单位元是集合里的一种特别的元素
§2—3单位元、逆元、消去律及有限群的另一定义
第 6 讲§2—3 单位元、逆元、消去律及有限群的另一定义（1课时）( Identity inverses cancellation law and another definition of finite group )教学目的和要求：消去律是群这个代数体系所固有的代数特征，根据这个特征我们可以对有限群做出新的定义。
本讲要求学生能理解消去律的意义和有限群的新定义。
本讲的重点和难点：有限群的另一定义的证明本身并不长，但要吃透证明过程中的每一步骤，并非易事，要求同学能弄通这一定理的证明过程。
注意：本讲教材中的有些内容，已在前讲中讨论过了（譬如：单位元、逆元等概念），所以在本讲中，对有些内容只需一带而过。
一、复习本节中的许多概念在上节里都已出现，这里只稍微地提一下。
（1）单位元 任一个群G 中都在唯一的单位元e 具有性质：a ea ae G a ==∈∀,注：如果G 是加法群时，G 中的单位元换叫做“零元”，记为“0”（2）逆元 群G 中任一个元素a ，都在G 中有唯一的逆元1-a ，具有性质： e a a aa ==--11. 注：如果G 是加法群时，a 的逆元改叫做“负元”，并记为“a -”.（3）群元素的指数律和倍数律（略）（4）模n 剩余类加群]}1[,],2[],1[],0{[},{-=+n Z n .课后思考题：模n 剩余类集合n Z 对于给定的“加法”确实能构成一个加法群。
那么对于整数的乘法是否也能成群？譬如规定：][]][[ij j i =？为此，可做如下讨论.（1）如果},{⋅Z 成为群，那么单位元就只能是[]1——这一点凭直觉就能察觉出。
那么[]0会充当什么角色？[]0有逆元吗？（回答是否定的）（2）既然},{⋅Z 不能成群（都是 []0惹的祸）那么令]}1[,],2[],1{[]}0{[-=-=∙n Z Z n n . 这样一来，},{⋅∙n Z 就能成群吗？仔细观察会发现新问题：当6=n 时，]}5[],4[],3[],2[],1{[6=∙Z ，而]0[]6[]3][2[==这表明6∙Z 对运算不封闭，故也成不了群.（3）试问: },{⋅∙n Z 有可能成为群吗?对n 有什么要求?结论1：当p n =—素数时， },{⋅∙n Z 必是一个群.证明：∙（p Z ∙中元素对乘法是封闭的）]}1[,],2[],1{[-=∙p Z pp Z b a ∙∈∀][],[，则p 不整除a ，p 不整除b . 由于p 是素数，由素数的性质知p 不能整除ab （b p a p ab p 或若⇒ ）。
群的基本概念和性质
群的基本概念和性质数学中的一个重要结构是群，它是一种代数结构，可以用来描述对象之间的对称性和变换，以及它们之间的关系。
群是数学家们在研究几何、物理、化学等领域中发现的一种普遍存在的数学结构，具有广泛的应用价值。
一、群的定义群是一个集合G和一种操作“*”的代数结构，满足以下四个条件：1.封闭性：对于任意a和b属于G，a*b也属于G。
2.结合性：对于任意a、b和c属于G，(a*b)*c=a*(b*c)。
3.单位元：存在一个元素e属于G，满足对于任意a属于G，a*e=e*a=a。
4.逆元：对于任意a属于G，存在一个元素b属于G，满足a*b=b*a=e。
如果一个集合和它上面的运算满足以上四个条件，那么它就是一个群。
二、群的例子1.整数群整数集合Z构成了一个群，加法作为群操作符号。
整数集满足封闭性、结合性、单位元是0，逆元是-a。
2.置换群置换是一种把集合映射到自身的变换。
所有置换组成的集合构成了一个群，置换的乘法作为群的操作符号。
置换群的中心思想是通过变换得到更多结构的信息。
三、群的性质1.唯一性：给定一个群，它必须具有惟一的操作和单位元。
2.同态性：两个群h和g之间的函数f如若满足：（1） f(a* b)= f(a)* f(b)，(2)对于所有的a∈g, f(a)∈h,那f就是从h到g群的同态。
3.子群：一个群的子集，如果它自己也构成了一个群，那么它就是一个子群。
4.阶：一个群G的阶是指它包含的元素数量。
5.交换性：如果一个群的元素满足交换律，它就是一个交换群，也称为abelian群。
四、群的应用群的应用领域非常广泛，包括几何、物理、化学、密码学等。
在几何学中，群用于描述对象的对称性和变换，例如对称群是描述几何体对称性的群。
在物理学中，群被用于描述物理现象的对称性和变换，例如它可以用于描述粒子对称性和电磁场的对称性。
在化学中，群被用于描述分子的对称性。
在密码学中，群被用于构建公钥密码体制。
总的来说，群是一种非常有用的数学结构，它在科学、工程、计算机科学等领域都有着广泛而重要的应用。
离散数学-第四章 代数系统
(r1 r2 r1r2 ) r3 (r1 r2 r1r2 )r3
r1 r2 r3 r1r2 r1r3 r2 r3 r1r2 r3
r1 (r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2r3 )
(r1 r2 r3 r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2 r3 ) r1 r2 r3 r2 r3 r1r2 r1r3 r1r2 r3
1 3 5 7
7 5 3 1
1 3 5 7
1 3 5 7 3 3 5 7 5 3 5 7 1 7 3 7
6
三、运算的封闭性
定义在集合A上的运算在A上一定是封闭的. 定义在集合A上的运算在A的子集上是否封闭呢？
例５ 定义函数 : N N ，使 (n1 , n2 ) n1 n2
2
令S
(b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b)}
2
f : An A ，于是对于 A n 设有集合 A和函数 中的每一个有序 n元组 (a , a ,, a ) ,在 A 中必有 1 2 n 唯一个元素 a与之对应，即 f (a1 , a 2 , , a n ) a
er er el ， 令 e el er ，则 e 是 的单位元。 设 e 也是 的单位元， 则 e e e e 因此 e 是 的唯一的单位元。
因此， el
18
2． 零元
是集合A上的二元运算，若存在一元 素 z l A ，使得对于任意的 a A ,有 z l a z l ， 则称 z l是A中运算 的左零元；若存在一元素 ， 使得对于任意的 , zr a A a,则称 z是A中 zr A r 运算 z r 的右零元，若存在一元素 ，使得对于任 意 z A, a,则称Z是A中运算 z 的零 A z a a z 元。
白噪声随机过程、脉冲函数、单位元的关系
20ln 216.2 2.9131
250.1
，也就是说 3dB 带宽约为 5kHz，与设计值相符，说明可以使
用该脉冲函数对网络特性进行分析。
与网络分析仪相比，该方法省去了扫频源，在得到数据后仅需输入 Matlab 进行频 谱分析便可得到网络的频率特性，简便易行。
白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。是一种功率频谱密度为常数 的随机信号或随机过程。换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白 光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的 性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。相对的，其他不具有这一 性质的噪声信号被称为有色噪声。
图 1 5kHz 巴特沃斯低通滤波器
图 2 5kHz 巴特沃斯低通滤波器频率响应
图 3 系统响应
将示波器收集到的数据保存，并选取包含了输出脉冲的 512 组数据，在 Matlab 中 进行 FFT 变换，分析输出信号的频谱，如图 3、4 所示。
图 4 直流分量幅度
图 5 5kHz 附近的幅度
通过数据分析可知，输出最大值为 250.1，频率为 4758Hz 时输出约为 216.2，
随机过程课题研究
白噪声随机过程、脉冲函数、单位元的联系及其应用
组员：朱晨，蒋铼，卢桓
单位脉冲函数 (t) 是物理及工程技术中的一个重要的函数，有相当多的物理背景。 其物理意义为 t 0 在时刻有一个强度为 1 的冲击。工程上一般采用弱极限来定 义，但 (t) 与普通函数又不一样，不是值与值的对应关系，它是一个广义函数，而 其本质是一泛函。下面将给出 (t) 严格的数学定义以及结合傅里叶变换给出它的一 些性质及应用。
系统函数。
当一个网络的结构十分复杂，而我们并不了解它的特性，或是要检测一个已制好的 模块性能是否满足需求时，我们就需要对这个网络的传输特性进行分析。这一过程 通常通过网络分析仪来实现，网络分析仪包含扫频源，可输出不同频率的信号，将 这些信号输入系统，观测输出，即可得到系统的频率响应。这是一种常用的系统特 性分析方法。 利用脉冲函数通过线性系统的特点，我们可以使用脉冲函数来分析系统的传输特 性。将脉冲函数输入系统，对系统的输出信号进行采样，并利用 FFT 等算法分析输 出信号的频谱，便可得到系统函数。 然而现实世界中并不存在脉冲函数，仿真软件也不提供脉冲函数激励源。我们只能 做一个近似。可以在输入端加一大功率、高电压或电流输出的激励源，通过一个开 关将其接入电路，然后迅速断开，这样激励就近似为一个脉冲函数，系统的响应也 近似等于系统的单位冲激相应。 为了验证这个想法，使用 Multisim 进行仿真。设计一个如图 1 所示的巴特沃斯低 通滤波器，由于 Multisim 示波器的采样率较低，信号频率不应过高，故选其 3dB 带宽为 5kHz，其频率响应如图 2 所示。输入信号为 10V~0V、占空比 1%、频率为 10Hz 的方波。系统响应波形如图 3 所示。
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：${}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
—一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
群运算规则 -回复
群运算规则-回复引言：群运算是数学中重要的概念之一，它广泛应用于代数学、几何学和物理学等领域。
在群运算中，集合元素之间的运算必须满足一定的规则，这些规则被称为群的公理。
本文将以群运算规则为主题，逐步说明群的定义、群的运算性质以及一些常见的群结构，帮助读者更好地理解和应用群运算。
第一部分：群的定义1. 集合的定义：在群运算中，首先需要定义一个集合，用于存储待运算的元素。
集合中的元素可以是数字、字母、符号或其他对象。
2. 代数结构的定义：群是一种代数结构，它由一个集合和一个运算组成。
集合中的元素在该运算下满足一些特定的性质。
3. 群的定义：群是一个非空集合G，其中定义了一个二元运算*，满足以下四个公理：公理1：封闭性。
对于任意的a、b∈G，a*b仍然属于G。
公理2：结合律。
对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c = a*(b*c)。
公理3：单位元存在性。
存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a*e = e*a = a。
公理4：逆元存在性。
对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a*a' = a'*a = e，其中e表示单位元。
第二部分：群的运算性质1. 封闭性：群的封闭性是指在群的运算下，任意两个元素的运算结果仍然属于该群。
这意味着群中的运算不会使元素跳出该群。
2. 结合律：群的运算满足结合律，即无论如何添加括号，得到的结果都是一样的。
这保证了对于群中任意三个元素的运算，结果不会受到计算顺序的影响。
3. 单位元存在性：群中存在一个特殊的元素，称为单位元，它在群的运算下与其他元素的运算结果不变。
这个单位元类似于数学中的常数1，相当于群中的“零”。
4. 逆元存在性：群中的每个元素都有一个逆元，即与其相乘得到单位元的元素。
这类似于数学中的相反数，例如正整数与其相反数相乘得到0。
第三部分：常见的群结构1. 加法群：加法群是指群的运算定义为加法，并满足以下条件：封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
第八、十章习题课(1)
5. 证明：G 是由 a 生成的无限阶循环群，则 G 的生成 元只有 a 和 a-1。
证明：
b G=<a> ， 则
n Z ， 使 b=an 。 故
b=(a-n)-1=(a-1)-n，从而 a-1 也是 G 的生成元。 若 b 是 G 的生成元，则 k，m Z，分别满足 b=ak 和 a=bm。从而 b=(bm)k=bmk。若 km 1，则由消去 律可知 b 的阶是有限的， 这与|G|无限矛盾。 从而 km=1， 即 k=1，m=1 或 k=-1，m=-1。故 b=a 或 b=a-1。 从而 G 只有两个生成元 a 和 a-1。
h1，h2 C，对 g G，有 h1g=gh1，h2g=gh2。
故 (h1h2)g=h1(h2g)=h1(gh2)=(h1g)h2=(gh1)h2 =g(h1h2)，h1-1g=gh1-1。从而 h1h2，h1-1 C。故 C 是 G 的子群。 再证 C 是 G 的不变子群。 即证明对 g G， gC=Cg。 a gC， 则存在 h C 使得 a=gh。 则由 C 的定义且 h C 可知 a=gh=hg Cg， 从而 gC Cg。 同理可证， gC。 Cg 故 C 是 G 的不变子群。
a，b G，因为 G 是可交换群，故
f(a· b)=(a· -1=(b· -1=a-1· -1=f(a)· b) a) b f(b)。故 f 满 足同态方程。从而 f 是 G 上的自同构。
10. 若 群 <G,· 的 子 群 <H,· 满 足 |G|=2|H| ， 则 > > <H,· >一定是群<G,· >的正规子群。
重点和难点
群、环、域、向量空间
群、环、域、向量空间沐风信达代数结构(集合+一套运算规则)•概念•算术(arithmetic)，算术运算不仅仅指加减乘除，还可以是百分比、平方根、取幂和对数；算法的对象包括自然数、整数、有理数和实数(兴许还包括复数)；进制不仅仅是十进制，还可以是二进制、十六进制、六十进制。
算术运算不仅仅指加减乘除，还可以是百分比、平方根、取幂和对数；算法的对象包括自然数、整数、有理数和实数(兴许还包括复数)；进制不仅仅是十进制，还可以是二进制、十六进制、六十进制。
•代数，初等用符号(成了变量)代替具体的数字。
以解方程为中心的初等代数，抽象代数，群、环、域、向量空间，伽罗瓦(Évariste Galois, 1811-1832)是现代群论的创始人(与阿贝尔独立发明)，他利用群的概念彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题(称为伽罗瓦理论)，系统阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解，使代数学从解方程的科学转变为研究代数结构的科学，即把代数推广到抽象代数。
线性代数是抽象代数特殊的一类，其代数结构为：向量空间(vector spaces，也叫线性空间) + 线性变换(linear mappings)。
•从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这基础上进行研究。
一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构初等代数–>抽象代数•(1)数–> 集合•2)+ –> 二元运算，加号+被抽象为二元运算*•(3)0/1 –> 单位元，0和1被抽象成单位元(identity elements)，0为加法单位元，1为乘法单位元。
单位元是集合的一个特殊元素(跟二元运算有关)，满足单位元与其他元素相结合时，不改变该元素，即满足a ∗e = a 与e ∗a = a。
可见，单位元取决于元素与二元运算，如矩阵的加法单位元是零矩阵，矩阵的乘法单位元是单位矩阵。
•(4)负数–> 逆元素，对于加法，a的逆元素是-a；对于乘法，a的逆元素是倒数a^−1。
第一章 群的基础知识
低阶抽象群的乘法表
三阶群：
首先，我们可以完成如图 所示的部分；
G3 E A B
接下来，有两种可能：一种
是AA＝B，一种是AA＝E。
EEAB
若 AA ＝ E ， 则 BB ＝ E ， 这 样 ，
A A EB BE
我们就无法继续完成表格（不符 合重排定理），因此这种可能不
B B E A 存在。
此时，群元素B在第三列被列 只 能 是 AA ＝ B ， 这 样 ， AB ＝
若h阶有限群G中的某个元素A的级为r，则 {E,A,A2, …,Ar-1}构成了一个r阶循环子群。根据子 群的阶必是原群阶的除数可知，r一定能整除群G的 阶h。
据此，我们可以找出有限群的可能结构。
第一节 群的定义
设有一组元素的集合G{A,B,C,…}，其中定义有 称之为“乘法”的代数运算，给出由任意两个元素 按一定次序结合（相乘）得到确定的一个元素（乘 积）的规则，如果满足下列四个条件： （a）具有封闭性：群中任意两个元素的乘积或任 意一个元素的平方，仍然是群中的一个元素。即： A∈G 、 B∈G ， 则 AB∈G ， AA ＝ A2∈G ， BB ＝ B2∈G…。
第三节 群的乘法表
群中元素的数目为有限的称为有限群，群中元素的 数目为无限的称为无限群。 有限群中元素的数目称为群的阶，通常用h来表示。 从群的定义中我们可以看出“乘法”关系对于定义 一个群的重要性。同一个集合，“乘法”的定义不 同，就形成不同的群，或者对于一种“乘法”能构 成群，而对另一个乘法则不行。如：全体整数对于 数的加法构成一个无限群，而对于数的乘法则不够 成群。
低阶抽象群的乘法表
四阶群： G41 E A B C E E A BC A A B CE B B C EA C C E AB
现代分析习题答案
“ ” 任取 a,b S ，a bS . 我们得到零元属于 S(取 a b ). 取 a 为 零元，则得到 b 的加法逆（负元）属于 S. a b a (b)S . 加法交换 律自动成立. 所以 S 构成一个加法群.
1
{
0
0 1
， 01
0 1
} ，群作用由矩阵与向量的
乘积给出.
练习 7： （1）设群 G GL(n, R) ，集合 M 为所有的 n 阶实矩阵.定义
4
：G M M ， (g, A) gAg1 .
试证 为一个群作用. 并证明同一个轨道中的元素具有相同的秩，相同的 特征值. 解答提要：根据定义直接验证 为一个群作用. 由于在同一个轨道中的元 素（矩阵）是相似的，而相似矩阵有相同的秩和特征值.
（2）=> (3).若（2）成立，则对 a, b H ，有 a1 H ， b H . 因此有 a1 b H . （3）=> (1).在（3）的假设下，可以推出
（i） G 中单位元在 H 中.H 中的单位元就是 G 中的单位元 (取 a b H 即 得)
（ii）H 中元素 a 的逆仍然在 H 中.（取 b 为单位元即得） （iii）H 关于乘法运算封闭.若 a,b H ，则 a1 H（由（ii）得到），b H . 因此 (a1)1 b a b H （由假设得到）. H 中的结合律自然成立.
练习 5： 试证群作用下的两个轨道或者重合，或者不相交. 解答提要：
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在数学中， 群是一种代数结构， 由一个集合以及一个二元运算所组成。 要具有成为群的资格， 这个集合和运算必须满足一些被称为 “群公理” 的条件，也就是结合律、单位元和逆元。尽管这些对于很多数学结构 比如数系统都是很熟悉的，例如整数配备上加法运算就形成一个群， 公理的公式是从群和它的运算的具体天性中分离出来的。 这允许你以 灵活的方式处理有着非常不同的数学起源的实体， 而在抽象代数之上 保留很多对象的本质结构体貌。 群在数学内外各个领域中是无处不在 的，使得它们成为当代数学的中心组织原理。
S 上的一元运算就是函数。
接受两个输入的运算，称为二元运算。包括算术中的加减乘除，集合 论中的笛卡尔积等。二元运算是抽象代数的重要研究对象，包括对其 交换律、结合律的研究。
在数学里，逆元素广义化了加法中的加法逆元和乘法中的倒数。直观地说， 它是一个可以取消另一给定元素运算的元素。
设 S 为一有二元运算 * 的集合。若 e 为(S,*)的幺元且 a*b=e，则 a 称为 b 的左逆元且 b 称为 a 的右逆元。 若一元素 x 同时是 y 的左逆元 和右逆元时，x 称为 y 的为逆元。S 内的一有逆元的元素被称为在 S 内可逆的。 正如(S,*)可以有数个左幺元或右幺元一般，一元素同时有数个左逆 元或右逆元也是有可能的。甚至有可能有数个左逆元和右逆元。
数学上，运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量。 例如，算术中的加法 5 + 3 = 8，这里 5 和 3 是输入，8 是结果， 而加号“+”表明这是一个加法运算。常见的运算包括加法，乘法， 开方等等。 运算顺序：于同一式子中，先乘方、开方，再乘、除，最后加、减。 有括号时从最里面的括号开始算起，依次去掉括号。 只接受一个输入的运算，称为一元运算，包括逻辑非，开方等。集合
2
判断函数 y
lg （ x
4 x ） lg 2
2
的奇偶性。
已知 a 0 ， b 0 ，且 已知
1 a 9 b 1 ，求 a b 的最小值。
2 x
3 y
2 ( x 0 , y 0 ) ，则 xy 的最小值是_________________
已知
tan tan 1
1 ，求 sin sin cos 2
幺元是集合里的一种特别的元素，与该集合里的二元运算有关。当幺 元和其他元素结合时，并不会改变那些元素。幺元被使用在群和其他 相关概念之中。 设 (S,*) 为一带有一二元运算 * 的集合 S（称之为原群） ，则 S 内 的一元素 e 被称为左幺元若对所有在 S 内的 a 而言，
e * a = a ；且被称为右幺元若对所有在 S 内的 a 而言， a * e = a 。而若 e 同时为左单位元及右单位元，则称之为幺元。
若其运算 * 具有结合律，则当一元素有一左逆元和一右逆元时，这 两个会是相同且唯一的。在这一情形之下，可逆元的集合会是个群， 称为 S 的可逆元群，且标记为 U(S)或 S
*
。
每一实数 x 都会有一加法逆元(即加法上的逆元素)-x。每一非零实数 x 都会 有一倒数(即乘法上的逆元素)。此外，零没有倒数。
对应于加法的幺元称之为加法幺元（通常被标为 0 ），而对应于乘 法的幺元则称之为乘法幺元（通常被标为 1 ）。
集合
运算
单位元
ห้องสมุดไป่ตู้实数
+ (加法) 0
实数
• (乘法) 1
实数
ab (幂)
1 (只为右单位元)
矩阵
+ (加法) 零矩阵
方阵
• (乘法) 单位矩阵
集合 M 的子集 ∩ (交集) M
集合
∪ (联集) { } (空集)