数学物理方程与特殊函数 第二章课后答案
数学物理方程第一章、第二章习题全解
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
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数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
数学物理方程第二版答案
的通解可以写成
u
F x at Gx at hx
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t 0 : u x ,
解：令 h x u v 则
u x . t
v h x u u v , h x 2 u h x u x x x x
( ESu x ) x
利用微分中值定理，消去 x ，再令 x 0 得
若 s( x) 常量，则得
( x)
即得所证。
2u u = ( E ( x) ) 2 x x t
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试 分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
2u u g [(l x) ] 。 2 x x t
5. 验证
u ( x, y , t )
1 t x y
2 2 2
在锥 t x y >0 中都满足波动方程
2 2 2
2u 2u 2u 1 2 2 2 在锥 t x y >0 内对变量 2 2 证：函数 u ( x, y, t ) 2 2 2 2 t x y t x y
t有
G(x+at) 常数.
即对任何 x, G(x) C 0 又 G（x）=
1 1 x C ( x) ( )d 2 2a x0 2a
所以 ( x), ( x) 应满足
( x)
或
1 x ( )d C1 （常数） a x0 1 ' (x)+ ( x) =0 a
( x) (1 ) 2
若 E ( x) E 为常量，则得
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方程与特殊函数试题及答案
数学物理方程与特殊函数试题及答案猜你喜欢： 1. 2. 3. 4. 5.数学物理方程与特殊函数是一门专业性比拟强的课程，要学好这门课程，同学们还是要用心去学才能学好数学物理方程与特殊函数。
下面是给大家的数学物理方程与特殊函数试题及答案，欢送大家学习参考。
1.对于一般的二阶线性偏微分方程0(1) 它的特征方程为，假设在域内ACB那么此域内称(1) 椭圆型假设在域内B那么此域内称(1)为抛物型假设在域内 B 那么此域内称(1)为双曲型。
2. 第一类格林公式第二类格林公式 . 已那么 ;而函数按1xP的展开式4.一维热传导方程可用差分方程似代替。
二维拉普拉斯方程可用差分方0 近似代替。
5. 勒让德多项式的正交性???。
二.用别离变量法求?的解。
(15分) 解：用别离变量法求解，先设满足边界条件且是变量被别离形式的特解为tTxXtxu?代入方程(1)上式左端不含有x，右端不含有t，从而得到两个线性常微分方程解(6)得 x由(2)得，及相应的固有函数为xlnBxXnn?sin? 7?? ，再由(5)得，? 由(7)，(8)得由(1)，(3)得又由(3) 得所以，原定解问题的解为?三.求方程? 的解。
(15分) 解：对(1)两端积分的通解为任意二阶可导函数，令(4)满足(2)，(3)得解之得6(5)，(6)代入(4)得u 四.求柯西问题的解。
(12分) 解;先确定所给方程的特征线。
为此，写出它的特征方程 dy2-2dxdy-3dx20 它的两族积分曲线为作特征变换4?经过变换原方程化它的通解为中21ff 是两个任意二次连续可微的函数。
方程(1)的通解为由(2。
工程数学：数学物理方程与特殊函数
工程数学：数学物理方程与特殊函数
工程数学是数学在科技制造领域的理论基础和实用应用学科，也是科研创新、技术进
步和社会发展进程中的重要组成部分。
它是人类在技术实践及理论分析中发明的知识体系
与计算机编程技术相结合的总和。
比较准确地说，它是一门研究利用数学、物理学及实验
数据解决工程技术问题的学科，旨在提供工程技术问题的快速简便解法。
数学物理方程是工程数学中最为重要的组成部分，它指从理论物理学研究导出的数学
模型，它们常用多项式、椭圆型函数或其他函数来描述客观物理现象。
基于该数学模型，
利用数值方法和分析方法求解，学者们可以获得更多的结果，如最优控制、常微分方程等。
特殊函数是数学中一类特殊的确定的函数，有的是与物理学有关的，特殊的函数往往
比普通的函数表示更加容易精确。
特殊函数有很多种，如正弦函数、指数函数、双曲函数、伽马函数、映射函数、高斯函数等。
特殊函数在工程数学中有着重要的应用，如具有理论
实用价值的狭义积分、初值问题、最优控制等，其中使用了特殊函数。
总之，数学物理方程与特殊函数是工程数学中不可或缺的内容，它们是实现科技制造
领域理论研究和现实应用的基础。
数学物理方程与特殊函数第五版
数学物理方程与特殊函数第五版1量子力学方程和特殊函数量子力学方程和特殊函数是数学物理学中非常重要的概念，它们被用来表达物理系统的运动方式以及物理里面的函数运算。
它们是现代数学物理的基础和重要的概念，从相对论到量子化认识的物理理论，数学物理学家都使用这些方程和函数。
2量子力学方程无论使用什么物理理论，量子力学方程都是免不了的。
它的出现可以说是相对论的另一个重要突破，它模拟了量子效应，在显微镜下认识微观世界，有助于科学家们进行更深入的研究。
量子力学方程主要有Schrödinger方程、Heisenberg方程、Pauli方程、Fermi–Dirac方程等等，用于描述物理里面的粒子之间的相互作用、以及物理系统的动态演变。
3特殊函数特殊函数是指在数学物理学中定义的函数，它们中有很多是现代数学物理学家发明的，如对数函数、指数函数、分式函数、圆函数、椭圆函数等等。
这些函数以简单的公式来定义某种类型的函数，可以用来解决相关的理论物理学问题和方程，用来计算物理量与动作等。
特殊函数也可以用来表示物理学里面某个系统的特殊性能，如量子级数和分子振动频率等。
4《数学物理方程与特殊函数》《数学物理方程与特殊函数》是现代数学物理的一本重要的参考书，主要介绍了量子力学方程以及更多的特殊函数，如对数函数、指数函数、泊松分布、玻尔兹曼分布等。
书中深入浅出的介绍了这些函数的原理和运用，对数学物理学家有很大的帮助，其内容不仅仅是广受欢迎的数学物理理论，同样也包括了实际应用，有助于理解这些理论和函数的实际用途。
5总结量子力学方程和特殊函数在现代数学物理学里非常重要的概念，通过他们，我们研究物理系统的运动，模拟量子效应，了解微观世界，进一步深入物理实验，进而让物理学发展出更多不同的方向和理论。
《数学物理方程与特殊函数》是一本重要的参考书，介绍量子力学和特殊函数，并结合实际应用，为我们探求物理真理之路提供重要依据。
苏教版必修1第二章学生版同步练习函数的概念与图象参考答案1
必修1第2章 函数的概念与图象 参考答案第1课 函数的概念与图象（1） 1．①②③④；2．①③④；3．0，0，14，2n -；4．R ； 5．{|,x x R ∈且2}x ≠±；6．（1）{|2x x ≥，且3}x ≠；（2）{|1x x ≤，且4}x ≠-； 7．（1）{0,3,8}；（2）(,1]-∞；（3）[3,0)-．8．()|23|f x x =-，0()f x x =等； 9．()32f x x =-，2()f x x =，6()7f x x=-等； 10．解：若0k =，则()f x =其定义域为R ；若0k ≠，则20(4)430k k k >⎧⎨∆=-⨯⨯≤⎩，解得304k <≤； 综上所述，实数k 的取值范围为3[0,]4．第2课 函数的概念与图象（2）1．B ；2．D ；3．A ；4．（1）2，（2）3，（3）0，（4）1()f x <2()f x ； 5．（1）定义域(,0)(0,)-∞+∞U ，值域(,0)(0,)-∞+∞U ； （2）定义域(,0)(0,)-∞+∞U ，值域(,1)(1,)-∞+∞U ．拓展延伸：6．解：2,[2,3)1,[1,2)()0,[0,1)1[1,0)2[2,1)x x f x x x x ⎧⎪∈⎪⎪∈⎪=∈⎨⎪-∈-⎪-∈--⎪⎪⎩M M7．分析：一般地，称x a =为||x a -的零点．对于含绝对值的函数问题，可先根据零点将区间(,)-∞+∞分成若干个区间（成为零点分段法），将函数转化为不含绝对值的分段函数，画出函数的图象，利用图象解决问题．解：函数|1||2|2y x x =++--的零点是1x =-和2x =，所以21,1,1,12,23, 2.x x y x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩作出函数的图象（如图），从函数的图象可以看出，函数的值域为[1,)+∞第3课 函数的概念与图象（3）1．C ；2．C ；3．1852,[0,)y x x =∈+∞；4．215S x x =-+，(0,15)；5．44.1m ；6．3-；7．（1）350，（2）4；8．4480320()y x x=++，(0,4)x ∈． 9．（１）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个依题意：0600.02(100)51x --=，即0625150x -=，0550x =． ∴ 当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元；（２）依题意，并结合（１），我们需要分三种情况来列出函数P f x =()的表达式．当0100<≤x 时，P =60；当100550<<x 时，P x x=--=-600021006250.()； 当x ≥550时，P =51．所以600100,()62100550,5051550,x x N x P f x x x N x x N<≤∈⎧⎪⎪==-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩ ； （３）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则()2200100,4022100550,5011550,x x x N x L P x x x x N xx x N <≤∈⎧⎪⎪=-=-<<∈⎨⎪≥∈⎪⎩当x =500时，L =6000；当x =1000时，L =11000．因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元． 第4课 函数表示方法（1）1．C ；2． A ；3．B ；4．30；5．[1,)+∞；6．[1,11]；7．（1）设()(0)f x kx b k =+≠，则(())()()f f x kf x b k kx b b =+=++2k x kb b =++，由题意，293k x kb b x ++=+，∴2(9)30k x kb b -++-=恒成立，∴29030k kb b ⎧-=⎨+-=⎩，解得334k b =⎧⎪⎨=⎪⎩或332k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴3()34f x x =+或3()32f x x =--．（2）设21()()25(0)2f x a x a =-+<，即21()254f x ax ax a =-++， 设方程()0f x =的两根为1x ，2x ，则121a x x a -+=-=，1212512544a x x a a+==+，由题意，221213x x +=，∴21212()213x x x x +-=，∴12512()134a-+=，∴4a =-，此时，方程()0f x =即260x x --=，其根的判别式2(1)4(6)250∆=--⨯-=>，∴2()4424f x x x =-++．8．解：由图象可知，抛物线开口向上，顶点为(1,1)-，当3x =时，1y =， 设2()(1)1(0)f x a x a =-->，则2(3)(31)11f a =--=，解得12a =， ∴21()(1)12f x x =--，令21()(1)102f x x =--=，解得11x =21x =，结合图象知函数的定义域为[1-， ∴21()(1)12f x x =--，[1x ∈-．9．解：,0,()0,0.x x f x x ≥⎧=⎨<⎩∴当0x ≥时，(())()f f x f x x ==，当0x <时，(())(0)0f f x f ==，选D ．10．解：当04x <≤时，114222y AB BP x x =⨯⨯=⨯⨯=； 当48x <≤时，1144822y AB BC =⨯⨯=⨯⨯=；当812x <<时，11(12)24222y AB AP AB x x =⨯⨯=⨯⨯-=-．∴2,(0,4],()8,(4,8],242,(8,12).x x y f x x x x ∈⎧⎪==∈⎨⎪-∈⎩第5课 函数的表示方法（2）1．B ；2．D ；3．D ； 4．[1,)-+∞，3(,0)(0,)2-∞U ； 5．45x -，[2,4]；6．15{2,,1,}22--；7．2x +，3x +，x n +； 8．2(202),(0,10)y x x x =-∈；9．由于题目问的是“只可能是”，故解决问题的方法是寻找各选项所给图形中是否存在矛盾，从而排除不正确的选项．如选项B ，由直线过原点知0b =，但由抛物线的对称轴不是y 轴知0b ≠，矛盾．类似地可以判断，选项A 、D 都有矛盾，故选C ． 10．D ．第6课 函数的单调性（1）1． ()C ；2．()C ；3．()B 4． ()D ； 5．()B ； 6．①②． 7．设,11)1)(1()]1)([(11)()(,1121222121122222112121<<<---+-=---=-<<<-x x x x x x x x a x ax x ax x f x f x x Θ)()(0.0)1)(1(01,02122212112x f x f a x x x x x x >>∴>--∴>+>-∴时当此时f （x ）为减函数.当a>0时，f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)为增函数.8．由.32060<-⎩⎨⎧<+<a b b a a 得即抛物线顶点横坐标<3，又开口向下，所以二次函数f （x ）在[)∞+3上递增.[))()3(.3,,3,3πππf f >∴<+∞∈且Θ。
数学物理方程与特殊函数老师给题答案汇总
1.证明二维laplace 方程 在极坐标下 证：2.长为l 的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有恒定热流q 进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为q ）， 杆的初始温度分布为x (l-x ) / 2 ，试写出相应的定解问题。
解：对于杆上的一个微元d x ，流入的热量为：温度变化所需的热量为：两式相等：定解问题为：02222=∂∂+∂∂y u x u 22,arctan y x x y+==ρθθρθρρθθρθθsin ,cos 221cos ,sin /1122222=∂∂=⋅+=∂∂=∂∂-=-⋅+=∂∂y x y x x y x y x y x 2222222222222sin cos cos 2sin sin ρθθρθρρθθρθρθθρ∂∂-∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u u u y u x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2222222222222sin sin sin 2sin cos ρθθρθρρθθρθρθθρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u u u x u ρρθρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u u y u x u 11222222222ρθθθρθθρρcos sin ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u u y u y u y u 011222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=θρρρρρu u ρθθθρsin cos ∂∂-∂∂=u u 02222=∂∂+∂∂y ux u 011222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂θρρρρρu u3.设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。
解如果琴弦像上图的方法来放置，是不是边界条件将不再是齐次的。
4.解下列问题解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>=∂∂=∂∂><<∂∂=∂∂lxxxutxt luxtut lxxuatu),()0,(,0),(,0),0(,,222ϕ)()(),(tTxXtxu=XTaXT''='2XXTaT''='22=+'=+''TaTXXλλ⎩⎨⎧='='<<=+'')(,0)0(lXXlxXXλ)()(),()()0(),0(='=∂∂='=∂∂tTlXxt lutTXxtu)(,0)0(='='lXX,3,2,1,22=⎪⎭⎫⎝⎛==nlnnnπβλsin)(=-='lBlXββ)0(=='βAXxlnBXnnπcos=lnnπβ=xBxAXββcossin+=2=+''XXβ2>=βλBX=BAxX+==''X=λ==BAll eBeAlXββββ--=')()0(=-='ββBAXxx BeAeXββ-+=2=-''XXβ2<-=βλ2=+'TaTλ=λ0='T00T A=>λ02222=+'nnTlnaTπtlnanneAT2222π-=nnnTXu=xlneC tlnanππcos2222-=CAB==∑∑∞=-∞=+==1cos2222ntlnannnxlneCCuuππTXu=xlneBA tlnannππcos2222-=001()d2l lC x xlϕ==⎰022()cos d2(1)1()lnnnC x x xl llnπϕπ=⎡⎤=--⎣⎦⎰xx=)(ϕ5.达朗贝尔公式推导 解：做如下代换得：所以 因为所以所以 又因为 因为 所以所以得：即因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂x x t x u x x u t x x u a t u ),()0,(),()0,(0,,22222ψϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂=t a x 121⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂=t a x 121)()(21at x f at x f u -++=ηηη∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂t t x x ξξξ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂t t x x a t 2ηξ-=2ηξ+=x at x -=ηat x +=ξ)()(21ηξf f u +=)(ξξf u =∂∂02=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ηξηξu u t a x ∂∂⋅-∂∂=∂∂1ηt a x ∂∂⋅+∂∂=∂∂1ξ011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅-∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅+∂∂u t a x t a x 0122=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂u t a x 0122222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂u t a x 0122222=∂∂⋅-∂∂t u a x u )()()()0,(21x x f x f x u ϕ=+=)()()()0,(21x x f a x f a t x u ψ='-'=∂∂C a x f x f x +=-⎰021d )(1)()(ξξψ2d )(21)(21)(01C a x x f x ++=⎰ξξψϕ2d )(21)(21)(02Ca x x f x --=⎰ξξψϕ2d )(21)(212d )(21)(2100C a at x C a at x u at x at x ---++++=⎰⎰-+ξξψϕξξψϕ[]11()()()d 22x atx at u x at x at a ϕϕψξξ+-=++-+⎰6.解定解问题解：令所以因为 所以得7.P81T1求方程0,1,22>>=∂∂∂y x y x yx u满足边界条件y y u x x u cos ),1(,)0,(2==的解解：用积分法求解：对y 进行积分)(2122x g y x x u ==∂∂，再对x 积分)()(612123y f x f y x u ++=利用边界条件得 ，再用一次边界条件用积分变换法求解：对y 取拉普拉斯变换利用边界条件 得22d 2d d 3d y x y x --x y +=η2=∂∂∂ηξu )()3()0,(21x f x f x x u +-==)()3(0)0,(21x f x f y x u '+-'==∂∂Cx f x f =+--)()3(3121Cx x f 4343)3(1-=-C x x f 4341)(21-=C x x f 4343)(2+=()2222343)(4343341y x C y x C y x u +=+++--=(d 3d )(d d )0y x y x =-+=)()3(21x y f x y f ++-=x y 3-=ξ)()(21ηξf f u +=y y f f y y u x f x f x u cos )()1(61),1(,)0()()0,(212221=++=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂∂+∂∂x y x u x x u x y y u y x u x u ,0)0,(,)0,(,0,032222228.推导空间格林公式由高斯公式⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ++=∂∂+∂∂+∂∂dS x n R y n Q x n P dV z R y Q x P )],cos(),cos(),cos([)(推导 证：设函数u(x,y,z)和υ(x,y,z)在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，在Ω内具有连续的所有二阶偏导数。