一元二次方程基础知识
一元二次方程(基础)
一元二次方程的定义【知识要点】1．一元二次方程的定义及一般形式：(1)等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
(2)一元二次方程的一般形式:20(0)ax bx c a ++=≠.其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
【典型例题】1.判断下列方程是否为一元二次方程：（1）362=+x x ； （2）3623=+x x ； （3）632=+y x ；（4）0212=-x x ； （5）01=+x ； （6）632=x2.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项： （1）x x 4152=- （2）2481x =（3）25)2(4=-x x （4）38)1)(23(-=+-x x x3.已知关于x 的方程.0)1(4)12(2=-+-+k kx x k（1）当k 为何值时，此方程是一元一次方程?并求出这个一元一次方程的根。
（2）当k 为何值时,此方程是一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
【课堂检测】1．下列方程中，是一元二次方程的是：（ ） A 、2x +3x +y=0 ； B 、 x+y+1=0 ；C 、 213122+=+x x ； D 、0512=++x x2．方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③3．关于x 的方程（2a +a －2）2x +ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ） A 、a ≠0 B 、 a ≠－2 C 、 a ≠－2且 a ≠1 D 、a ≠1 4．把一元二次方程2(13)(2)1x x x -+=-化成一般形式是______ ___；一元二次方程的解法--直接开平方法【知识要点】 1.直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b +=或者x a b +=-，∴x a b =-±。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一元二次方程是代数学中的基础内容之一，其包含了一元变量的二次项、一次项和常数项。
在解决实际问题时，一元二次方程经常被用来建立数学模型。
以下是对一元二次方程的知识点进行总结：一、一元二次方程的基本形式一元二次方程的基本形式可以表示为：ax² + bx + c = 0，其中a、b 和c是常数，而x是未知变量。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：如果方程可以进行因式分解，则可以直接求得方程的解。
2. 完全平方公式：适用于方程无法进行因式分解时，利用完全平方公式求解。
3. 直接求根公式：一元二次方程的根可以通过以下公式直接求得：x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a)三、一元二次方程解的性质1. 实根与复根：一元二次方程的解可以是实数也可以是复数。
具体取决于方程中的判别式(b²-4ac)的值。
若判别式大于零，则方程有两个不相等的实根；若判别式等于零，则方程有两个相等的实根；若判别式小于零，则方程有两个共轭复根。
2. 关系式：一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，如根的和等于系数b的相反数，根的乘积等于常数项c。
四、一元二次方程的图像特征一元二次方程的图像为抛物线，其开口的方向和抛物线的顶点位置与方程中的系数相关。
具体来说：1. a的正负：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)是方程的函数。
五、应用实例一元二次方程在实际问题中的应用广泛，尤其是用于建立数学模型。
以下是几个常见的应用实例：1. 求解抛物线运动的高度、飞行时间等问题。
2. 求解面积和周长的关系，如矩形或正方形的最大面积问题。
3. 求解抛物线拱桥的最高点坐标。
六、注意事项在应用一元二次方程解决问题时，需要注意以下几点：1. 确定方程中的未知数和已知数。
一元二次方程基础知识教学教材
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元
二次方程的是( D )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.当m为何值时,方程
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(2)b24a c0,这b 时 2 4 a42a
c 0
即 x b b2 4ac ＝0
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
即
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(3)b24a c0,这b 时 24 a42ac 0
一
元
∴原方程的根是x1=0 , x2=3
二
次
方
程
返回 首页
(2) 2 x2+13x －7= 0
解: 把方程左边分解因式,得
(2x -１)(x＋７) = 0
∴ 2x -1 = 0 , x =0.5
一
或 x +7 = 0, x = -７
元
二
∴原方程的根是x1=0.5 , x2= -7
次
方
程
返回 首页
第（1）题答案：
巩固练习 (1) x2 = 2x
解题过程 解题过程
答案
一元二次方程知识整理
一元二次方程知识整理一、什么是一元二次方程一元二次方程是指一个未知数的平方与一次项的乘积再加上一个常数项的等式，通常表达为ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c为已知的实数，a不等于0，x为未知数。
二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a不等于0。
这个方程中的x称为未知数，a、b、c则是已知的系数。
方程中的平方项ax^2、一次项bx以及常数项c分别对应了二次函数的系数。
三、一元二次方程的解的判别式一元二次方程的解的判别式是用来判断方程的根的情况的。
判别式的公式为D = b^2 - 4ac。
根据判别式的值可以分为三种情况：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；2. 当D = 0时，方程有两个相等的实根；3. 当D < 0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
四、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当方程能够被因式分解为两个一次因式的乘积时，可以直接得到方程的解。
2. 完全平方公式法：当方程的判别式D = b^2 - 4ac为完全平方数时，可以利用完全平方公式求解方程。
3. 直接开平方法：当方程的一次项为0时，可以直接将方程两边开平方求解。
4. 二次根式法：当方程的系数较大或判别式较为复杂时，可以利用二次根式的求根公式求解方程。
五、一元二次方程的应用领域一元二次方程在数学中有着广泛的应用。
它可以用来解决与平方关系有关的问题，如抛物线的形状、最值等。
在物理学、工程学等领域中，一元二次方程也经常被用来描述和解决各种实际问题，如抛体运动、电磁波传播等。
六、一元二次方程的重要性一元二次方程是高中数学中的重要内容，它不仅是其他数学知识的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过学习一元二次方程，可以培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力和解决问题的能力，为学生今后的学习和工作打下坚实的数学基础。
七、总结一元二次方程作为高中数学中的重要内容，不仅具有理论性和应用性，而且在解决实际问题中有着广泛的应用。
一元二次方程知识点归纳
2. 一 元 二
次方程 的解法
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的求根公式为 x= b b 4ac
2
2a
（b -4ac≥0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数时， 也可以考虑用配方法．
2
知识点二 ：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (1)当 Δ＝ b 4ac
一元二次方程知识点
一、 知识清单梳理 知识点一：一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例
2
1.
一元二
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程． (2)一般形式：ax ＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 ax 、bx、c 分别叫做二次项、 一次项、常数项，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0 的方程，用因式分解法求解.
2
别式等于－ 8 ，故该方程没有实数 根.
（1）基本关系：若关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个根分 与一元二次方程两根相关代数式的 别为 x1、x2,则 x1+x2=
*
；x1x2=
。注意运用根与系数关系的
常见变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,
2
例：方程 ax
a
2 0 是关于 x 的
次方程的 相关概念
一元二次方程，则方程的根为－1.
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结
一元二次方程是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
以下是一元二次方程的知识点总结:
1. 一元二次方程的基本概念：一元二次方程是一个含有一个未
知数的二次方程，通常表示为 ax2+bx+c=0(a、b、c 为已知常数，x 为未知数)。
2. 一元二次方程的解法：一元二次方程的解法包括配方法、公
式法、因式分解法等。
其中，配方法是最常用的解法，它可以使一元二次方程化为一个完全平方公式的形式，从而方便解出未知数的值。
3. 一元二次方程的性质：一元二次方程的性质包括根的分布性质、根的符号性质、根的近似计算等。
其中，根的分布性质指出，一元二次方程的根的分布情况取决于系数 a、b、c 的大小。
4. 一元二次方程的应用：一元二次方程在数学、物理、化学等
领域中都有广泛的应用。
例如，在物理中，一元二次方程可以用来描述物体的运动轨迹;在化学中，一元二次方程可以用来表示化学反应
的平衡状态等。
5. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式是指 b2-4ac，它可以用来判断一元二次方程是否有实数根、有几个实数根等。
6. 一元二次方程的逆用：一元二次方程的逆用是指利用一元二
次方程的根的判别式和根的分布性质来求解未知数的方法。
例如，如果已知一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实数根，可以利用逆用定理求解未知数的值。
以上是一元二次方程的知识点总结。
在学习一元二次方程时，需要掌握基本概念、解法、性质、应用和判别式等方面的知识，并且结合实际问题进行理解和应用。
一元二次方程知识点总结&练习
一元二次方程专题（一）、一元二次方程的解法：【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75(3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx +c=0 (a≠0)先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c将二次项系数化为1：x 2+b a x=-c a方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b 2a)2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x= (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x 2+3x=0 (3) 6x 2+5x-50=0 (4)x 2-2(+)x+4 =0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
一元二次方程基础知识
3x2-7x+1=0
例题1
下列方程中哪些是一元二次方程？
(1)x2x250(2)4x23y10
(3)a2x b xc0 (4 )x (x 1 ) 2 0
(5)a2 1 0 a
(6)m ( 2)21
是一元二次方程的有：(1) ( 4 ) ( 6 )
巩固练习 (1) x2 = 2x
解题过程 解题过程
答案
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例 解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
巩固练习
(1) x2 = 2x
答案
(2) 3 x2－27 = 0
答案
(1) x2－３x = 0
解: 把方程左边分解因式,得
x(x－３) = 0
∴ x = 0 或x －3 = 0
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 __2_和__-1。
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
(1)b24a c0,这b 时 2 4 a42ac 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
此时，方程有两个不等的实数根
b
x1
b
x2
b 2 4 ac
2a
b 2 4 ac
2a
即
x2ba2
b2 4ac 4a2
因为a≠0,所以4
a
2
>0
b 式子 2 4ac的值有以下三种情况
练 习
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = _4__ ,X1X2 = _1___，
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一元二次方程基础知识
一、基础知识回顾：
1．一元二次方程必须满足的三个条件：① ；② ；③ 。
不满足其中任何一个条件的方程都 一元二次方程。
实例解答：下列关于x的方程：①20axbxc（a≠0）；②2430xx；③2540xx；④
2
3xx
⑤5xy－x+6=0；⑥mx2=4x+1中，一元二次方程的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．一元二次方程的一般形式为 （ ）。当 时，是不含一次项的一元
二次方程；当 时，是不含常数项的一元二次方程；当 时，是一次项和常数项的
一元二次方程。
实例解答：①把方程2)5)(2(xx化为一般形式为 ，其中二次项系数是 ，一次
项系数是 ，常数项是 。②若0992)1(12xxmm是一个一元二次方程，则m的值
为 。③ 若kx2+x=k2+6的一个根是2，则k的值是 。
3．解一元二次方程的方法有① ；② ；③ ；④ 。
其中 是一般方法， 是特殊方法。
4．配方法是将方程化为形式 ，当 时，利用开平方求解。步骤为：
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ；⑥ 。
5．公式法解20axbxc（a≠0）的求根公式为 （042acb），步骤为：
① ；② ；③ ；④当 时，方程有 ，
为 ；当 时，方程有 ，为 ；当 时，方程 。
6．因式分解法解一元二次方程，是把方程一边化为 ，另一边分解成 的形式。常用方
法有① ；② ；③ 。
7．已知方程0)(2pqxqpx可化为（ ）（ ）=0，则x1= ，x2= 。
8．根与系数的关系：
①基本型：方程02qpxx的两根为21xx、，则21xx ，21xx= ；
②一般型：方程20axbxc（a≠0）的两根为21xx、，则21xx ，21xx= 。
思路归纳：要证明一元二次方程①有两个不相等的实数根，只要推导出△ ；②有两个相等的实数
根，只要推导出△ ；③没有实数根，只要推导出△ ；④总有实数根，只要推导出△ 。
二、方程应用题：
1．单（双）循环问题：设参与数量为x，总次数为a时，则①单循环问题的方程是 ；
②双循环问题的方程是 。
2．平均增长（下降）率问题：设增长（下降）前的数量为a，增长（下降）后的数量为b，增长（下降）
次数为n，平均增长（下降）率为x时，则①平均增长（下降）率问题的方程是 ；
②平均增长（下降）次数是2时，方程是 。
3．数字问题：①若个位上数字、十位上数字、百位上数字分别为a、b、c，则这个数为100c+10b+a；
②扎实掌握整数、奇数、偶数等数量关系，还有 。
4．面积、体积问题：①牢记几何图形的面积和体积公式；②注意图形的拼、拆、平移等变换。