 0 ) t i
i 1
N
z也具有正态分布特征，均值为0，方差为T，标准差为
T
。
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动 普
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
S 即： ~ ( t, t) S
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
但是，在一个较长的时间T后， 不再具有正态分 布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
价格变化也是一个相应的随机过程。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机
过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种 不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生 证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确 定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一 个重要的方程：Black-Scholes微分方程。
通
布
朗
运
动
变量X遵循普通布朗运动：
d x a d tb d za d tb d t
a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 漂移率a：单位时间内变量z均值的变化值。 方差率b2：单位时间的方差
普通布朗运动的离差形式
x at b t
第一节 证券价格的变化过程
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
第一节 证券价格的变化过程
一、随机过程
随机过程（Stochastic Process）：
用来描述一个随机变量随时间变化的过程。 根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可
以做如下的划分：
时间的连续性 离散时间随机过程 连续时间随机过程 变量取值范围的连续性 离散变量随机过程 连续变量随机过程
其中，
代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0 的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值 相互独立。
当 t 0时，得到极限的标准布朗运动： dz
dt
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解： z 本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 t ， 标准差为 t 。 标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。 遵循布朗运动的变量z在时间T中的变化：
基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率为 S 、 方差率为 2 S 2 的伊藤过程来表示：
d S S d t S d z
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程 几 何 布 朗 运 动
：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 2 ：证券收益率单位时间的方差 ：证券价格的波动率（Volatility） d z ：遵循标准布朗运动
d x a ( x , t ) d tb ( x , t ) d z
dz是一个标准布朗运动 a、b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a，方差率为b2。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个 合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价 格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b 2 T ，标准差 b T 。 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程
伊藤过程 ( Ito Process )
假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
d xa d t b d z