人教版八年级上册数学14.3因式分解(第3课时)(19张ppt)课件

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人教版八年级数学上册《因式分解-公式法》第3课时课件

分析
设： + = ，
2
则原式= − 12 + 36
2
2
= −2 ∙ ∙ 6 + 6 .
探究新知
例
1
分解因式：
+
2
− 12 + + 36；
解：原式= +
2
2
−2∙ + ∙6+6
2
= ห้องสมุดไป่ตู้−6 .
探究新知
例
2
分解因式：
2
49 − 28 + + 4 + ；
2
+ 2 ∙ − 4 ∙ 4 + 4
= 2 − 4 + 4
2 2
2
2
探究新知
例
2
2
已知 − 4 + − 10 + 29 = 0，
2 2
求 + 2 + 1 的值.
2
2
2
− 4 + 2
2
− 10 + 5
2
= −2∙∙2 +2
2
−2∙∙+
2
2
2
− 2 ∙ − ∙ 5 + 5
2
= − − 5 .
2
探究新知
例
3
分解因式：
−
2
2
+ 10 − + 25 ；
解：原式= −
2
= −
2
方法二
+ 10 − + 25
2
+ 2 ∙ − ∙ 5 + 5

人教2011课标版初中数学八年级上册第十四章14.3 因式分解(共22张PPT)

a(b+c)
因式分解
ab+ac
这个多项式有什么特点？
No Image
相同因式p
例: 找 3x 2 – 6 xy 的公因式。
多项式中
各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式。
3
系数：最大公约数
x
字母：相同的字母
1
指数：相同字母的最低次幂
所以，公因式是3x。
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
探究
了解因式分解的概念
1、计算：
（1）x(x+1) = x2+x ；（2）(x+1)(x-1) = x2-1 ； 2、请把下列多项式写成整式和乘积的形式：
（1）x2+x= x(x+1) ；（2）x2-1= (x+1)(x-1) ；
• 将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
解：原式=4ab2·2a2 + 4ab2·3bc =4ab2(2a2 + 3bc)
(2) 2a(b+c) – 3(b+c)
解：原式= (b+c) ( 2a – 3 )
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
归纳：提公因式法步骤（分两步）
(4) 2c(a-b)-3b(b-a)=2c(a-b)+3b(a-b) (a-b)
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
由p(a+b+c)=pa+pb+pc 可得pa+pb+pc=p(a+b+c)

人教课标版初中数学八年级上册第十四章14.3 因式分解(共23张PPT)

❖ You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
❖
由上可得： 1、x2+5x+6＝(x+2)(x+3)
2、x2-5x+6＝(x-2)(x-3)
规律：
3、y2+5y-6＝(y+6)(y-1)
当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一定同号,符号与一次项系数相同。
当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异号；绝对值大的数与一次项系数同号。
把下列各式分解因式：
(1) x2－3x+2 解：原式=(x－1)(x－2) (2) m2－3m－28 解：原式=(m+4)(m－7)
(3) y2+10y+25
1.1. (x+y)2－4(x+y)－5
解：原式=(x+y+1)(x+y－5) 2. (m+n)2－5(m+n)+6 解：原式=(m+n－2)(m+n－3)
3. x2－9xy+8y2 解：原式=(x－8y)(x－y)
P101
十字相乘法口决
首尾分解，交叉相乘，求和凑中，横写因式。
耐心和恒心总会得到报酬的。
观察与思考
（1）(x2)(x3) x23x2x32
x25x6
反之 x 2 5x 6 (x2)(x 3)
x
+2 ( )
x
+3
()
+3x +2x
（2）(x-2)(x-3)= x2 -3x-2x +(-2)×(-3) = x2-5x+6

人教版八年级数学上册14.3因式分解课件

把整式乘法的完全平方公式
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；
可以看出，如果把乘法公式的等号两边互换位置，＝(x2＋y2)(x2－y2)
分析：先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式．我们看这两项的系数8与12，它们的最大公约数是4；
就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特 a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
把整式乘法的完全平方公式
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2
的等号两边互换位置，就得到
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 ， a2－2ab＋b2＝(a－b)2，
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
例 5 分解因式：（1）16x2＋24x＋9；（2）－x2＋4xy－4y2．分析：在(1)中，16x2＝(4x)2，9＝32，24x＝2· 4x·3，所以16x2＋24x＋9是一个完全平方式，即
（1）不能，这是平方和；
（2）能，x2－y2＝(x＋y)(x－y) ；（3）能，－x2＋y2＝(y＋x)(y－x) ；
（4）不能，这是平方和的相反数．
思考多项式a2＋2ab＋b2 与a2－2ab＋b2有什么特点？你能将它们分解因式吗？
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把 a2＋2ab＋b2 和 a2－2ab＋b2 这样的式子叫做完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解．
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a＋b看作一个整体，设a＋b＝m，则原式化为完全平方式m 2－12 m＋36.

人教版初中数学八年级上册第十四章14.3 因式分解课件(共16张PPT)

=（2a3b） 2
（ 3） 25x280x64
= （ 5 x ） 2 2 5 x8 8 2 =（5x8） 2
（ 4） 4m24m1 = （ 2 m ） 22m 1 1 2
=（2m+1） 2
分解因式
（ 1） x22xyy2
（ x22xyy2） =（x y）2
（ 3）Hale Waihona Puke 6aa29（ a2-6a9）
（ 4） m 214m49= m 2 2 m 7 7 2 = （ m 7 ） 2
（ 5）x26x9 x 2 2 x 3 3 2 （ x 3 ） 2
分解因式
（ 1） 16x224x9
= （ 4 x ） 2 2 4 x3 3 2
=（4x+3） 2
（ 2） 4a212ab9b2
（ 2 a ） 2 2 2 a 3 b （ 3 b ） 2
（6） 9x2+6x___不__是__，__只__有__一__个__平__方__项____
当堂训练
分解因式
（ 1） x22xyy2 = x2 2xyy2= （ xy ） 2 （2）y2 2y1 = y22y1 1 2= （ y 1 ） 2
（ 3）a24a4= a 2 2 a 2 2 2 = （ a 2 ） 2
= （ a2-2a332）
=-(a3）2
（ 2） 2m nm 2n2
（ 2m nm 2n2）
（ m 22m n+n2）
=（m+n） 2
分解因式
（ 1） my22m2ym3 m （ y22mym2)
m（ym）2
（ 2） 3x26xy3y2
（ 3x22xy+y2）
=（ 3 x y） 2

人教版八年级数学上 14.3.1因式分解---提公因式法课件(共22张PPT)

小试牛刀
2.先分解因式，再求值.
4a2 (x 7) 3(x 7), 其中a 5, x 3.
解：4a2 (x 7) 3(x 7) (x 7)(4a2 3) 把a 5, x 3代入原式得，原式 (3 7)[4 (5)2 3] 10 (100 3) 970
小试牛刀
② 24x2y=3x ·8xy ③ x2-1=(x+1)(x-1)
不是；因式分解的对象是多项式是
④ (2x+1)2=4x2+4x+1 不是；是整式乘法
⑤
1
x2+x=x2(1+ x )
不是；每个因式必须是整式
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 是
合作探究
思考1：观察下列多项式，它们有什么共同特点？
小试牛刀
1.将下列各式因式分解： (1)ax+ay； (2)3mx-6my； (3)8m2n+2mn; (4)12xyz-9x2y2p; (5)2a(y-z)-3b(z-y); (6)p(a2+b2)-q(a2+b2).
(1)原式＝a(x＋y)； (2)原式＝3m(x-y)； (3)原式＝2mn(m+1); (4)原式＝3xy(4z-3xy); (5)原式＝(y-z)(2a+3b); (6)原式＝(a2+b2)(p-q).
6.分解因式： (1)－7ab－14a2bx＋49ab2y；(2)6x(a－b)＋4y(b－a)．解：（1）原式＝－7ab(1＋2ax－7by)
（2）原式＝ 6x(a－b) － 4y(a－b) ＝ (a－b)(6x－4y) ＝ 2(a－b)(3+y=5,xy=6,求代数式2x2y+xy2的值.

人教版八年级数学上册《14.3.因式分解》优质PPT课件

三、公式法
3、例题讲解
例3. 4a³- 4a 解：原式=4a(a²-1)
=4a(a+1)(a-1)
利用提取公因式法和平方差公式
三、公式法
3、例题讲解
例4. 5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2 解：原式=5x3y(x-y)-10x4y3(x-y)2
=5x3y(x-y)[1-2xy2(x-y)] =5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3) 利用提取公因式法和平方差公式
14.3因式分解
情景导入
计算下列各式：
3x(x-2)=3x2-6x m(a+b+c)= ma+mb+mc (m+4)(m-4)= m2-16 (x-2)2= x2-4x+4 a(a+1)(a-1)= a3-a
3x2-6x=(3x)(x-2) ma+mb+mc=(m)(a+b+c) m2-16=(m+4)(m-4) x2-4x+4=(x-2)2 a3-a=(a)(a+1)(a-1)
多项式的第一项是系数为负数的项，一般地，应提出负系数的公因式．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变，且最后一项“－x”提出时，应留有一项“＋1”，而不能错解为－ x(x2－x)．
三、公式法
1、平方差公式
把整式乘法的平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2反过来，就得到 a2－b2= (a＋b)(a－b)，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
左边一组的变形是什么运算？右边的变形与这种运算有什么不同？右边变形的结果有什么共同的特点？
一、因式分解
1、定义
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

【初中数学】人教版八年级数学上册14.3因式分解ppt课件

3
系数：最大公约数。
1 指数：相同字母的
x
最低次幂
字母：相同的字
母
所以，公因式是3x。
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2、定字母：字母取多项式各项中都含有的相同
的字母。
3、定指数：
相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最
低次幂
练习：(x-y)2+y(y-x)
把下列个式分解因式
(4)2a( y z) 3b( y z) (5) p(a 2 b2 ) q(a 2 b2 )
小结
1、什么叫因式分解？
记住哟！
2、确定公因式的方法：
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y (2) ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4) 4(m+n)2+2(m+n) (5) 9m2n-6mn (6) -6x2y-8xy 2
（3）（a）（a2）
（2(m+n)）（3mn）（-2xy）
ma+ mb +mc
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
(1)ab+ac =____ (2)2x2-x =___
(3)m2-25 =_____ (4)ma+mb+mc =__
m2 – 25=(m+5)(m - 5)

人教版数学八年级上册复习课件：14.3《因式分解》(共16张PPT)

- 版权所有-
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
[ 平方差公式 ]
练习题：分解因式
解： x2－（2y）2
x2－（2y）2
=（x＋2y）（x－2y）
- 版权所有-
1．把下列各式因式分解： (1)(m +n)2-n2； (2)169(a-b)2-196(a+ b)2； (3)(2x+y)2-(x+2y)2； (4)(a+ b+c)2-(a+b-c)2； (5)4(2p+3q)2 -(3p-q)2； (6)(x2+y2)2-x2y2． 2．分解因式： (1)81a4-b4； (2)8y4-2y2； (3)3ax2-3ay4； (4)m4-1．
- 版权所有-
1、对下列多项式进行因式分解：（1）-5a2+25a;(2)3a2-9ab; (3)25x2-16y2; (4)x2+4xy+4y2.
2、把下列各式分解因式： (1)-15ax-20a； (2)-25x8+125x16； (3)-a3b2+a2b3； (4)-x3y3-x2y2-xy； (5)-3ma3+6ma2-12ma；
取公因式。
② 对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解。 ③ 对于二次三项式，考虑应用完全平方公式分
解。
练习题
- 版权所有-
练习题：
把下列各式分解因式：（ x － y） 3 －（ x － y）
a2 － x2y2
解：（ x －y）3 －（ x －y） = （ x －y）（ x －y ＋ 1）（ x －y － 1） a2 － x2y2 =（a ＋xy）（ a － xy ）
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） ② a2 ＋2ab ＋ b2 ＝（a＋b）2 [ 平方差公式 ] [ 完全平方和公式 ] [ 完全平方差公式 ]

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完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的二倍，符号不限．
应用完全平方式
例1 分解因式： 2 2 2 16 x + 24 x + 9 x + 4 xy 4 y （ 1）；（2）．
2 16 x + 24 x+9 解：（1） 2 （4 x） + 2 4 x 3+32 2 （4 x+3）；
综合运用完全平方式
例2 分解因式： 2 2 2 3 ax + 6 axy + 3 ay （ a + b ） -12 （a+b） +36 ．（ 1）；（2）
2 2 3 ax + 6 axy + 3 ay 解：（1）
=3（ a x 2 + 2 xy+y 2）
2 =3（ a x y）；
了解公式法的概念
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）因式分解的完全平方公式在应用时应注意什么？
布置作业
教材习题14.3第3、5（1）（3）题．
2 a 2 2ab+b 2 =（a b）
理解完全平方式
我们把 a 2 + 2ab+b 2 和 a 2 - 2ab+b 2 这样的式子叫做完全平方式．利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解．
理解完全平方式
下列多项式是不是完全平方式？为什么？ 2 a （ 1） - 4 a + 4 ；（2） 1+ 4a 2 ；（3） 4b 2 + 4b+1 ；（4） a 2 +ab+b 2 ．
八年级
上册
14.3 因式分解（第3课时）
课件说明
• 本课是在学生学习了分解因式的平方差公式的基础上，研究第二个公式——完全平方公式，学习运用完全平方公式来分解形式为完全平方式的多项式．
课件说明
• 学习目标： 1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解． 2．综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解． • 学习重点：运用完全平方公式分解因式．
理解完全平方式
2 a 2 + 2ab+b2 =（a+b） 2 a 2 - 2ab+b 2 =（a-b）
（1）完全平方式的结构特征是什么？（2）两个平方项的符号有什么特点？（3）中间的一项是什么形式？
理解完全平方式
2 a 2 + 2ab+b2 =（a-b）
探索完全平方公式
2 a 2 + 2ab+b2 =（a+b） 2 a 2 - 2ab+b 2 =（a-b）
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括你的发现.
探索完全平方公式
把整式的乘法公式——完全平方公式把整式的乘法公式——完全平方公式 2 （a b） =a 2 2ab+b 2 反过来就得到因式分解的完全平反过来就得到因式分解的完全平方公式：方公式：
探索完全平方公式
2 2 2 2 a + 2 ab + b a 2 ab + b 你能将多项式与多项式分解因式吗？
追问1 式吗？追问2 追问3
你能用提公因式法或平方差公式来分解因这两个多项式有什么共同的特点？
你能利用整式的乘法公式——完全平方公 2 式（a b） =a 2 2ab+b 2 来解决这个问题吗？
综合运用完全平方式
例2 分解因式： 2 2 2 3 ax + 6 axy + 3 ay （ a + b ） -12 （a+b） +36 ．（ 1）；（2）
2 -12 （a+b） +36 解：（2）（a+b） 2 =（a+b-6）．
综合运用完全平方式
练习2 将下列多项式分解因式： 2 2 3 （1） ax + 2a x+a ； 2 2 3 x + 6 xy 3 y ．（ 2）
应用完全平方式
例1 分解因式： 2 2 2 16 x + 24 x + 9 x + 4 xy 4 y （ 1）；（2）．
2 2 x + 4 xy 4 y 解：（2）
=-（x 2 - 4 xy+ 4 y 2）
2 =-（x- 2 y）．
应用完全平方式
练习1 将下列多项式分解因式： 2 x （1） +12 x+36； 2 2 2 xy x y ；（ 2）（3） a 2 + 2a+1；（4） 4 x 2 - 4 x+1．