719.完全平方数-奥数精讲与测试7年级1119

例1．判断三个数列｛11，111，1111，…｝、｛33，333，3333，…｝、｛77，777，7777，…｝中的各个数，有没有完全平方数。

例2．求最大的质数P，使得1999p+1成为完全平方数。

例3．已知n是正整数，求证n (n+1) +1不是完全平方数。

例4．求证：完全平方数被3除，所得的余数只能是0或1。例5．用2、3、4、5、6这五个数字组成没有重复数字的五位数，在这些五位数中是否存在完全平方数？

例6．证明：若完全平方数的十位数字是奇数，则个位数字必为6；反之，若完全平方数的个位数字是6，则十位数字必为奇数。

例7．求出一个四位数，它是一个完全平方数，并且前两位数字相同，后两位数字也相同。

例8．设d是不等于2、5、13的正整数，求证：在2、5、13、d四个数中可以找到两个不同的数a、b，使得ab−1不是完全平方数。

A卷

01．试求出所有这样的质数p，使A=2p4−p2+16为完全平方数。02．写出从360到630的正整数中恰有奇数个正约数的数。03．求证：四个连续正整数之积与1的和必为完全平方数。04．求证：五个连续的正整数的平方和一定不是完全平方数。05．求证：完全平方数被7除，余数不可能为3、5、6。06．求最大的正整数n，使得n2+2000n是一个完全平方数。

B卷

01．设13= n2−19n+91为完全平方数，求n。

02．设n为正整数，n2+5n+13有没有可能成为完全平方数？若不可能，请说明理由；若可能，求出所有使它成为完全平方数的n的值。

03．求证：对一切正整数n，n4+2n3+2n2+2n+1不是完全平方数。04．求正整数x，使得x−45与x+44都是完全平方数。

05．某人卖出n头牛，每头牛价格为n元。他用卖得的钱买了奇数只羊和一头猪。每只羊的价格为10元，一头猪的价格不到10元，问这头猪值多少钱？

06．某整数的平方等于四个连续奇数的积，求所有满足条件的这种整数。

C卷

01．若n是正整数，3n+1是一个完全平方数，试证：n+1是3个完全平方数之和。

02．当m为何值时，A=x2−y2+mx+5y−6能分解成两个一次因式的乘积并分解之。

03．已知直角三角形两直角边长分别为l、m，斜边长为n。且l、m、n为正整数，l为质数，求证：2(l+m+1)为完全平方数。04．求使28+211+2n是完全平方数的所有正整数n。

05．求一个最小的正整数，使它的一半是平方数，它的三分之一是立方数，它的五分之一是五次方数。

06．求所有的正整数对(a，b)，使得a3+6ab+1与b3+6ab+1都是完全立方数。