2012届高考数学第一轮复习课件之等比数列

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法二：可用累加法，即bn－bn－1＝2n－8， bn－1－bn－2＝2n－10， b3－b2＝－2， b2－b1＝－4， b1＝ 8， 相加得bn＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8) (n－1)(－4＋ 2n－ 8) ＝ 8＋ ＝ n2 － 2 7n＋ 14(n∈N*). 6分
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【思路点拨】 (1)利用已知条件 求得a1与an，注意看a1是否适合an，通 过{an}求得{bn＋1－bn}的公差，利用迭 代法或累加法求bn. (2)利用bk－ak的单调性加以判 断．
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【解】 (1)已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an ＝8n(n∈N*)① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1 ＝8(n－1)(n∈N*) ② 2分 ①－②得2n－1an＝8，求得an＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴an＝24－n(n∈N*). 3分 由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2， ∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，
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注意：在使用等比数列的前n项 和公式时，应根据公比q的情况进行 分类讨论，切不可忽视q的取值而盲 目用求和公式．
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例2 设等比数列{an}的公比q<1，前n 项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an} 的通项公式．
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【思路点拨】
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【 解 】 由 题 设 知 a1≠0 ， Sn ＝ a1(1－ qn) ， 1－ q a1q2＝ 2① a1(1－ q2) 则 a1(1－ q4) ＝ 5× ② 1－ q 1－ q
三基能力强化
4．(教材习题改编)设等比数列 {an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn， S4 则 ＝________. a2 15 答案： 2
三基能力强化
5.在数列{an}，{bn}中，bn是an与 an＋1的等差中项，a1＝2，且对任意 n∈N*，都有3an＋1－an＝0，则{bn}的 通项公式bn＝________.
答案：B
三基能力强化
2．设a1＝2，数列{an＋1}是以3为 公比的等比数列，则a4的值为( ) A．80 B．81 C．54 D．53 答案：A
三基能力强化
an＋1 1 3． 已知{an}满足： a1＝1， ＝ ， an 2 则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 答案：B
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考点三 等比数列的性质
在等比数列中常用的性质主要 有： (1)对于任意的正整数m，n，p， q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq， 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝ap2. (2)对于任意正整数m，n，有an＝ a mq n － m.
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(3) 若 数 列 {an} 是 等 比 数 列 ， 则 1 2 {can}(c≠0)， {|an|} ， {an } ， { } 也是等 an 比数列，若 {bn} 是等比数列，则 {an·bn} 也是等比数列． (4)数列am，am＋k，am＋2k，am＋ 3k，…仍成等比数列． (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 是等比数列(q≠－1)．
第3课时
等比数列
基础知识梳理
1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从 第2项起，每 一项与它的 前一项的比等于 同一个常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫 等比数列的 公比，公比通常用字母 q (q≠0) 表示．
基础知识梳理
2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公 n－ 1 比为q，则它的通项an＝ a1q .
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∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－ (－4)＝2， ∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝ 2 n－ 6 ， 4 分 法一：迭代法得： bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋ ( b n－ b n－ 1 ) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8) ＝n2－7n＋14(n∈N*). 6分
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【名师点评】 (1)等比数列的性 质可以分为三类：一是通项公式的变 形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认 真分析，发现具体的变化特征即可找 出解决问题的突破口．(2)巧用性质， 减少运算量，在解题中非常重要．
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考点四 等比数列的综合应用
在解决等差、等比数列的综合题 时，重点在于读懂题意，而正确利用 等差、等比数列的定义、通项公式及 前n项和公式是解决问题的关键。
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【解析】 (1)∵a1·a89＝a44·a46＝ a452＝16， ∴a45＝±4. ∴a44·a45·a46＝±64. (2)∵{an}为正项等比数列， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比 数列． ∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)， 即122＝2(S3n－14)，得S3n＝86. 【答案】 (1)±64 (2)86
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(2)由(1)知等比数列{bn}中b1＝3， 公比q＝2， 所以an＋1－2an＝3×2n－1，
an＋ 1 an 3 于是 n＋ 1－ n＝ . 2 4 2 an 1 3 因此数列{ n}是首项为 ， 公差为 2 4 2 的等差数列， an 1 3 3 1 n＝ ＋ (n－ 1)× ＝ n－ ， 4 4 4 2 2 － 所以 an＝ (3n－1)·2n 2.
(2)∵bk－ak＝k2－7k＋14－24－k， 设f(k)＝k2－7k＋14－24－k， 8分 当k≥4时， 72 7 4－ k f(k)＝ (k－ ) ＋ －2 单调递 2 4 增且 f(4)＝ 1， ∴当k≥4时，f(k)＝k2－7k＋14－24－k≥1， 10分 又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0， ∴不存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1). 12分
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【思维总结】 由于数列和函数之间 有着密切的联系，所以在解决许多数列问 题时，可以借鉴函数的有关思想和方 法．本例第(2)问的解答，就是将bk－ak视 为关于k的函数f(k)，然后研究函数f(k)的 单调性，通过单调性，求出f(k)的取值范 围，再结合已知的几个函数值，判断出函 数f(k)在k∈N*时的取值范围，从而加以判 断得出结论，所以在解决数列问题时，应 善于运用函数的思想方法解决问题．
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c1 c2 cn (2)由 ＋ ＋…＋ ＝an＋1 得 b1 b2 bn cn－ 1 c1 c2 当 n≥2 时， ＋ ＋…＋ ＝an. b1 b2 bn－ 1 两式相减得：n≥2 时， cn ＝an＋1－an＝ 2. 8分 bn － ∴cn＝ 2bn＝ 2·3n 1(n≥2)．
*
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解：(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1 ＋4d，a14＝1＋13d， ∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)． 解得d＝2(∵d＞0).2分 ∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1. 3分 又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9， ∴数列{bn}的公比为3. ∴bn＝3·3n－2＝3n－1. 5分
基础知识梳理
3．等比中项 如果三个数a、G、b组成 等比数列，则
G b G 叫做 a 和 b 的等比中项，那么 ＝ ，即 a G
G2＝ ab .
基础知识梳理
b2＝ac是a，b，c成等比数列的什 么条件？ 【思考·提示】 b2＝ac是a，b， c成等比数列的必要不充分条件，当b ＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac 成立，但a，b，c不成等比数列，反 之，若a，b，c成等比数列，则必有b2 ＝ac.
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【名师点评】 等比数列的判定 方法还可利用通项公式法和前n项和 公式法． (1)通项公式法：若数列{an}通项 公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的 常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)前n项和公式法：若数列{an}的 前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0， q≠0,1)，则{an}是等比数列．
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例3 (1)在等比数列{an}中，当a1·a89＝ 16时，a44·a45·a46＝________. (2)已知各项均为正数的等比数列 {an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S2n＝ 14，则S3n等于________．
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【思路点拨】 运用等比数列的 性质：(1)若k＋l＝m＋n，则ak·al＝ a m· a n ； (2)若Sn是正项等比(公比不等于－ 1)数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－ Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，求 解．
Байду номын сангаас
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由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－ 4)(q2－1)＝0， (q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0， 因为q<1时，解得q＝－1或q＝－ 2. 当q＝－1时，代入①得a1＝2， 通项公式an＝2×(－1)n－1； 1 当 q＝－2 时， 代入①得 a1＝ ， 2 1 － 通项公式 an＝ ×(－ 2)n 1. 2
基础知识梳理
4．等比数列的前 n 项和公式 na1 (q＝ 1)， Sn＝a1(1－qn) a1－anq ＝ (q≠1). 1－ q 1－ q
三基能力强化
1．(2009年高考广东卷改编)已知 等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9 ＝2a52，a2＝2，则a1＝( )
A． 2 2 C. 2 B. 2 1 D. 2
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例1 (2009年高考全国卷Ⅱ)设数列{a } n 的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝ 4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明数列 {bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
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【思路点拨】 由已知条件，用an＋1， an表示出bn＋1，bn，从而可以得出证明． 【解】 (1)证明：由已知有a1＋a2＝ 4a1＋ 2， 解得a2＝3a1＋2＝5， 故b1＝a2－2a1＝3. 又 a n＋ 2 ＝ S n＋ 2 － S n＋ 1 ＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an， 于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)， 即 b n＋ 1 ＝ 2 b n. 因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等 比数列，