2018年秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解第4课时因式分解的一般步骤作业(新版)华东师大版
八年级数学上册第十二章整式的乘除12.5因式分解教案新版华东师大版(20200217174033)
12.5因式分解教学目标：1.了解因式分解的意义；2.理解因式分解与整式乘法的相互关系；3.初步了解，运用提取公因式法、公式法分解因式.4.培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法以及逆向思维的意识和方法.教学重点与难点：重点：因式分解的概念及提取公因式法、公式法的运用.难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，正确提公因式、应用公式法.教学过程：试一试下面算式等于？ma+mb+mc=___________________a2-b2=_______________________a2+2ab+b2=_____________________【答案】m(a＋b＋c)(a＋b)(a－b)(a＋b)2新知学习知识点 1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式因式分解.说明：(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式？知识点 2 公因式：一个多项式各项都含有的相同的因式,叫做这个多项式的公因式.3x+6=3( )7x 2-21x =7x ( ) 24x 3+12x 2 -28x =4x ( ) -8a 3b 2+12ab 3c -ab =-ab ( )【答案】x +2x -36x 2+3x -78a 2b -12b 2c +1知识点 3 提公因式法：把一个多项式中的公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.知识点4公式法：利用乘法公式对多项式进行因式分解的这种因式分解的方法就称为公式法. 平方差：完全平方：新知应用例1：把下列多项式分解因式：（1）-5a 2+25a ；（2）3a 2-9ab ；（3）25x 2-16y 2；（4）x 2+4xy +4y 2解：（1） -5a 2+25a=5a (-a )+5a 5=5a (-a +5)= -5a (a -5)（2）3a 2-9ab=3a (a -3b )（3）25x 2-16y 2=(5x )2-（4y ）２=(5x +4y )(5x -4y )（4）x 2+4xy +4y 2=x 2+2·x ·２y +(2y )2=（x+2y）２例2：把下列多项式分解因式：（1）4x3y-4x2y2+xy3（2）3x3-12xy2解：（1）4x3y-4x2y2+xy3=xy(4x2-4xy+y2)=xy(2x-y)2（2）3x3-12xy2=3x(x2-4y2)=3x(x-2y)(x+2y)知识概括1. 方法规律：一个多项式各项的公因式必须由三部分组成：(1)各项整数系数的公因式；(2)各项相同的字母；(3)相同因式的指数取最小.2. 解题方法：(1)用提公因式法分解因式后，剩下因式不能再有公因式；(2)公因式提出后，剩下公因式求法：用公因式去除多项式各项，所得商即为另一个因式.3. 方法技巧：(1)用提公因式法分解因式的一般步骤：A.确定公因式B.把公因式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式.4.根据平方差公式、完全平方公式的类型套公式因式分解.课堂巩固把下列多项式分解因式：①21xy-14xz+35x2②15xy+10x2-5x③12a（x2+y2）-18b（x2+y2）④（2a+b）（3a-2b）-4a（2a+b）【答案】①7x（3y-2z+5x）；②5x（3y+2x-1）；③6（x2+y2）（2a-3b）；④-（2a+b）（a+2b）。
华师大版八年级数学上册课件-第12章 整式的乘除
练习 下面的计算对不对？若不对，应当怎样改正？
（1） x6 x2 x3； （2） a3 a a3； （3） y5 y2 y3； （4）（-c）4 （-c）2 -c2.
例1 计算:
（1）x8÷x2 ；（2） a4 ÷a ；
（3）(ab) 5÷(ab)2；
思考：当底数是几个因式的积或是一个多项式时,需要 怎么看待? 解: (1) x8 ÷x2=x 8-2=x6.
学习目标
1.理解幂的乘方法则； 2.运用幂的乘方法则进行计算．
合作探究 达成目标
探究点一 幂的乘方法则的推导
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的
结果有什么规律:
(1)（32）3 = 32×32×32 = 3( )
(2)（a2）3 = a2 × a2 × a2 =a( )
(3)（am）3 =
试一试
计算：
(ab)3= (ab)• (ab)•(ab) = (a•a•a)•(b•b•b) = a3b3
(ab)4 = a4b4
由 (ab)3 = a3b3
(ab)4 = a4b4 从左到右的变化
猜想 (ab)n= anbn
(n是正整数)
根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：
（ab）（n n是正整数）．
1．下列各式中运算正确的是（ ） A．a2·a5=a20 B. a2+a5=a7 C. a2·a2=2a2 D. a2·a5=a7 2.下列能用同底数幂进行计算的是（ ） A.(x+y)2(x-y)3 B.（-x+y）3（x+y）2
C.(x+y)2(x+y)3 D.-(x-y)2(-x-y)
3.计算：
推广：（abc）n =anbncn.
《因式分解》整式的乘除与因式分解
《因式分解》整式的乘除与因式分解汇报人：日期:CATALOGUE目录•整式的乘除•因式分解的方法•因式分解的应用•因式分解的实践练习•因式分解的注意事项和易错点•因式分解的复习与巩固01整式的乘除单项式乘单项式系数乘法：将两个单项式的系数相乘作为积的系数。
相同字母的幂相乘：把一个单项式的字母因数与另一个单项式的相同字母的幂相乘作为积的一个因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
对于只在第二个单项式里含有的字母，则连同它的指数也作为积的一个因式：同样地处理其他的单项式。
系数相除将除式的系数与被除式的系数相除作为商的系数。
相同字母的幂相除把被除式的相同字母的幂与除式的相同字母的幂相除作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
单项式除以单项式•按整式乘法法则进行计算：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式乘多项式•顺序：先乘方，再乘除，然后加减；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序进行。
整式的混合运算02因式分解的方法总结词提公因式法是因式分解中最基本的方法之一，其核心是将多项式中的公因式提取出来，形成新的多项式。
详细描述提公因式法适用于有公因式的多项式。
通过将多项式中的公因式提取出来，放在多项式的最前面，然后除以公因式得到新的多项式。
这个方法可以简化多项式的计算和化简过程。
提公因式法公式法是因式分解中比较常用的方法之一，其核心是利用已知的公式或定理来进行因式分解。
总结词公式法适用于一些特定的多项式。
这些多项式往往有对应的公式或定理可以利用来进行因式分解。
通过将多项式代入公式或定理中，可以得到新的多项式，从而简化计算和化简过程。
详细描述公式法十字相乘法总结词十字相乘法是一种特殊的因式分解方法，其核心是将二次项和常数项分别用交叉相乘的方式进行因式分解。
详细描述十字相乘法适用于一些特定的二次多项式。
华东师大版八年级上册数学第12章12.5 因式分解
课堂小结
定义
am+bm+mc=m(a+b+c)
因式 分解
方
确定公因式的方法：三定，
即定系数；定字母；定指数
提公因式法
分两步：第一步找公因
法
式；第二步提公因式
公式法
（下节课学习）
注意
1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
1．公因式： 多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之
为公因式．
2．相信我能行：
多项式
8x＋12y 8ax＋12ay 8a3bc＋12a2b2y 9x2－6xy＋3x
公因式
4 4a 4a2b 3x
3.相信我能行，填空： (1) 2x－6xy＝_2_x_(_1_－__3_y_)； (2) －6x3＋9x2＝_－__3_x_2(_2_x_－__3_)． 提公因式法：
3．观察以上两组题目有什么不同点？又有什么联系？ 答：左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运算 的变形过程． 4.归纳概括：把__一__个__多__项__式__化__为__几__个__整__式__的__积__的__形__式__， 叫做多项式的因式分解．
5．判断：下列各式由左到右变形，哪些是因式分解？
情景导入
1．情境引入 这是教室的一块大黑板，如图所示，请同学们计算它 的面积． (1)问：m(a＋b＋c)与ma＋mb＋mc相等吗？ 答：相等，m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc. (2)从左边到右边的变形是什么？从右边到左边的变形 是什么？ 答：整式乘法，因式分解．
2．温故知新 (1)整式乘法有几种形式？ 答：单项式乘以单项式；单项式乘以多项式；多项式 乘以多项式． (2)乘法公式有哪些？ 答：平方差公式；完全平方公式．
12.5.1提公因式法+课件+2024—2025学年华师大版数学八年级上册
掌握新知
例2 如何确定下面多项式的公因式？
找 3 (x+y) 2 + 6 (x+y) 的公因式.
系数：
最大公约数， 字母：
即为3
都有的多项
式x+y
相同字母的最 低次数，即为1
公因式既可以是一
个单项式的形式，
也可以是一个多项
式的形式
掌握新知
做一做：把下列多项式因式分解：
(2) 原式 = 2022×(2022 + 1) - 20232 = 2022×2023 - 20232 = 2023×(2022 - 2023) = - 2023．
(3)原式= (-2)100×(-2 + 1) = 2100×(- 1) = - 2100.
巩固练习
3 . 20042+2004能被2005整除吗?
(1)3a＋3b；
(2)5x-5y+5z；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b；
(4)3m2n+6m2n2+9mn2.
解：(1)原式＝3(a＋b).
(2)原式＝5(x－y＋z).
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1).
(4)原式＝3mn(m＋2mn+3n).
巩固练习
1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)(5a-1)2=25a2-10a+1
整式乘法
(2)x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(3)(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(4)m2-42=(m+4)(m-4)
因式分解
(5)2πR+ 2πr= 2π(R+r)
数学华东师大版八年级上册PPT课件
16
思维训练
• 16．若a为整数, 则a3－a能被6整除吗? 为什么? • 解: 能．∵a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1), a为整数, ∴a－1, a, a＋1是三个连续的整数．∵任意三个连续的整数是6的倍数, ∴a3－a能被6整除．
17
• 17．已知a、b、c是△ABC的三边长, 试判断代数式(a2＋b2－ c2)2与4a2b2的大小． • 解: (a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2＋2ab)·(a2＋b2－c2－ 2ab)＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b－ c)(a－b＋c)．∵a、b、c是△ABC的三边长, ∴a＋b＋c＞0, a＋b－c ＞0, a－b－c＜0, a－b＋c＞0, ∴(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b－c)(a －b＋c)＜0, ∴(a2＋b2－c2)2＜4a2b2.
4
• 【典例】把下列各式分解因式: • (1)18x2y－50y3; • (2)ax3y＋axy3－2ax2y2. • 分析: 先提取公因式, 然后考虑用平方差公式或完全平方公 式进行因式分解． • 解答: (1)18x2y－50y3＝2y(9x2－25y2)＝2y(3x＋5y)(3x－5y)． • (2)ax3y＋axy3－2ax2y2＝axy(x2＋y2－2xy)＝axy(x－y)2.
()
• A．x(1－2x)2
B．x(2x－1)(2x＋1)
6
• 3．把多项式x2－6x＋9分解因式, 结果正确的是
A
()
• A．(x－3)2
B．(x－9)2
• C．(x＋3)(x－3)
D．(x＋9)(x－9)
A
• 4．多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是
华东师大版数学八年级上册第12章整式的乘除复习课件
17．对于任何实数，我们规定符号ab
c 的意义是：a
d
bx＋1＝0 时，x3＋x 1x－x－ 1 2的值．。
解：xx＋－12 3xx－1＝(x＋1)(x－1)－3x(x－2)＝x2－1－3x2＋6x＝－2x2＋ 6x－1，∵x2－3x＋1＝0，∴x2－3x＝－1，∴原式＝－2(x2－3x)－1＝2
检测练习
一、选择题 1.下列运算正确的是( D ) A．(x－2)2＝x2－4 B．x3·x4＝x12 C．x6÷x3＝x2 D．(x2)3＝x6 2.下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是( D ) A．(x－2y)(2y＋x) B．(2y－x)(－x－2y) C．(x－2y)(－x－2y) D．(－2y－x)(x＋2y)
多项 式的 乘法
单项 式的 除法
单项式与 多项式的 除法
乘法公 式（因 式分解）
同底数幂的乘法
am •an=am+n (m、n都是正整数) 幂的乘方 (am)n=amn (m、n都是正整数) 积的乘方
(ab)=an bn (n是正整数)
同底数幂的除法
1.am ÷an=am－n
(a≠0，m、n都是正整数，m>n)
4.反向思考法：如逆用乘法公式解题等。
中考考向分析 热点：整式的乘除法、整式乘法的应 用。
冷点：整式乘除法中技能性解题方法。
本章知识在中考中主要以选择、填空 题予以考查，少数中档题考查乘法公式的 应用，约占中考试卷的7%左右。
知识体系表解
整 式 的 乘 除
幂 的 运 算 性 质
单项 式的 乘法
单项式与 多项式的 乘法
（3）利用（2）猜想的结论计算： 29－28＋27－……＋23－22＋2。 解：在(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn中，取a＝2，b＝ －1，n＝10，得(2＋1)(29－28＋27－…＋23－22＋2－1)＝210－(－1)10， 即3(29－28＋27－…＋23－22＋2－1)＝1023，29－28＋27－…＋23－22＋2 －1＝341，∴29－28＋27－…＋23－22＋2＝342。
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
华师版八年级数学上册第12章 整式的乘除5 因式分解
（2）(a+b)(a-b)= a2-b2
（2）a2-b2=( a-b )( a+b )
（3）(a+b)2= a2+2ab+b2
整式乘法运算
（3）a2+2ab+b2=( a+b )2
把一个多项式化为几 个整式的积的形式
【详解】解：A.x2+2x+1=(x+1)2是完全平方公式因式分解，不合题意； B.x2+2x-1不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题 意； C.x2-2x+4+2x=x2+4x，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确， 不符合题意； D.x2-2x-4+2x=x2-4=(x+2)(x-2) ，能用平方差公式因式分解，故该选 项正确，符合题意； 故选：D．
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2
（3）-x2-y2 （4）-x2+y2
× √
-(x×2+y2) y√2-x2
★符合平方差的形式的
多项式才能用平方差公 式进行因式分解，即能 写成: ( )2-( )2的形式.
（5）x2-25y2 (x+√5y)(x-5y) （6）m2-1 (m+1√)(m-1)
知识点三 运用平方差公式因式分解 想一想： 多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式. 平方差公式：
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
12-5 (选学)第4课时 十字相乘法(课件)华东师大版八年级数学上册
9．把下列多项式分解因式：
(1)y2－20y＋99； 解：原式＝(x－9)(x－11)． (2)x2y2－7xy－44； 解：原式＝(xy－11)(xy＋4)． (3)(x＋y)2－5(x＋y) －36； 解：原式＝(x＋y－9)(x＋y＋4)． (4)(a＋b)2－2(a＋b)y －8y2. 解：原式＝(a＋b－4y)(a＋b＋2y)．
第12章 整式的乘除
12．5 因式分解 (*选学)第4课时 十字相乘法
知识点 十字相乘法分解因式 1．十字相乘法：对于二次三项式 x2＋px＋ab，如果 p＝a＋b，用十字表示
为
得到因式分解：x2＋px＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
2．对于二次三项式 mnx2＋px＋ab，如果 p＝mb＋na，用十字表示为 得到因式分解：mnx2＋px＋ab＝(mx＋a)(nx＋b)．
考点 1 二次项系数为 1 的二次三项式因式分解 例 1 把下列多项式分解因式： (1)x2＋3x＋2； (2)x2－5x＋6； (3)x2＋x－2； (4)x2－2xy－15y2. 【答案】解：(1)原式＝(x＋1)(x＋2)． (2)原式＝(x－2)(x－3)． (3)原式＝(x＋2)(x－1)． (4)原式＝(x－5y)(x＋3y)．
思维拓展 13．分解因式：3xy＋y2＋3x－4y－5. (提示：将式子中的 x 看作常数) 解：原式＝y2＋(3x－4)y＋(3x－5) ＝(y＋3x－5)(y＋1)．
11．若 x2＋px＋6 可以分解因式，那么整数 p 的取值是7、－7、5、－5 ．
12．分解因式： (1)(x－7)(x－8)－6； 解：原式＝x2－15x＋56－6 ＝x2－15x＋50 ＝(x－5)(x－10)．
(2)x2(x2＋5)－6； 解：原式＝x4＋5x2－6 ＝(x2＋6)(x2－1) ＝(x2＋6)(x＋1)(x－1)． (3)(a2－2a)(a2－2a－2)－3. 解：原式＝(a2－2a)2－2(a2－2a) －3 ＝(a2－2a－3)(a2－2a＋1) ＝(a－3)(a＋1)(a－1)2.
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[12.5 第4课时 因式分解的一般步骤]
、选择题
1. 分解因式a 2b — b 3,结果正确
的是( )
2
A. b (a + b )( a — b ) B . b ( a — b )
2 2
b (a — b ) D . b (a + b )
2. 把8a 3— 8a 2+ 2a 进
行因式分解，结果正确的是 （ ）
A. 2a (4 a 2— 4a + 1) B . 8a 2(a — 1)
3. 下列各因式分解正确的是 ( )
2 2
A. x + 2x — 1 = (x — 1)
B. — x 2 + ( — 2)2 = (x — 2)( x + 2)
3
C. x — 4x = x (x + 2)( x — 2)
2 2
D. (x + 1) = x + 2x + 1
1 1
4.若 y — x =— 1, xy = 2,则代数式—$x 3y + x 2y 2 — ?xy 3的值是( )
A. 2 B . — 2 C . 1 D . — 1
、填空题
5. ______________________________________ 分解因式：(1)2017 •荷泽 x 3 — x= ;
2 2
(2)2 mx —4 mxy + 2my = ________ .
2 2
3 3
6. 若 m = n + 2, n = m+ 2( m^n )，贝U m — 2mn+ n 的值为 _______
7. _________________________________ 分解因式：x n +1— 2x n + x n —1= . C. 2a (2 a — 1) D . 2a (2a + 1)
C.
三、解答题
&把下列各式分解因式:
2
2 2
(1)2 xy — 8xy + 8y ； (2)18 a — 50;
2 2 2 2
(3) x (y — 1) + 2x (y — 1) + (y — 1).
9.下面是某同学对多项式 (x 2— 4x + 2)( x 2— 4x + 6) + 4进行因式分解的过程.
解：设 x 2— 4x = y .
原式=(y + 2)( y + 6) + 4(第一步)
=y 2 + 8y + 16(第二步)
=(y + 4)2(第三步)
=(x 2— 4x + 4) 2.(第四步)
请问：
(1) 该同学因式分解的结果是否彻底？ __________ (填“彻底”或“不彻底”).若不彻底, 请直接写出因式分解的最后结果 __________ .
(2) 请你模仿以上方法尝试对多项式 (x 2— 2x ) •(x 2— 2x + 2) + 1进行因式分解. 操作归纳小刚同学动手剪了如图 K — 20 — 1①所示的正方形与长方形卡片若干张.
图 K — 20 — 1
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形(如图②)•根据这个图 a h
②
形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是
4。