八年级因式分解PPT课件
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因式分解—提公因式法PPT课件(数学人教版八年级上册)
(3)a2-b2=(a+b)(a-b) √ (4)a2-2a+1=(a-1√)2
分析：(1)是由乘积形式转化为多项式，不属于因式分解. (2)变形后仍为和的形式，不属于因式分解. (3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式， 属于因式分解.
初中数学
探究新知
问题：观察多项式pa＋pb＋pc，有什么特点吗？
初中数学
练习 下列因式分解正确的是（ C）
A. m(a b) n(a b应) 为 ((aa-bb)()mm+nn×) B. m(x y) n( y x) (x y)(m n×)
原式变形为m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)
C. mn(x y) mn (x y 1)mn√
D. 3(x y)2 2(x y) (x y)(2x 3y 2)×
(x-y)[3(x-y)+2] =(x-y)(3x-3y+2)
初中数学
例 用简便方法计算：
210 29 28
解： 210 29 28 28 (22 21 20 ) 28 (4 2 1)
256
初中数学
整式乘法
初中数学
x2 1
因式分解 整式乘法
(x 1)(x 1)
因式分解：是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式. 互为逆运算
整式乘法：是把几个整式乘积的形式化为多项式.
初中数学
练习：下列变形中，属于因式分解变形的是_(3;ac × (2)x3+2x2-3=x2(x+2)-3×
练习 把下列各式分解因式：
(1) a3 a2b (3) 5x2 y 10xy2 15xy
(2) 12ab 6bc (4) 8a3b2 12ab3c ab
分析：(1)是由乘积形式转化为多项式，不属于因式分解. (2)变形后仍为和的形式，不属于因式分解. (3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式， 属于因式分解.
初中数学
探究新知
问题：观察多项式pa＋pb＋pc，有什么特点吗？
初中数学
练习 下列因式分解正确的是（ C）
A. m(a b) n(a b应) 为 ((aa-bb)()mm+nn×) B. m(x y) n( y x) (x y)(m n×)
原式变形为m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)
C. mn(x y) mn (x y 1)mn√
D. 3(x y)2 2(x y) (x y)(2x 3y 2)×
(x-y)[3(x-y)+2] =(x-y)(3x-3y+2)
初中数学
例 用简便方法计算：
210 29 28
解： 210 29 28 28 (22 21 20 ) 28 (4 2 1)
256
初中数学
整式乘法
初中数学
x2 1
因式分解 整式乘法
(x 1)(x 1)
因式分解：是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式. 互为逆运算
整式乘法：是把几个整式乘积的形式化为多项式.
初中数学
练习：下列变形中，属于因式分解变形的是_(3;ac × (2)x3+2x2-3=x2(x+2)-3×
练习 把下列各式分解因式：
(1) a3 a2b (3) 5x2 y 10xy2 15xy
(2) 12ab 6bc (4) 8a3b2 12ab3c ab
课件《因式分解》精品PPT课件_人教版2
十字相乘法②随堂练习： 1）4a2–9a+2 a 24a 1
2）7a2–19a–6 7a 2a 3 3）2(x2+y2)+5xy 2x y x 2y
例 .将 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5 分解因式 解：2(6x2 ＋x)2－11(6x2 ＋x) ＋5 = [(6x2 ＋x) －5][2(6x2 ＋x)－1] = (6x2 ＋x－5) (12x2 ＋2x－1 ) = (6x －5)(x ＋1) (12x2 ＋2x－1 )
x2 13x 42 x 6 x 7
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进
我
行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.
3.符号规律：
当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
3.(x-2)(x+1)= x2-x-2
4.(x-2)(x-1)= x2-3x+2 5.(x+2)(x+3)= x2+5x+6 6.(x+2)(x-3)= x2-x-6 7.(x-2)(x+3)= x2+x-6 8.(x-2)(x-3)= x2-5x+6
(x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
2
-1
例1:2x2－7x+3
解：原式=(2x-1)(x-3) 1
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
北师大版初中八年级下册数学课件 《公式法》因式分解PPT(第1课时)
强化训练
2. 证明：任意两奇数的平方差能被8整除. 证明：设任何奇数为2m＋1,2n＋1(m,n是整数） 则(2m＋1) ²-(2n＋1) ² ＝（2m＋1＋2n+1）（2m-2n） ＝4(m-n)(m+n＋1) 可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可， 若m,n都是奇数或偶数，则m-n为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)能被8整除， 若m,n都为一奇一偶，则m+n+1为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)也能被8整除， 所以，任意的两个奇数的平方差能被8整除.
解：∵b²+2ab=c²+2ac， ∴b²－c²+2ab－2ac=0， ∴（b+c）（b－c）+2a（b－c）=0， （b－c）（b+c+2a）=0． ∵a，b，c为三角形三边，所以b+c+2a＞0， ∴b－c=0，即b=c．所以△ABC为等腰三角形．
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形式 2.公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
强化训练
1.已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a²c²－b²c²＝a4-b4，是判断∆ABC的形状. 解：a²c²-b²c²=a4-b4， a²c²-b²c²-a4+b4=0， c²(a²-b²)-(a²+b²)(a²-b²)=0 (a²-b²)(c²-a²-b²)=0 (a＋b) (a-b)(c²-a²-b²)=0 其中a＋b≠0， ∴a-b=0或c²-a²-b²=0 ∴a²＋b²=c²或a＝b. ∆ABC是直角三角形,或∆ABC是等腰直角三角形.
人教八年级数学上册整式的乘法与因式分解《整式的乘法》公开课教学课件
（2）( ⋅ ) = ，() = ，
（3）原式＝(−0.125 × 2 × 4)9 = (−1)9 = −1．
积的乘方法则：
a nb n
(ab)n=______.(n为正整数)
即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘.
拓展：(abc)n=anbncn.
(6) a2·(a4)2 =____.
a10
计算：(1) (2×3)2与22×32；(2) (2×5)3与23×53.
填空：
62
36
36
∵ (2×3)2 =_____=_____
22×32 =_____=_____，
4×9
∴ (2×3)2___2
= 2×32
103 1000 23×53 =________=_____，
6
= ( − ) − −
=0
6
（2）解原式=
2
(− )
3
×
2
= (− ) × (−1)2018 × 1
3
2
=−
3
2
[(− )
3
×
3 2018
( )]
×
2
1
12．阅读计算：
阅读下列各式：()2 = 2 2 ，()3 = 3 3 ，()4 = 4 4 …
回答下列三个问题：
A.①②
②(210×510)2;
B.①④
③(2×5×105)×106;
C.②③
D.③④
④(103)4.
m6n9
6.计算:(1)(m2n3)3=_______;
-27b6
(2)(-3b2)3=_______;
(3)(-2a3b)4=________;
（3）原式＝(−0.125 × 2 × 4)9 = (−1)9 = −1．
积的乘方法则：
a nb n
(ab)n=______.(n为正整数)
即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘.
拓展：(abc)n=anbncn.
(6) a2·(a4)2 =____.
a10
计算：(1) (2×3)2与22×32；(2) (2×5)3与23×53.
填空：
62
36
36
∵ (2×3)2 =_____=_____
22×32 =_____=_____，
4×9
∴ (2×3)2___2
= 2×32
103 1000 23×53 =________=_____，
6
= ( − ) − −
=0
6
（2）解原式=
2
(− )
3
×
2
= (− ) × (−1)2018 × 1
3
2
=−
3
2
[(− )
3
×
3 2018
( )]
×
2
1
12．阅读计算：
阅读下列各式：()2 = 2 2 ，()3 = 3 3 ，()4 = 4 4 …
回答下列三个问题：
A.①②
②(210×510)2;
B.①④
③(2×5×105)×106;
C.②③
D.③④
④(103)4.
m6n9
6.计算:(1)(m2n3)3=_______;
-27b6
(2)(-3b2)3=_______;
(3)(-2a3b)4=________;
北师大版八年级数学下册第四章4.和4.因式分解公式法课件
练习：课本100页，知识技能1
例2
把下列各式因式分解:
总结
1.分解因式的步骤：
(1)9(m＋ n)2－(m－n)2
(2)2x3－8x
（1）提；（2）套
2.整体思想
解：(1)原式＝[3(m+n)]2－(m-n)2 (2）原式＝2x(x2-4)
＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] ＝2x(x2-22)
(2)原式=-( − + ) =-(a-2b)2 1.提 2.套
(3）原式＝y(y2－4y+4）
= y(y－2)2．
（4）原式= (y2 + x2 )2 -（)
=(y2 + x2 +2xy)(y2 + x2 -2xy) = + 2 ( − )2
先破后立
练习：名校课堂67页-68页
=( 2 +4 2 )(x+2y)(x-2y)
=(x+3)(x-3)
先破后立：
若一个多项式没有公因式，也不能直接运用公式时，
要把多项式化简，然后再考虑用适当的方法分解
练习：课本100页知识技能2（1）（3）（5）
想一想:以前学过两个乘法公式
a b
2
a b
2
a 2ab b
y）］
=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）
=（13x－y）（13y－x）;
（2） -16
（3） （ − ) +2(x-5)
解（2）原式= ( 2 )2 −( )
(3)原式= -2x+1+2x-10
北师大版八年级数学下册第四章《4.1 因式分解(1)》公开课课件
练习三 拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042 +2004 能被2005 整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
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x 2 _ 2_ _ _ _ 3_ _ x _ _ 2_ ×_ 3_
x__ 2_x__ 3_
把填上的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于
x2 5x6
(5) 从第(2)、(3)、(4)题，你能看出把因式分解的关键步骤是什吗？
将常数项6分解成两个因式的积，
2020年10月2日
10
两因数的和恰好等于一次项系数．
2 与3 , 1 与5, －1与－6, －2与－3
一次项系数5是否等于6的两个因数的和？
等于：有2＋3＝5 1+5=6
2020年10月2日
9
（3）根据第（2）题，你能在下列横线上方填写适 当的数吗？
x 2 5 x x 2 _ 2_ _ _ _ 3_ _ x _ 2_ ×_ _ 3_
(4) 第(3)右端的多项式能写成两个一次多项式的乘积吗?
2
这一章我们介绍了因式分解的两种方法：
1.提公因式法．
关键是找出各项的公因式，步骤如下： （1）公因式的系数，如果多项式的系数为整数，则取各项系数 的绝对值的最大公因数作为公因式的系数，如果原来多项式的第 1项的系数为负，则把负号提出，此时括号内的各项要变号．
（2）公因式含的字母是各项中相同的字母，字母的指数取各 项中次数最低的．
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
11
xabyab
abxy
例4 在实数范围内分解因式．
1 x2 5
2
x2 5
2 x410x225
x2 5 2
x 5x 5
2Leabharlann 2x 5 x 52020年10月2日
8
探究题
1. 你能把多项式 x2 5x6 因式分解吗？
（1）上式能用完全平方公式分解吗？
不能
x2 5x6
（2）常数项6是那两个整数的乘积？
2020年10月2日
4
在因式分解中需要注意以下几个问题：
（1）常常要先提公因式，然后再用公式法进行因式分解． （2）因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止， 至于什么样的多项式不能表示成两个多项式的乘积的形式，这 跟多项式的系数在使什么数集有关系，例如，在系数为有理数 的多项式组成的集合中，x2－2不能表示成两个一次多项式的 乘积的形式，但是在系数为实数的多项式组成的集合中，有
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
x22x2x2
2020年10月2日
5
例1 把下列多项式分解因式
1 6x212x6
6x22x1
6 x 12
2 x2xyx
xxy1
3 x2xyy2yx
xyx2y2
xy2xy
4 a 2 a b 2 a b a b b 2 a b
a b a 22 a b b 2
ab ab 2020年10月2日
2020年10月2日
1
本章学习多项式的因式分解，把一个多项式表示 成若干个起着“基本建筑块”作用的多项式的乘积的 形式，这为解决许多问题架起了桥梁，例如．以后我 们要学习的分式的约分，解一元二次方程，解一元二 次不等式等，都需要把多项式因式分解的，因式分解 还可以在许多实际问题中简化计算．
2020年10月2日
（3）公因式含的式子是各项中相同的式子，该式子的指数 取各项中次数最低的．
在找出公因式后，把多项式的每一项写成公因式乘以其余因式 2的020形年1式0月，2日这样把公因式提出后，括号内的各项就很容易写出．3
2. 公式法.
把平方差公式，完全平方公式从右到左地使用， 就可以把某些类型的多项式因式分解．
2
6
例2 把下列多项式分解因式
1 x2 144
x12x12
2 x4 81
x29x29
x29x3x3
3 4x220x25
2x 52
44a412a2b29b4
2a2 3b2 2
2020年10月2日
7
例3 把下列多项式分解因式
1x3x2x1
x2x1x1
x1x21
2axbxayby
axbxayby
x__ 2_x__ 3_
把填上的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于
x2 5x6
(5) 从第(2)、(3)、(4)题，你能看出把因式分解的关键步骤是什吗？
将常数项6分解成两个因式的积，
2020年10月2日
10
两因数的和恰好等于一次项系数．
2 与3 , 1 与5, －1与－6, －2与－3
一次项系数5是否等于6的两个因数的和？
等于：有2＋3＝5 1+5=6
2020年10月2日
9
（3）根据第（2）题，你能在下列横线上方填写适 当的数吗？
x 2 5 x x 2 _ 2_ _ _ _ 3_ _ x _ 2_ ×_ _ 3_
(4) 第(3)右端的多项式能写成两个一次多项式的乘积吗?
2
这一章我们介绍了因式分解的两种方法：
1.提公因式法．
关键是找出各项的公因式，步骤如下： （1）公因式的系数，如果多项式的系数为整数，则取各项系数 的绝对值的最大公因数作为公因式的系数，如果原来多项式的第 1项的系数为负，则把负号提出，此时括号内的各项要变号．
（2）公因式含的字母是各项中相同的字母，字母的指数取各 项中次数最低的．
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
11
xabyab
abxy
例4 在实数范围内分解因式．
1 x2 5
2
x2 5
2 x410x225
x2 5 2
x 5x 5
2Leabharlann 2x 5 x 52020年10月2日
8
探究题
1. 你能把多项式 x2 5x6 因式分解吗？
（1）上式能用完全平方公式分解吗？
不能
x2 5x6
（2）常数项6是那两个整数的乘积？
2020年10月2日
4
在因式分解中需要注意以下几个问题：
（1）常常要先提公因式，然后再用公式法进行因式分解． （2）因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止， 至于什么样的多项式不能表示成两个多项式的乘积的形式，这 跟多项式的系数在使什么数集有关系，例如，在系数为有理数 的多项式组成的集合中，x2－2不能表示成两个一次多项式的 乘积的形式，但是在系数为实数的多项式组成的集合中，有
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x22x2x2
2020年10月2日
5
例1 把下列多项式分解因式
1 6x212x6
6x22x1
6 x 12
2 x2xyx
xxy1
3 x2xyy2yx
xyx2y2
xy2xy
4 a 2 a b 2 a b a b b 2 a b
a b a 22 a b b 2
ab ab 2020年10月2日
2020年10月2日
1
本章学习多项式的因式分解，把一个多项式表示 成若干个起着“基本建筑块”作用的多项式的乘积的 形式，这为解决许多问题架起了桥梁，例如．以后我 们要学习的分式的约分，解一元二次方程，解一元二 次不等式等，都需要把多项式因式分解的，因式分解 还可以在许多实际问题中简化计算．
2020年10月2日
（3）公因式含的式子是各项中相同的式子，该式子的指数 取各项中次数最低的．
在找出公因式后，把多项式的每一项写成公因式乘以其余因式 2的020形年1式0月，2日这样把公因式提出后，括号内的各项就很容易写出．3
2. 公式法.
把平方差公式，完全平方公式从右到左地使用， 就可以把某些类型的多项式因式分解．
2
6
例2 把下列多项式分解因式
1 x2 144
x12x12
2 x4 81
x29x29
x29x3x3
3 4x220x25
2x 52
44a412a2b29b4
2a2 3b2 2
2020年10月2日
7
例3 把下列多项式分解因式
1x3x2x1
x2x1x1
x1x21
2axbxayby
axbxayby