八年级下册数学教案有教学反思(人教版)
16.1二次根式第1 课时二次根式的概念1.能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3 的正方形的边长为，面积为S 的正方形的边长为．(2)一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m) 满足关系h＝5t2，如果用含有h 的式子表示t，则t＝．问题2：上面得到的式子3，S，65，h分别表示什么意义？它们有什么共同特征？5二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1) 11；(2) －5；(3) （－7）2；3(4)13；(5) 1－1；(6) 3－x(x≤3)；5 6(7) －x(x≥0)；(8) （a－1）2；(9) －x2－5；(10) （a－b）2(ab≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，1－1＝1，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0) 5 6 30中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围4－3x－ － － 求使下列式子有意义的 x 的取值范围．1 3－x (1) ；(2) ； (3) x ＋5 4－3x x －2 x解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0 且分母不等于 0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得 4－3x ＞0，解得 x ＜4.当 x ＜4时， 1 3 3 (2)－x ≥0，解得 x ≤3 且 x ≠2.当 x ≤3 且 x ≠2－2≠0，x(3)＋5≥0，解得 x ≥－5 且 x ≠0.当 x ≥－5 且 x ≠0≠0，x 方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1) 如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】 利用二次根式的非负性求解(1)已知 a 、b 满足 2a ＋8＋|b － 3|＝0，解关于 x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1； (2) 已知 x 、4，求 y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得 x 的值，进而求得 y 的值，进而可求出 y x 的平方根．a ＋8＝0， ＝－4，解：(1)根据题意得0， 则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得 x ＝4；(2)为±8.－3≥0， －x ≥0，解得 x ＝3.则 y ＝4，故 y x ＝43＝64，± 64＝±8，∴y x 的平方根方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为 0，这几个非负数都为 0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．1＋ 1 1 ＝11；1 1＋12 1＋ 1 1 ＝11；2 2＋1 6 1＋ 1 1 ＝1 1 .3 3＋1 12 (1)(2) 请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含 n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是 1，第二个加数是个分数， 设分母为 n ，第三个分数的分母就是 n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是 1，分数部分的分子也是 1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．.有意义；(2) 1＋＋－解：(1) 1＋1＋1＝1＋1 1＝11；42 52 4 4＋1 201 1 1 1 1＝1＋－＝1 (n 为正整数)．n2 （n＋1）2n n＋1 n（n＋1）方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1.二次根式的定义一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．2.二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．a )2＝a 进行计算第 2 课时 二次根式的性质1. 经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点)2. 了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点)一、情境导入a 2等于什么？我们不妨取 a 的一些值，如 2，－2，3，－3，…分别计算出对应的 a 2的值，看看有什么规律．22＝ 4＝2； （－2）2＝ 4＝2； 32＝ 9＝3； （－3）2＝ 9＝3；… 你能概括一下 a 2的值吗？ 二、合作探究探究点一：二次根式的性质【类型一】 利用 a 2＝|a |、( 化简： (1)( 5)2；(2) 52；(3) （－5）2；(4)(－ 5)2. 解析：根据二次根式的性质进行计算即可．解 ：(1)( 5)2＝5；(2) 52＝5；(3) （－5）2＝5；(4)(－ 5)2＝5.方法总结：利用 a 2＝|a |进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．【类型二】 在实数范围内分解因式．(1)a 2－13；(2)4a 2－5；(3)x 4－4x 2＋4.解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个 式子在实数范围内分解因式．解 ：(1)a 2－13＝a 2－( 13)2＝(a ＋ 13)(a － 13)； (2)4a 2－5＝(2a )2－( 5)2＝(2a ＋ 5)(2a － 5)； (3)x 4－4x 2＋4＝(x 2－2)2＝[(x ＋ 2)(x － 2)]2＝(x ＋ 2)2(x － 2)2.方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分 解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式．探究点二：二次根式性质的综合应用【类型一】 结合数轴利用二次根式的性质求值或化简已知实数 a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简： （a ＋1）2＋2 （b －1）2－|a－b |.解析：根据数轴确定 a 和 b 的取值范围，进而确定 a ＋1、b －1 和 a －b 的取值范围，再( a )2＝a (a ≥0)的有关应用1 2 3 10 根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．解：从数轴上 a ，b 的位置关系可知－2＜a ＜－1，1＜b ＜2，且 b ＞a ，故 a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0.原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3. 方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母 的取值范围和熟练运用二次根式的性质．【类型二】 二次根式的化简与三角形三边关系的综合已知 a 、b 、c 是△ABC 的三边长， 化简 （a ＋b ＋c ）2 （b ＋c －a ）2 ＋（c －b －a ）2.解析：根据三角形的三边关系得出 b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c － a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结 合二次根式的性质进行化简．【类型三】 利用分类讨论的思想对二次根式进行化简已知 x 为实数时，化简 x 2－2x ＋1＋ x 2.解析：根据 a 2＝|a |，结合绝对值的性质，将 x 的取值范围分段进行讨论解答． 解： x 2－2x ＋1＋ x 2＝ （x －1）2＋ x 2＝|x －1|＋|x |.当 x ≤0 时，x －1＜0，原式＝1－x ＋(－x )＝1－2x ；当 0＜x ≤1 时，x －1≤0，原式＝1－x ＋x ＝1；当 x ＞1 时，x －1＞0，原式 ＝x －1＋x ＝2x －1.方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子 a 2＝|a |，当 a 的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．【类型四】 二次根式的规律探究性问题细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．( 1)2＋1＝2，S 1＝ 1，2 ( 2)2＋1＝3，S 2＝ 2，2 ( 3)2＋1＝4，S 3＝ 3.2(1) 请用含 n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2) 推算出 OA 10 的长；(3)求出 S 2＋S 2＋S 2＋…＋S 2的值．解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第 n 个三角形的一直角边长就是 n ，另一条直角边长为 1，然后利用面积公式可得．解：(1)( n )2＋1＝n ＋1，S n ＝ n(n 是正整数)；22 23 2 －n ÷n ＋n 立方 －1(2)∵OA 1＝ 1，OA 2＝ 2，OA 3＝ 3，…∴OA 10＝ 10；(3)S 2＋S 2＋S 2＋…＋S 2 ＝2 2 2 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ (1＋2＋3＋…＋10)＝55123104 4方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认 真观察、仔细思考，善用联想．探究点三：代数式的定义及简单应用按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是．→ → → → → 解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，根据程序所给的运算可得输出的代数式为n 3＋n －n .故答案为n 3＋nn . n n方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．三、板书设计1．二次根式的性质 1：( a )2＝a (a ≥0)； 2. 二次根式的性质 2： a 2＝a (a ≥0)． 3. 代数式的定义用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母 连接起来的式子叫做代数式．新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学 生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的 合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和 生活．1 2 10 2答案n 2 .6b 2 a16.2二次根式的乘除第 1 课时 二次根式的乘法1. 掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质；(重点)2. 会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)一、情境导入 计算：(1) 4× 25 与 4×25； (2) 16× 9 与 16×9. 思考：对于 2× 3与 2×3呢？从计算的结果我们发现 2× 3＝ 2×3，这是什么道理呢？ 二、合作探究探究点一：二次根式的乘法【类型一】 二次根式的乘法法则成立的条件式子 x ＋1· 2－x ＝ （x ＋1）（2－x ）成立的条件是()A ．x ≤2B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2＋1≥0，解析： 2－x ≥0，解得－1≤x ≤2.故选 C.方法总结：运用二次根式的乘法法则： a · b ＝ ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．【类型二】 二次根式的乘法运算计算：(1) 3× 5；(2) 1× 64；4(3)6 27×(－3 3)； －2 3(4) 418ab · a .解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化 为最简形式．解 ：(1) 3× 5＝ 3×5＝ 15；6b 2 a18ab ·6b 2 a 3 · 36×3b 3 (2)1× 64＝ 1×64＝ 16＝4； 4 4(3)6 27×(－3 3)＝－18 27×3＝－18 81＝－18×9＝－162； －233 2 3 9b (4) 18ab ·a ＝－ · · ＝－ ＝－ ·6b 3b ＝－ 3b . 44 a 2a 2a a方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开 方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．探究点二：积的算术平方根的性质化简： (1) （－36）×16×（－9）；(2) 362＋482； (3) x 3＋6x 2y ＋9xy 2.解析：主要运用公式 ab ＝ a · b (a ≥0，b ≥0)和 a 2＝a (a ≥0)对二次根式进行化简． 解 ： (1) （－36）×16×（－9） ＝ 36×16×9 ＝ 62×42×32 ＝ 62 × 42 × 32 ＝ 6×4×3＝72；(2) 362＋482 ＝ （12×3）2＋（12×4）2 ＝ 122×（32＋42） ＝ 122 × 52 ＝ 12×5＝ 60；(3) x 3＋6x 2y ＋9xy 2＝ x （x ＋3y ）2＝ （x ＋3y ）2· x ＝|x ＋3y | x .方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简． 探究点三：二次根式乘法的综合应用小明的爸爸做了一个长为 588πcm ，宽为 48πcm 的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算． 解：设圆的半径为 r cm.因为矩形木相框的面积为 588π× 48π＝168π(cm 2)，所以πr 2＝ 168π，r ＝2 42cm(r ＝－2 42舍去)．答：这个圆的半径是 2 42cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想． 三、板书设计1．二次根式的乘法法则： a · b ＝ ab (a ≥0，b ≥0) 2．积的算术平方根： ab ＝ a · b (a ≥0，b ≥0)在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利 用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小 组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助 于学生合作精神的培养．；36＝49；9 ＝16 91612 35 54 14 5÷1第2 课时二次根式的除法1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点)2.能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？36(1) ＝．499(2) ＝．1636；9 .49 16二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】二次根式的除法运算计算：(3)；(2)－÷；－5；(4) 5÷.解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．0.76(1) ＝0.19＝4＝2；(2)－2 5＝－12÷5＝－5×54＝－18＝－3 2；3 54 3 54 3 5(3)6a2b＝6a2b＝3a；2ab－52ab＝－5÷59＝－5×1×5＝－1×5＝－1.5 5 9 5 3 3方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．【类型二】二次根式的乘除混合运算计算：3649(1)0.760.196a2b2ab0.760.19(4) 5÷145解：3c 34a 4b 23c 3 4a 4b 2若×× × (1)945÷(2)a 2· ab 9b 2.÷a解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．解：(1)原式＝9 1 3 18 3； 3 2 2a b (2)原式＝a ·b ＝ a .3 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要 注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．探究点二：商的算术平方根的性质a a ＝ ，则 a 的取值范围是( ) 2－a 2－aA ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0≥0， 解析：－a ＞0，解得 0≤a ＜2.故选 C.方法总结：a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(2)(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解： 4＝ ；(2)＝ ＝ c 33c . 2a 2b 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数 不含分母，从而化为最简二次根式．探究点三：最简二次根式在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．(1) 45；(4) 0.5；2 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．解：(1) 45＝3 5，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；32 二次根式；3c 3 4a 4b 2(4) 0.5＝1 2(5) 14＝92，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；23 5＝5 5 5方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．探究点四：二次根式除法的综合运用座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2πl ，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g＝9.8 米/秒2，假若一台座钟g摆长为0.5 米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1 分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T＝2π0.51.4260 60≈42(次)，∴在 1 分钟内，该座钟大约发出了42 次滴答声．≈9.8，＝T 1.42方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．三、板书设计1.二次根式的除法运算2.商的算术平方根3.最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展．＝16.3二次根式的加减第 1 课时 二次根式的加减1. 会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点)2. 熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)一、情境导入小明家的客厅是长 7.5m ，宽 5m 的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为 8m 2 和 18m 2 的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：被开方数相同的最简二次根式a＋b 已知最简二次根式 2a ＋b 与 3a －4能够合并同类项，求 a ＋b 的值．解析：利用最简二次根式的概念求出 a ，b 的值，再代入 a ＋b 求解即可．a ＋b 解：∵最简二次根式 2a ＋b 与 3a －4能够合并同类项，∴a ＋b ＝2，2a ＋b ＝3a －4，解得 a ＝3，b ＝－1，∴a ＋b ＝3＋(－1)＝2.方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念 建立方程或方程组求解．探究点二：二次根式的加减【类型一】 二次根式的加减运算计算： 12－ 1 －( 2)2＋|2－ 3|.3解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式．解：原式＝2 3－ 3 32＋2－ 3＝ 2－1－1 3 3＝2 3. 3 方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同 的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．【类型二】 二次根式的化简求值÷ ＝ 先化简，再求值：a 2－b 2 a － a，其中 a ＝2＋ 3，b ＝2－ 3. 解析：先将原式化为最简形式，再将 a 与 b 的值代入计算即可求出．（a ＋b ）（a －b ） 解：原式＝ a 2－2ab ＋b 2 ÷ ＝ （a ＋b ）（a －b ） a · ＝ a ＋b .当 a ＝2 a a a （a －b ）2 a －b ＋ 3，b ＝2－ 3时，原式＝2＋ 3＋2－ 3＝ 4 2 3.2＋ 3－2＋ 3 2 3 3方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度 太大，缺少必要的步骤易造成错解．【类型三】 二次根式加减运算在实际生活中的应用母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为 800cm 2，另一张面积为 450cm 2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有 1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带( 2≈1.414，结果保留整数)?解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长． 解： 镶壁画所用的金色细彩带的长为： 4×( 800 ＋ 450 ) ＝ 4×(20 2 ＋ 15 2 ) ＝140 2≈197.96(cm)．因为 1.2m ＝120cm ＜197.96cm ，所以小号的金色细彩带不够用.197.96 －120＝77.96≈78(cm)，即还需买 78cm 的金色细彩带．方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与 结果的要求．三、板书设计1. 被开方数相同的最简二次根式2. 二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同 的二次根式进行合并．在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在 例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．2ab －b 2 a1 3 3 第2 课时 二次根式的混合运算1. 会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2. 正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为 2 2cm ，4 3cm ，高为 6cm ，那么它的面积是多少？ 毛毛是这样算的：梯形的面积：1(2 2＋4 3)× 6＝( 2＋2 3)× 6＝ 2× 6＋2 3× 6＝ 2×6＋2 18＝ 22 3＋6 2(cm 2)．他的做法正确吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】 二次根式的四则运算计算：(1)(2) ×9 3 12－2 1＋ 3 ； 2÷2 3＋ ；(3) 2－( 3＋2)÷ 3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算， 然后进行加法运算．解：(1)原式＝1×9× 8× 1 ×5＝1×9×2 2＝ 2；2 3 45 6 3－2 3＋4 3 2 9 1 28 3 11 14 1 (2) 原式＝ 3 ÷2 3＋ ＝3 × ＋ ＝ 3 2 3 3 3 ＋ ＝5； 3(3) 原 式 ＝ 2－( 3＋2)÷ 1 ＝ 2－ 3＋2＝ 2－1－2 3.33 方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式 的乘除运算，然后合并同类二次根式．探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算：(1)( 2＋ 3－ 6)( 2－ 3＋ 6)；(2)( 2－1)2＋2 2( 3－ 2)( 3＋ 2)；6－13－3 (3) 3 2 4 ×(－2 6)．1 2 22 3 45 1 ÷ 3 5 48 3 246 ＋ 5 ＋ 5 1＋ 5 5 ＋ 5 5 ＋ 5 － 5 2 － 5 5 时， 解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解 ：(1) 原 式 ＝[ 2＋( 3－ 6)][ 2－( 3－ 6)]＝( 2)2－( 3－ 6)2＝2－(9－2 18)＝2－9 ＋6 2＝－7＋6 2；(2)原式＝2－2 2＋1＋2 2×(3－2)＝2－2 2＋1＋2 2＝3；6－ 6－3 2 (3) 原式＝ 6 2 ×(－2 6)＝－ 36×(－2 6)＝8. 方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次 根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型对 于 任意 的 正 数 m 、 n 定 义 运算 ※ 为 m ※n ＝(3※2)×(8※12)的结果为( ) A ．2－4 6 B ．2 C ．2 5 D ．20m － n （m ≥n ）， 计 算 m ＋ n （m <n ）.解析：∵3＞2，∴3※2＝ 3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝ 8＋ 12＝2( 2＋ 3)，∴(3※2)×(8 ※12)＝( 3－ 2)×2( 2＋ 3)＝2.故选 B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是 解题的关键．【类型二】 二次根式运算的拓展应用请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约 1170～1250)是意大利数学家， 他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质， 在实际生活中也有广泛的应用． 斐波那契数列中的第 n 个数可以用 n 1 2 － 2 表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务： 请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第 1 个数和第 2 个数．解析：分别把 n ＝1、2 代入式子化简即可．1 n 1 解：第 1 个数，当 n ＝1 1 2－ 2 ＝ 1 [ － ]＝ 1 × 5＝1； 51 n 1 第2 个 数 ， 当 n ＝ 2 时 ， 1 2－ 2 5 2 ＝ 1 2 1 2 1 2 － 2 ＝1＋ 5 1－ 5 1＋ 5 1 1 ＋ 2 2 52 － 2 ＝ 1 ×1× 5＝1. 方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解 决问题的关键．三、板书设计15 1 － 5 n － 5 n 1－ 5 5 － 5 n1.二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．2.运用乘法公式和运算律进行计算在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.217.1勾股定理第 1 课时 勾股定理1. 经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2. 掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3. 了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一， 但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】 直接运用勾股定理 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，CD ⊥AB 于 D ，求：(1) AC 的长；(2) S △ABC ；(3) CD 的长．解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，根据勾股定理即可求出 AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出 S △ABC ；(3)根据面积公式得到 CD ·AB ＝ BC ·AC 即可求出 CD .解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，∴AC ＝ AB 2－BC 2＝12cm ；(2) S 1 1 △ABC ＝ CB ·AC ＝ ×5×12＝30(cm )； 2 2(3) ∵S ABC ＝1AC ·BC ＝1CD ·AB ，∴CD ＝AC ·BC ＝60cm. 2 2 AB 13方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示 △出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可． 【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高 AD ＝12，试求△ABC 的周长．解析：本题应分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1) 当△ABC 为锐角三角形时，如图①所示．在Rt △ABD 中，BD ＝ AB 2－AD 2＝ 152－122 ＝9.在 Rt △ACD 中，CD ＝ AC 2－AD 2＝ 132－122＝5，∴BC ＝5＋9＝14，∴△ABC 的周长为 15＋13＋14＝42；(2) 当△ABC 为钝角三角形时，如图②所示．在Rt △ABD 中，BD ＝ AB 2－AD 2＝ 152－122 ＝9.在 Rt △ACD 中，CD ＝ AC 2－AD 2＝ 132－122＝5，∴BC ＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为 15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为 42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为 32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符 合题意．【类型三】 勾股定理的证明探索与研究：方法 1：如图：对任意的符合条件的直角三角形 ABC 绕其顶点 A 旋转 90°得直角三角形 AED ，所以 ∠BAE ＝90°，且四边形 ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形 ABFE 的面积相等，而四边形 ABFE 的面积等于 Rt △BAE 和 Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法 2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的 Rt △BEA 和 Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？ 解析：方法 1：根据四边形 ABFE 面积等于 Rt △BAE 和 Rt △BFE 的面积之和进行解答； 方法 2：根据△ABC 和 Rt △ACD 的面积之和等于 Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答． 解：方法 1：S ACFD ＝S ABFE ＝S BAE ＋S BFE ，即 b 2＝1c 2＋1(b ＋a )(b －a )，整理得 正方形 四边形 △ △ 2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法 2：此图也可以看成 Rt △BEA 绕其直角顶点 E 顺时针旋转 90°，再向下平移得到．∵S ABCD ＝S ABC ＋S ACD ，S ABCD ＝S ABD ＋S BCD ，∴S ABC ＋S ACD ＝S ABD ＋S BCD ，即 1b 2 四边形 △ △ 四边形 △ △ △ △ △ △ 2 22＋1ab ＝1c 2＋1a (b －a )，整理得 b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2. 2 2 2方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用 大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A 、B 、C 、D 的面积分别为 2，5，1，2.则最大的正方形 E 的面积是 ．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形 A 、B 的面积和为 S 1，正方形 C 、D 的面积和为 S 2，S 1＋S 2＝S 3，即 S 3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为 10.方法总结：能够发现正方形 A 、B 、C 、D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边， 根据勾股定理最终能够证明正方形 A 、B 、C 、D 的面积和即是最大正方形的面积．三、板书设计1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为 a ，b ，斜边长为 c ，那么 a 2＋b 2＝c 2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾 股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．。
人教八年级下册数学-函数教案与教学反思
第2课时函数1．了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系；(重点)2．确定函数中自变量的取值范围．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量．当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？从今天开始，我们就研究和此有关的问题——函数．二、合作探究探究点一：函数【类型一】函数的定义下列变量间的关系不是函数关系的是( )A．长方形的宽一定，其长与面积B．正方形的周长与面积C．等腰三角形的底边长与面积D．圆的周长与半径解析：A中，长方形的宽一定．它是常量，而面积＝长×宽，长与面积是两个变量，若长改变，则面积也改变，故A选项是函数关系；B中，面积＝(周长4)2，正方形的周长与面积是两个变量，16是常量，故B 选项是函数关系；C 中，面积＝12×底边上的高×底边长，底边长与面积虽然是两个变量，但面积公式中还有底边上的高，而这里高也是变量，有三个变量，故C 选项不是函数关系；D 中，周长＝2π×半径，圆的周长与其半径是函数关系．故选C.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应关系．【类型二】 确定实际问题中函数解析式以及自变量下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．(1)一个弹簧秤最大能称不超过10kg 的物体，它的原长为10cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1kg 物体，弹簧伸长0.5cm ；(2)设一长方体盒子高为30cm ，底面是正方形，底面边长a (cm)改变时，这个长方体的体积V (cm3)也改变．解析：(1)根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；(2)根据长方体的体积公式列出函数式．解：(1)y ＝10＋12x (0＜x ≤10)，其中x 是自变量，y 是自变量的函数； (2)V ＝30a 2(a >0)，其中a 是自变量，V 是自变量的函数．方法总结：函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．探究点二：自变量的值与函数值【类型一】 根据解析式求函数值根据如所程序计算函数值，若输入x 的值为52，则输出的函数值为( )A.32B.25C.425D.254解析：∵x＝52时，在2≤x≤4之间，∴将x＝52代入函数y＝1x，得y＝25.故选B方总结：根据所给的自变量的值结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．类型二根据实际问题求函数值小强想给爷爷买双鞋，爷爷说他的脚长25.5cm，若用x(单位：cm)表示脚长，用y(单位：码)表示鞋码，则有2x－y＝10，根据上述关系式，小强应给爷爷买________码的鞋解析：用x表示脚，用y表示码，则有2x－y＝10，而x＝25.5，则51－y ＝10，解得y＝41.方法总结：当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变x的取值范围(1)y＝2x－3；(2)y＝31－x；(3)y＝4－x；(4)y＝x－1 x－2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1；(3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎨⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2. 方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】 确定实际问题中函数解析式的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经t 分钟时，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？(3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)当7：55时，t ＝55－30＝25(分钟)，将t ＝25分钟代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t ＝25分钟时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y ＝0时，200－2t ＝0，解得t ＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．三、板书设计1．函数的概念2．函数自变量的取值范围使函数有意义的自变量取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．3．函数值在教学过程中，注意通过对以前学过的“常量与变量”的回顾与思考，提供生动有趣的问题情境，激发学生的学习兴趣；并通过层层深入的问题设计，引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动，在活动中归纳、概括出函数的概念；并通过师生交流、生生交流、辨析识别等加深学生对函数概念的理解．【素材积累】1、走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤摘水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。
人教版八年级下册数学17、1勾股定理教学设计及教学反思
验证勾股定理教学设计及教学反思【教学目标】(1)知识目标：经历及验证勾股定理的过程，理解勾股定理的证明方法,能用图形、文字和符号表达来描述勾股定理的内容。
(2)技能目标：在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在验证定理过程中，发展学生归纳、概括能力。
(3)情感与态度：培养学生积极参与、合作交流的意识，在探索定理过程中，体验获得成功的喜悦，锻炼克服困难的勇气。
【重点难点】重点：验证和证明勾股定理难点：通过拼图，利用图形等面积方法探索勾股定理实验准备64个全等的等腰直角三角形 64个全等的非等腰直角三角形128个全等的直角三角形两条直角边长分别为a、b，斜边长为c, 48个边长分别为a、b、c的正方形【教学过程设计】(一)问题与情景中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，有着极为广泛的应用。
勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的实际生活，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，因此不断出现新的证法，同学们想不想亲自验证呢？今天我们就用拼图的方法来证明勾股定理（二）实验验证勾股定理实验1 利用卡纸剪出如图四个全等的等腰直角三角形使它们的两条直角边长均为a，斜边长为c，你能用剪出的四个全等的等腰直角三角形拼出一个正方形的图形吗？若能拼出你能利用拼出的图形面积验证勾股定理吗？实验2利用卡纸剪出如图四个全等的非等腰直角三角形，使它们的两条直角边长均为a，b。
斜边长为c，你能用剪出的四个三角形拼出一个正方形吗？若能拼出你能利用拼出的图形面积验证勾股定理吗？思考:大正方形面积怎么求？实验3 剪8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再剪三个边长分别为a 、b 、c的正方形，你能用它们拼成两个边长都是a + b 的正方形吗？若能，你能利用拼出的两个正方形图形面积相等来验证勾股定理吗？ 实验4：以a 、b 为直角边，以c 为斜边剪两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上。
2024年八年级下册数学教师教学反思总结(2篇)
2024年八年级下册数学教师教学反思总结我是一名八年级下册数学教师，在过去的一个学期里，我遇到了一些挑战和困扰，同时也有许多收获和成长。
通过反思和总结，我希望能够找出问题并改进教学方法，为学生的学习提供更好的帮助。
一、教学准备不足在教学过程中，我发现自己有时没有做好充分的教学准备。
一些知识点的理解不够深入，导致我无法给学生提供清晰明了的解释和案例。
另外，我在安排教学内容和时间安排方面也存在一定的问题。
有时候我给了学生太多的练习题，而忽视了教学内容的深度和思考能力的培养。
为了解决这个问题，我计划提前制定教学计划，并进行详细的备课。
我会预先理解并掌握每个知识点的核心内容和解题方法，以便能够给学生提供更好的指导。
同时，在教学过程中，我也会注意留出足够的时间进行深入的讲解和案例解析，以帮助学生巩固自己的知识和技能。
二、教学方法不够多样化在上个学期里，我注意到我的教学方法有些单一。
主要以讲解和练习为主，缺乏足够的互动和实践。
这样的教学方法容易使学生感到枯燥乏味，学习兴趣下降。
为了改进我的教学方法，我计划引入更多的互动和实践活动。
例如，我会尝试小组讨论的形式，让学生之间进行交流和合作，共同解决问题。
我还打算利用多媒体和互联网资源，为学生呈现丰富多样的教学内容。
通过这些方式，我相信学生的学习兴趣和参与度会显著提高。
三、学生问题忽视不及时在教学过程中，我有时会忽视学生的问题，没有及时给予解答和指导。
这样会导致学生的困惑和不理解进一步加深，对学习产生消极影响。
为了弥补这个问题，我打算在教学过程中更加关注学生的反馈和问题。
我会鼓励学生积极发言，并提供一个良好的沟通环境。
同时，我也会主动和学生进行交流，了解他们对学习的态度和困惑的地方。
对于学生的问题，我会及时给予解答和指导，帮助他们更好地理解和掌握知识。
四、学生自主学习能力培养不够在教学过程中，我发现学生的自主学习能力较弱。
他们习惯依赖老师的指导和要求，缺乏主动性和独立思考能力。
第十七章勾股定理(教案)2023-2024学年人教版数学八年级下册
6.增强学生的合作交流意识，通过小组讨论和合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通技巧。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表述及其在直角三角形中的应用，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
b.通过实际案例和练习题，指导学生识别直角三角形的特征，强调在实际问题中如何定位直角三角形，并准确应用勾股定理。
c.对于勾股定理逆定理的理解，教师可以通过构造非直角三角形和直角三角形的对比，让学生通过观察和分析，总结出直角三角形的特性，从而掌握判断方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量旗杆的高度或者计算建筑物与地面的距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述及其计算方法。对于难点部分，如定理的证明，我会通过直观的图形演示和逐步的逻辑推理来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
人教版数学八年级下册16.1.2二次根式的性质(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
-复杂化简：对于\( \sqrt{\frac{24}{3}} \)的化简，学生可能会直接得到\( \sqrt{8} \)，而忽视\( \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} \)中的正确步骤。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
3.培养学生的数学建模能力：引导学生将实际问题转化为二次根式的数学模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的数学抽象素养：通过对二次根式性质的探究，使学生理解数学概念的本质，提高数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的性质：理解并掌握二次根式的乘法、除法、平方和开方性质，能熟练应用于解题。
其次，我发现有些学生对乘法性质和除法性质容易混淆，尤其是在应用时。为了帮助学生更好地掌握这两个性质，我计划在下一节课中增加一些对比练习，让学生通过实际操作，感受两者之间的区别和联系。
此外，关于二次根式的化简，我觉得在讲解过程中需要更加注重步骤的详细解释。有些学生对于多层嵌套的二次根式化简感到困惑，我将在以后的课堂中多举例，并引导学生逐步分解和化简，以提高他们的解题能力。
-二次根式的化简：掌握运用性质对二次根式进行化简的方法，提高解题效率。
-实际问题的建模：学会将实际问题转化为二次根式的数学模型，培养数学应用能力。
2018-2019学年人教版八年级数学第二学期全册教案(含教学反思)
16．1 二次根式第1课时 二次根式的概念1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．问题2：上面得到的式子3，S ，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？ 二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)313；(5)15－16；(6)3－x (x ≤3)； (7)－x (x ≥0)；(8)（a －1）2；(9)－x 2－5； (10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围．(1)14－3x；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义；(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－xx －2有意义；(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】(1)x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；(2)已知x 、4，求y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112；②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116； ③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用 含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120； (2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）(n 为正整数)． 方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a 有意义⇔a ≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．第2课时 二次根式的性质1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点) 2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点)一、情境导入a 2等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a 2的值，看看有什么规律．22＝4＝2；（－2）2＝4＝2；32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；…你能概括一下a2的值吗？二、合作探究探究点一：二次根式的性质【类型一】化简：(1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2.解析：根据二次根式的性质进行计算即可．解：(1)(5)2＝5；(2)52＝5；(3)（－5）2＝5；(4)(－5)2＝5.方法总结：利用a2＝|a|进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．【类型二】在实数范围内分解因式．(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4.解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．解：(1)a2－13＝a2－(13)2＝(a＋13)(a－13)；(2)4a2－5＝(2a)2－(5)2＝(2a＋5)(2a－5)；(3)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝[(x＋2)(x－2)]2＝(x＋2)2(x－2)2.方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式．探究点二：二次根式性质的综合应用【类型一】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（a＋1）2＋2（b－1）2－|a－b|.解析：根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b －1＞0，a－b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．【类型二】已知（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．【类型三】已知x解析：根据a 2＝|a |，结合绝对值的性质，将x 的取值范围分段进行讨论解答． 解：x 2－2x ＋1＋x 2＝（x －1）2＋x 2＝|x －1|＋|x |.当x ≤0时，x －1＜0，原式＝1－x ＋(－x )＝1－2x ；当0＜x ≤1时，x －1≤0，原式＝1－x ＋x ＝1；当x ＞1时，x －1＞0，原式＝x －1＋x ＝2x －1.方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子a 2＝|a |，当a 的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．【类型四】 二次根式的规律探究性问题细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．(1)2＋1＝2，S 1＝12， (2)2＋1＝3，S 2＝22， (3)2＋1＝4，S 3＝32.(1)请用含n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n 个三角形的一直角边长就是n ，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得．解：(1)(n )2＋1＝n ＋1，S n ＝n2(n 是正整数)； (2)∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…∴OA 10＝10；(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫322＋…＋⎝⎛⎭⎫1022＝14(1＋2＋3＋…＋10)＝554.方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想．探究点三：代数式的定义及简单应用按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是____________．n →立方→＋n →÷n →－n →答案解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，根据程序所给的运算可得输出的代数式为n 3＋n n －n .故答案为n 3＋nn－n .方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．三、板书设计 1．二次根式的性质1：(a )2＝a (a ≥0)； 2．二次根式的性质2：a 2＝a (a ≥0)． 3．代数式的定义用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和生活．16．2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法1．掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质；(重点) 2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)一、情境导入计算：(1)4×25与4×25； (2)16×9与16×9. 思考：对于2×3与2×3呢？从计算的结果我们发现2×3＝2×3，这是什么道理呢？ 二、合作探究探究点一：二次根式的乘法( )A ．x ≤2B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≥0，解得－1≤x ≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．【类型二】 二次根式的乘法运算计算：(1)3×5；(2)14×64； (3)627×(－33)； (4)3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a . 解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．解：(1)3×5＝3×5＝15； (2)14×64＝14×64＝16＝4； (3)627×(－33)＝－1827×3＝－1881＝－18×9＝－162； (4)3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a ＝－34·2a ·18ab ·6b 2a ＝－32a ·36×3b 3＝－32a ·6b 3b ＝－9b a 3b .方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．探究点二：积的算术平方根的性质化简：(1)（－36）×16×（－9）； (2)362＋482； (3)x 3＋6x 2y ＋9xy 2.解析：主要运用公式ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)和a 2＝a (a ≥0)对二次根式进行化简． 解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；(2)362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；(3)x3＋6x2y＋9xy2＝x（x＋3y）2＝（x＋3y）2·x＝|x＋3y|x.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．探究点三：二次根式乘法的综合应用小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(cm2)，所以πr2＝168π，r＝242cm(r＝－242舍去)．答：这个圆的半径是242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．三、板书设计1．二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)2．积的算术平方根：ab＝a·b(a≥0，b≥0)在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．第2课时二次根式的除法1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点) 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？(1)3649＝________；3649＝________．(2)916＝________；916＝________．3649________3649；916________916. 二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】 二次根式的除法运算计算：(1)0.760.19；(2)－123÷554； (3)6a 2b 2ab；(4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145. 解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．解：(1)0.760.19＝0.760.19＝4＝2； (2)－123÷554＝－123÷554＝－53×545＝－18＝－32； (3)6a 2b 2ab＝6a 2b2ab＝3a ； (4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145＝－5÷595＝－5×15×59＝－15×53＝－13. 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．【类型二】 二次根式的乘除混合运算计算：(1)945÷3212×32223； (2)a 2·ab ·bb a÷9b 2a. 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算． 解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183；(2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b3a .方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．探究点二：商的算术平方根的性质A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179； (2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点三：最简二次根式在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．(1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145. 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式； (2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； (3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式； (5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 探究点四：二次根式除法的综合运用座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T ＝2πlg，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T＝2π0.59.8≈1.42，60T＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．三、板书设计1．二次根式的除法运算2．商的算术平方根3．最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展．16．3二次根式的加减第1课时二次根式的加减1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点)2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)一、情境导入小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：被开方数相同的最简二次根式已知最简二次根式2a ＋b 与a ＋b 3a －4能够合并同类项，求a ＋b 的值．解析：利用最简二次根式的概念求出a ，b 的值，再代入a ＋b 求解即可．解：∵最简二次根式2a ＋b 与a ＋b 3a －4能够合并同类项，∴a ＋b ＝2，2a ＋b ＝3a －4，解得a ＝3，b ＝－1，∴a ＋b ＝3＋(－1)＝2.方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．探究点二：二次根式的加减【类型一】 二次根式的加减运算计算：12－13－(2)2＋|2－3|. 解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式．解：原式＝23－33－2＋2－3＝⎝⎛⎭⎫2－13－13＝233. 方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．【类型二】 二次根式的化简求值先化简，再求值：a 2－b 2a ÷⎝⎛⎭⎫a －2ab －b 2a ，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3. 解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b 的值代入计算即可求出．解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）a ÷a 2－2ab ＋b 2a ＝（a ＋b ）（a －b ）a ·a （a －b ）2＝a ＋b a －b.当a ＝2＋3，b ＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423＝233. 方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．【类型三】 二次根式加减运算在实际生活中的应用母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长． 解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为 1.2m ＝120cm ＜197.96cm ，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm 的金色细彩带．方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．三、板书设计1．被开方数相同的最简二次根式2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．第2课时 二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？ 毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】 二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132； (3)2－(3＋2)÷3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2； (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5；(3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233. 方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)；(2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)；(3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)． 解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；(3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型对于任意的正数m 、n 定义运算※为m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m <n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A ．2－46B ．2C ．25D ．20解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．【类型二】 二次根式运算的拓展应用请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n 表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n ＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1；第2个数，当n ＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1. 方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．三、板书设计1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．2．运用乘法公式和运算律进行计算在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.17．1 勾股定理第1课时 勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】 直接运用勾股定理如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，CD ⊥AB 于D ，求：(1)AC 的长；(2)S △ABC ；(3)CD 的长．解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，根据勾股定理即可求出AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S △ABC ；(3)根据面积公式得到CD ·AB ＝BC ·AC 即可求出CD .解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12cm ；(2)S △ABC ＝12CB ·AC ＝12×5×12＝30(cm 2)； (3)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12CD ·AB ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝6013cm. 方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，试求△ABC 的周长．解析：本题应分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明： (1)当△ABC 为锐角三角形时，如图①所示．在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝5＋9＝14，∴△ABC 的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图②所示．在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】 勾股定理的证明探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2. 方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A 、B 的面积和为S 1，正方形C 、D 的面积和为S 2，S 1＋S 2＝S 3，即S 3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.。
人教版八年级数学下册教案：18.2.1矩形的判定
一、教学内容
人教版八年级数学下册教案：18.2.1矩形的判定
1.矩形的定义及性质回顾；
2.矩形判定定理一：有三个角是直角的平行四边形是矩形；
3.矩形判定定理二：对角线相等的平行四边形是矩形；
4.矩形判定定理三：有一个角是直角的菱形是矩形；
5.判定矩形的方法在实际问题中的应用；
-逻辑推理能力：在运用矩形判定定理进行证明或解题时，学生需要具备严密的逻辑推理能力，避免推理过程中的错误。
举例：
a)对于矩形判定定理的运用，可以通过以下步骤帮助学生突破难点：
-通过动画或实物演示，让学生直观感受定理的应用过程。
-引导学生通过已知条件逐步推理，理解判定矩形的关键步骤。
-设计不同难度的练习题，让学生在解题过程中巩固和深化对定理的理解。
b)在空间观念的培养方面：
-利用教具或多媒体展示矩形在二维平面上的位置关系，帮助学生建立空间观念。
-通过实际操作，如制作矩形模型，让学生在实际操作中感受矩形的特点。
c)在逻辑推理能力方面：
-教师在讲解过程中要强调推理的逻辑性和严密性，示范正确的推理方法。
-鼓励学生进行小组讨论，通过交流互相启发，提高逻辑推理能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时0分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形判定在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-设计具有挑战性的问题，引导学生逐步分析、解决问题，培养批判性思维。
初中八年级下册数学教学反思范文(5篇)
初中八年级下册数学教学反思范文（通用5篇）初中八年级下册数学教学反思1在新课程改革背景下的生物课堂教学中，教学生“学会学习“已成为现代教育的重要特征。
预习就是一种行之有效的学习方法，是培育自学力量的有效途径。
现代教学论认为，教学的根本任务之一，就在于培育学生的力量，而培育学生独立猎取学问的自学力量又是其中的重要内容。
然而。
预习又是不少同学所无视的。
如何在教学中指导学生把握预习方法，激发学习动机，提高自学力量而到达教学目的？下面就谈谈我的一些体会。
预习的过程就是自学的过程，就是凭自己已有的综合力量独立地发觉问题、分析问题、解决问题的过程，就是学生独立理解、识记学问的过程。
预习是学习的极为重要的阶段，它的特点是先人一步，它的本质是独立学习。
从这个意义上讲，预习就是学习的第一核心。
因此，课堂教学应紧紧的抓住了这一点，并且高于这一点。
我们在一般教学中的常用的预习就是让学生自己看看课本，或者这节课没事干了让学生预习预习下节课内容。
学生的时间是有限的，而有这么多的学科需要预习，那么该怎样利用有限的时间进展充分的预习1、学生要留意各个学科孰轻孰重，留意时间的安排2、给学生一种预习的思路。
可以给学生提示一些学问点。
3、让课代表抄一下这节课的学习目标4、教师晚自习可以去辅导学生，让学生有一些预习的思路5、保证充分的时间，时间是预习的保证这样，使教师在课堂上讲的时间少了，学生自己学习训练的”时间多了，学生获得了主体地位，课堂教学过程大局部是学生自学过程，符合学生认知学习规律。
真正实现课堂教学以“自主，合作，探究”为主要学习方式。
初中八年级下册数学教学反思2在教学实践中我觉得要提高教学效果，到达教学目的，必需在引导学生参加教学活动的全过程上做好文章：加强学生的参加意识；增加学生的参加时机；提高学生的参加质量；培育学生的参加力量。
一、重视学习动机在教学过程中的鼓励作用，通过激发学生的参加热忱，逐步强化学生的参加意识从教育心理学的角度来说，教师应操纵或掌握教学过程中影响学生学习的各有关变量。
人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.激发学生的自主学习与合作探究：鼓励学生在课堂中积极参与讨论，学会与他人合作探究，培养自主学习和团队协作能力。
本节课将紧扣核心素养目标，关注学生能力的全面发展，提高学生数学学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的定义及其性质：理解二次根式的概念，掌握其性质，如√a（a≥0）。
-二次根式的加减法则：熟练运用加减法则进行同类项合并和不同类项化简，如√a±√a=±2√a。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我尝试了多种方法来帮助学生理解二次根式的加减。首先，通过日常生活中的实例导入新课，让学生感受到数学与生活的紧密联系。在实际操作中，我发现同学们对这个问题产生了浓厚的兴趣，这为后续的学习打下了良好的基础。
在理论介绍环节，我尽量用简洁明了的语言解释二次根式的定义和性质，让学生易于理解。然而，我也注意到，部分学生在理解不同类项的化简和符号处理上还存在一定的困难。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，通过设计更多有针对性的练习和实例，帮助他们突破这个难点。
在新课讲授的案例分析环节，我选取了一个与学生生活密切相关的例子，希望能够让他们更好地体会到二次根式在实际中的应用。从学生的反馈来看，这个案例确实帮助他们加深了对二次根式加减的理解。但在实践活动和小组讨论中，我也发现部分学生在将理论知识应用到实际问题解决时，仍然显得有些吃力。这可能是因为他们对二次根式的掌握还不够熟练，需要在今后的教学中加强练习。
人教版数学八年级下册16.1二次根式(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算非整数的平方根的情况？”（例如，计算一个边长为$\sqrt{5}$的正方形的面积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
4.培养学生的数学抽象素养：让学生从具体的二次根式实例中抽象出一般规律，提升对数学概念的理解和抽象思维能力。
5.激发学生的数学探究精神：鼓励学生在二次根式学习中积极思考、探索，培养他们的创新意识和探究精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次根式的定义：理解二次根式的概念，明确根号下仅含非负实数的表达式。
-二次根式的性质：掌握二次根式的乘除、平方等运算性质，如$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。
-二次根式的化简：学会通过因式分解、提取公因数等方法化简二次根式，如$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$。
-二次根式的乘除法：熟练运用性质进行二次根式的乘除运算，如$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$）。
1.培养学生的逻辑推理能力：通过二次根式的性质与运算法则的学习，使学生能够运用逻辑推理分析问题，提高解题的条理性和逻辑性。
2.提升学生的数学运算能力：让学生掌握二次根式的化简、乘除与加减运算，培养他们在数学运算中的准确性和熟练度。
3.增强学生的数学建模意识：通过解决实际问题，使学生能够运用二次根式知识构建数学模型，提高解决实际问题的能力。