1998年全国高中数学联合竞赛试题及答案
一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月11日上午8∶00—10∶00）
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1． 若a ＞1,b ＞1且lg(a +b )=lg a +lg b ，则lg(a -1)+lg(b -1)的值
(A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a ,b 无关的常数
2． 若非空集合A ={x |2a +1≤x ≤3a -5},B ={x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆A B 成立的所有a 的
集合是( )
(A){a |1≤a ≤9} (B){a |6≤a ≤9} (C){a |a ≤9} (D)∅
3． 各项均为实数的等比数列{a n }前n 项和记为S n ，若S 10=10,S 30=70，则S 40等于( )
(A) 150 (B) -200 (C) 150或-200 (D)400或-50
4． 设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2+b 1x +c 1＞0与a 2x 2+b 2x +c 2＞0的解集相同；命题Q ：
2
12121c c b b a a ==。
则命题Q (A)是命题P 的充分必要条件 (B)是命题P 的充分条件但不是必要条件
(C)是命题P 的必要条件但不是充分条件
(D)既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件
5． 设E ,F ,G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点，则二面角C -FG -E 的大小是
( ) (A)36arcsin (B)3
3arccos 2+π (C)2arctg 2-π
(D)22arcctg
-π 6． 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共
线的三点组的个数是( )
(A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37
二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）
1． 若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当]1,0[∈x 时，1
)(x x f =，则
)1998(f ,)17101(f ,)15
104(f 由小到大的排列是_________________. 2． 设复数z =θθsin cos i +(︒0≤θ≤18︒0)，复数z ,(1+i )z ,2z 在复平面上对应的三个点分
别是P ,Q ,R ，当P ,Q ,R 不共线时，以线段PQ ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，则点S 到原点距离的最大值是_______.
3． 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法
有________种
.
B D
4． 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的
数列至多有___________项.
5． 若椭圆4)(422=-+a y x 与抛物线y x 22=有公共点，则实数a 的取值范围是
_____________.
6． △ABC 中，∠C =90°,∠B =30°,AC =2，M 是
AB 的中点，将△ACM 沿CM 折起，使A ,B 两点间的距离为22，此时三棱锥A -BCM 的体积
等于________.
三、 （本题满分20分）
已知复数z =1-sin θ+i cos θ(πθπ
<<2)，求z 的共轭复数z 的辐角主值。
四、 （本题满分20分）
设函数38)(2++=x ax x f (a ＜0)，对于给定的负数a ，有一个最大的正数l (a )，使得在整个区间[0,l (a )]上，不等式|f (x )|≤5都成立。
问：a 为何值时l (a )最大？求出这个最大的l (a )，证明你的结论。
五、 （本题满分20分）
已知抛物线px y 22=及定点),(b a A ,B (-a ,0),)2,0(2
pa b ab ≠≠，M 是抛物线上的点，设直线AM ,BM 与抛物线的另一交点分别为M 1,M 2.
求证：当M 点在抛物线上变动时（只要M 1,M 2存在且M 1≠M 2），直线M 1M 2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。
B C
1998年全国高中数学联合竞赛答案
一、 选择题
1.C
2.B
3.A
4.D
5.D
6.B
二、 填空题 1.)15104()1998()17101(f f f << 2.3 3.51 4.8 5. -1≤a ≤817 6.322 三、 243θ
π
-
四、a =-8时，l (a )的最大值是215+ 五、定点是(a ,b pa 2)。
98年至06年全国数学竞赛试题及答案详解
1998年全国数学联赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ） （Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（ ）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个 二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=__________。
7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于_______。
8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。
9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =_____。
10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。
函数的基本概念
函数的基本概念刘康宁 党效文(西安铁一中,陕西 710054) (西安高新一中,陕西 710075)函数是高中数学的基础和主体内容,也是高中数学竞赛的重要内容.有关函数基本概念的题目,涉及的知识面广,蕴涵的数学思想方法丰富.本文将结合近年来的数学竞赛试题,介绍一些处理函数的基本概念的方法.函数的定义域、值域、对应关系是函数概念的三要素,也是竞赛命题的着眼点.例1 (2001年全国高中数学联赛题)函数y=x+x2-3x+2的值域为.讲解 ∵y=x+12(2x-3)2-1,由函数的定义域可得|2x-3|≥1Ζx≥2或x≤1,当x≥2时,2x-3≥1,设2x-3=t≥1,则y=t+32+12t2-1=12(t+t2-1)+32.由函数单调性可得,t≥1时此函数单调递增,即y≥y|t=1=2.当x≤1时,2x-3≤-1,设3-2x=u≥1,则3-2y=u-u2-1=1u+u2-1∈(0,1],即1≤y<32.综上所知,函数的值域为[1,32)∪[2,+∞).说明 由于研究函数值域问题的方法灵活多样,因而函数值域是竞赛中的难点内容,此题的求解通过换元手段,分类转化为函数的单调性求解.例2 (2002年全国高中数学联赛题)已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且对任意x∈R,都有f(x+5)≥f(x)+5(1)f(x+1)≤f(x)+1(2)若函数g(x)=f(x)+1-x,则g(2002) =.讲解 由(1)得f(x+5)=g(x+5)+(x+5) -1≥f(x)+5=g(x)+x-1+5]g(x+5)≥g(x).由(2)得f(x+1)=g(x+1)+(x+1)-1≤f(x)+1=g(x)+x]g(x+1)≤g(x).由递推方法结合以上二式得g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x +2)≤g(x+1)≤g(x).所以g(x+5)=g(x+4)=g(x+3)=g(x+ 2)=g(x+1)=g(x).即函数g(x)是以1为周期的周期函数.又f(1)=1,∴g(1)=f(1)+1-1=1,故g(2002)=1.说明 此题利用题中条件对函数变形,重点考察了函数的对应法则.例3 (1998年全国高中数学联赛题)设函数f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数a,有一个最大的函数l(a),使得在整个区间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|≤5都成立.问:a为何值时,l(a)最大?求出这个最大值的l(a),证明你的结论.讲解 先求出f(x)在定义域上的最大值,然后根据最大值与5的大小关系进行讨论.∵f(x)=a(x+4a)2+3-16a,∴f(x)max=3-16a.分两种情况讨论.(1)3-16a>5,即-8<a<0时,l(a)>0,l(a) <-4a,所以l(a)是方程ax2+8x+3=5的较小根.l(a)=-8+64+8a2a=216+2a+4<24.(2)3-16a≤5,即a≤-8时,l(a)>-4a,所以l(a)是方程ax2+8x+3=-5的较大根.l(a)=-8-64-32a2a=44-2a-2≤420-2=5+12.当且仅当a=-8时,l(a)取得最大值5+12(5+12>12).说明 f(x)是含有参数的二次函数,研究其最值,需从对称轴和约束区间[0,l(a)]的关系讨论.64数学通讯 2007年第20期例4 设正实数x ,y 满足x y =1,求函数f (x ,y )=x +y[x ]・[y ]+[x ]+[y ]+1的值域(这里[x ]表示不超过x 的最大整数).讲解 不先一般性,设x ≥y ,则(1)当x =y =1时,f (x ,y )=12.(2)当x >1时,0<y <1,设x =m +λ,其中m =[x ],λ=x -[x ],则[y ]=0,f (x ,y )=m +λ+1m +λ1+m.∵函数g (x )=x +1x在[1,+∞)上递增,且0≤λ<1.∴m +1m≤m +λ+1m +λ<m +1+1m +1]m +1m1+m≤f (x ,y )<m +1+1m +11+m.令a m =m +1mm +1=m 2+1m 2+m,b m =m +1+1m +11+m=1+1(m +1)2,而a m+1-a m =m -2m (m +1)(m +2),所以,当m ≥1时有a 1>a 2=a 3<a 4<a 5<…,b 1>b 2>b 3>…,故x >1时,f (x ,y )的值域为[a 2,b 1),即[56,54).说明 此题的本质是一个一元函数,求解时有两个难点,一是高斯函数的处理,采用了整数、小数分离的方法;二是函数单调性的应用.例5 (2006年全国高中数学联赛题)设f (x )=x 2+a ,记f 1(x )=f (x ),f n (x )=f f (n-1)(x )),n =2,3,…,M ={a ∈R |对所有的正整数n ,|f n (0)|≤2}.证明:M =[-2,14].讲解 (1)如果a <-2,|f 1(0)|=|a |>2,a |M.(2)如果-2≤a ≤14,依题意f 1(0)=a ,f n (0)=fn-1(0))2+a ,n =1,2,3,…,则①当0≤a ≤14时,|f n (0)|≤12对n ≥1恒成立.事实上,当n =1时,|f 1(0)|=|a |≤12.设n =k -1时结论成立(k ≥2),则对n =k ,|f n (0)|=|f n-1(0)|2+a ≤(12)2+14=12.②当-2≤a ≤0时,|f n (0)|≤12对n ≥1恒成立.事实上,当n =1时,|f 1(0)|≤|a |,设n =k -1时结论成立(k ≥2),则对n =k ,有-|a |=a ≤f k (0)=[f k-1(0)]2+a ≤a +a.而-2≤a <0时,a 2≤-2a ,a 2+a ≤-a =|a |,从而有|f k (0)|≤|a |.由数学归纳法知[-2,14]ΑM.(3)当a >14时,记a n =f n (0),则对于n ≥1,a n >a >14且a n+1=f n+1(0)=f [f n (0)]=f (a n )=a 2n +a ,从而a n+1-a n =a 2n -a n +a =(a n -12)2+a -14≥a -14,∴a n+1-a =a n+1-a 1≥n (a -14),当n >2-a a -14时,a n+1≥n (a -14)+a >2-a +a =2,即fn+1(0)>2,因此a |M.综合(1)、(2)、(3),有M =-2,14.说明 此题的结论是与正整数n 有关的命题,利用数学归纳法进行证明是很自然的.同时此题的分类有一定难度.习 题1.若函数y =log a (x 2+3ax +1)没有最小值,则a 的所有取值构成的集合为.2.函数f (x )=|2x 2-a |在区间[-1,1]内的最大值M (a )的最小值为.3.(2006年上海市高中数学竞赛题)设f (x )=x 2+ax +b cos x ,{x |f (x )=0,x ∈R }={x |f (f (x ))=0,x ∈R }≠ ,则满足条件的所有实数a ,b 的值分别为.4.已知函数f :R +ϖR 满足:对任意x ,y ∈R +,都有f (x )・f (y )=f (xy )+2008(1x+1y +2007),则所有满足条件的函数f 为.5.求函数f (x )=x -3+12-3x 的值域.6.(第二届北方数学奥林匹克邀请赛)设函数f (x )=x 2+ax +b (a ,b ∈R ),若存在实数m ,使得|f (m )|≤14且|f (m +1)|≤14,求Δ=a 2-4b的最大值和最小值.7.给定一个实数k ,确定所有的函数f :R ϖR ,使得对于任何x ,y ∈R ,都有f (x 2+2xy +y 2)=(x +y )[f (x )+f (y )]及|f (x )-kx |≤|x 2-x |.742007年第20期 数学通讯答案・提示1.a>1或0<a<1. a>1Δ=9a2-4≥0或0<a<1Ζa>1或0<a<1.2.1.①当a≤0时,f(x)=2x2-a(-1≤x≤1),则M(a)=f(±1)=2- a.②当a>0时,若0<a≤1,则2-a≥a,M(a)=2- a.若a>1,则|2-a|<a,M(a)= a.∴M(a)=a (a>1),2-a (a≤1),即M(a)min=M(1)=1.3.0≤a<4,b=0.设x0∈{x|f(x)=0,x∈R},则b=f(0)=f[f(x0)]=0,于是f(x)=x(x+a),f[f(x)]=x(x+a)(x2+ax+a).显然a=0满足题意.若a≠0,由于x2+ax+a=0的根不可能为0或-a,所以x2+ax+a=0没有实根,则Δ=a2-4a<0Ζ0<a<4.故满足条件的a,b分别为0≤a<4,b=0.4.f(x)=1x+2008.令y=1,得f(x)f(1)=f(x)+2008(1x+2008)①再令x=1,得f2(1)=f(1)+2008・2009]f(1)=-2008或f(1)=2009.若f(1)=-2008,则由①得f(x)=-20082009(1x+2008).若f(1)=2009,则由①设f(x)=1x+2008.经检验,f(x)=1x+2008满足题设条件.5.f(x)的定义域为3≤x≤4,设x-3=sin2φ(φ∈[0,π2]).则f(x)=sinφ+3(1-sin2φ)=sinφ+3cosφ=2sinφ+π3∈[1,2].6.∵1=|(m+1-x0)-(m-x0)|≤|m+1-x0|+|m-x0|,∴|m+1-x0|与|m-x0|必有一个不小于12.若Δ=a2-4b<0,则f(m)=m+a22-Δ4,f(m+1)=m+1+a22-Δ4必有一个大于14,这与题没矛盾,所以Δ≥0.当a=-1,b=14时,|f(0)|=|f(1)|=14,Δ=0,即Δmin=0.又|f(x)|≤14,即|x2+ax+b|≤14(不妨设Δ>1).-a-Δ+12≤x≤-a-Δ-12,或-a+Δ-12≤x≤-a+Δ+12.若|f(m)|≤14,且|f(m+1)|≤14,则必有-a+Δ-12--a-Δ-12≤1,或-a-Δ-12--a-Δ+12≥1,或-a+Δ+12--a+Δ-12≥1,即Δ-1≤1或Δ+1-Δ-1≥1,解得Δ≤2.当a=1,b=-14时,|f(0)|=|f(-1)|=14,Δ=2,即Δmax=2.7.依题意得 f((x+y)2)=(x+y)[f(x)+f(y)] ①及|f(x)-kx|≤|x(x-1)| ②在①中令x=y=0得f(0)=0.在①中令y=0得f(x2)=xf(x) ③由③得-xf(-x)=f[(-x)2]=xf(x)]f(-x)=-f(x)(x≠0) ④由④得f(x)是奇函数,故只考虑x>0的情况.由③得f(x2)x2=f(x)x,从而f(x)x=f(x12)x12=f(x14)x14=…=f(x12n)x12n ⑤由②得f(x)x-k≤|x-1| ⑥在⑥中令x为x12n,结合⑤得f(x)x-k≤x12n-1⑦在⑦中让x固定,nϖ+∞,x12nϖ1,f(x)x-k≤|1-1|=0.从而f(x)x-k=0,故f(x)=kx(k>0).再由④f(0)=0得f(x)=kx(k∈R).84数学通讯 2007年第20期。
1998-2017年高中联赛平面几何题汇总
A C
P E
F B
D
六、 （2012 全国联赛）
A
如图，在锐角△ABC 中， AB AC ，M、N 是边 BC 上不同
的两点，使得 BAM CAN ．设 △ABC 和 △AMN 的外心
分别为 O1 、 O2 .证明： O1 、 O2 、A 三点共线．
B
MN
C
证明：如图，联结 、 ，过点 A 作 的垂线 AP 与 BC 的延长线交于点 P.
又
，故
证法二：利用圆心角证明
由于
； (40 分)
，从而
四点共圆得证．(50 分)
，从而说明四点共圆．
； (30 分)
； (40 分)
而
，
所以，
，从而
四点共圆得证．(50 分)
证法三：利用弦切角证明
，从而说明四点共圆．
现在分别过点 和 引上述相应相切圆弧的公切线 和 交于点 T，又过点 引相应相切圆弧的公切
综合以上知 O1O2∥BC，所以
．
因为
，所以 B、C、E、F 四点共圆．
充分性：设 P 是△ABC 的垂心，由于 PE⊥AC，PF⊥AB，所以 B、O1、P、E 四点共线，C、O2、P、F 四
点共线，
，故 O1、O2、E、F 四点共圆．
必要性：设 O1、O2、E、F 四点共圆，故
．
由于
，又因为 O2 是直角△CEP 的斜边中点，也就是△CEP 的外心，所
由此可知
．
因为
，
故
，故直线 BP 和 AC 垂直．
由题设 P 在边 BC 的高上，所以 P 是△ABC 的垂心．
十二、 （2006 全国联赛）
以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与△ AB0B1 的边 ABi 交于点 Ci i 0,1 ．
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
9.若 是双曲线 上的点，则 的最小值是_________.
10. 如图，设正方体 的棱长为1，α为过直线 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.
11.已知实数 满足： 的最大值是____.
12.设集合 则集合A中元素的个数是___________
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
解：a2－a1= (y－x)，b4－b3= (y－x)， = ．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
解：( +2)2n+1－( －2)2n+1=2(C 2xn22n+1)．
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则 =．
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；
⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．
1998年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A ）等于lg2 （B ）等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )（A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø6.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ． 2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．6．∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sinθ+i cosθ(π2<θ<π)，求z的共轭复数－z的辐角主值．四、（本题满分20分）设函数f (x) =ax 2 +8x +3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ≤ 5都成立．问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论.五、（本题满分20分）已知抛物线y2= 2px及定点A(a, b), B( –a, 0) ,(ab≠ 0, b2≠ 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2．求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ≠M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．第二试二、（满分50分）设a1，a2，…，a n，b1，b2，…，b n∈[1，2]且nΣi=1a2i=nΣi=1b2i，求证：nΣi=1a3ib i≤1710nΣi=1a2i．并问：等号成立的充要条件．三、（满分50分）对于正整数a、n，定义F n(a)=q＋r，其中q、r为非负整数，a=qn＋r，且0≤r＜n．求最大的正整数A，使得存在正整数n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意的正整数a≤A，都有F n6(F n5(F n4(F n3(F n2(F n1(a))))))=1．证明你的结论．一九九八年全国高中数学联赛解答 第一试一．选择题（本题满分36分，每小题6分）2．若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )（A ）{a | 1≤a ≤9} (B ) {a | 6≤a ≤9} (C ) {a | a ≤9} (D ) Ø 【答案】B【解析】A ⊆B ，A ≠Ø．⇒ 3≤2a +1≤3a －5≤22，⇒6≤a ≤9．故选B ．4.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2+ b 2x + c 2 > 0的解集相同;命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2． 则命题Q ( )(A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件 (C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件【答案】D【解析】若两个不等式的解集都是R ，否定A 、C ，若比值为－1，否定A 、B ，选D ．5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( )(A ) arcsin 63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37【答案】B【解析】8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13组； ⑵ 面中心为中点：4×6=24组；⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B ．二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P , Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________. 【答案】3【解析】 →OS =→OP +→PQ +→PR =→OP +→OQ －→OP +→OR －→OP =→OQ +→OR －→OP=(1+i )z +2－z －z=iz +2－z=(2cos θ－sin θ)+i (cos θ－2sin θ)．∴ |OS |2=5－4sin2θ≤9．即|OS |≤3，当sin2θ=1，即θ=π4时，|OS |=3．4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.【答案】8【解析】设其首项为a ，项数为n ．则得a 2+(n －1)a +2n 2－2n －100≤0．△=(n －1)2－4(2n 2－2n －100)=－7n 2+6n +401≥0．∴ n ≤8． 取n=8，则－4≤a ≤－3．即至多8项．(也可直接配方：(a +n －12)2+2n 2－2n －100－(n －12)2≤0．解2n 2－2n －100－(n －12)2≤0仍得n ≤8．)6．∆ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A －BCM 的体积等于 ．【答案】223【解析】由已知，得AB=4，AM=MB=MC=2，BC=23，由△AMC 为等边三角形，取CM 中点，则AD ⊥CM ，AD 交BC 于E ，则AD=3，DE=33，CE=233．折起后，由BC 2=AC 2+AB 2，知∠BAC=90°，cos ∠ECA=33． ∴ AE 2=CA 2+CE 2－2CA ·CE cos ∠ECA=83，于是AC 2=AE 2+CE 2．⇒∠AEC=90°．∵ AD 2=AE 2+ED 2，⇒AE ⊥平面BCM ，即AE 是三棱锥A －BCM 的高，AE=263． S △BCM =3，V A —BCM =223．三、（本题满分20分）2223222EBCAMD23222AEMDCB四、（本题满分20分）设函数f (x) =ax2 +8x+3 (a<0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l(a) ,使得在整个区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| 5都成立．问：a为何值时l(a)最大? 求出这个最大的l(a)．证明你的结论．五、（本题满分20分）已知抛物线y 2 = 2px 及定点A (a , b ), B ( – a , 0) ,(ab ≠ 0, b 2≠ 2pa ).M 是抛物线上的点, 设直线AM , BM 与抛物线的另一交点分别为M 1, M 2． 求证：当M 点在抛物线上变动时(只要M 1, M 2存在且M 1 ≠ M 2.)直线M 1M 2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标.第二试一、（满分50分）如图，O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上。
1998年全国高中数学联赛试题及解答
一九九八年全国高中数学联合竞赛一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1． 若a > 1, b > 1, 且lg(a + b )=lg a +lg b , 则lg(a –1)+lg(b –1) 的值( ) （A ）等于lg2（B ）等于1(C ) 等于0 (D ) 不是与a , b 无关的常数2.若非空集合A={x |2a +1≤x ≤3a – 5},B={x |3≤x ≤22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9}(B ) {a | 6≤a ≤9}(C ) {a | a ≤9} (D ) Ø3.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( )(A ) 150(B ) - 200(C ) 150或 - 200 (D ) - 50或4004.设命题P ：关于x 的不等式a 1x 2+ b 1x 2+ c 1 > 0与a 2x 2+ b 2x + c 2 > 0的解集相同； 命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2． 则命题Q ( ) (A ) 是命题P 的充分必要条件(B ) 是命题P 的充分条件但不是必要条件(C ) 是命题P 的必要条件但不是充分条件(D ) 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件5.设E , F , G 分别是正四面体ABCD 的棱AB ,BC ,CD 的中点,则二面角C —FG —E 的大小是( ) (A ) arcsin63 (B ) π2+arccos 33 (C ) π2－arctan 2 (D ) π－arccot 226.在正方体的8个顶点, 12条棱的中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点中, 共线的三点组的个数是( )(A ) 57 (B ) 49 (C ) 43 (D )37二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果.1．若f (x ) (x ∈R )是以2为周期的偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f (x )=x 11000，则f (9819)，f (10117)，f (10415)由小到大排列是 ．2．设复数z=cos θ+i sin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i )z ，2－z 在复平面上对应的三个点分别是P ,Q , R .当P , Q , R 不共线时,以线段PQ , PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S , 点S 到原点距离的最大值是___________.3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10的偶数, 不同的取法有________种.4．各项为实数的等差数列的公差为4, 其首项的平方与其余各项之和不超过100, 这样的数列至多有_______项.5．若椭圆x 2+4(y －a )2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．6．∆ABC 中, ∠C = 90o, ∠B = 30o, AC = 2, M 是AB 的中点. 将∆ACM 沿CM 折起,使A ,B 两点间的距离为 2 2 ，此时三棱锥A -BCM 的体积等于__________.三、（本题满分20分）已知复数z=1－sin θ+i cos θ(π2<θ<π)，求z 的共轭复数－z 的辐角主值．四、（本题满分20分）设函数f (x ) = ax 2+8x +3 (a <0)．对于给定的负数a , 有一个最大的正数l (a ) ,使得在整个 区间 [0, l (a )]上, 不等式| f (x )| ≤ 5都成立．问：a 为何值时l (a )最大? 求出这个最大的l (a )．证明你的结论.五、（本题满分20分）已知抛物线y2= 2px及定点A(a, b), B( –a, 0) ,(ab≠ 0, b2≠ 2pa)．M是抛物线上的点, 设直线AM, BM与抛物线的另一交点分别为M1, M2．求证：当M点在抛物线上变动时(只要M1, M2存在且M1 ≠M2)，直线M1M2恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．第二试一、（满分50分）如图，O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高，I 在线段OD 上。
1998年全国高中数学联赛试题及答案详解_PDF压缩
A
hRa=b+ca－a即可。连 AI 并延长交⊙O 于 K，连 OK 交 BC 于 M，则 K、
M 分别为弧 BC 及弦 BC 的中点。且 OK⊥BC。于是 OK∥AD，又 OK=R， 故
hRa=AODK=IIAK=IKAB，
N
O
I
故只须证KIBA=b+ach－a a=12(b+BcM－a)．
B
DM
a 的集合是(
) [来源:学,科,网]
（A）{a | 1≤a≤9}
(B) {a | 6≤a≤9}
(C) {a | a≤9}
(D) Ø
【答案】B
【解析】AB，A≠Ø． 3≤2a+1≤3a－5≤22，6≤a≤9．故选 B．
4.设命题 P：关于 x 的不等式 a1x2 +
b1x2 +
c1 >
0与a
x2
2
+
物线上的点, 设直线 AM, BM 与抛物线的另一交点分别为 M1, M2． 求证：当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1, M2 存在且 M1 M2) ，直线 M1M2 恒过一个定点．并
求出这个定点的坐标．
第二试
nn 二、（满分 50 分）设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈[1，2]且iΣ=1a2i=iΣ=1bi2， 求证：iΣ=n1abi3i≤1170iΣ=n1ai2．并问：等号成立的充要条件． 三、（满分 50 分）对于正整数 a、n，定义 Fn(a)=q＋r，其中 q、r 为非负整数，a=qn＋r， 且 0≤r＜n．求最大的正整数 A，使得存在正整数 n1，n2，n3，n4，n5，n6，对于任意的正整 数 a≤A，都有
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) sin600º的值是 ( )(A)21 (B) －21 (C)23 (D) －23 (2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是 ( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为 ( )(A) x 2＋(y ＋2)2=4 (B) x 2＋(y －2)2=4 (C) (x －2)2＋y 2=4(D) (x ＋2)2＋y 2=4(4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是 ( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D)12121=A A B B (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( )(A) x (x ≠0)(B)x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0)(D) －x1(x ≠0)（A ） （B ） （C ） （D ）(6) 已知点P (sin α－cos α，tg α)在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 ( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2345ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( ) (A) 120º(B) 150º(C) 180º(D) 240º(8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是 ( )(A)2123±i (B) －2123±i (C) ±2123+i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么(A) 2S S S '+=0(B) S 0=S S ' (C) 2 S 0=S ＋S ′(D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有( )(A) 90种(B) 180种(C) 270种(D) 540种h VH 0(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍(B) 5倍(C) 4倍(D) 3倍(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43(B)23(C) 2(D)3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 ( )(A) arccos215- (B) arcsin215-(C) arccos251- (D) arcsin251- (15) 在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么a 1的取值范围是 ( ) (A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2)(D)(1，2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________17．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）18．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19．关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题:①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)； ③y =f (x )的图像关于点(－6π，0)对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．)三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π．求sin B 的值． 以下公式供解题时参考： sin θ＋sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-，sin θ－sin ϕ=2cos 2ϕθ+sin 2ϕθ-，cos θ＋cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-，cos θ－cos ϕ=－2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A ， B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)． (23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C ．Ⅰ．求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；Ⅱ．求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； Ⅲ．求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离． (24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1． Ⅰ．写出曲线C 1的方程； Ⅱ．证明曲线C 与C 1关于点A (3t ，2s)对称； Ⅲ．如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0．(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145． Ⅰ．求数列{b n }的通项b n ； Ⅱ．设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．31617．179 18．AC BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 19．②，③三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B，又A －C =3π 得 23cos 2B=sin B ，所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π，cos 2B≠0， 所以sin2B =43， 从而cos2B =4132sin 12=-B 所以sinB=83941323=⨯. 21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点． 设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0），（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p =|MN |. 所以 M （2p -，0），N （2p ，0）.由|AM |= 17 ，|AN |=3 得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A －2p）2+2px A =9. ②由①，②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4A A x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形，所以2p> x A ，故舍去⎩⎨⎧==22Ax p所以p =4，x A =1.由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点． 作AE ⊥ l 1，AD ⊥ l 2，BF ⊥ l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）. 依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3， y A =|DM |=2222=-DAAM，由于ΔAMN 为锐角三角形，故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0｝.故曲线段C 的方程为y 2=8（x －2）（3≤x ≤6，y >0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），得 b =a a+-230（0<a <30）. ① 于是 y =abk=aa a k+-230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =， 当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a =6，a =－10（舍去）. 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），即 a +2b +ab =30（a >0，b >0）. 因为 a +2b ≥2ab 2， 所以 ab 22+ab ≤30， 当且仅当a =2b 时，上式取等号. 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18.即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3，a =6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ， 所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ， 所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ．解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23， 所以DE =1，AD =A 1D =3， tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ．解法一：由点C 作平面A 1ABB 1的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离. 连结HB ，由于AB ⊥BC ，得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，且BC ∥ED ， 所以∠HBC =∠A 1ED =60º所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二：连结A 1B .根据定义，点C 到面A 1ABB 1的距离，即为三棱锥C －A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=， 即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C 1的方程为y =（x －t ）3－（x －t ）+s .Ⅱ．证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）.设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有2221t x x =+， 2221sy y =+. 所以 x 1=t －x 2， y 1=s －y 2.代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：s －y 2=（t －x 2）3－（t －x 2），即 y 2=（x 2－t ）3－（x 2－t ）+ s ， 可知点B 2（x 2，y 2）在曲线C 1上.反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ．证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ，整理得3tx 2－3t 2x +（t 3－t －s ）=0， 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4－12t （t 3－t －s ）=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：Ⅰ．设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n －2.Ⅱ．由b n =3n －2，知S n =log a （1+1）+ log a （1+41）+…+ log a （1+231-n ） = log a [（1+1）（1+41）……（1+231-n ）]， 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较（1+1）（1+41）……（1+231-n ）与313+n 的大小.取n =1有（1+1）>3113+⋅，取n =2有（1+1）（1+41）>3123+⋅， ……由此推测（1+1）（1+41）……（1+231-n ）>313+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.（ⅰ）当n =1时已验证①式成立.（ⅱ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+41）……（1+231-k ）>313+k . 那么，当n =k +1时，（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+()2131-+k ）>313+k （1+131+k ） =13133++k k （3k +2）. 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=k k ， 所以13133++k k （3k +2）>().1134333++=+k k 因而（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+131+k ）>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立.由此证得：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.。
【数学竞赛】上海市1998年高中数学竞赛题与答
上海市1998年高中数学竞赛一．填空题：1．设f (n )是定义在自然数集N ＋上的函数，且满足f (1)＝2，f (n ＋1)＝21)(2+n f ，则f (1998)＝ ； 2．函数y ＝ax 2+bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线，a ，b ，c ，各不相等，且都在集合A ＝{n ||n |≤5，n ∈Z }中取值．则这些抛物线中通过点(0，－1)的有 条；3．已知圆方程x 2＋y 2－21+m x －m y ＋m ＋1＝0(m 为正参数)，则圆心的轨迹为 ；4．设θ∈R ，0<φ<2π，若关于x 的二次不等式x 2cos θ＋2sin φ(sin θ＋cos θ)x ＋sin θ>0的解集为区间(1，10)，则φ的值是 ；5．计算：123211111211111011C C C C ++++ ＝ ； 6．已知f (x )＝sin x ＋cos(x ＋t )为偶函数，且t 满足不等式t 2－3t －40<0，则t 的值为 ；7．设非零向量a 、b 不共线，且使2x ＋y =40×5y ＋(2－x )，则有序数组(x ，y )为 ；8．若关于x 的不等式29x -≥－a 2x 的解集的区间长度为415，则a 的值域是 ； 9．△ABC 边长分别为5，12，13，一个以1为半径的圆在三角形内部沿边线无滑动地滚动一周，则圆心移动的长度是 ；10．在圆内接四边形ABCD 中，∠A ＝60︒，|AB |、|BC |、|CD |、|DA |依次组成等差数列，且公差d ＝3＋13，则|AB |＝ ．二．设n ∈N ，且使37.5n ＋26.5n 为正整数，求n 的值．三．已知在抛物线y ＝x 2上有一个正方形的三个顶点A 、B 、C ，求这种正方形面积的最小值．四．设f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 0；g (x )＝c n ＋1x n ＋1＋c n x n ＋…＋c 0是两个实系数非零多项式，且存在实数r ，使g (x )＝(x －r )f (x )．记a ＝max(|a n |，|a n －1|，…，|a 0|)，c ＝max(|c n ＋1|，|c n |，…，|c 0|)．求证：ca ≤n ＋1．上海市1998年高中数学竞赛(解答)一．填空题：1．设f (n )是定义在自然数集N 上的函数，且满足f (1)＝2，f (n ＋1)＝21)(2+n f ，则f (1998)＝ ； 解：由f (n ＋1)＝f (n )＋21，得f (1998)＝f (1)＋1997×21＝1000.5． 2．函数y ＝ax 2+bx ＋c 的图象是开口向下的抛物线，a ，b ，c ，各不相等，且都在集合A ＝{n ||n |≤5，n ∈Z }中取值．则这些抛物线中通过点(0，－1)的有 条；解：c ＝－1，a <0，∴ 共有4×9＝36条．3．已知圆方程x 2＋y 2－21+m x －m y ＋m ＋1＝0(m 为正参数)，则圆心的轨迹为 ； 解：圆心（x ，y )，则x ＝1+m ，y ＝m 21⇒x 2－4y 2＝1(x >1，y >0)． 4．设θ∈R ，0<φ<2π，若关于x 的二次不等式x 2cos θ＋2sin φ(sin θ＋cos θ)x ＋sin θ>0的解集为区间(1，10)，则φ的值是 ；解：cos θ>0，cos θ＋2sin φ(sin θ＋cos θ)＋sin θ＝0，⇒(sin θ＋cos θ)(2sin φ＋1)＝0，⇒θ＝2kπ－4π或φ＝π67，或π611． 100cos θ＋20sin φ(sin θ＋cos θ)＋sin θ＝0．若θ＝2kπ－4π，矛盾；若sin φ＝－21，可得tan θ＝10． 故φ＝π67，或π611． 5．计算：123211111211111011C C C C ++++ ＝ ； 解：12111211+=+k k C k C ，故原式＝41365)12(121)(121121212212112=-=+++C C C ． 6．已知f (x )＝sin x ＋cos(x ＋t )为偶函数，且t 满足不等式t 2－3t －40<0，则t 的值为 ； 解：sin(－x )＋cos(－x ＋t )＝sin x ＋cos(x ＋t )，⇒2sin x ＝cos(t －x )－cos(t ＋x )，⇒2sin x ＝2sin x sin t ， ∴ t ＝2kπ－2π(k ∈Z )； 由t 2－3t －40<0，得－5<t <8．于是得，t ＝23π-，2π，25π． 7．设非零向量a 、b 不共线，且使2x ＋y =40×5y ＋(2－x )，则有序数组(x ，y )为 ；解：2x ＝40×5y ，y ＝2－x ，⇒2x －3＝53－x ，⇒x ＝3，y ＝－1，⇒(3，－1)． 8．若关于x 的不等式29x -≥－a 2x 的解集的区间长度为415，则a 的值域是 ； 解：－a 2≤0，若－a 2＝0，则解为－3≤x ≤3，⇒区间长度为6，不满足题意．如图，直线y ＝－a 2x 与圆交于x ＝－43，解2243)43(9a =--，得a ＝±415． 9．△ABC 边长分别为5，12，13，一个以1为半径的圆在三角形内部沿边线无滑动地滚动一周，则圆心移动的长度是 ；解：设sin α＝1312，则圆心移动长度＝(5＋12＋13)－2－1[cot 2α＋cot(45︒－2α)]×2 ＝28－(ααααcos sin 1sin cos 1+++)×2＝28－13＝15． 10．在圆内接四边形ABCD 中，∠A ＝60︒，|AB |、|BC |、|CD |、|DA |依次组成等差数列，且公差d ＝3＋13，则|AB |＝ ．解：设|AB |＝a ，则由余弦定理，知a 2＋(a ＋3d )2－a (a ＋3d )＝(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＋(a ＋d )(a ＋2d )． 解得a ＝d 2133+-＝2． 二．设n ∈N +，且使37.5n ＋26.5n 为正整数，求n 的值． 解：即)5375(21n n n +为正整数． 75n ＋53n ≡(－1)n ＋1n (mod 4)⇒当n 为偶数时，75n ＋53n ≡2(mod 4)；当n 为奇数时，75n ＋53n ＝(75＋53)(75n －1－75n －2×53＋…＋53n －1)＝27(75n －1－75n －2×53＋…＋53n －1)．由于括号内的每一项均为奇数，且共有奇数项，即括号内的和为奇数．∴ 只有当n ＝1，3，5，7时该数为正整数．三．已知在抛物线y ＝x 2上有一个正方形的三个顶点A 、B 、C ，求这种正方形面积的最小值． 解：设A (x 1，x 12)，B (x 2，x 22)，D (x 3，x 32)，直线AB 的斜率为k (k >0)：则点B 坐标满足x 22－x 12＝k (x 2－x 1)，(x 2≠x 1)∴ x 2＝k －x 1．∴ |AB |＝(x 2－x 1)12+k ＝(k －2x 1)12+k ．同理|AD |＝(x 1－x 3)211k +＝221112k k kx ++． 令|AB |＝|AD |，得k 2(k －2x 1)＝2kx 1＋1．)1(2131+-=k k k x ． ∴ |AB |＝(k －22)1(2)1(21)1(11))1(1(2223=+⋅+≥+++=++--k k k k k k k k k k k k k ．等号当且仅当k ＝1时成立，此时x 1＝0，即A 为原点，正方形面积最小值为2．四．设f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 0；g (x )＝c n ＋1x n ＋1＋c n x n ＋…＋c 0是两个实系数非零多项式，且存在实数r ，使g (x )＝(x －r )f (x )．记a ＝max(|a n |，|a n －1|，…，|a 0|)，c ＝max(|c n ＋1|，|c n |，…，|c 0|)．求证：ca ≤n ＋1． 证明：g (x )=x (a n x n +a n －1x n －1+…+a 1x +a 0)－r (a n x n +a n －1x n －1+…+a 1x +a 0)= a n x n +1+(a n －1－ra n )x n +(a n －2－ra n －1)x n －1+…+(a 0－ra 1)x －ra 0；即 c n +1=a n ，c k =a k －1－ra k (k =1，2，…，n )，c 0=－ra 0．∴ a n =c n +1；a n －1=c n +rc n +1；a n －2=c n －1+rc n +r 2c n +1；……，a 0=c 1+rc 2+r 2c 3+…+r n c n +1．于是①若|r |≤1，则|a n |=|c n +1|≤c ，|a n －1|≤|c n |+|c n +1|≤2c ，…，|a 0|≤(n +1)c ． ∴ a ≤(n +1)c ，即ca ≤n +1．②若|r |≥1，则取y =x 1，并令F (y )= y n f (y 1)，G (y )=－(r 1y n +1)g (y 1)=(y －r 1)(a 0y n +a 1y n －1+…+a n )．转化为上一情况．故得证．。
1998年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
1998年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
1998*1、若1,1>>b a 且b a b a lg lg )lg(+=+，则)1lg()1lg(-+-b a 的值( ) A.等于2lg B.等于1 C.等于0 D.不是与b a ,无关的常数 ◆答案：C★解析：由已知得ab b a =+，即()()111=--b a ，由01,01>->-b a ，故01lg )1)(1lg()1lg()1lg(==--=-+-b a b a 。
1998*2、若非空集合{}5312|-≤≤+=a x a x A ,{}223|≤≤=x x B ，则能使B A A ⊆成立的所有a 的集合是( )A.{}91|≤≤a aB. {}96|≤≤a aC. {}9|≤a aD.φ◆答案：B★解析：即B A ⊆，φ≠A ．所以2253123≤-≤+≤a a ，解得96≤≤a 。
故选B ．1998*3、各项均为实数的等比数列{}n a 前n 项和记为n S ，若1010=S ,7030=S ，则40S 等于( )A. 150B.200-C. 150或200-D. 400或50- ◆答案：A★解析：首先1≠q ，于是()1011101=--q q a ，()7011301=--q qa，两式相除得061020=-+q q 得210=q ，1011=-qa ，所以()1501210440=-⨯=S1998*4、设命题P :关于x 的不等式01121>++c x b x a 与02222>++c x b x a 的解集相同；命题Q :212121c c b b a a ==。
则命题Q （ ） A.是命题P 的充分必要条件 B.是命题P 的充分条件但不是必要条件C.是命题P 的必要条件但不是充分条件D.既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件◆答案：D★解析：若两个不等式的解集都是R ，否定A 、C ，若比值为1-，否定A 、B ，选D1998*5、设G F E ,,分别是正四面体ABCD 的棱CD BC AB ,,的中点，则E FG C --的大小是( ) A.36arcsin B. 33arccos 2+π C. 2arctan 2-πD. 22arctan -π◆答案：DB D★解析：取BD AD ,中点M H ,，则BD FG EH ////， 于是EH 在平面EFG 上．设P FG CM = ，Q EH AM = ，则Q P ,分别 为AM CM ,中点，且AC PQ //∵BD AC ⊥，得FG PQ ⊥，FG CP ⊥, 所以CPQ ∠是二面角E FG C --的平面角． 设2=AC ，则3==MA MC ，33cos =∠ACM ．故选D ．1998*6、在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是( )A.57B.49C.43D.37◆答案：B★解析：注意到8个顶点中无3点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心．⑴ 体中心为中点：4对顶点，6对棱中点，3对面中心；共13⑵ 面中心为中点：2464=⨯组； ⑶ 棱中点为中点：12个．共49个，选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。