一元二次方程基础课件

已知方程 2x2 mx 50 0 的一个根是10，
则另一个根是
，m=
；
注意：a=-3
已知关于x的方程 x2+（2k+1）x+k2-2=0 的两实数 根 的平方和等于11 ，求实数k的值。
注意：∆≥0，答案K=1
练习：
1、（1）方程x2-3x+1=0的两根之和是
积是
。
，两根之
（2）已知α，β是方程2x2+3x=0的两个根，那么
x＋2＝0或x－2＝0． 所以 x1＝－2, x2＝2．
解法2：原方程两边都 除以（x＋2），得 x＋2＝4． 所以 x＝2．
练习： 解下列方程：
（1）x2＝4x；
（2）x＋3－x(x＋3)＝0．
（3）(2x－1)2－x2＝0.
（4）已知:
求证
的值
1、填空：
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
t1
7 4
9 4
,t2
7 4
9 4
,
t1
4, t2
1. 2
(3) x2 5x 6 0.
解：x2 5x 6,
x2 5x 5 2 6 5 2 ,
2
2
x
5
2
6
25 ,
2
4
x 5 49 ,
2
4
57
57
x1 2 2 , x2 2 2 , x1 1, x2 6.
(4) 3y2 1 6 y.
解：
3x2 12x 3 0.
二次项系数化1：两边同时除以二次项系数，x2 4x 1 0.
得
移项：将常数项移到等号一边，得
x2 4x 1.
配方：左右两边同时加上一次项系数一
半的平方，得
写成（）2 的形式，得
x2 4x 4 1 4. x2 4x 4 5.
x 22 5.
开平方，得
x 2 5.
解这两个方程，得
x 52
练习：x2 6x 7 0.
练习： 2x2 3 7x.
解：
练习：x2 6x 7 0.
移项：将常数项移到等号一边， x2 6x 7.
得
配方：左右两边同时加上一 x2 6x 9 7 9.
次项系数一半的平方，得
x2 6x 9 2.
1、列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应 用题一样也可归结为“审、设、列、解、检验、答” 六个步骤。 2、在列一元二次方程解应用题时，对所解得的方程 的根一定要检验，特别要注意的是它必须符合实际 意义。
1.一个数比另一个数大3，且这两个数的积为10，求这两 个数。 2.一个正方形的面积的2倍等于15，求这个正方形的边长。
解：
3y2 6 y 1 0, y2 2 y 1 , 3
y2 2 y 1 1 1, 3
y 12 4 , y 1 4 ,
3
3
y1
1
23 3
,
y2
1
23 3
,
或写成y1
3
2 3
3
,
y2
32 3
3.
解法2：配方法 怎样配方：常数项是一次项系数一半的平方.
a2±2ab+b2=(a±b)2.
的一个解，则m=_____ 。
4、已知 a 0, a b, x 1 是方程 ax2 bx 10 0
的一个解，则 a2 b2 的值是_____。
2a 2b
二、一元二次方程的解法 解法1、直接开平方法
如 x2=8, 2x2=9, -3x2+7=0,……等等.
x 8, x 2 2.
_9_
x
2
_3_
2.
3
x2
3 4
x
9
_6_4
x
3
_8_ 2 .
p2
p
x2 px _4_ x _2_2.
2、用配方法解下列方程：
(1) x2 6x 4 0; (2) 2t 2 7t 4 0; (3) x2 5x 6 0; (4) 3y2 1 6 y.
(1) x2 6x 4 0.
x2=8.
x2 9 , 2
x 9, 2
2x2=9.
x3 2, 2
x1
32 2
, x2
3 2 2
.
3x 2 7, x2 7 ,
3 x 7,
3 x 21 ,
3 21
x1 3 , x2
-3x2+7=0.
21 . 3
x 2 5.
即：x1 2 5, x2 2 5.
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
② 3x2-1=0
⑥ 5(m+2)2=8
适合运用因式分解法
③ -3t2+t=0 ⑤ 2x2－x=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
写成（）2 的形式，得
x 32 2.
开平方，得
x 3 2.
解这两个方程，得
x 2 -3
解：
练习： 2x2 3 7x.
二次项系数化1：两边同时除
以二次项系数，得
x2 3 7 x.
2
2
移项：将常数项移到等号一边， x2 7 x 3 .
得
配方：左右两边同时加上一
2
2
x2 7 x 7 2 7 2 3 .
解法3：公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1．把方程化成一般形式，并写出a、b、c 的值.
2．求出b2 －4ac 的值， 特别注意：当 b2 －4ac＜0 时没有实数根．
3．代入求根公式：
．
4．写出方程的解：x1、x2．
一元二次方程 根的情况：
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
当b2－4ac ＞ 0时，方程有两个不相等的实数根；
（3）
x2 4 x __ x __2.
3
（4） x2 3 x __ x __2.
4
（5） x2 px __ x __2.
练习
（1） （2） （3） （4）
（5）
1、填空答案：
x2 8x _16_ x 4_2.
25
5
x2 5x _4_ x _2 2.
x2
4
x
4
1.关于y的一元二次方程2y(y-3)= -4的一 般形式是___________,它的二次项系数是 _____,一次项是_____,常数项是_____。
2.请判断下列哪个方程是一元二次方程
A x 2y 1 C x2 3 8
x
B x2 5 0 D3x 8 6x 2
3、已知x=2是一元二次方程 x2 mx 2 0
（1）把一元二次方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次因式的积； （3）每个因式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程 的解．
解方程 (x＋2)2 ＝ 4（ x＋ 2）.
解法1：原方程可变为
（x＋2）2－4(x＋2) ＝0， (x＋2)(x－2)＝0．
次项系数一半的平方，得
2 4 4 2
写成（）2 的形式，得
x 7 2 49 24 . 4 16 16
开平方，得
x 7 25 .
4
16
解这两个方程，得
x 25 - 7 / 4 16
练习 1、填空：
（1） x2 8x __ x _ 2.
（2） x2 5x __ x _ 2.
，如
解法4：因式分解法
如果一个一元二次方程的一边为0 ，另一边能 分解成两个一次因式的乘积 ，那么这样的一元 二次方程就可用因式分解法来求解．
例∵ x(x － 1)＝0， 此时x和x － 1两个因式中必有一个为0，即
x＝0或x － 1＝0， ∴ x1＝ 0，x2＝ 1.
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
x 22 5.
解法1：直接开平方法
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0) 或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0) 的一元二次方程都可用直接开平方法解.
解法2：配方法
配方法的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（ ）2 的形式； 5、开平方：化成一元一次方程； 6、解一元一次方程。
练习： 解方程：1 （x-2）（1-3x）=6
2
b b2 4ac x
2aΒιβλιοθήκη 1x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8
b2 4ac （ 7）2 4 3 8 49 96 - 47 0
原方程没有实数根。
求根公式 : X=
2
2 x2 x 2 0
3
3
解：方程两边同乘以 3， 得 2 x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
∴x=
=
=
即 x1=2, x2= -
解法3：公式法
一般地,对于一元二次方程 果 b2-4ac≥0 ,那么方程的两个根为 X= 这个公式叫做一元二次方程的求根公式.
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴方程要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－
b a
时，注意“－ ”不要漏写。
(3)利用公式的前提条件为b2-4ac≥0