【教育专用】四川省绵阳中学2018_2019学年高一数学下学期入学考试试题(扫描版)
四川绵阳中学2019高一下第一次抽考试卷--数学
四川绵阳中学2019高一下第一次抽考试卷--数学数学【一】选择题〔每题4分，共48分〕 1.cos165°的值为〔〕C.D.2.()()1,2,1,1a b m m =-=+-，假设//a b ，那么m =〔〕A.3B.3-C.2D.2- 3.4,0,cos 25x x π⎛⎫∈-=⎪⎝⎭，那么tan 2x =〔〕 A.247 B.247-C.724D.724-4.假设()1cos 75,1802703αα+=<<，那么()()cos 105sin 105αα-+-=〔〕5.化简sin 70sin 50cos110cos310+的结果为〔〕 A.12B.12-D.cos206.△ABC 中，AC =2，BC =1，cos B =，那么cos A =〔〕C.D.7.函数()2cos 2f x x x =-的图象可以由函数()4sin cos g x x x =的图象〔〕而得到。
A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位8.函数()27sin cos 2cos 4f x x x x =--++的最大值为〔〕 A.47B.2C.114D.1549.假设1,2ab ==，a 与b 的夹角为60°，23,c a bd ka b =+=-，且c d ⊥，那么k =〔〕A.b -B.bC.145- D.14510.22,3,p q p==与q 的夹角为4π，假设52AB p q =+，3AC p q =-，D 为BC 中点，那么AD =〔〕A.152C.7D.1811.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22A b c b+=，那么△ABC 是〔〕A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形12.,,a b c 是非零平面向量，且a 与b 不共线，那么方程20ax bx c ++=的解的情况是〔〕A.至多一解B.至少一解C.两解D.可能有无数解【二】填空题〔每题3分，共12分〕13.()()1,2,5,3a b =-=-，那么2a b -=_________________. 14.()11tan ,tan 243παββ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭，那么s i n s i n 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=______________. 15.梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =2CD ，E 、F 分别是AD ，BC 的中点，M 、N 在EF 上，且EM=MN=NF ，假设,AB a BC b ==，那么AM =________〔用,a b表示〕.16.()()()3,4,6,3,5,3OA OB OC m m =-=-=---，假设A 、B 、C 能构成三角形，那么m 的取值范围是_______________. 【三】解答题〔每题10分，共40分〕17.三角形的一条边长为14，这条边所对的角为60°，另两条边之比为8∶5，求S △ABC 。
绵中高一入学试题
绵中高一入学试题绵阳中学实验学校下学期入学考试数学(理)试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．{（0，1）}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}2．实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i3．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．274．以下四个命题中其中真命题个数是（）①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④若事件M和N满足关系)MNP+(，则事件M和N互斥．P=()M)(NPA．0 B．1 C．2 D．35．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13第5题图第8题图6．将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A ．在（0，）上单调递增，为奇函数B ．周期为π，图象关于（）对称C ．最大值为，图象关于直线x=对称 D ．在（﹣）上单调递增，为偶函数7．某中学早上8点开始上课,若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（） A ．932 B ．3223 C ．364 D ．5648．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A ．3B ．C ．4D ． 9．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得=4a 1，则+的最小值为（） A ．B ．C ．D ．10．在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（）A ．1200 B ．2400 C ．3000 D ．360011．抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，PM ⊥l 于点M ，线段MF 与抛物线C 交于点N ，若PF 的斜率为，则=（）A ．B ．C ．D ．12．定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f （x ），对于任意的x ∈（﹣1，+∞），f [f （x ）﹣xe x ]=0恒成立，则方程f （x ）﹣f ′（x ）=x 的解所在的区间是（） A ．（﹣1，﹣） B ．（0，） C ．（﹣，0）D ．（）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) 14．设F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，点M （a ，b ）．若∠MF 1F 2=30°，则双曲线的离心率为______．15．若x ，y 满足约束条件，则的最小值为______．16．已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足（2b﹣a）?cosC=c?cosA．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设y=﹣4sin2+2sin（C﹣B），求y的最大值并判断当y取得最大值时△ABC的形状．18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP 的长h；若不存在，请说明理由．19．4月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而收获更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动，校学生会实践部的同学随即抽查了学校的40名高一学生，通过调查它们是喜爱读（Ⅰ）根据如表，能否有的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系？（Ⅱ）从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．下列的临界值表供参考：20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x﹣1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得?为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，n∈R）．（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在[0，1]上的最大值；（2）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．[注意：7＜e2＜]．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
四川省绵阳市第一中学2019-2020学年高一第二学期入学考试数学试卷(PDF版,无答案)
数 学 试 题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页．满分100分，考试时间100分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在答题卡上；2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知点(3,2),(5,1)M N ---，则12MN 等于（ ） A ．(8,1) B ．(8,1)- C ．1(4,)2- D ．1(4,)2- 2．已知数列{}n a 满足11a =，13(2,)n n a a n n N *--=-≥∈，则20a 等于（ ）A ．54-B ．55-C ．56-D ．57-3．已知4AB a b =+，2BC b a =-，2()CD a b =+，则（ ）A ．,,ABC 三点共线B ．,,A B D 三点共线C ．,,A CD 三点共线 D ．,,B C D 三点共线4．已知数列{}n a 是等差数列，且310a =，820a =-，则公差d 等于（ ）A ．6-B ．3-C ．3D ．45．在ABC ∆中，已知a =b =030A =，则c 等于( )A ． BC ．D ．以上都不对6．等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值为（ ）A ．300B ．180C ．75D ．457．已知非零向量,a b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．在ABC ∆中，若2cos b a C =，则这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．已知向量(2,3)a =，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）A B ．5 C ．5D 10．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =则cos A 的值为（ ）A ．14-B ．12C ．13-D ．1311．如图所示，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+ 等于（ ）A ．2B ．43 C ．158 D ．5312．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是（ ）A ．32-B ．43- C ．1- D ．2-第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卷中的横线上．13．已知向量12,e e 为单位向量，且夹角为060，则12e e +=________．14．已知数列{}n a 满足12a =-，121n n a a +=+，则5a = ．15．首项为24-的等差数列，从第10项起为正数，则公差d 的取值范围是 ．16．在Rt ABC ∆中，4AB =，2AC =，P 为斜边BC 上靠近点B 的三等分点，O 为BC 边的中点，则AP AO 的值为 ．三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知向量(1,3)a =-，(2,4)b =-，(4,6)c =-．（1）若c xa yb =+，求实数x ，y 的值；（2）若()ta b c -⊥，求实数t 的值．18．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行．（1）求A ；（2）若32AB AC =，且2a bc =，求b c +的值．19．已知等差数列{}n a 的公差为正数，2a 与8a 的等差中项为8，且3728a a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）从{}n a 中依次取出第3项，第6项，第9项，⋅⋅⋅⋅⋅⋅第3n 项，按照原来的顺序组成一个新数列{}n b ，判断938是不是数列{}n b 中的项？并说明理由．20．在ABC ∆中，已知3B π=，AC =D 为BC 边上一点．（1）若2AD =，DAC S =DC 的长；（2）若AB AD =，求ADC ∆的周长的最大值．。
四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一下学期入学考试数学试题(Word版含答案)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 213 14 15 16 17 180.50 1.5143.532.54.5yt四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一下学期入学考试数学试题（Word 版含答案）一、选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若P ＝{x|x ＜1}，Q ＝{x|x ＞－1}，则( )A ．∁R P ⊆QB ．Q ⊆P C.P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P 2.已知23)2cos(=+ϕπ，且||ϕ＜2π，则=ϕtan （ ）A. 33-B. 33C. 3-D. 3 3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的函数是（ ） A.3y x = B.1y x =+ C.21y x =-+ D.2xy -=5.函数()2xf x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.（-2，-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2） 6. 已知直线)0(<=a a x 与函数x x xx y y y y10,2,21,31==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=的图像依次交与A,B,C,D 四点，则这四个点从上到下的排列次序是( )A. A 、B 、C 、DB. B 、C 、A 、DC. B 、A 、C 、DD. C 、A 、B 、D 7.某研究小组在一项实验中获得一组关于y 、t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y 与t 之间关系的是( ) A ．y ＝2t B ．y ＝2t 2 C ．y ＝t 3D ．y ＝log 2t8.若函数()(01)xxf x ka a a a -=->≠且在(,)-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则函数()log ()a g x x k =+的图像是( )A B C D9.若函数y = f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍,再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位长度,沿y 轴向下平移1个单位长度，得到函数y =21sin x 的图象,则函数y=f(x)是（ ） A. y=12π2sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x B. y =12π2sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛-xC. y =14π2sin 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+xD. y =14π2sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛-x10.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过*(N )n n ∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数.有下列函数 ①1()f x x x =+(0)x > ② 3()g x x = ③1()()3x h x = ④()ln x x ϕ= 其中是一阶整点函数的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．④D ．①④二、填空题(本大题共5小题，每题4分，共20分)11.已知角α的终边经过点()8,6cos 60oP m --且cos α45=-，则m 的值为_______. 12.设函数⎩⎨⎧>-≤=-)1(,log 1)1(,2)(21x x x x f x 则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是______________.13.已知=)(αf )360tan()180tan()90sin()180tan()270sin()180sin(αααααα-++--- ,则)631(π-f 的值为______. 14.若函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且对于任意x ∈R ，有(3)()f x f x +=-，若(1)1f =， tan 2α=，则)cos sin 2005(ααf 的值为 ． 15.关于函数xxx f a-+=11log )((a>0且a ≠1)下列说法： ①)(x f 的定义域是()1,1-；② 当a>1时，使0)(>x f 的x 的取值范围是()0,1-； ③ 对定义域内的任意x ，)(x f 满足)()(x f x f -=-； ④ 当0<a<1时，如果1021<<<x x ，则)()(21x f x f <；其中正确结论的序号是 ．（填上你认为正确的所有结论序号）三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知A={x|-1＜x≤3}，B={x|m≤x＜1+3m}. （1）当m=1时，求A ∪B ；（2）若B ⊆C R A ，求实数m 的取值范围.17.有时可用函数⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-+=)6(,44.4)6(,ln 151.0)(x x x x x a a x f 描述学习某知识的掌握程度，其中x 表示某知识的学习次数（x ∈N +），)(x f 表示对该知识的掌握程度，正实数a 与知识有关. （1） 证明：当x ≥7时，掌握程度的增加量)()1(x f x f -+总是下降；（2） 根据经验，甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115，121]，(121，127]，(127，133].当学习某知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的.（已知数据）18.如图是函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像，（1）求函数)(x f 的解析式； （2）当)0,2(π-∈x 时，求函数的值域.19.设函数())f x x a R =+∈. （1）若1a =，求()f x 的值域；（2）若不等式()2f x ≤对[8,3]x ∈--恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案数学试题(答案)一、选择题: 1-5.ACBCC 6-10.ADCBD 二、填空题: 11.21 12.[)+∞,0 13.23 14.-1 15.①③17.解：（1）当x ≥7时，)4)(3(4.)()1(--=-+x x o x f x f …………………（2分）而当x ≥7时，函数)4)(3(--=x x y 单调递增，且0)4)(3(>--x x 故)()1(x f x f -+单调递减.……………………（4分）∴当x ≥7时，掌握程度的增加量)()1(x f x f -+总是下降. …………………(5分) （2）由题可知当x=6时，=)(x f 85.06ln151.0=-+a a ，整理可得05.06e a a=-，解得：0.1236*50.206*105.005.0==-=e e a …………………（8分）而123.0∈(121，127]，由此可知，该是乙.…………………(10分) 18.解：（1）由图可知：A=3,2)6(32πππ=--=T 即π=T , ∴πωπ==2T ,则2=ω所以)2sin(3)(φ+=x x f ………………（2分）又由图可知：)0,6(π-是五点作图法中的第一点∴2* 0)6(=+-φπ即3πφ=……………………（4分）∴)32sin(3)(π+=x x f ……………………(5分)（2）由（1）知：)32sin(3)(π+=x x f∵)0,2(π-∈x 则 33232πππ<+<-x …………………（7分） ∴23)32sin(1-<+≤πx 即233)32sin(3<+≤-πx ……………（9分）∴函数)(x f 在)0,2(π-∈x 上的值域是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-233,3.…………………(10分) 19.解：（1）1a =时()f x x =+)1(≤x ，令 01≥-=x t 则 21x t =-，∴()2215()1(0)24y f x t t t t ⎛⎫==-+=--+≥ ⎪⎝⎭…………………（3分）∴45≥y 即函数)(x f 的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,45.…………………(5分) （2）令t =)38(-≤≤-x 则)32(12≤≤-=t t x ,2()1y f x t at ==-++， 不等式()2f x ≤对[8,3]x ∈--恒成立212t at ⇔-++≤对[2,3]t ∈恒成立1a t t⇔≤+对[2,3]t ∈恒成立…………………(7分)令1()g t t t=+，[2,3]t ∈ 则函数)(t g 在[]3,2上是一个增函数, ∴min 5()(2)2g t g ==……………（9分） ∴min 5()2a g t ≤=即a 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.…………………(10分)。
2018-2019学年四川省绵阳市南山中学高一(下)入学数学试卷(3月份)解析版
2018-2019学年四川省绵阳市南山中学高一（下）入学数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.满足A∪{1，-1}={1，0，-1}的集合A共有（）A. 2个B. 4个C. 8个D. 16个2.角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则tan2α=（）A. B. C. D.3.三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A. B. C. D.4.设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A. 2B. 3C. 4D. 65.可以写成①+；②-；③-；④-．其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④6.已知f（x）是偶函数，对任意的a，b∈[0，+∞）都有＜，若f（lg x）＞f（1），则x的取值范围是（）A. B. ∪ C. D. ∪7.若sinα=，α∈（-，），则cos（）=（）A. B. C. D.8.函数＞，＞，＜的图象如图所示，则函数y=A cos（ωx+φ）的递减区间是（）A. ∈B. ∈C. ∈D. ∈9.函数f（x）=，的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 510.函数y=a|x|+1（a＞0且a≠1），x∈[-k，k]，k＞0的图象可能为（）A.B.C.D.11.已知函数y=f（x）在（0，3）上是增函数，函数y=f（x+3）是偶函数，则f（），f（），f（2）的大小关系（）A. B. C. D.12.函数y=f（x）的定义域为D，且f（x）同时满足以下条件：①f（x）在D上是单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a，b]⊊D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y=f（x）（x∈D）是闭函数．若f（x）=k+是闭函数，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若f（x）=是奇函数，则a=______．14.在正方形ABCD中，E是DC边的中点，且=，=，则=______．15.已知函数f（x）=，，＞，若直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同交点的横坐标依次为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是______．16.给出下列五个命题：①函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a不可能有两个不同的交点；②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相同函数；③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，存在x0，当x＞x0时，有2x＞x2成立；④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点；其中正确的序号是______．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）17.已知集合A为函数f（x）=得定义域，B={x∈R|y=lg（x-4）}．（1）求集合A，B；（2）已知集合C={x|1-m≤x≤m-1}，若集合C⊆（A∪B），求实数m的取值范围．18.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）=-2t+200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g（t）=t+30（1≤t≤30，t∈N），后20天价格为g（t）=45（31≤t≤50，t∈N）．（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；（2）求日销售额S的最大值．19.已知函数f（x）=•（），其中向量=（sin x，-cos x），=（sin x，-3cos x），=（-cos x，sin x），x∈R．（1）若f（α）=，＜＜，求cos2α的值；（2）不等式|f（x）-m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．20.已知函数f（x）=，g（x）=f（2x）．（1）判断函数f（x）在区间（-1，+∞）上的单调性，并用定义证明；（2）g（x-1）+g（3-2x）＜0，求实数x的取值集合；（3）若函数F（x）=g（x）-2x-m存在零点，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，集合可能为{0}、{0，1}、{0，-1}、{0，1，-1}，共有4个；故选：B．根据题意，分析可得，集合A中必须有元素0，可能含有元素1或-1，由此列举可得全部可能的集合A，即可得答案．本题考查集合并集的性质，关键是由并集的定义，分析得到集合A中必须有的元素和可能有的元素．2.【答案】A【解析】解：∵α的终边上一点的坐标为（sin，cos），即（，-）∴tanα==-，则tan2α===，故选：A．根据三角函数的定义求出tanα，利用正切的倍角公式进行计算即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义以及倍角公式是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】D【解析】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质可知：log0.76＜0由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质可知0.76＜1，60.7＞1∴log0.76＜0.76＜60.7故选：D．从而得到结论．本题主要考查指数函数，对数函数的图象和性质，在比较大小中往往转化为函数的单调性或图象分面来解决．4.【答案】B【解析】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B．利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=ym．5.【答案】D【解析】解：∵①+=；②-=；③-=；④-=．因此其中正确的是①④．故选：D．利用向量的运算法则即可判断出．本题考查了向量的原式法则，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由于f（x）是偶函数，对任意的a，b∈[0，+∞）都有，则偶函数f（x）在[0，+∞）递减，则f（lgx）＞f（1），即为f（|lgx|）＞f（1），即有|lgx|＜1，即-1＜lgx＜1，则＜x＜10．故选：C．f（lgx）＞f（1），即为f（|lgx|）＞f（1），由单调性，即可得到，再解不等式即可得到解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：∵sinα=，α∈（-），∴cosα==，∴cos （）=-（cosα-sinα）=-．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由“五点法”可知解得ω=2，φ=-，由图象可知A=1，则函数y=cos（2x-），由2k，k∈Z解得k∈Z故选：C．利用函数图象求出A ，利用五点法得到，求出ω，φ，结合余弦函数的单调性求出函数的递减区间．本题是基础题，考查三角函数的图象求函数的解析式，掌握五点法作图，函数的基本性质，是9.【答案】A【解析】解：函数f（x）=，可得当x≤0时，x2+2x-3=0，解得x=1（舍去）或x=-3；当x＞0时，-2+lnx=0，解得x=e2，函数有2个零点．故选：A．利用分段函数分别求解函数的零点即可．本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．10.【答案】C【解析】解：函数y=a|x|+1（a＞0且a≠1），x∈[-k，k]，k＞0．函数是偶函数，排除A；函数y=a|x|+1＞1，排除B；a＞1时，x＞0函数是增函数，C 不满足题意，D不满足题意；当a∈（0，1）时，x＞0函数是减函数，C 满足题意，D不满足题意；故选：C．利用函数的奇偶性排除选项，通过a的范围，利用函数的性质判断选项即可．本题考查函数的图象的判断，考查分类讨论思想的应用，函数的奇偶性以及函数的单调性，是判断函数图象的常用方法．11.【答案】A【解析】解：根据题意，函数y=f（x+3）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=3对称，则f （）=f（），f（）=f （），又由函数y=f（x）在（0，3）上是增函数，则f（）＜f（2）＜f （），则有f （）＜f（2）＜f（），故选：A．根据题意，由函数的奇偶性的性质分析可得函数f（x）的图象关于直线x=3对称，进而可得f （）=f（），f （）=f（），结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的对称性，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：根据题意，f（x）=k+，有x+2≥0，易得f（x）为增函数，若f（x）=k+为闭函数，则存在闭区间[a，b]，满足，即a、b是方程k+=x的两根，令t=，则t≥0，则原方程等价于k+t=t2-2，变形可得t2-t-k-2=0，若方程k+=x有两根，则t2-t-k-2=0有两个非负的实根，设g（t）=t2-t-k+2则有，解可得-＜k≤-2，即k的取值范围为（-，-2] 故选：B．根据题意，分析易得f（x）=k+在其定义域上为增函数，结合闭函数的定义分析可得，即a、b是方程k+=x的两根，令t=，则原方程等价于k+t=t2-2，变形可得t2-t-k-2=0，分析易得t2-t-k-2=0有两个非负的实根，设g（t）=t2-t-k+2，则有，解可得t的取值范围，即可得答案．本题考查函数与方程的关系，涉及函数单调性的判定与应用，属于基础题．13.【答案】【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴=∴=，解得a=．根据奇函数的性质，f（x）=-f（-x），代入f（x）的解析式，得到等式即可求出a的值．本题主要考查奇函数的性质，根据f（x）=-f（-x）列出式子即可解得a的值，本题比较基础．14.【答案】-【解析】解：∵正方形ABCD中，E是DC边的中点，且=，=，∴=+=+=-=-．故答案为：-．由题意可得=+=+=，把=，=代入化简可得结果．本题主要考查平面向量基本定理，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．15.【答案】（2，2017）【解析】解：作出函数f（x）的图象，则当0＜x＜1时，函数f（x）关于x=对称，若直线y=m与函数y=f（x）三个不同交点的横坐标依次为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则0＜m＜1，且x1，x2关于x=对称，则x1+x2=1，由log2016x=1，得x=2016，则1＜x3＜2016，则2＜x1+x2+x3＜2017，即x1+x2+x3的取值范围是（2，2017），故答案为：（2，2017）．作出函数f（x）的图象，利用函数的对称性以及对数函数的图象和性质进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，考查了函数图象的作法及应用及函数零点与函数图象的有关系，利用数形结合是解决本题的关键．属于中档题．16.【答案】①③【解析】解：①根据函数的定义可得：函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a不可能有两个不同的交点，正确；②函数y=log2x2与函数y=2log2x的定义域不同，前者的定义域为{x|x∈R，x≠0}，后者的定义域为{x|x＞0}，因此不是相同函数；③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，存在x0，当x＞x0时，有2x＞x2成立，例如取x0=5满足条件，因此正确；④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内不一定有零点，例如取函数f（x）=，a=2，b=4，满足条件，但是在（a，b）内无零点．综上正确的为①③．故答案为：①③．①根据函数的定义即可判断出正误；②函数y=log2x2与函数y=2log2x的定义域不同，不是相同函数；③例如取x0=5满足条件，可得正确；④f（x）在（a，b）内不一定有零点，例如取函数f（x）=，a=2，b=4，满足条件，但是在（a，b）内无零点．本题考查了函数的定义及其性质、函数零点存在定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=，有4-2x＞0，解可得x＜2，则A=（-∞，2），y=lg（x-4），有x-4＞0，解可得x＞4，则B=（4，+∞）；（2）由（1）的结论，A=（-∞，2），B=（4，+∞）；则A∪B=（-∞，2）∪（4，+∞），C={x|1-m≤x≤m-1}，集合C⊆（A∪B），分2种情况讨论：当1-m＞m-1，即m＜1时，C=∅，满足C⊆（A∪B），当1-m≤m-1，即m≥1时，若C⊆（A∪B），必有m-1＜2或1-m＞4，解可得1≤m＜3，综合可得：m＜3．【解析】（1）根据题意，对于函数f（x）=，有4-2x＞0，解可得x的取值范围，即可得集合A，对于（2）由（1）的结论，求出集合A∪B，按C是否为空集分2种情况讨论，求出m的取值范围，综合即可得答案．本题考查集合的包含关系的应用，涉及函数的解析式的计算，属于基础题．18.【答案】解：（1）当1≤t≤30时，由题知f（t）•g（t）=（-2t+200）•（）=-t2+40t+6000，当31≤t≤50时，由题知f（t）•g（t）=45（-2t+200）=-90t+9000，所以日销售额S与时间t的函数关系为S=；（2）当1≤t≤30，t∈N时，S=-（t-20）2+6400，当t=20时，S max=6400元；当31≤t≤50，t∈N时，S=-90t+9000是减函数，当t=31时，S max=6210元．∵6210＜6400，则S的最大值为6400元．【解析】（1）根据销售额等于销售量乘以售价得S与t的函数关系式，此关系式为分段函数；（2）求出分段函数的最值即可．考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．理解函数的最值及其几何意义的能力．19.【答案】解：（1）f（x）=•（）=（sin x，-cos x）•（sin x-cos x，sin x-3cos x）=sin2x-2sin x cosx+3cos2x=1-sin2x+2cos2x=2+cos2x-sin2x=2+sin（2x+），若f（α）=，则2+sin（2α+）=，即sin（2α+）=，由＜＜∴-＜2α＜-，即-＜2α+＜，则cos（2α+）=，则cos2α=cos[（2α+）-]=cos（2α+）cos+sin（2α+）sin=（-）+×（-）=．（2）∵不等式|f（x）-m|＜2在x∈[，]上恒成立，∴-2＜f（x）-m＜2，即f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[，]上恒成立，当x∈[，]，则2x∈[，π]，2x+∈[π，]，则当2x+=π时，f（x）取得最大值，最大值为f（x）=2，当2x+=时，f（x）取得最小值，最小值为f（x）=2+sin=2-，则＞＜，得0＜m＜4-，即实数m的取值范围是（0，4-）．【解析】（1）根据向量数量积的公式以及辅助角公式进行化简，结合两角和差的余弦公式进行转化计算即可．（2）利用不等式恒成立，利用参法分离法转化为最值问题即可．本题主要考查不等式恒成立问题，结合向量数量积的公式，利用辅助角公式进行化简，结合两角和差的余弦公式以及参数分离法转化求最值是解决本题的关键．20.【答案】解：（1）根据题意，f（x）==1-，在（-1，+∞）上为增函数，证明：设-1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（1-）-（1-）=-=，又由-1＜x1＜x2，则（x1+1）＞0，（x2+1）＞0，（x1-x2）＜0，则f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数，（2）根据题意，g（x）=f（2x）=，则g（-x）==-（）=-g（x），函数g（x）为奇函数，设t=2x，则t＞0，t=2x在R上为增函数，y=g（t）在（0，+∞）上为增函数，则y=g（x）在R上为增函数，g（x-1）+g（3-2x）＜0⇒g（x-1）＜-g（3-2x）⇒g（x-1）＜g（2x-3）⇒x-1＜2x-3，解可得x＞2，即实数x的取值集合为（2，+∞）；（3）函数F（x）=g（x）-2x-m存在零点，即方程-2x=m有根，则m=1--2x=-[（）+（2x+1）]+2，又由（）+（2x+1）≥2=2，故m≤2-2，即m的取值范围为m≤2-2．【解析】（1）根据题意，函数的解析式变形可得f（x）==1-，设-1＜x1＜x2，由作差法分析可得结（2）根据题意，分析可得g（x）为奇函数且在其定义域上为增函数，据此可得g（x-1）+g（3-2x）＜0⇒g（x-1）＜-g（3-2x）⇒g（x-1）＜g（2x-3）⇒x-1＜2x-3，解可得x的取值范围，即可得答案；（3）函数F（x）=g（x）-2x-m 存在零点，即方程-2x=m有根，变形可得m=1--2x=-[（）+（2x+1）]+2，结合基本不等式的性质分析m的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性以及奇偶性的综合应用，涉及复合函数的单调性以及方程与函数的关系，属于综合题．。
四川省绵阳中学2018-2019学年高一数学下学期第三次月考试题(含解析)
四川省绵阳中学2018-2019学年高一数学下学期第三次月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每题4分，共48分．1.若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ）A. 22ac bc >B. 11a b <C. b a a b <D. ||1||1a b c c >++ 【答案】D【解析】【分析】利用作差法对每一个选项逐一判断分析.【详解】选项A, 222()0,ac bc a b c -=-≥所以a ≥b,所以该选项错误； 选项B,11b a a b ab--=，符合不能确定，所以该选项错误； 选项C, ()()b a b a b a a b ab +--=，符合不能确定，所以该选项错误； 选项D, 0||1||1||1a b a b c c c --=>+++，所以||1||1a b c c >++，所以该选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若,a b r r 是互相垂直的单位向量且()(3)a b a b λ+⊥+r r r r ，则λ=（ ） A. 3B. -3C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的数量积表示化简求解. 【详解】由题得22()(3)=+3+1+3a b a b a b a b λλλ+⋅+⋅r r r rr r r r （）=+3+0=0=-3.λλ∴，故选：B【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知数列{}n a 为等比数列，且12a =，58a =，则3a =（ ）A. 5B. 4±C. 4D. -4【答案】C【解析】【分析】利用等比中项的性质求解.【详解】由题得231532816,4a a a a ==⨯=∴=±. 因为等比数列的奇数项同号，所以34a =.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.下列4个命题中，两直线,a b ，平面α：①若a b ∥，则a 平行于经过b 的任何平面；②若直线a ∥平面α，则a 与α内任一直线平行；③若a P α，b P α，则a b ∥；④a b ∥，a P α，α⊄b ，则b P α．正确命题个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】B【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题逐一判断得解.【详解】①若a b ∥，则a 平行于经过b 的任何平面,是错误的，因为a,b 有可能在一个平面内；②若直线a ∥平面α，则a 与α内任一直线平行，是错误的，因为a 与α内任一直线平行或异面；③若a P α，b P α，则a b ∥，是错误的，因为a 和b 可能平行，相交或异面；④a b ∥，a P α，α⊄b ，则b P α．是正确的；故选：B【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知变量,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 4【答案】B【解析】【分析】 先画出满足约束条件1040x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩………的平面区域，然后求出目标函数z x y =+取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【详解】满足约束条件1040x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩………的平面区域如下图所示：作直线0:20l x y +=把直线向上平移可得过点(1,3)时2x y +最小当1x =，3y =时，2z x y =+取最大值 7，故答案为 7．【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．6.圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ）A. 40πB. 52πC. 50πD. 2123π 【答案】B【解析】【分析】作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为2，6，构造直角三角形，结合母线长 为5，由勾股定理求出圆台的高．再求圆台的体积.【详解】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径2MD =，下底面半径6NC =，过D 做DE 垂直NC ，则624EC =-=由5CD =故3DE =即圆台的高为3,所以圆台的体积为222213(2626)523V πππππ=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是旋转体及其体积的计算，圆台的几何特征，其中画出轴截面，将空间问题转化为平面问题是解答的关键．7.已知{}n a 是正项等比数列且2754a a a ⋅=，4a 与62a 的等差中项为18，则5a =（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】【分析】由题得到关于1,a q 的方程组，解方程组即得1,a q 的值，再求5a 得解. 【详解】由题得641113511141236,,220a q a q a q a q a q a q q ⎧⋅=⎪+=∴==⎨⎪>⎩. 所以451282a =⋅=. 故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知||1,||1a b ==r r ，a r 与b r 夹角为3π，则a b -r r 与b r 的夹角为（ ） A. 60︒B. 90︒C. 120︒D. 150︒ 【答案】C【解析】【分析】先求出||a b -rr ，再代向量的夹角公式求解即可.【详解】由题得||1a b -==r r ， 所以a b -r r 与b r 的夹角为11()12cos =112||||a b a b a b α--⋅==-⋅-⋅r r r r r r ，所以两向量的夹角为120︒.故选：C【点睛】本题主要考查向量的夹角的求法，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.关于x 的不等式0ax b ->的解集为(,1)-∞，则关于x 的不等式(2)()0x ax b -+>的解集为（ ）A. ()12， B. ()12-， C. (,1)(2,)-∞-+∞U D.(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】C【解析】 由已知0a b =>，不等式()(2)0ax b x +->为(1)(2)0a x x +->，所以1x <-或2x >，故选C ．10.点O 为ABC △所在平面内一点，,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r 则ABC △的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】B【解析】【分析】 由,OA OB OA OC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得OA 和BC 垂直，由||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 得到OA 是∠BAC 的角平分线，综合即可判断△ABC 的形状.【详解】,)0OA OB OA OC OA OB OC OA CB ⋅=⋅∴⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q （,所以OA BC ⊥.||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r Q ∴AO 在∠BAC 的角平分线上，所以AO 既在BC 边的高上，也是∠BAC 的平分线，所以△ABC 是等腰三角形.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则和减法法则的几何应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.在ABC △中，2a =，sin()sin2B C a A B c +⋅+=⋅，则ABC △周长的最大值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5 【答案】C【解析】【分析】 先由sin()sin2B C a A B c +⋅+=⋅得到A=3π,再利用基本不等式求b+c 的最大值，即得三角形周长的最大值. 【详解】由题得sin cos,2A a C c ⋅=⋅ 所以sin sin sin cos ,2A A C C ⋅=⋅ 所以sin cos ,2sin cos cos 2222A A A A A =∴=, 因为(0,),cos 0,222A A π∈∴≠ 所以1sin =223A A π∴=，. 由余弦定理得22224=2cos b c bc A b c bc +-=+-, 所以22())43434b c b c bc ++=+≤+⋅（， 当且仅当b=c=2时取等.所以4,6b c a b c +≤∴++≤.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.己知等差数列{}n a 的公差为-1，前n 项和为n S ，若357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ）A. 25B. 40C. 50D. 45【答案】D【解析】【分析】利用已知条件，结合余弦定理，转化求解数列的和，然后求解n S 的最大值．【详解】等差数列{}n a 的公差为1-，357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，可得：35277225a a a a a =++， 得11(4)(9)0a a --=，所以14a =（舍)或19a =，2(1)199(1)22n n n n n S n --+=+⋅-=． 所以n=9或n=10时，故n S 的最大值为910==45S S ．故选：D ．【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前n 项和及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13.若数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+，则通项公式为__________．【答案】()()2,121,2n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】利用()12n n n a S S n -=-≥ 求解，但要注意验证n=1时11a S = 是否成立.【详解】当n=1时，112a S == ； ()()2211111n n S n S n n +=+∴=++≥Q又()12n n n a S S n -=-≥Q()212n a n n ∴=-≥ ，111a S =≠∴()()2,121,2n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列通项公式，属于基础题目，解题中需要注意利用公式()12n n n a S S n -=-≥求解出的通项公式需要验证n=1时，是否满足题目条件.14.如图，已知PQ 为O e 的一条弦，且4PQ PO ⋅=u u u r u u u r ，则||PQ =u u u r __________．【答案】22【解析】【分析】过点O 作OA ⊥PQ,垂足为A. 则PA=AQ ，再利用平面向量的数量积和三角函数求解.【详解】,过点O 作OA ⊥PQ,垂足为A. 则PA=AQ.因为4PQ PO ⋅=u u u r u u u r ，所以2||1||||cos ||||||4||2PA PQ PO OPQ PQ PO PQ PO ∠=⋅==, 所以||22PQ =u u u r .故答案为：22【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知矩形的周长为16，矩形绕它的一条边旋转360︒形成一个圆柱的侧面积的最大值为__________．【答案】32π【解析】【分析】利用矩形的周长公式、基本不等式的性质、圆柱的侧面积计算公式即可得出．【详解】如图所示， 设矩形的长与宽分别为a ，b ．则2216a b +=，即8a b +=．∴82ab …，当且仅当4a b ==时取等号． 解得16ab …．∴旋转形成的圆柱的侧面积221632a b πππ==g g g …． ∴旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为32π． 故答案为：32π．点睛】本题考查了基本不等式求最值、圆柱的侧面积计算公式，属于基础题．16.有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体外接球的体积为__________．【答案】12523π【解析】【分析】先作出三视图对应的原几何体，再求几何体外接球的半径，再求几何体外接球的体积. 【详解】由题得几何体原图是如图所示的直三棱柱ABC-EFG，D,H分别是AB,EF中点，O点时球心，所以OH=52,1522HF EF==,所以252552442R=+=所以几何体外接球的体积为3451252=2323π⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭. 故答案为：1252π 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体外接球的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 、G 、H 分别AB 、AC 、11A B 、11A C 的中点，求证：（1）B 、C 、H 、G 四点共面；（2）平面1EFA BCHG ∥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）要证明四点共面，只需证//GH BC ，根据中位线，有11////GH B C BC ，所以四点共面；（2）利用中位线，易证1//,//EF BC A F BG ，所以平面1EFA P 平面BCHG ．试题解析：（1）∵ G H ，分别为1111 A B AC ，中点，∴11GH B C P ，∵三棱柱111AB A B C -中，11BC B C P ，∴GH B P ，∴ B C H G ，，，四点共面．…………………………5分（1）∵ E F ，分别为 AB AC ，中点，∴EF BC ∥，∴11EF BC B C GH P P P ，又∵ E G ，分别为三棱柱侧面平行四边形11AA B B 对边11AB A B ，中点， ∴四边形1A EBG 为平行四边形，1A E BG P ，∴平面1EFA 中有两条直线1A E EF ，分别与平面BCHG 中的两条直线BG ，BC 平行， ∴平面1EFA BCHG P 平面．………………………………12分考点：证明四点共面及面面平行．18.某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元.【解析】【分析】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元，求出z 的表达式，再利用基本不等式求最低造价.【详解】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元，则30x y ⋅=，1500390065800450054005800z x y x y =⋅+⋅+=++，∵45005400229003054000x y +≥=⨯=⨯⨯=， ∴45005400580054000580059800z x y =++≥+=，当且仅当4500540030x y x y =⎧⎨⋅=⎩即65x y =⎧⎨=⎩时取等号， 答：房屋正面长6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S 且344n n S a =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）令2211log log n n n b a a +=⋅，若{}n b 的前n 项和为n T ，且n T m <恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）4n n a =；（2）14m ≥. 【解析】【分析】（1）利用项和公式求{}n a 的通项公式；（2）先化简得11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,再利用裂项相消求解. 【详解】（1）令1n =，则111113444S a a S a =-⎧∴=⎨=⎩，， 当2n ≥时，344n n S a =-，①11344n n S a --=-，②①-②得：1344n n n a a a -=-，∴14n n a a -=，即14n n a a -=， ∴数列{}n a 为14a =，公比为4的等比数列，∴1144n n n a a -==.（2）12211log 4log 422(1)n n n b n n +==⋅⋅+11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴111111111422311n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()41n n =+，∵1111414n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭且n T m <恒成立， ∴14m ≥ 【点睛】本题主要考查项和公式求通项，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a+的值； （2）若1a =，当角A 最大时，求ABC ∆的面积．【答案】（1）4；（2）4. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理化简即得解；（2）先求出A 最大时，3cos 4A ≥，再求出b,c 和sinA ，再求ABC ∆的面积．【详解】（1）∵sin 2sin 3tan 3cos A c B a A a A⋅=⋅=⋅， ∴2sin cos 3sin c B A a A ⋅⋅=⋅，∴2cos 3c b A a a ⋅⋅=⋅， ∴2222232b c a cb a bc+-⋅=， ∴2224b c a +=， ∴2224b c a +=； （2）1a =时，22244b c a +==， ∵2223cos 22b c a A bc bc+-==且2224bc b c ≤+=，∴3cos 4A ≥， ∴当角A 最大时，3cos 4A =，此时sin A = 224b c b c b c ⎧+=⇒==⎨=⎩∴11sin 2244ABC S bc A =⋅==V . 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
四川省绵阳市第一中学2019-2020高一下学期入学考试数学试题(wd无答案)
四川省绵阳市第一中学2019-2020高一下学期入学考试数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知点,则等于（）A．B．C．D．(★) 2. 已知数列满足, ,则等于（）A．－54B．－55C．－56D．－57(★★) 3. 已知, , ,则（）A．,,三点共线B．,,三点共线C．,,三点共线D．,,三点共线(★) 4. 等差数列中，已知，，则公差等于( )A．3B．-6C．4D．-3(★★) 5. 在△ ABC中，已知，， A＝30°，则 c等于（）A．B．C．或D．无解(★★) 6. 在等差数列中，若，则的值等于（）A．45B．75C．300D．180(★★) 7. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为A．B．C．D．(★★) 8. 在中,若,则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形(★★) 9. 若，，则在方向上的投影为（）A．B．C．D．(★★) 10. 在中,内角, , 所对的边分别是, , ,已知, ,则的值为（）A．B．C．D．(★★★)11. 如图，正方形中，是的中点，若，则（）A．B．C．D．(★★) 12. 已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知向量, 为单位向量，且夹角为60°,则__________.(★★) 14. 已知数列满足, ,则__________.(★★) 15. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差 d的取值范围是________．(★★★) 16. 在中, , , 为斜边上靠近点的三等分点, 为边的中点,则的值为__________.三、解答题(★★) 17. 已知向量，, .（1）若，求实数, 的值；（2）若，求实数的值.(★★★) 18. 的内角, , 所对的边分别为, , ,向量与平行.（1）求﹔（2）若且,求的值.(★★) 19. 已知等差数列的公差为正数, 与的等差中项为,且.求的通项公式；从中依次取出第项,第项,第项, ，第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由.(★★★) 20. 如图，在△ ABC中，已知 B ， AC＝4 ， D为 BC边上一点．（ I）若 AD＝2， S △DAC＝2 ，求 DC的长；（Ⅱ）若 AB＝ AD，试求△ ADC的周长的最大值．。
四川省绵阳中学2018-2019学年高一下学期第三次月考数学试题 含解析
绵阳中学高2018级高一下期第三学月考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每题4分，共48分． 1.若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A. 22ac bc > B.11a b< C.b a a b< D.||1||1a bc c >++【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法对每一个选项逐一判断分析.【详解】选项A, 222()0,ac bc a b c -=-≥所以a ≥b,所以该选项错误；选项B, 11b a a b ab--=，符合不能确定，所以该选项错误； 选项C, ()()b a b a b a a b ab+--=，符合不能确定，所以该选项错误；选项D,0||1||1||1a b a b c c c --=>+++，所以||1||1a bc c >++，所以该选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若,a b 是互相垂直的单位向量且()(3)a b a b λ+⊥+，则λ=（ ） A. 3 B. -3C. 1D. -1【答案】B【解析】 【分析】由向量垂直的数量积表示化简求解.【详解】由题得22()(3)=+3+1+3a b a b a b a b λλλ+⋅+⋅rrrrrrrr （）=+3+0=0=-3.λλ∴，故选：B【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示，考查数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知数列{}n a 为等比数列，且12a =，58a =，则3a =（ ） A. 5 B. 4±C. 4D. -4【答案】C 【解析】 【分析】利用等比中项的性质求解.【详解】由题得231532816,4a a a a ==⨯=∴=±.因为等比数列的奇数项同号，所以34a =. 故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.下列4个命题中，两直线,a b ，平面α：①若a b ∥，则a 平行于经过b 的任何平面；②若直线a ∥平面α，则a 与α内任一直线平行；③若a α，b α，则a b ∥；④a b ∥，a α，α⊄b ，则b α．正确命题个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个命题逐一判断得解.【详解】①若a b ∥，则a 平行于经过b 的任何平面,是错误的，因为a,b 有可能在一个平面内； ②若直线a ∥平面α，则a 与α内任一直线平行，是错误的，因为a 与α内任一直线平行或异面； ③若a α，b α，则a b ∥，是错误的，因为a 和b 可能平行，相交或异面； ④a b ∥，a α，α⊄b ，则b α．是正确的； 故选：B【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知变量,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】先画出满足约束条件1040x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩………的平面区域，然后求出目标函数z x y =+取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【详解】满足约束条件1040x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩………的平面区域如下图所示：作直线0:20l x y +=把直线向上平移可得过点(1,3)时2x y +最小 当1x =，3y =时，2z x y =+取最大值 7， 故答案为 7．【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最 优解点的坐标是解答本题的关键．6.圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ） A. 40π B. 52π C. 50πD.2123π 【答案】B【解析】 【分析】作出圆台的轴截面，由圆台的上、下底面半径分别为2，6，构造直角三角形，结合母线长 为5，由勾股定理求出圆台的高．再求圆台的体积. 【详解】作出圆台的轴截面如图所示：上底面半径2MD =，下底面半径6NC =，过D 做DE 垂直NC ， 则624EC =-= 由5CD = 故3DE = 即圆台的高为3,所以圆台的体积为2213(26523V πππ=⋅⋅⋅+⋅+=.故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是旋转体及其体积的计算，圆台的几何特征，其中画出轴截面，将空间问题转化为平面问题是解答的关键．7.已知{}n a 是正项等比数列且2754a a a ⋅=，4a 与62a 的等差中项为18，则5a =（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】 【分析】由题得到关于1,a q 的方程组，解方程组即得1,a q 的值，再求5a 得解.【详解】由题得641113511141236,,220a q a q a q a q a q a q q ⎧⋅=⎪+=∴==⎨⎪>⎩.所以451282a =⋅=. 故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知||1,||1a b ==，a 与b 夹角为3π，则a b -与b 的夹角为（ ） A. 60︒ B. 90︒C. 120︒D. 150︒【答案】C 【解析】 【分析】先求出||a b -，再代向量的夹角公式求解即可.【详解】由题得||1a b -==r r ，所以a b -与b 的夹角为11()12cos =112||||a b a b a b α--⋅==-⋅-⋅r r r r r r， 所以两向量的夹角为120︒. 故选：C【点睛】本题主要考查向量的夹角的求法，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.关于x 的不等式0ax b ->的解集为(,1)-∞，则关于x 的不等式(2)()0x ax b -+>的解集为（ ）A. ()12， B. ()12-， C. (,1)(2,)-∞-+∞ D. (,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】C 【解析】由已知0a b =>，不等式()(2)0ax b x +->为(1)(2)0a x x +->，所以1x <-或2x >，故选C ．10.点O 为ABC △所在平面内一点，,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭则ABC △的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形【答案】B 【解析】 【分析】由,OA OB OA OC ⋅=⋅得OA 和BC 垂直，由||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得到OA 是∠BAC 的角平分线，综合即可判断△ABC 的形状. 【详解】,)0OA OB OA OC OA OB OC OA CB ⋅=⋅∴⋅-=⋅=（,所以OA BC ⊥.||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴AO 在∠BAC 的角平分线上，所以AO 既在BC 边的高上，也是∠BAC 的平分线， 所以△ABC 是等腰三角形. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则和减法法则的几何应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.在ABC △中，2a =，sin()sin 2B Ca A B c +⋅+=⋅，则ABC △周长的最大值为（ ） A. 8 B. 7C. 6D. 5【答案】C 【解析】 【分析】先由sin()sin2B C a A B c +⋅+=⋅得到A=3π,再利用基本不等式求b+c 的最大值，即得三角形周长的最大值.【详解】由题得sin cos ,2Aa C c ⋅=⋅所以sin sin sin cos ,2AA C C ⋅=⋅所以sin cos ,2sin cos cos 2222A A A AA =∴=,因为(0,),cos 0,222A Aπ∈∴≠所以1sin =223A A π∴=，.由余弦定理得22224=2cos b c bc A b c bc +-=+-,所以22())43434b c b c bc ++=+≤+⋅（， 当且仅当b=c=2时取等. 所以4,6b c a b c +≤∴++≤. 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.己知等差数列{}n a 的公差为-1，前n 项和为n S ，若357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ）A. 25B. 40C. 50D. 45【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件，结合余弦定理，转化求解数列的和，然后求解n S 的最大值．【详解】等差数列{}n a 的公差为1-，357,,a a a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，可得：35277225a a a a a =++， 得11(4)(9)0a a --=，所以14a =（舍)或19a =， 2(1)199(1)22n n n n nS n --+=+⋅-=．所以n=9或n=10时， 故n S 的最大值为910==45S S ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前n 项和及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13.若数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+，则通项公式为__________．【答案】()()2,121,2n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥ 求解，但要注意验证n=1时11a S = 是否成立.【详解】当n=1时，112a S == ；()()2211111n n S n S n n +=+∴=++≥又()12n n n a S S n -=-≥()212n a n n ∴=-≥ ，111a S =≠ ∴()()2,121,2n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列通项公式，属于基础题目，解题中需要注意利用公式()12n n n a S S n -=-≥求解出的通项公式需要验证n=1时，是否满足题目条件.14.如图，已知PQ 为O 的一条弦，且4PQ PO ⋅=，则||PQ =__________．【答案】【解析】 【分析】过点O 作OA ⊥PQ,垂足为A. 则PA=AQ ，再利用平面向量的数量积和三角函数求解.【详解】,过点O 作OA ⊥PQ,垂足为A. 则PA=AQ.因为4PQ PO ⋅=，所以2||1||||cos ||||||4||2PA PQ PO OPQ PQ PO PQ PO ∠=⋅==, 所以||22PQ =故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知矩形的周长为16，矩形绕它的一条边旋转360︒形成一个圆柱的侧面积的最大值为__________． 【答案】32π 【解析】分析】利用矩形的周长公式、基本不等式的性质、圆柱的侧面积计算公式即可得出． 【详解】如图所示，设矩形的长与宽分别为a ，b ． 则2216a b +=，即8a b +=． ∴8…，当且仅当4a b ==时取等号．解得16ab …． ∴旋转形成的圆柱的侧面积221632a b πππ==…． ∴旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为32π．故答案为：32π．【点睛】本题考查了基本不等式求最值、圆柱的侧面积计算公式，属于基础题．16.有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体外接球的体积为__________．【答案】3【解析】【分析】先作出三视图对应的原几何体，再求几何体外接球的半径，再求几何体外接球的体积.【详解】由题得几何体原图是如图所示的直三棱柱ABC-EFG，D,H分别是AB,EF中点，O点时球心，所以OH=52,1522HF EF ==,所以R ==所以几何体外接球的体积为343π⋅⋅故答案为：3【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，考查几何体外接球的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共4个小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 、G 、H 分别AB 、AC 、11A B 、11A C 的中点，求证：（1）B 、C 、H 、G 四点共面；（2）平面1EFA BCHG ∥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）要证明四点共面，只需证//GH BC ，根据中位线，有11////GH B C BC ，所以四点共面；（2）利用中位线，易证1//,//EF BC A F BG ，所以平面1EFA 平面BCHG ．试题解析：（1）∵ G H ，分别为1111 A B AC ，中点，∴11GHB C ， ∵三棱柱111AB A B C 中，11BC B C ，∴GH B ，∴ B C H G ，，，四点共面．…………………………5分（1）∵ E F ，分别为 AB AC ，中点，∴EF BC ∥，∴11EF BC B C GH ，又∵ E G ，分别为三棱柱侧面平行四边形11AA B B 对边11AB A B ，中点， ∴四边形1A EBG 为平行四边形，1A E BG ，∴平面1EFA 中有两条直线1A E EF ，分别与平面BCHG 中的两条直线BG ，BC 平行， ∴平面1EFA BCHG 平面．………………………………12分考点：证明四点共面及面面平行．18.某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元.【解析】【分析】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元，求出z 的表达式，再利用基本不等式求最低造价.【详解】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元，则30x y ⋅=，1500390065800450054005800z x y x y =⋅+⋅+=++，∵45005400229003054000x y +≥=⨯=⨯⨯=，∴45005400580054000580059800z x y =++≥+=，当且仅当4500540030x y x y =⎧⎨⋅=⎩即65x y =⎧⎨=⎩时取等号， 答：房屋正面长6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S 且344n n S a =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）令2211log log n n n b a a +=⋅，若{}n b 的前n 项和为n T ，且n T m <恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）4n n a =；（2）14m ≥. 【解析】【分析】（1）利用项和公式求{}n a 的通项公式；（2）先化简得11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,再利用裂项相消求解. 【详解】（1）令1n =，则111113444S a a S a =-⎧∴=⎨=⎩，， 当2n ≥时，344n n S a =-，①11344n n S a --=-，②①-②得：1344n n n a a a -=-，∴14n n a a -=，即14n n a a -=， ∴数列{}n a 为14a =，公比为4的等比数列，∴1144n n n a a -==（2）12211log 4log 422(1)n n n b n n +==⋅⋅+11141n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴111111111422311n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()41n n =+， ∵1111414n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭且n T m <恒成立， ∴14m ≥ 【点睛】本题主要考查项和公式求通项，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a+的值； （2）若1a =，当角A 最大时，求ABC ∆的面积．【答案】（1）4；（2）4. 【解析】【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理化简即得解；（2）先求出A 最大时，3cos 4A ≥，再求出b,c 和sinA ，再求ABC ∆的面积．【详解】（1）∵sin 2sin 3tan 3cos A c B a A a A⋅=⋅=⋅， ∴2sin cos 3sin c B A a A ⋅⋅=⋅，∴2cos 3c b A a a ⋅⋅=⋅， ∴2222232b c a cb a bc+-⋅=， ∴2224b c a +=，∴2224b c a+=； （2）1a =时，22244b c a +==， ∵2223cos 22b c a A bc bc+-==且2224bc b c ≤+=， ∴3cos 4A ≥， ∴当角A 最大时，3cos 4A =，此时sin A = 224b c b c b c ⎧+=⇒==⎨=⎩∴11sin 2244ABC S bc A =⋅==. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。