跃峰奥数PPT3组合数论6-4(多项式之比较系数)

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多项式ppt课件

人教版数学七年级上册
第二章
整式的加减
2.1 整式
第三课时多项式
学习目标
1、能正确描述多项式、整式的有关概念. 2、会准确迅速地确定一个多项式的系数和次数.
复习巩固
（1）由__数__字_与_字__母__（或_字__母__与_字__母__）相乘组成的式子叫做单项式.
单独的一个__数___或一个_字__母__也叫单项式. （2）单项式中的_________
5. 多项式
是关于 a、b 的四次三项式，且最高次
项的系数为－2，则 x = -5 ，y = 3 .
6. 已知多项式
是六次四项式，单项式
的次数与这个多项式的次数相同，求 n 的值.
解：由题意得 2 + m + 2 = 6，所以 m = 2. 又因为 3n + 4 - m + 1 = 6，即 3n + 3 = 6，所以 n = 1.
学以致用
1. 一个多项式的次数是 3， 3
B. 都小于 3 D. 都不大于 3
学以致用
m，n 当作常数 (参数) 看
待，属于系数部分
2.若关于 x 的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1 不含二次项和一
次项，求 m、n 的值.
分析：多项式不含哪一项，则那一项的系数为 0. 解：由题意得 m = 0，n－1 = 0，
1 ab πr 2 2
x2 + 2x + 18
上述几个式子是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单
项式有什么关系？
1 ab πr 2 2
单项式 + 单项式
上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式.
概念学习多项式有关概念：

跃峰奥数PPT3组合数论6-5(多项式之模分析)

跃峰奥数
【充分条件分类】先考虑p|a的情形，此时，欲证p|b2-4ac，只须证p|b。【模分析】由p|a，有ax2+bx+c ≡ bx+c（mod p）。【反面思考】反设p∤b，则（p，b）=1。记题设连续p个整点构成的集合为M，当x通过M时，bx+c通过模p的完系，从而 ax2+bx+c通过模p的完系，所为以利ax用2+题bx给+c条（件x∈，M先）对模axp2互+b不x+同c进余行。模p分析。剩余但。ax2+bx+c（现x在∈考M虑）如都何为利完用全条平件方：数当，x从遍而取axp2个+b连x+续c（整x数∈时M，）a是x2+模bpx的+c互都异是平模方p的平
奥数系列讲座——
温馨提示
为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
方剩余，这自然想到考察ax2+bx+c≡bx+c（mod p）的可能取值【1】。
当x遍取p个连续的整数时，bx+c（mod p）能取哪些值呢？【解决遗留恰】最好下简与设单目（p的标∤“以a情“。性下形p|质分b是””析b相x转模+反化pc跑平，为遍方从“模剩而不p余想的等的到“式完个从”系数反）”，面，。期思这望考只得。需到（相p，关b字）母=1的即不可等【式1】控。制这
三、恒等定理1：两个多项式相等，等价于对应项的系数都相等。

小学奥数十一模块课件

四、应用题模块
1、和差倍问题 2、年龄问题 3、平均数问题 4、鸡兔同笼 5、周期问题 6、盈亏问题 7、工程问题 8、列方程解应用题 9、列方程组解应用题 10、分数应用题 11、比例应用题 12、牛吃草问题 13、经济问题
五、组合模块
1、图形的计算 2、逻辑推理 3、枚举法 4、加乘原理 5、排列组合 6、体育比赛中的问题 7、统筹与优化 8、抽屉原理 9、容斥原理 10、最值原理 11、概率问题 12、数论中的计数
问多少头牛才能在12天吃完第三块牧场的草？第三块牧场够30头牛吃几天？
六、行程模块
1、简单相遇与追及 2、环形跑道 3、流水行船 4、火车过桥 5、电梯与发车 6、方程法解行程问题 7、时钟问题 8、比例法解行程问题 9、多次相遇与追及 10、多人相遇 11、变速问题 12、行程问题综合
七、数列与数表
1、找规律画图 2、找规律填数 3、巧数图形 4、图形规律 5、数列规律 6、等差数列初步 7、等差数列瑾姐 8、日历数表 9、杨辉三角 10、综合选讲
7、数学建模中的问题，如果题目做如下改变，结果会是怎样：
（1）水速变为每小时2英里，其他条件不变，那么他找回草帽是什么时候？
（2）船夫丢下的是一只鸭子，鸭子在静水中的速度是每小时4英里，那么他找回鸭子是什么时候？
火车过桥问题
• 火车过电线杆火车长400m，以20m/s的速度经过站台上的一根电线竿，需要多长时间？ • 火车过桥火车长400m，以20m/s的速度经过长100m的桥，需要多长时间？ • 火车过人（A）火车长400m，以20m/s的速度经过站台，站台上的工作人员以5m/s的速度从车头跑向车尾，需要多长时间？（B）火车长400m，以20m/s的速度经过站台，站台上的工作人员以4m/s的速度奔跑，列车从背后经过工作人员需要多长时间？ • 火车过火车（A）火车甲长400m，以20m/s的速度经过站台，站台旁边火车乙长600m，正以10m/s的速度启动，请问火车甲从背后经过火车乙需要多长时间？（B）火车甲长400m，以20m/s的速度经过站台，站台旁边火车乙长600m，正以5m/s的速度启动，请问火车甲和火车乙面对面交错需要多长时间？

多项式(公开课)ppt课件

叫做次
项式；最高次项为
；常数项为
；项数= ；项为
2次项为
• 2、 1 4 m 2 n 3 2 m 3 n 2 m 4 n m n 4
项为常数项为
；次数是
；
；这个多项式叫做
整理版课件
13
思考：如果我们要按照某一个顺序来重新排列上面两个多项式，可以怎么来排？
根据加法交换律，任意两项可以交换位置，最后的结果不变。
整理版课件
15
1、 3 a b 32 a bab2 按 a 升幂排列：
b按降幂排列：
2、1 4 m 2 n 3 2 m 3 n 2 m 4 n m n 4
按 m 升幂排列：按 n 降幂排列：
整理版课件
16
（5）合作探究
已+6是知六多次项四式项-式13 ，x2 ym 1 + xy 3 -3x2 单项式3x 2 n y2的次数与这个多项式的次数相同。求m+n的值
整理版课件
2
• 2.什么叫做单项式？单项式的系数和次数分别是什么？
• 单项式概念：
• 由数和字母的乘积组成的代数式叫做单项式，特别地，单独一个数或单独一个字母也是单项式。
• 单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有的字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
整理版课件
3
练习巩固
1、填表
单项式 4.9t2 x -3xy2 2x2
整理版课件
17
（6）课堂小结
1、什么是多项式？
2、多项式的系数和次数分别是什么？
3、规定：单项式与多项式统称为整式。
4、探究整式、单项式多项式三者之间
的联系与区别
单项式

《二项式系数性质》课件

《二项式系数性质》PPT 课件
数学课上经常会提到二项式系数，那么二项式系数是什么？它有什么性质和应用？在这个课件中，我们将探索它的奥秘。
二项式系数的定义及公式
定义
在代数中，指定两个变量x和y及它们的正整数指数n时，二项式系数是以下数值的代数系数。
公式
二项式系数可以通过二项式公式由阶乘算出，公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
二项式系数的递推公式
1
概念和基本形式
递推公式是一种将一个问题分解成子问题的方法。在组合数学中，递推公式被用于计算二项式系数。
2
推导过程
递推公式是通过将组合恒等式代入二项式系数公式中得到的。通常，我们会使用一个简单的三角形状的递推公式来计算二项式系数。
3
应用
递推公式可以用于模拟一些问题，如从n个元素中选择k个元素并计算可能的组合数。
4
杨辉三角形是由二项式系数构成的三角形，它的每一行都是帕斯卡三角形的一部分。杨辉三角形也具有许多有趣的性
质。
交错性质
二项式系数的相邻数为交错的正负数，即C(n,k) = (-1)^k*C(n,k-1)。
帕斯卡三角形
帕斯卡三角形是由二项式系数构成的一条斜边排成的三角形，它有许多有趣的性质。例如，每个数字等于上方两个数字之和。
二项式系数的应用
1 概率论中的应用
二项分布指的是在n次独立的重复试验中，恰好有 k次成功的概率。这个概率可以用二项式系数进行计算。
2 数据分析中的应用
二项式系数可以用于计算样本量，从而帮助我们确定数据分析的精度。
3 组合数学在密码学中
的应用
组合数学在加密技术中有着广泛的应用。其中，一种称为“组合攻击”的攻击方法就是利用了二项式系数的组合意义。

多项式课件

高次多项式
总结词
复杂函数关系
详细描述
高次多项式的一般形式为 a_nx^n+a_(n-1)x^(n1)+...+a_1x+a_0，其中 n>2。它描述的函数关系比一次和二次多项式更为复杂，可以表示各种不同的数学关系和物理现象。
04
多项式的因式分解
因式分解的定义与性质
总结词
理解因式分解的概念和性质是掌握因式分解方法的基础。
02
多项式的表示方法
代数表示法
代数表示法是用字母和数字的组合来表示多项式，例如： $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。这种表示方法可以清晰地展示多项式的各项系数和指数，方便进行代数运算和解析。
代数表示法的优点是简洁明了，易于理解和计算。它适用于需要精确表达多项式数学关系的情况，如数学公式、定理证明等。
表格表示法是将多项式的系数以表格的形式呈现出来，方便进行对比和查找。这种表示方法适用于需要展示多项式系数的详细情况，如数据统计、表格报告等。
表格表示法的优点是详细全面，能够清晰地展示多项式的各项系数。它适用于需要精确记录多项式系数的情况，如科学实验、工程设计等。
03
多项式的分类
一次多项式
总结词：线性关系
应用数学
在应用数学中，求根公式广泛应用于物理、工程等领域。
06
多项式的应用
在数学中的应用
代数方程
多项式是代数方程的基本组成部分，用于表示和解决各种数学问题。
函数
多项式可以用来表示连续函数，有助于理解函数的性质和图像。
微积分
多项式在微积分中用于近似复杂函数的积分和导数。

组合数学课件--第三章第二节棋盘多项式和有限制条件的排列

甲乙丙丁
1 2 3 4
11
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
例4:甲乙丙丁4个人住店,有5个房间1,2,3, 4,5,甲不住1,2,3号房间,乙不住2,3,4房间,丙不住1、4号房间,丁不住1,2,4号房间,求满足要求的方案数。
甲乙丙丁
1 2 3 4列
i
r1 ( n 1)!
34
3.5 有禁区的排列
两个棋子落入禁区的方案数设为r2,而其余n2个棋子为无限制条件的排列，方案数是(n-2)!。
A A
i 1 j i i
n
j
r2 (n 2)!
布n个棋子无一落入禁区的方案数应为：
A1 A2 ... An N Ai Ai A j
棋盘C
C(I)
C(e)
R(C) = 1+ 5x+6x2+2x3 R(C(i)) = 1+ 2x+x2 R(C(e)) = 1+ 4x+4x2+x3
20
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
公式2、 R(C ) xR(C(i ) ) R(C( e ) )
证明： R(C ) rk (C ) x
容斥原理与鸽巢原理31demorgan定理32容斥原理33容斥原理举例34棋盘多项式与有限制的排列35有禁区的排列36广义的容斥原理37广义容斥原理的应用28第二类stirling数的展开式29欧拉函数n210n对夫妻问题211mobius反演定理212鸽巢原理213鸽巢原理举例214鸽巢原理的推广215ramsey数34棋盘多项式和有限制条件的排列一有限制的排列对有重复的排列或无重复的排列可以对一个或多个元素的出现次数进行限制也可以对某些元素出现的位置进行限制这两种情况统称为有限制条件的排列

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现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预
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常生动、美观。

【百度文库】
跃峰奥数PPT
经典原创
组合数论6-4（多项式之比较系数）
●冯跃峰
本讲内容
本节为第3板块（组合数论）第6专题（多项式）的第小节4
（比较系数），包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；
第二部分，思维过程剖析。

这是课件的核心部分，重在发掘
问题特征，分析如何找到解题方法。

按照教师场景授课互动效
果设计，立足于启发思维；
第三部分，详细解答展示。

提供笔者重新书写的解答（简称
“新写”），力求严谨、流畅、简练。

【百度文库】
跃峰奥数PPT
经典原创
【基本知识结构】
多项式问题，一般看作属于代数的范畴。

但由于常常涉及到不定方程的相关问题与方法，这里将其归入数论的范畴。

从思维方法上讲，这也许更为恰当。

一、代数基本定理：任何非常数多项式至少有一个根。

推论1（根数定理）：n 次多项式恰有n 个根。

二、余式定理：x-a 除以f （x ）的余数是f （a ），即f （x ）=（x-a ）g （x ）+f （a ）。

三、恒等定理1：两个多项式相等，等价于对应项的系数都相等。

恒等定理2：两个n 次多项式在n+1个不同点处的值相等，则两个多项式恒等。

四、爱森斯坦判别法：若存在质数p ，使p|a i （i=0，1，…，n-1），但p ∤a n ，p 2∤a 0，则多项式f （x ）=a n x n +a n-1x n-1+…+a 0在有理数域上不可约。

比如多项式：x 2+2px+p 。

【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创
【两种典型方法】
方法1：研究“等式”（分为三个主要环节）
设出表达式
一般式
分解式带余式插值式
建立
等式【2】赋值
对应比较
导出
结论【2】
因数分析、模分析不等式控制
【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创
【两种典型方法】
方法2：研究“根” （有6种主要方式）
1、利用“根”的定义，建立等式，转化为“研究等式”。

2、设出多项式的所有根，利用韦达定理。

3、由多项式的一个根导出其它根，考察多项式根的个数。

4、发现f （x ）的根是另一个多项式g （x ）的根，讨论f （x ）与g （x ）的关系。

5、讨论根的存在范围。

6、估计根的个数。

本节介绍“研究等式（比较系数）”的相关例子。

【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创
【设出表达式】设Q（x）=a
+a1x+a2x2+…+a r x r，其中a r≠0，r≤n。

【建立等式】由P（x）x n+1+Q（x）（x+1）n+1=1，得
Q
（x）（x+1）n+1=1-P（x）x n+1。

注意右边多项式缺少1~r 次项，可以比较这些项
的系数，建立关于a
k （1≤k≤r）的方程。

【比较系数】比较两边次数不高于n的项的系数，有
a0=1，a1+a0C n+11=0【2】，a2+a1C n+11+a0C n+12=0【3】，a3+a2C n+11+a1C n+12+a0C n+13=0，
以下只需解方程组，求出系数a
k
（1≤k≤r），这采用逐一代入即可
■。

猜想证明并不容易，这是本题的难点。

需要对上述结果进行研究，发掘规律。

我们从a 3的求解过程入手【1】。

注意其中“-C n+22C n+11+ C n+11C n+12-C n+13=-C n+33”可改写为
C n+13-C n+11C n+12+ C n+22C n+11 -C n+33 =0（按下标“n+1”的“降指”排列）。

观察发现，每个项的表现形式不一【1】，但仔细一想，它们实际上可以统一，“配齐”即可。

【同构表示】再将每项“配齐”，使之具有相同结构——两个组合数之积：
C n 0C n+13-C n+11C n+12+ C n+22C n+11-C n+33C n+10=0。

为证明上述猜想，只需将上述等式推广到一般情形，证明下面的恒等式。

注意到r ≤n ，只需证明（*）式对所有k （1≤k≤n 【1】
）都成立。

实际上，有更一般的恒等式，我们将其作为引理■。

≤n
继而想到，改为对n归纳。

■
m
为叙述方便，我们把上式左边记为f （k，n ，m）。

f（k，n，m）是否恒为0，可通过初值来检验。

为简单起见，可允许m=0。

这是熟知的组合恒等式，采用逐一合并即证。

是不是要否定“命题拓广”的设想呢？否！
注意我们只需m=n时
【1】
，f（k，n，m）=0，可寻求f（k，n，m）
的一般表示，这继续研究特例即可
■。

n
跃峰奥数
这只需取k=1，2，…逐一试验即可。

引理的证明不是很难，建立二维递归，然后对m归纳
即可。

跃峰奥数
“和式”拆开，即可建立f （k ，n ，m ）与f （k ，n ，m-1）之间的联系。

第一个“和式”还需同构表示，去掉“0”项【1】，再修改上下限。

以下采用“交错加减”方式迭代即可。

为了避免分k 的奇偶讨论，可对各式配上一个“通式因子”■。

跃峰奥数
第（i ）式乘以（-1）i-1（1≤i≤k ）【3】，然后相加【4】，得（-1）1
（-1）1（-1）1（-1）2
（-1）2（-1）2（-1）k-1（-1）k-1（-1）k-1
f （k ，n ，m+1）+（-1）k-1f （0，n ，m+1）【1】
缺少（-1）k 项
求出了Q （x ）的表达式，求Q （-1/2）就很容易了■。

跃峰奥数
这是等比序列与组合数序列的“内积和”，一般都可采用
“q乘斜差”方法求解。

跃峰奥数
跃峰奥数【命题拓广】
【引入记号】
【建立递推】
■
跃峰奥数
【设出表达式】【比较系数，建立等式】
【改造结构】
【q乘斜差】
■■。