3-2-2 函数模型的应用实例
探究：已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题 考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型， 列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答． 解决此类型函数应用题的基本步骤是：
第三章
3.2
3.2.2
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第一步，阅读理解，审清题意； 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述 所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，求什 么，从中提炼出相应的数学问题． 第二步，根据所给模型，列出函数关系式； 根据问题已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此 基础上将实际问题转化为一个函数问题． 第三步，利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学 模型)予以解答，求得结果；
第三章
3.2
3.2.2
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如果所建数学模型是函数问题，就成了函数模型，函数 模型是数学模型的一个重要组成，是一类广泛的应用． 总结：实际问题→表示模型→模型的解→实际问题． 问题 2：我们如何来应用函数模型解决实际问题呢？
第三章
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第三章
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命题方向 2 二次函数模型问题与函数的图象
由函数的图象求出函数解析式，这是最基本的题型． [例 2] 甲、 乙两人连续 6 年对某县农村甲鱼养殖业的规
模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如下图． 甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年 1 万只甲 鱼上升到第 6 年 2 万只．
商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个 5 元，该商店推出两种优惠办法： ①买一个茶壶送一个茶杯， ②按购买总价的 92%付款． 某 顾客购买茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个)，若购买茶杯数 x 个，付款为 y(元)，试分别建立两种优惠办法中，y 与 x 的函 数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯 40 个，应选择哪 种优惠办法？
第三章
函数的应用
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课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 探索延拓创新
第三章
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课前自主预习
第三章
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温故知新 1.向高为 H 的水瓶内注水，注满为止．如果注水量 V 与 水深 h 的函数关系的图象如图所示，则水瓶的形状是( )
第三章
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(2)降低解题难度，虽然每一个解题者的能力不同，但经 过适当的假设就都可以有能力建立数学模型，并且得到相应 的解． 一般情况下，应先有最简单的情形下组建模型，然后通 过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满 意的解．
第三章
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第三章
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有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润 依次为 Q1 万元和 Q2 万元， 它们与投入的资金 x 万元的关系是 1 3 Q1＝ x，Q2＝ x.现有 3 万元资金投入使用，则对甲、乙两种 5 5 商品如何投资才能获得最大利润？
第三章
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自主预习 问题 1：对数学模型，我们从哪些角度来理解呢？ 探究：所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系 进行抽象概括， 用形式化的数学语言表述的一种数学结构． 数 学模型摒弃了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属 性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是重要 的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行， 这是数学模型间的相互转化在发挥作用．而用函数解决实际 问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁．
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3．常见的函数模型 (1)正比例函数模型：f(x)＝____(k 为常数，k≠0)； kx
k (2)反比例函数模型：f(x)＝___(k 为常数，k≠0)； x
kx＋b (3)一次函数模型：f(x)＝______ (k，b 为常数，k≠0)； ax2＋bx＋c (4)二次函数模型： f(x)＝__________(a， c 为常数， b， a≠0)；
第三章
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【归纳提升】 就一般的数学建模来说， 是离不开假设的， 如果在问题的原始状态下不作任何假设， 将所有的变化因素全 部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了，假设的作 用主要表现在以下几个方面： (1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的 作用，通常初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多， 经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无 关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗，在假设时就 可以设这些因素不需考虑．
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思路方法技巧
第三章
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命题方向 1 一次函数模型问题
[例 1] 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动
电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如 意卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费 y(元)的关系如图所示．
第三章
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[解析]
由优惠办法(1)得函数关系式为 y1 ＝20×4＋5(x
－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)． 由优惠办法(2)得函数关系式为 y2＝(20×4＋5x)×92%＝ 4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)． 当该顾客购买茶杯 40 个时，采用优惠办法(1)应付款 y1 ＝5×40＋60＝260 元； 采用优惠办法(2)应付款 y2＝4.6×40＋ 73.6＝257.6 元，由于 y2<y1，因此应选择优惠办法(2).
第三章
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3 21 3 当 t＝ 时，ymax＝ ＝1.05(万元)，x＝ ＝0.75(万元)，所 2 20 4 以 3－x＝2.25(万元)． 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金 投入分别为 0.75 万元和 2.25 万元， 总共获得利润为 1.05 万元.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
函数的应用
第三章
函数的应用
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第三章
3．2 函数模型及其应用
第三章
函数的应用
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第三章
3．2.2 函数模型的应用实例
第三章
3.2
3.2.2
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新课引入 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件 盈利 40 元．为了增加销售量，尽快减少库存，商场决定采取 适当降低措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商 场平均每天多售出 2 件，于是商场经理决定每件衬衫降低 15 元． 经理的决定正确吗？
第三章
3.2
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乙调查表明： 甲鱼池个数由第 1 年 30 个减少到第 6 年 10 个．
第三章
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成才之路 ·第 2 年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数； (2)到第 6 年这个县的甲鱼养殖业的规模比第 1 年是扩大 了还是缩小了？说明理由； (3)哪一年的规模最大？说明理由． [分析] 首先根据图象可知， 两种调查信息都符合一次函
规律总结：本题中的图形为直线，这说明变量 x，y 之 间存在一次函数关系，为此可采取待定系数法，求出具体的 函数关系式，最后运用方程的思想求出关键点从而使问题得 以解决．图表题目的处理关键就在于正确理解其全部信息， 运用合理的方法解决问题．
第三章
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数，因此，可以采用待定系数法求出函数解析式，下面的问 题就容易解决了．
第三章
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[解析]
(1)由图可知，直线 y 甲＝kx＋b，经过(1,1)和(6,2)
可求得 k＝0.2，b＝0.8. ∴y 甲＝0.2(x＋4)， 17 同理可得 y 乙＝4(－x＋ 2 )． ∴第 2 年甲鱼池的个数为 26 个，全县出产甲鱼的总数为 26×1.2＝31.2(万只)．
第三章
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3.2.2
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(2)规模缩小了，原因是：第一年出产甲鱼总数 30 万只， 而第 6 年出产甲鱼总数为 20 万只． (3)设第 x 年规模最大，即求 T＝y 甲· 乙＝0.2(x＋4)· y 4(－x 17 ＋ 2 )＝－0.8x2＋3.6x＋27.2 的最大值． 3.6 1 当 x＝－ ＝2 时 T 取最大值，∵x∈N，∴x＝2， 4 2－0.8 此时，T＝y 甲· 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2 最大． y 即第二年规模最大，为 31.2 万只．
第三章 3.2 3.2.2
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第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答． 总结：
第三章
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人教a版必修1学案：3.2.2函数模型的应用实例(含答案)
3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。
(新课标同步辅导)高中数学 3.2.2函数模型的应用实例课件 新人教A版必修
• 【解析】 (1)由题意知，变速车存车数 为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000【－答x案)×】0.8D＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．
(2)①根据题意知，空闲率是mm－x，故 y 关于 x 的函 数关系式是 y＝kx·mm－x，0＜x＜m.
②由①知，y＝kx·mm－x＝－mk x2＋kx
• (1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的 函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图 象；
• 【解】 (1)①汽车由A地到B地行驶t h所 走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．
分段函数 f(x)＝ 模型
f1（x），x∈D1 f…2（…x），x∈D2 fn（x），x∈Dn
• 二、应用函数模型解决问题的基本过程
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝kx＋8(k≠0)在 R 上是增函数．( ) (2)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为
• A．300只
B．400只
• C．600只
D．700只
4．已知大气压 p(百帕)与海拔高度 h(米)的关系式为
p＝1
000·1700 3
h 000
，
则
海
拔
6
000
米处的大气压为
________百帕．
【解析】 当 h＝6 000 时，p＝1000·170063 000000＝4.9. 【答案】 4.9
• 1．建立分段函数模型的关键是确定分段 的各界点，即明确自变量的取值区间．
• 2．分段函数主要是每一段自变量变化所 遵循的规律不同，可以先将其当作几个问 题，将各段的变化规律分别求出来，再将 其合到一起．
• 已知A，B两地相距150 km，某人开汽 车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地 停 留 1 小 时 后 再 以 50 km/h 的 速 度 返 回 A 地．
必修1课件3.2.2-2函数模型的应用实例(二)
1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数 模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男 性体重y kg与身高xcm的函数关系？试写出这个 函数模型的解析式．
2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为 偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高 为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
选取自变量
建立函数式
确定定义域
求函数最值
回Байду номын сангаас实际问题
例4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值 如下表：（身高：cm；体重：kg）
身高
体重 身高
60
6.13 120
70
7.90 130
80
9.99 140
90
100
110
12.15 15.02 17.50 150 160 170
体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价 才能获得最大利润？
销售单价/元 日均销售量/桶
6 480
7 440
8 400
9 360
10 320
11 280
12 240
思考1:你能看出表中的数据有什么变化规律？ 解：(1)由表中信息可知:销售单价每增加1元， 日均销售量就减少40桶. 思考2:假设每桶水在进价的基础上增加x元,则日均销 售量为多少？
12 240
思考5:这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
y (520 40 x ) x 200 40 x 520 x 200
2
40( x 6.5) 1490
2
x 6.5，ymax 1490
3.2.2函数模型应用实例
60266
61456
62828
64563
65994
67207
y y0e
n (1)如果以各年人口增长平均值l作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数 据是否相符;
解：设1951~1959年的人口增长率分别为 r1 ,r 2 ,......,r 9 . 由
y 其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口 的年平均增长率。
0
y y0e
n
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数／ 万人55196 Nhomakorabea56300
57482
58796
3.2.2 函数模型的应用实例
一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系 如图1所示，
（1）求图1中阴影部 分的面积，并说明所 求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的 里程表在汽车行行驶 这段路程前的读数为 2004km，试建立行 驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作 出相应的图象。
由图4可以看出,所 得模型与 1950~1959年的实 际人口数据基本吻 合.
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国 的人口达到13亿？
将y=130000代入 y 55196e0.0221t .t N.
由计算可得
t 38.76
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让 人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压 力.
3-2-2 函数模型的应用实例
一、选择题1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x[答案] C[解析]当x＝1时，否定B，当x＝2时，否定D，当x＝3时，否定A，故选C.2．某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品，原来按成本价出售，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价，每次提价都是20%；同时乙产品连续两次降价，每次降价都是20%，结果都以92.16元出售，此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏的情况是() A．不亏不盈B．赚23.68元C．赚47.32元D．亏23.68元[答案] D[解析]设甲、乙产品原来每件分别为x元、y元，则x(1＋20%)2＝92.16，y(1－20%)2＝92.16，∴x＝64，y＝144,64＋144－92.16×2＝23.68.3．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是()A．3 B．4C．5 D．6 [答案] B[解析]设至少需要清洗n次，由已知得(1－34)n≤1%即14n≤1100.∴4n≥100∴n≥4，故选B.4．某种产品市场销量情况如图所示，其中：l1表示产品各年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况，下列叙述：①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原生产计划进行；②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量；④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加．你认为较合理的是()A．①②③B．①③④C．②④D．②③[答案] D5．已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50 km/h的速度返回A 地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是() A．x＝60tB ．x ＝60t ＋50C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)150－50t (t >2.5) D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 150(2.5<t ≤3.5)150－50(t －3.5)(3.5<t ≤6.5)60t (0≤t ≤2.5)[答案] D [解析] 从A 地到B 地的来回时间分别为：15060＝2.5，15050＝3，x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t (0≤t ≤2.5)150 (2.5<x ≤3.5)150－50(t －3.5) (3.5<t ≤6.5) 故选D.6．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x ，x ＝全月总收入－800元，税率见下表：( )A ．800～900元B ．900～1 200元C ．1 200～1 500元D ．1 500～2 600元[答案] C [解析] 解法1：(估算法)由500×5%＝25元，100×10%＝10元，故某人当月工资应在1 300～1 400元之间，故选C.解法2：(逆推验证法)设某人当月工资为1 200元或1 500元，则其应纳税款分别为400×5%＝20元，500×5%＋200×10%＝45元．可排除A ，B ，D ，故选C.7．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元．则这两筐椰子原来的总个数为( )A ．180B ．160C ．140D ．120 [答案] D[解析] 设原来两筐椰子的总个数为x ，成本价为a 元/个，则⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＝300(a ＋1)(x －12)＝300＋78，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝120a ＝2.5，故这两筐椰子原来共有120个．8．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，另一种是平均价格曲线y ＝g (x )，如f (2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g (2)＝3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中正确的是( )[答案] C[解析] 即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直下跌，故排除A 、D ；即时价格若一路上升，则平均价格也应一直上升，排除B.(也可以由x 从0开始增大时，f (x )与g (x )应在y 轴上有相同起点，排除A 、D)，故选C.二、填空题9．现测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．[答案] 甲[解析] 代入x ＝3，可得甲y ＝10，乙，y ＝8.显然选用甲作为拟合模型较好．10．长为4、宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x 2时面积最大，此时x ＝________，最大面积S ＝________.[答案] 1 252[解析] S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2＝－x 22＋x ＋12 ＝252－12(x －1)2，当x ＝1时，S max ＝252.11．某养鱼场，第一年鱼的重量增长率为200%，以后每年鱼的重量增长率都是前一年的一半，问经过四年鱼的重量是原来的________倍．[答案]45 4[解析]设原来鱼重a，四年后鱼重为a(1＋200%)(1＋100%)(1＋50%)(1＋25%)＝454a，454aa＝454.12．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝(116)t－a(a为常数)其图象如图．根据图中提供的信息，回答问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的关系式为________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降到0.25mg以下时，学生才可进入教室，那么从药物释放开始至少经过______小时，学生才能回到教室．[答案](1)y＝(2)0.6[解析](1)设0≤t≤110时，y＝kt，将(0.1,1)代入得k＝10，又将(0.1,1)代入y＝(116)t－a中，得a＝110，∴y＝.(2)令(116)t－110≤0.25得t≥0.6，∴t的最小值为0.6.三、解答题13．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？[解析](1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数关系式为y＝kx＋b.将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 40k ＋b ＝75，37k ＋b ＝70.2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.6，b ＝11. ∴y 与x 的函数关系式是y ＝1.6x ＋11.(2)把x ＝42代入上述函数关系式中，有y ＝1.6×42＋11＝78.2.∴给出的这套桌椅是配套的．[点评] 本题是应用一次函数模型的问题，利用待定系数法正确求出k ，b 是解题的关键．14．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)成本Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．[解析] (1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t 中的任意一个进行描述时都应有a ≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c 得到，⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1200，b ＝－32，c ＝2252.所以，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋2252.(2)当t ＝－－322×(1200)＝150天时，西红柿种植成本最低为Q ＝1200·1502－32·150＋2252＝100 (元/102kg)． 15．某工厂现有甲种原料360 kg ，乙种原料290 kg ，计划利用这些原料生产A 、B 两种产品共50件，已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9 kg ，乙种原料3 kg ，可获利润700元．生产一件B 种产品，需用甲种原料4 kg ，乙种原料10 kg ，可获利润1200元．(1)按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请设计出来．(2)设生产A 、B 两种产品获总利润为y 元，其中一种的生产件数为x ，试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大？最大利润是多少？[分析] 设生产A 种产品x 件，则生产B 种产品(50－x )件，据题意：生产两种产品所用甲种原料不超过360 kg ，所用乙种原料不超过290 kg 即可．[解析] (1)设生产A 种产品x 件，则生产B 种产品为(50－x )件，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4(50－x )≤360，3x ＋10(50－x )≤290.解得30≤x ≤32. ∵x 是整数，∴只能取30,31,32.∴生产方案有三种，分别为A 种产品30件B 种产品20件；A 种产品31件B 种产品19件；A 种产品32件B 种产品18件．(2)设生产A 种产品x 件，则B 种产品(50－x )件．y ＝700x ＋1 200(50－x )＝－500x ＋600 00，∵k ＝－500<0，∴y 随x 增大而减小，∴当x ＝30时，y 最大＝－500×30＋600 00＝45 000.∴安排生产A 种产品30件，B 种产品20件时，获利润最大，最大利润为45 000元．[方法点拨] 此题第(1)问是利用一元一次不等式组解决，第(2)问是利用一次函数增减性解决问题，要注意第(2)问 与第(1)问相互联系．即根据实际问题建立好函数关系式后，特别要注意函数的定义域．16．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式．(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析] (1)设A ，B 两种产品分别投资x 万元，x ≥0，所获利润分别为f (x )万元、g (x )万元．由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .根据图象可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)．g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6.∴总利润y ＝8.25万元． ②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18. 令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.∴当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2.∴当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．。
第3章3.2.2函数模型的应用实例(优秀经典公开课件)
[变式训练 ] 1．心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概 念所用的时间 x(单位：分 )之间满足函数关系式 y＝－ 0.1x2
课 堂 . 互 动 探 究 课 后 . 巩 固 验 收
＋ 2.6x＋ 43(0≤x≤ 30)． y 值越大，表示接受能力越强． (1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什 么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？
课 堂 . 互 动 探 究
总额 y 之间的函数关系式是________．
【解析】 设新价为 b，则售价为 b(1－20%)．∵原价 为 a，∴进价为 a(1－25%)．依题意，有 b(1－20%)－a(1－ 5 5 25%) ＝ b(1－ 20%)· 25%. 化简，得 b＝ a. ∴ y＝ b· 20%· x＝ 4 4 a a a· 20%· x，即 y＝ x(x∈N*)．故填 y＝ x(x∈N*)． 4 4 a 【答案】 y＝ x(x∈N*) 4
课 堂 . 互 动 探 究
所以当 t＝10 时， ymax＝900(元)． ②当 25≤ t≤ 30 且 t∈ N*时， y＝ (t－ 70)2－ 900，所以当 t＝ 25 时，ymax＝ 1 125(元 )． 综合①②得 ymax＝ 1 125(元)． 因此，这种商品日销售额的最大值为 1 125 元，且在第 25 天时日销售金额达到最大．
菜 单
课 后 . 巩 固 验 收
配人教A版数学 · 必修1
1．本题属于分段函数型最值问题，处理该类问题的一
课 堂 . 互 动 探 究
般思路是：分类求解，合并处理． 2．求分段函数的最值时，要求出每一段上的最值，再 比较这些最值，求出原函数的最小值或最大值．
§3.2.2 函数模型的应用举例
第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用§3.2.2 函数模型的应用举例【学习目标】1.能够运用函数性质，解决某些简单的实际问题。
2.能够根据实际问题构建适当的函数模型，体会函数模型的广泛应用。
【预习提纲】1.函数模型的分类及其建立与应用根据实际应用问题提供的两个变量的数量关系是否确定，可把构建的函数模型分为两大类：第一类是确定函数模型，这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的；第二类是近似函数模型，或称拟合函数模型，这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）.根据函数自身的种类，常见函数模型可分为一次函数模型、、、、、等.2.解答应用问题的程序概括为以下几点：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符合语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.【例题精讲】例1．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③C．②③D．①②例2. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象。
h例3.一种药在病人血液中得量保持在1500 mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险。
人教A版必修一3.2.2函数模型的应用实例
类型一：难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这个难题？. 思路点拨：利用所给函数关系式解决有关问题
规律方法：本题是常数函数、一次函数、二次函数混合在一起的分段函数，自变量的取值 不同函数解析式可能不一样，这一点要特别注意.另外，函数的最值也是通过先求每一段 的最值，然后再作比较而求得. 变式训练1－1：某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为 了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产 量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或指数型函数，已知4月份该产品的产 量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
思路点拨：解答本题可首先根据表中数据作出散点图，然后通过观 察图象判断问题所适用的函数模型.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x.作出函数图象如图（乙），可以发现，这 个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关 系. （3）由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷. 规律方法：对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题 ，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题. 函数拟合与预测的一般步骤是：
类型二：自建函数模型解应用题 【例2】 某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上 九点）的电价为0.55元/kW·h，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元 /kW·h.对于一个平均每月用电量为200 kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的 10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kW·h？
必修一3-2-2函数模型的应用实例
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．利用确定函数模型求解实际问题 这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设 计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与 转化能力．求解时一般按以下几步进行： (1)阅读理解，认真审题，就是读懂题中的文字叙述，关键是找 准题目中确定的相等关系，特别是隐含的相等关系；
课前探究学习
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活页规范训练
2．利用拟合函数模型(近似函数模型)解决实际过程． (1)这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变 量的几组对应值(是搜集或用实验方法测定的)．为了降低难度， 有时采用限定函数模型范围的方法．求解这种函数模型的一般 步骤为：画散点图→选择函数模型→用待定系数法求函数模型 →检验，若符合实际，可用此函数模型解释实际问题，若不符 合实际，则继续选择函数模型，重复操作过程．利用所得函数 模型可解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
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3．拟合函数模型的应用题求解步骤
想一想：数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？ 提示 因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般 是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数 有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函 数模型．
课前训练
(2)引进数学符号，建立函数模型，把第一步分析得出的相等关 系翻译成含有 x，y 的等式，即所谓建立了函数模型，这个函数 模型可能含有一些待定的系数，则需要进一步用待定系数法或 其他方法确定； (3)利用函数知识，如单调性、最值等，对函数模型予以解答， 即所谓解答函数模型； (4)翻译成具体问题作答．
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3.2.2函数模型的应用实例2
7. 依法纳税是每个公民应尽义务. 国家征收个人工薪 所得税是分段计税的. 总收入不超过1600元的免征个 人工薪所得税. 设全月纳税的所得额(指工薪中应纳税 部分)为x, x = 全月总收入-1600. 税率如右：
级别 全月纳税的所得额 不超过500元部分 税率 5%
2 y f (x) 52 ) (0.5 0.25x) (5 5 2 (x 5)
9. 某厂生产某种零件, 每个零件的成本为40元, 出厂 单价定为60元, 该厂为鼓励销售商订购, 决定当一次 订购量超过100个时, 每多订购一个, 订购的全部零件 的出厂单价就降低0.02元, 但实际出厂单价不能低于 51元. (1) 当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价 60 - 0.02(x-100) = 51 恰降为51元？ (2) 设一次订购量为x个, 零件的实际出厂单价为P元, 写出函数P=f(x)的表达式；
y 1 4 4 5 5
x x
4 1 x > 10 10 5
x
11. 某工厂产值连续三年持续增长, 这三年的年增长率 分别为x1, x2, x3, 这三年的年平均增长率为P, 则( ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 (B) P (A) P = 3 3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 (C) P (D) P与 的大小不定 3 3 该年产值 = 前一年产值 · (1+x%)
(2) 为使公司今年按新价让利后的获利总额不低于5万元, 则该公司在今年至少应销售多少台这种电脑？
y 3000 2880 1 25% n 50000
3. 甲、乙两个粮库要向A、B两地调运大米, 已知甲库 可调出100吨大米, 乙库可调出80吨. A地需70吨, B地 需110吨, 两库到两地的路程及运费如下表：