高斯小学奥数六年级上册含答案第16讲数论综合提高二
六年级高斯学校竞赛应用题综合二含答案
第17讲应用题综合二内容概述各种具有较强综合性的复杂应用题．包含多种可能情况，需要进行分类讨论的问题；需要进行合理守排对策，以达到最佳效果的问题．典型问题兴趣篇1．有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，且长比宽长12厘米．如图17-1，若把这批砖横着铺，则可铺897厘米长；如图17-2，若竖横相间铺，则可铺657厘米长，请问：如图17-3这样铺，可铺多少厘米长？2．一种商品的定价为整数元，100元最多能买3件，甲、乙两人各带了若干张百元钞票，甲带的钱最多能买7件这种商品，乙带的钱最多能买14件，两人的钱凑在一起就能多买1件，求这件商品的定价．3．小明要写152页字，小强要写150页字．从暑假第一天起，小明一天写3页，天天写；小强第一天写4页，但是隔一天写一次，请问：第多少天写完字后，小强没写的页数是小明没写的页数的2倍？4．现有甲、乙、丙三种食盐水各200克，浓度依次为42%、36%、30%，现在要配制浓度是34%的食盐水420克，至少要取甲种食盐水多少克？5．要生产某种产品100吨，需用A种原料200吨，或B种原料200.5吨，或C种原料195.5吨，或D种原料192吨，或E种原料180吨．现知用A种原料及另外一种（指B、C、D、E 中的一种）原料共19吨生产此种产品10吨．试分析所用另外一种原料是哪一种，这两种原料各用了多少吨？6．某城出租车的计价方式为：起步价是3千米8元，之后每增加2千米（不足2千米按2千米计算）增加3元．现从甲地到乙地乘出租车共支出车费44元；如果从甲地到乙地先步行900米，然后再乘出租车只要41元，那么从甲、乙两地的中点乘出租车到乙地需支付多少钱？7．现有21块巧克力，A、B、C、D、E五个人轮流把这些巧克力吃光了，但不知道他们吃的先后顺序．A说：“我吃了剩下巧克力数量的三分之二．”B说：“我吃了剩下巧克力数量的一半，”说：“我吃了剩下巧克力数量的一半．”D说：“我吃光了剩下的巧克力，”E说：“我们每人吃的数量互不相同．”已知每人吃的数量都是正整数，请问：E吃了多少块巧克力？8．已知A、B、C、D、E、F六人分别看了5、5、6、8、8、10场演出．每场演出票价不变，成人票的票价是儿童票的2倍，且均为整数元．已知这六人买演出票共支出了1026元，求成人票单价．9．甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天生产裤子，共生产448套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产720套衣服．现两厂合并后，100天最多可以生产多少套衣服？10．如图17-4，圆形湖泊周长1200米，除了A点和B之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十只蜜蜂．它们按照顺时针的方向飞行，各个蜜蜂的速度均标在了图上，单位是“米／秒”，小偷从A点出发沿湖顺时针逃到位于B点的家中，只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就会被蜇一下．请问：小偷最少会被几只蜜蜂蜇到？拓展篇1．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9、17、24、28、30、31、33、44块．甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？2．商店进了一批同样规格的袜子甩卖，为了避免找零，按40%的利润先定价，实际上收取高于“定价×双数”的最小整数元．结果买2双袜子需要5元，3双袜子需要8元，5双袜子需要12元，已知每双袜子的成本和利润都是整数分，求每双袜子的成本．3．甲站有车26辆，乙站有30辆．从上午8点开始，每隔5分钟由甲站向乙站开出一辆车，每隔7.5分钟由乙站向甲站开出一辆车，都经过1小时到达对方车站，问：最早在什么时刻，乙站车辆数是甲站的3倍？总共持续多长时间？4．有4种颜色的卡片每种各3张，每张卡片上写有一个正整数，相同颜色的卡片上写有相同的数，不同颜色的卡片上写有不同的数．把这些卡片发给6个人，每人得到2张不同色的卡片，将上面的数相加，得到了6个和：88、121、129、143、154、187.但是，其中有一个人算错了．请从小到大依次写出四种颜色卡片上所写的数，请写出所有可能．5．生产某种产品100吨，需用A 原料250吨，或B 原料300吨，或C 原料225吨，或D 原料240吨，或E 原料200吨．现知用了A 原料和另外两种原料共15吨生产该产品7吨，每种原料都用了至少1吨，且某种原料占了原料总量的一半，那么另两种原料是什么？分别用了多少吨？6．北京九章书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499.99元者（包含200元）优惠5%．每次买书500元以上者（包含500元）优惠10%．某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并一起买，比分开买便宜13.5元；如果三次合并一起买比三次分开买便宜39.4元．已经知道第一次的书价是第三次书价的85．问：这位顾客第二次买了多少钱的书？7．甲、乙两人同时从A 地出发，以相同的速度向B 地前进，甲每行5分钟休息2分钟，乙每行210米休息3分钟，甲出发后50分钟到达B 地，乙到达B 地比甲迟了10分钟．已知两人最后一次的休息地点相距70米，求两人的速度．8．货运公司要用若干辆最大载重2.1吨的汽车一次性搬运总重18.6吨的货物．为方便搬运，公司把这18.6吨货物包装成若干箱，每箱重量相同．由于包装规格所限，每箱的重量不能超过320千克，且包装好后，货物只能整箱搬运，不得拆箱．请问：要保证一定能一次搬运所有货物，至少需要多少辆汽车？此时每箱货物重量为多少千克？9．某车间有30名工人，计划要加工A 、B 两种零件，这些工人按技术水平分成甲、乙、丙三类人员，其中甲类人员有6人，乙类有16人，丙类有8人．各类人员每人每天加工两种零件的个数如表17-1所示．如果要求加工A 、B 两种零件各3000个，那么最少要用几天？10．有三个一样大的桶，一个装有浓度为60%的酒精100升，一个装有水100升，还有一个桶是空的．现在要配置浓度为36%的酒精，只有5升和3升的空桶各一个可以作为量具，并且桶上无其他刻度．如果倒溶液的时候最多只允许往每个量具里倒4次，那么最多能配置出浓度为36%的酒精多少升？11．一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙三人从同一地点同时出发，每人环行2周．现有自行车两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度都是每小时5千米，乙和丙步行的速度都是每小时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使三个人两辆车同时到达终点，环行2周最少要用多少分钟？12．幼儿园分大、中、小三个班，小班人数最少，大班比小班多61人，中班共27人．把25筐苹果分给他们，每筐苹果在50至60之间不等．已知苹果总数的个位数字是7，若每人分得19个，则苹果不够；若大班比中班每人多1个，中班比小班每人多一个，则苹果刚好分完．那么按第二种分法，大班每人分得几个苹果？小班有多少人？超越篇1．如图17-5所示，在直角三角形ABC 中，AC 长3厘米，CB 长4厘米，AB 长5厘米．有一只小虫从C 点出发，沿CB 以l 厘米／秒的速度向B 爬行；同时，另一只小虫从B 点出发，沿BA 以1厘米／秒的速度向A 爬行，请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形？（请写出所有答案）2．七个人围坐在圆桌周围，在每个人面前都有一个牛奶杯．第一个人把自己的牛奶都平均分到其余的杯子中去，接着第二个人照样做一遍，然后第三个人到第七个人也同样做一遍．最后发现每个杯子中的牛奶都和最开始时一样多．如果所有杯子的牛奶共有7升，那么第一个人到第七个人的杯子里开始时分别有牛奶多少升？3．甲、乙两人切蛋糕，两人轮流切，每人切走了五块．已知：①甲切了5次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是切蛋糕时蛋糕大小的61、62、63、64和65各1次，但不全对应切蛋糕顺序；②乙切了5次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是切蛋糕时蛋糕大小的51、52、53、54和55各1次，也是不全对应切蛋糕顺序；③切的最大的两块都是原来蛋糕的91，另外还有一块大小是原来蛋糕的2251．求切的第八块蛋糕与原来蛋糕的大小之比．4．师徒两人共同组装50台机器，每台机器组装必须经过A 、B 两道工序．对于每台机器，师傅操作A 工序需要15分钟，操作B 工序需要5分钟；徒弟操作A 工序需要45分钟，操作启工序需要20分钟，每台机器每道工序只能由一人完成，不同工序可以由不同人分别完成，但必须A 先B 后．试问：如果两人合作至少要花多少分钟才能完成工作？5．甲、乙两人在如图17-6的跑道上练习跑步，两人从A 点同时出发，甲在A 、E 之间做折返跑（转身时间不计），乙则沿着正方形跑道ABCD 顺时针跑步，已知AB=BE=100米，且两人跑步的速度都在每秒3米到每秒8米之间．如果两人出发2分钟后第一次相遇，之后隔了15秒后两人第二次相遇，那么两人第二次相遇处距离A 多远？6．某电器商场开展促销活动，每次消费超过1500元不足3000元者（含1500元）优惠5%，超过3000元者（含3000元）优惠10%．甲、乙、丙三个人各买了一件电器，如果甲、乙一起结算，比分开结算便宜130元；如果甲、丙一起结算，比分开结算便宜260元；如果三人一起结算，比三人分开结算便宜405元．请问：三人购买的电器价格分别是多少？7．某商场进行酬宾，规定现金消费每满50元返回10元礼券，多出不足50元部分不计（比如消费99元只能返回1张10元礼券），用礼券产生的消费不参与返券．妈妈看中了3件商品，分别是100多元、200多元、300多元，且都是10的倍数，更巧的是，有两件商品的价格之和正好是整百．为了充分利用返券，妈妈打算先买其中的两件，然后兑换成返券，这样买第三件商品的时候，就可以用上返券了，当然，如果返券不够买第三件，自己还得再掏一些钱，她合计了一下，这样安排的话，共有三种可能的消费结果：第一种恰好花640元，礼券也用完了；另外两种情况都要花670元，但最后又返回40元礼券．问：三种商品的价格分别是多少元？8．学校运来125个桃和若干个梨，分别平分给每位老师，最后剩下一些梨和桃不够分，这时又运来了26个水果（桃梨若干），和之前剩下的水果凑在一起，再平分给老师，每个老师多分得3个水果（每位老师的桃数相同，梨数相同）．最后又运来40个水果（桃梨若干），但是发现所剩的桃和梨竞不够每位老师同时多拿一个，那么第一次分后剩下了多少个梨？第 17 讲 应用题综合二兴趣篇1、有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，且长比宽长 12 厘米。
六年级上册奥数及答案
六年级上册奥数及答案【篇一：小学六年级奥数题及答案】t>工程问题1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？解：1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率1-45/80＝35/80表示还要的进水量答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。
如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。
现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。
只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天1/20*（16-x）+7/100*x＝1x＝10答：甲乙最短合作10天3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。
现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件工作要多少小时？解：由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。
答：乙单独完成需要20小时。
4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。
高斯小学奥数六年级上册含答案第20讲 计数综合提高下
第二十讲 计数综合提高下一、上楼梯模型找寻每种情况与前面若干种情况之间的关系 二、几何图形分平面——增量分析考虑每次增加一个图形时，所增加的平面数，在分析问题时，要注意以下几点：1. 交点越多越好；2. 交点多决定段数多（两种情况，即封闭图形和不封闭图形）；3. 有几段则增加几部分（有直线要先画直线）． 三、传球法1. 传球法是树形图的简化版本；2. 传球规则决定累加规则；（1）首先从传球者角度考虑传球方法； （2）其次从接球者角度考虑如何累加；3. 可以使用传球法的题型；（1）对相邻数位上的数字大小有要求的计数问题； （2）环形染色问题．四、插板法用于求解“把m 个相同．．的球放到n 个不同．．的盒子中”这类问题． a) 注意：球必须是相同的，盒子必须是不同的．b) 如果要求每个盒子至少一个球，那么方法数为11n m C --（把1n -个板插到1m -个空隙中）．c) 如果要求每个盒子可以为空，那么方法数为11n m n C -+-（先借n 个球，然后按照每个盒子至少1个去放，最后再从每个盒子中拿出1个还回去）．d) 对其它情况，如：每个盒子至少2个，或者某些盒子可以没有，某些盒子至少2个等，则需要做相应调整后才可应用上述结果．五、对应法解计数问题关键在于看出问题的本质，根据问题本质找到合适的方法，进行解题． 六、对于可以旋转或者可以翻转的题目，解题时要注意区分是否是不同情形．这种题目通常要先固定一个部分，使之不能旋转或翻转，如果固定一个不够，则还需要再固定一个．例1．满足下面性质的三位数称为“红数”：它的个位比十位大，十位比百位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如246、367是“红数”，但278就不是“红数”．请问：一共有多少个“红数”？「分析」大家还记得“传球法”吗？练习1、满足以下条件的四位数称为“N数”：它的个位比十位大，十位比百位小，百位比千位大，并且任意相邻两位数字差不超过2，例如3524是“N数”，但1234不是“N数”．一共有多少个“N数”？例2．（1）在一个平面上画出6个正方形，最多可以把平面分成几个部分？（2）在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线，最多可以把平面分成几个部分？「分析」本题可以采用递推计数法．练习2、在一个平面上画1条直线，2个三角形和3个长方形，那么最多可把这个平面分成多少部分？例3．一个长方形被分成7部分，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四Array种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？「分析」这道题目是否可以转化为一道环形染色问题呢？练习3、将如图的8部分用3种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻部分可以同色，那么共有多少种着色方法？例4．0、1、6、8、9颠倒过来后分别为0、1、9、8、6，而2、3、4、5、7颠倒过来后不是一个数字，如果一个自然数颠倒过来看等于它本身，则称其为“混沌数”，如69、101、8118等，那么六位数中有多少个“混沌数”？「分析」大家先判断哪些数字可以出现在“混沌数”中．练习4、如果一个自然数反过来写等于它本身，则称其为“回文数”，如12321、22、232等都是“回文数”，那么六位数中有多少个“回文数”？例5．把一条均匀木棍五等分，然后用5种颜色给这5部分染色，要求相邻的部分不能同色，那么一共有多少种不同的染法？（旋转或翻转后相同算同一种）「分析」大家可以先不考虑旋转或翻转的情况算出染法数，再减去反转后相同的染色情况．例6．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种）「分析」大家可以采用固定一个面开始染色的方法进行分析．解析几何之父——笛卡尔勒内·笛卡尔（Rene Descartes，1596——1650），著名的法国哲学家、科学家和数学家．笛卡尔常作笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省，1650年2月11日逝于瑞典斯德哥尔摩）．他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张．他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学．物理学方面笛卡尔靠着天才的直觉和严密的数学推理，在物理学方面做出了有益的贡献．自从1619年读了开普勒的光学著作后，笛卡儿就一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射率以及磨制透镜的研究．他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分．笛卡尔运用他的坐标几何学从事光学研究，在《屈光学》中第一次对折射定律提出了理论上的推证．笛卡尔发现了动量守恒原理．他还发展了宇宙演化论、漩涡说等理论学说，虽然具体理论有许多缺陷，但依然对以后的自然科学家产生了影响．他认为光是压力在以太中的传播，他从光的发射论的观点出发，用网球打在布面上的模型来计算光在两种媒质分界面上的反射、折射和全反射，从而首次在假定平行于界面的速度分量不变的条件下导出折射定律．不过他的假定条件是错误的，他的推证得出了光由光疏媒质进入光密媒质时速度增大的错误结论．他还对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形，设计了矫正视力的透镜．在力学上，笛卡尔发展了伽利略的运动相对性的思想，例如在《哲学原理》一书中，举出在航行中的海船上海员怀表的表轮这一类生动的例子，用以说明运动与静止需要选择参照物的道理．笛卡尔在《哲学原理》第二章中以第一和第二自然定律的形式比较完整地第一次表述了惯性定律：只要物体开始运动，就将继续以同一速度并沿着同一直线方向运动，直到遇到某种外来原因造成的阻碍或偏离为止．这里他强调了伽利略没有明确表述的惯性运动的直线性．在这一章中，他还第一次明确地提出了动量守恒定律：物质和运动的总量永远保持不变．笛卡儿对碰撞和离心力等问题曾作过初步研究，给后来惠更斯的成功创造了条件．天文学方面笛卡尔把他的机械论观点应用到天体，发展了宇宙演化论，形成了他关于宇宙发生与构造的学说．他认为，从发展的观点来看而不只是从已有的形态来观察，对事物更易于理解．他创立了漩涡说．他认为太阳的周围有巨大的漩涡，带动着行星不断运转．物质的质点处于统一的漩涡之中，在运动中分化出土、空气和火三种元素，土形成行星，火则形成太阳和恒星．他认为天体的运动来源于惯性和某种宇宙物质漩涡对天体的压力，在各种大小不同的漩涡的中心必有某一天体，以这种假说来解释天体间的相互作用．笛卡尔的太阳起源的以太漩涡模型第一次依靠力学而不是神学，解释了天体、太阳、行星、卫星、彗星等的形成过程，比康德的星云说早一个世纪，是17世纪中最有权威的宇宙论．数学方面笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学．在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位．笛卡尔致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学．他的这一成就为微积分的创立奠定了基础．解析几何直到现在仍是重要的数学方法之一．此外，现在使用的许多数学符号都是笛卡尔最先使用的，这包括了已知数a、b、c以及未知数x、y、z等，还有指数的表示方法．他还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称为欧拉-笛卡尔公式．还有微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的．笛卡尔心形线：r=a(1－sinθ)用的就是直角坐标图（注：实际上是极坐标系）当θ=0°时，r=a(1－0)=a……A点当θ=90°时，r=a(1－1)=0 ……B点当θ=180°时，r=a(1－0)=a……C点当θ=270°时，r=a(1+1)=2a……D点把A、B、C、D四点用弧线连接起来，就是有名的心形线！个人名言：读杰出的书籍，有如和过去最杰出的人物促膝交谈．读一切好书，就是和许多高尚的人谈话．仅仅具备出色的智力是不够的，主要的问题是如何出色地使用它．世界之大，而能获得最公平分配的是常识．我思故我在．要以探求真理为毕生的事业．意志、悟性、想象力以及感觉上的一切作用，全由思维而来．越学习，越发现自己的无知．一个为情感所支配，行为便没有自主之权，而受命运的宰割．作业1.8个人围成一圈做游戏，共有多少种不同的方法？2.满足下面性质的三位数称为“黑数”：它的个位比十位小，十位比百位小，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如642、520是“黑数”，但872就不是“黑数”．一共有多少个“黑数”？3.一个五位数只由1、2、3、4组成，它的每相邻两位数字的差都是1，这样的五位数有多少个？4.如果在一个平面上画出4个凸五边形，最多可以把平面分成多少个部分？5.给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有8种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后相同算同一种）第二十讲 计数综合提高下例7． 答案：45详解：按十位数字分类枚举，十位数字取2、8的红数各有3个，取3、7的红数各有6个，取4、5、6的红数各有9个，因而共有45个． 方法二、也可用传球法：1+3+6+8+9+9+9=45种．例8．答案：（1）122；（2）68 详解：（1）；（2）先画直线，再画三角形和圆，． 例9．答案：360 详解：先不考虑左下角那部分，其余6部分可看作5等分圆环染色问题．例10． 答案：100详解：．例11． 答案：680详解：在不考虑旋转和翻转的情况下共有种方法，其中包括翻转后和自己相同的，以及翻转后和自己不同的，考虑旋转和翻转时，前者被计1次，后者被计2次．前者共种，所以共有种不同的染法．例12． 答案：详解：每次染色只会用到五种颜色中的四种，先选出四种颜色，有种方法．用所选出的四种颜色染正四面体，任何两种染色方式，总能通过适当的旋转使得两种染色方式的底面和某一个侧面颜色对应相同，其他两个面的颜色可能相同，也可能刚好是对换，因而本质上只有两种不同的染色方式．所以共有种不同的染色方式．45210C ⨯= 455C = 45210C ⨯=()454802680⨯+÷= 54480⨯⨯= 454⨯ 455100⨯⨯= 22814202268+++++= 2816243240122+++++=练习：练习1、答案：58简答：传球法：1+4+7+8+8+8+8+8+6=58种．练习2、答案：78简答：22814223078+++++=种．练习3、答案：258简答：假设三种颜色是红黄蓝，如果开始A 涂红色，如下图有86种着色方式，而A 有红黄蓝三种颜色涂色，所以有种．练习4、答案：900 简答：91010900⨯⨯=．863258⨯=作业6. 答案：5040简答：圆排列，共有种方法．7. 答案：54简答：百位是2、3、4、5、6、7、8、9时，分别有1、3、6、8、9、9、9、9，共54个黑数．8. 答案：26简答：传球法：588526+++=种．9. 答案：62简答：每增加一个五边形，可与已有的每一个五边形交出10个点进而把平面多分出10部分．共有部分．10. 答案：140简答：482140C ⨯=种染法．210203062+++=8!85040÷=。
高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲 数论综合提高一
第十五讲 数论综合提高一本讲知识点汇总：一． 整除1． 整除的定义如果整数a 除以整数b ，所得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除a ，记作． 如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不整除a ．2． 整除判定（1） 尾数判断法能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．（2） 截断求和法能被9、99、999及其约数整除的数的特征．（3） 截断求差法能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．（4） 分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性．3． 常用整除性质（1） 已知、，则以及．（b ＞c ） （2） 已知，则． （3） 已知且，则． （4） 已知且，则．4． 整除的一些基本方法：（1） 分解法：①分解得到的数有整除特性；②两两互质.（2） 数字谜法：①被除数的末位已知；②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.（3） 试除法：[],a b c |b c |a c |a c (),1a b = |a bc|b c |ab ac()|a b c - ()|a b c +|a c |a b |b a()0b ≠①除数比较大；②被除数的首位已知.（4） 同除法：①被除数与除数同时除以相同的数；②简化后的除数有整除特性.二、质数与合数1． 质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．2． 分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如：，． 典型题型一．整除1． 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；（1） 9的考点：乱切法；（2） 11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和．2． 整除性质的使用；3． 整除与位值原理；4． 整除方法在数字谜中的应用．二．质数合数1． 质数合数填数字：注意2和5的特殊性；2． 判断大数是否为质数：逐一试除法；3． 末尾0的个数问题：层除法．例1． （1）五位数365没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？（2）如果六位数387能被624整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？3280257=⨯⨯ 2210025=⨯「分析」（1）75可以分解为3和25；（2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答．练习1、（1）六位数1037没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数374能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？例2．将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键．练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？例3．已知370⨯是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字．请问：三位数abca b c是多少？「分析」分解495=5×9×11，可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可，分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？练习3、已知0035⨯是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三a b c位数abc是多少？例4．一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位，然后根据9的整除特性确定其余数字．练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的两位数可以被29整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？例5．72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这个三位数最大是多少？ 「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数，分解72可以确定质因数的种类，满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数．例6．在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n 个数的乘积的末尾0的个数比前个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n 最小是多少？「分析」末尾0的个数决定于2和5的对数，有一对2、5就可以确定一个0，而题目数列中2的个数一定多于5的个数，所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可．1n数学王国里的一颗明珠——梅森素数 早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果是素数，则是完美数（Perfect number ）．1640年6月，费马在给马林·梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质．我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”．这封信讨论了形如的数（其中p 为素数）．梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p =2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数；而对于其他所有小于257的数时，是合数．前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分．不过，人们对其断言仍深信不疑．虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位．梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑．由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp 记之（其中M 为梅森姓名的首字母），即．如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即型素数）．2300多年来，人类仅发现47个梅森素数．由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”．自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程．21p - 21p Mp =- 21p - 21p - 21p - 21p - 21p - 21p - (1)22p p -⋅（-1） 21p - 21p -作业1.五位数305没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少？2.（1）已知六位数2012是99的倍数，那么这个六位数是多少？（2）已知六位数1949是72的倍数，那么这个六位数是多少？3.201202203500L的末尾有多少个连续的0？⨯⨯⨯⨯4.两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少？5.太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，……，颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？第十五讲 数论综合提高一例7． 答案：（1）30675、38625、39675；（2）504；（3）26999详解：（1）据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7，填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625，填7时，满足条件是30675或39675，所以答案是30675、38625、39675．（2）将六位数补成387999，387999除以624余495，所以387999减去495的差387504一定是624的倍数，所以答案是504．（3）改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931等于26999．例8． 答案：36详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可．9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+N 是9的倍数，即()12N N +是9的倍数，即N 或1N +是9的倍数，所以满足条件的N 是8、9、17、18、26、27、35、36，写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N 最小是36．例9．答案：865 详解：，即只要满足是5、9、11的倍数即可．对，不论a 取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以一定是11和5的倍数，即是605．于是是9的倍数，所以a 是8，所以a 、b 、c 组成的三位数是865．例10． 答案：13806、94365详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806；最大且数字不同，则前三位只能是943，再根据9的整除特性，所以最大是94365．37a 0b c 37a 4955911=⨯⨯例11． 答案：648例12． 答案：83详解：这是一个首项为1，公差为3的等差数列，由题意知第个数应为125的倍数，即，可知k 取2时符合要求，此时n 为83．练习：练习1、答案：（1）105372；（2）220、544或868；（3）20999练习2、答案：35练习3、答案：548或908简答：即0035a b c ⨯要分别被4、9和11整除，由00a b 与35c 整除特性且a 、b 、c 代表不同数字可知00a b 与35c 分别要被（4、9）与11整除，所以可求得abc 是548或908． 练习4、答案：最小值是2907；最大是879331125n k += 1n +作业6. 答案： 38025简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025．7. 答案：（1）260172；（2）197496 简答：（1）设该六位数为2012a b ，其为99的倍数，即212a b ++能被99整除，又a 、b 为个位数，所以易知67a b ==，，所以该六位数为260172；（2）能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496．8. 答案：75简答：500！所含0的个数减去200！所含0的个数即可，答案为75．9. 答案：34简答：易知2234119035<<，所以可估算出所求的数为34．10. 答案：900简答：前n 次共炼制n 2颗仙丹，且n 2是60的倍数，所以n 含有质因数2、3和5，于是当23530n =⨯⨯=时，2900n =为所求答案．。
高斯小学奥数六年级上册含答案第16讲 数论综合提高二
第十六讲 数论综合提高二本讲知识点汇总：一、约数、倍数1． 基本概念（1） 如果a 能被b 整除（也就是），则b 是a 的约数（因数），a 是b 的倍数； （2）约数具有“配对”性质：大约数对应小约数． 2． 约数个数（1）分解质因数，指数加1再相乘； （2）平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数． 3． 约数和公式（1） 如果一个数的质因数分解式为，则约数和为； （2）如果一个数的质因数分解式为，则约数和为；二、公约数、公倍数1． 基本概念（1）如果a 是若干个数公有的约数，则称a 是它们的公约数，其中最大的叫做最大公约数；（2）如果b 是若干个数公有的倍数，则称b 是它们的公倍数，其中最小的叫做最小公倍数；（3）公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数． 2． 计算方法（1）短除法； （2）分解质因数法； （3）辗转相除法（只用于计算两个数的最大公约数）． 3． 基本性质（1） ； （2）两个数的最大公约数是它们和或差的约数； （3）已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来： 例如，甲、乙的最大公约数是5，则可以把甲乙分别设为5a 和5b ，其中a 、b 互质，此时甲乙的最小公倍数是5ab ．4． 两个最简分数的最大公约数、最小公倍数：()[],,a b a b a b ⨯=⨯()()()2111a b c c +⨯+⨯++ 2a b c ⨯⨯ ()()22311a a b b b ++⨯+++23a b ⨯ |b a；一、约数、倍数 1． 约数的配对思想；2． 约数个数与完全平方数的关系；3． 求约数个数；4． 求约数的和；5． 利用约数个数反推原数的质因数分解形式．二、公约数、公倍数 1． 基本计算；2． 带有应用题背景的公约数公倍数计算；3． 有关最大公约数和最小公倍数的反求问题；4． 最大公约数、最小公倍数的质因数的分配．例1． 庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活动，由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次编号是3的倍数的小朋友再向左转，……，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？「分析」首先分析出转几次的人会面朝南方，这些次数排成一列，找出这组数列的规律．练习1、有2012盏灯，分别对应编号为1至2012的2012个开关．现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数，……，依次做下去，第2012个人按的开关的编号是2012的倍数．如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？经典题型 []()a c a c b d b d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,,, ()[]a c a c b d b d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,,例2．一个数有15个约数，这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」根据约数个数公式分析出含有15个约数的数的分解质因数形式．练习2、有10个约数的自然数最小是多少？有8个约数的最小的奇数是多少？例3．在35的倍数中，恰有35个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式）「分析」所求数一定含有35的质因数，再结合含有35个约数的数的分解质因数形式即可找到解题的突破口．练习3、42的倍数中，恰好有42个约数的数有多少个？例4．三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10个．那么这三个自然数分别是多少？「分析」把含有8、9、10个约数的数的分解质因数形式及86400中个质因数的个数结合在一起进行分析．练习4、三个自然数乘积为5184，且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个、A+2个．那么这三个自然数分别是多少？例5．两个整数的差为7，他们的最小公倍数和最大公约数的差是689，则这两个数分别是多少？「分析」列不定方程求解．例6．大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印．问：这个花圃的周长是多少米？「分析」这是一道公约数、公倍数的问题，首先回忆一下公约数、公倍数的求法，再思考一下题中各数据之间的关系．亲和数（Amicable Pair）亲和数是一种古老的数．遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b，b的所有真因数之和等于a，则称a，b是一对亲和数．相传，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要象220和284一样亲密．什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我．”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”．从此，把220和284叫做“亲和数”（也叫“朋友数”或叫“相亲数”）．这就是“亲和数”这个名称的来源．毕达哥拉斯首先发现220与284就是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获．公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，或者走出困境．数学家们仍然没有找到第二对亲和数．距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费马终于找到了第二对亲和数17296和18416，这个发现也重新点燃寻找亲和数的火炬．两年之后，“解析几何之父”——法国数学家笛卡尔于1638年3月31日宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584．费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千五百年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛．在十七世纪以后的岁月，许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列，他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆．可是，无情的事实使他们省悟到，已经陷入了一座数学迷宫，不可能出现法国人的辉煌了．正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷．1747年，年仅39岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布：他找到了30对亲和数，后来又扩展到60对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程．时间又过了120年，到了1867年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的16岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏——让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了．这戏剧性的发现让数学家们大为惊叹．在以后的半个世纪的时间里，人们在前人的基础上，不断更新方法，陆陆续续又找到了许多对亲和数．到了1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得，发表了1095对亲和数，其中最大的数有25位．同年，另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数．电子计算机诞生以后，结束了笔算寻找亲和数的历史，人们利用计算机，可以更有效率的寻找和分析亲和数，但直到今天，亲和数仍有许多未解之谜，等待着数学家和计算机专家来解决．作业1.300共多少个约数？其中有多少个是6的倍数？有多少个不是4的倍数？2.把一张长108厘米，宽84厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形，且纸无剩余，至少能裁成多少个正方形？3.一个小于200的自然数，其最小的三个约数之和是31，那么这个自然数是多少？（请写出所有答案）4.已知两个三位数M和N互为反序数（M>N），且它们的最大公约数是6，那么N最小值是多少？5.两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是多少？第十六讲 数论综合提高二例7． 答案：5详解：从向东转向南方，可以转3次、7次、11次、15次等，即约数个数是3、7、11、……．100之内的数的约数个数最多的只有12个（有5个）．有3个约数的是4、9、25、49；有7个约数的是64；有11个约数的数最小是1024．所以有5名小朋友最后是面朝南方．例8． 答案：144、324详解：有15个约数的数，质因数分解式为14或24⨯．前者最小是142，次小的是143，都很大；后者最小的是4223⨯，次小的是4232⨯，这个数最小是144，次小是324．例9． 答案：6457⨯详解：因为35含有质因数5、7，恰有35个约数的数只能含有这两个质因数，所以这个数最小是6457⨯．例10． 答案：30，36，80详解：，，，易知所求三个数为30，36，80．例11． 答案：23和30详解：两数之差为7，则他们的最大公约数可能为7或1，而689也可被最大公约数整除，所以两数的最大公约数为1，即两数互质，所以两数的最小公倍数，即两数之积为690，易知相差7且乘积为690的两个数为23和30．例12． 答案： 21.6米1025=⨯ 933=⨯ 8222=⨯⨯ 73286400235=⨯⨯练习：练习1、答案：1968简答：易知第n 号灯被按的次数等于n 的约数的个数，如果n 号灯被按灭则灯被按了奇数次，即n 有奇数个约数，也就是n 每个质因子的质数为偶数，即n 为完全平方数．易知小于2012的完全平方数有44个,所以还有1968盏灯亮着．练习2、答案：48；105练习3、答案：4032个简答：因为42含有质因数2、3、7，恰有42个约数的数只能含有这三个质因数，所以这个数最小是622374032⨯⨯=练习4、答案：12、16、27简答：把5184分解质因数得：64518423=⨯ ，可凑出三个数是12、16、27，质数个数分别是6个、5个、4个作业6. 答案：18，6，12简答：通过分解质因数可得答案为18，6，12．7. 答案：63简答：正方形边长为108和84的最大公约数12，所以可裁成63个正方形．8. 答案：25，125，161简答：首先最小的约数可知为1，则另外两个较小的约数之和为30，可知另外两个较小约数可以是5和25，则答案为25和125；7和23，则答案为161；11和19，则答案为209；13和17，则答案为221．其中小于200的为25，125，161．9. 答案：204简答：设这M abc =，N cba =，则由M 和N 是6的倍数，可知99()M N a c -=-是6的倍数，则a c -是2的倍数，又由M 是偶数可知，c 可能取2、4、6或8，带入尝试可求得N 可以为204，228，246，258，294，426，438，456，498，618，678，最小的是204．10. 答案：29简答：两数相差5，所以它们的最大公约数为5或1，所以分类讨论可得这两个数为12与17，其和为29．。
【6年级奥数详解(上)】第16讲 数论综合提高二的答案
小学奥数创新体系6年级（上册授课详解） 最新讲义小学奥数第十六讲 数论综合提高二例1． 答案：5详解：从向东转向南方，可以转3次、7次、11次、15次等，即约数个数是3、7、11、……．100之内的数的约数个数最多的只有12个（有5个）．有3个约数的是4、9、25、49；有7个约数的是64；有11个约数的数最小是1024．所以有5名小朋友最后是面朝南方．例2． 答案：144、324详解：有15个约数的数，质因数分解式为14或24⨯．前者最小是142，次小的是143，都很大；后者最小的是4223⨯，次小的是4232⨯，这个数最小是144，次小是324．例3． 答案：6457⨯详解：因为35含有质因数5、7，恰有35个约数的数只能含有这两个质因数，所以这个数最小是6457⨯．例4． 答案：30，36，80详解：，，，易知所求三个数为30，36，80．例5． 答案：23和30详解：两数之差为7，则他们的最大公约数可能为7或1，而689也可被最大公约数整除，所以两数的最大公约数为1，即两数互质，所以两数的最小公倍数，即两数之积为690，易知相差7且乘积为690的两个数为23和30．例6． 答案： 21.6米1025=⨯ 933=⨯ 8222=⨯⨯ 73286400235=⨯⨯练习：练习1、答案：1968简答：易知第n 号灯被按的次数等于n 的约数的个数，如果n 号灯被按灭则灯被按了奇数次，即n 有奇数个约数，也就是n 每个质因子的质数为偶数，即n 为完全平方数．易知小于2012的完全平方数有44个,所以还有1968盏灯亮着．练习2、答案：48；105练习3、答案：4032个简答：因为42含有质因数2、3、7，恰有42个约数的数只能含有这三个质因数，所以这个数最小是622374032⨯⨯=练习4、答案：12、16、27简答：把5184分解质因数得：64518423=⨯ ，可凑出三个数是12、16、27，质数个数分别是6个、5个、4个。
高思数学_6年级上第20讲应用题综合二 文档
高思数学_6年级上第20讲应用题综合二文档【最新版】目录1.应用题综合二的概述2.解决应用题的方法和技巧3.具体例题解析4.总结与建议正文【一、应用题综合二的概述】高思数学六年级上第 20 讲应用题综合二主要针对小学生的数学应用题进行讲解，内容包括基本的应用题类型、解题方法、技巧和策略。
通过本讲的学习，学生可以更好地掌握应用题的解题思路，提高解题效率和正确率。
【二、解决应用题的方法和技巧】1.仔细阅读题目，理解题意，找出已知条件和所求问题。
2.分析题目中的数量关系，确定解题思路。
3.运用基本的数学知识和公式进行计算。
4.检查答案是否符合题意和实际情况。
5.注意解题过程中的单位换算和四则运算。
【三、具体例题解析】例题一：小明和小华分别收集了 30 枚邮票和 25 枚邮票。
他们把这些邮票都贴在一本集邮册上，请问他们一共贴了多少枚邮票？解题思路：本题属于基本的加法应用题，只需将小明和小华收集的邮票数量相加即可。
计算过程：30 + 25 = 55答案：他们一共贴了 55 枚邮票。
例题二：甲乙两地相距 240 千米，一辆汽车从甲地出发以每小时 60 千米的速度向乙地行驶。
请问汽车到达乙地需要多少时间？解题思路：本题属于基本的行程问题，可以运用路程、速度和时间的关系进行求解。
计算过程：240 ÷ 60 = 4答案：汽车到达乙地需要 4 小时。
【四、总结与建议】通过学习高思数学六年级上第 20 讲应用题综合二，学生可以更好地掌握应用题的解题思路和方法。
在解题过程中，要注重分析题目中的数量关系，运用适当的公式和运算方法。
同时，要加强对单位换算和四则运算的掌握，确保解题过程中的准确性。
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小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全
小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
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第十六讲数论综合提高二本讲知识点汇总：一、约数、倍数1．基本概念（1）如果a 能被b 整除（也就是），则b 是a 的约数（因数），a 是b 的倍数；（2）约数具有“配对”性质：大约数对应小约数．2．约数个数（1）分解质因数，指数加1再相乘；（2）平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数．3．约数和公式（1）如果一个数的质因数分解式为，则约数和为；（2）如果一个数的质因数分解式为，则约数和为；二、公约数、公倍数1．基本概念（1）如果a 是若干个数公有的约数，则称a 是它们的公约数，其中最大的叫做最大公约数；（2）如果b 是若干个数公有的倍数，则称b 是它们的公倍数，其中最小的叫做最小公倍数；（3）公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数．2．计算方法（1）短除法；（2）分解质因数法；（3）辗转相除法（只用于计算两个数的最大公约数）．3．基本性质（1）；（2）两个数的最大公约数是它们和或差的约数；（3）已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来：例如，甲、乙的最大公约数是5，则可以把甲乙分别设为5a 和5b ，其中a 、b互质，此时甲乙的最小公倍数是5ab ．4．两个最简分数的最大公约数、最小公倍数：,,a ba ba b 2111abcc2a b c 22311a ab bb23ab |b a；一、约数、倍数1．约数的配对思想；2．约数个数与完全平方数的关系；3．求约数个数；4．求约数的和；5．利用约数个数反推原数的质因数分解形式．二、公约数、公倍数1．基本计算；2．带有应用题背景的公约数公倍数计算；3．有关最大公约数和最小公倍数的反求问题；4．最大公约数、最小公倍数的质因数的分配．例1．庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活动，由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次编号是3的倍数的小朋友再向左转，……，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？「分析」首先分析出转几次的人会面朝南方，这些次数排成一列，找出这组数列的规律．练习1、有2012盏灯，分别对应编号为1至2012的2012个开关．现在有编号为1至2012的2012个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数，……，依次做下去，第2012个人按的开关的编号是2012的倍数．如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这2012个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？经典题型a c a cb db d,,,a c a c bd b d ,,,例2．一个数有15个约数，这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」根据约数个数公式分析出含有15个约数的数的分解质因数形式．练习2、有10个约数的自然数最小是多少？有8个约数的最小的奇数是多少？例3．在35的倍数中，恰有35个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式）「分析」所求数一定含有35的质因数，再结合含有35个约数的数的分解质因数形式即可找到解题的突破口．练习3、42的倍数中，恰好有42个约数的数有多少个？例4．三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10个．那么这三个自然数分别是多少？「分析」把含有8、9、10个约数的数的分解质因数形式及86400中个质因数的个数结合在一起进行分析．练习4、三个自然数乘积为5184，且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个、A+2个．那么这三个自然数分别是多少？例5．两个整数的差为7，他们的最小公倍数和最大公约数的差是689，则这两个数分别是多少？「分析」列不定方程求解．例6．大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印．问：这个花圃的周长是多少米？「分析」这是一道公约数、公倍数的问题，首先回忆一下公约数、公倍数的求法，再思考一下题中各数据之间的关系．亲和数（Amicable Pair）亲和数是一种古老的数．遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b，b的所有真因数之和等于a，则称a，b是一对亲和数．相传，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要象220和284一样亲密．什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我．”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”．从此，把220和284叫做“亲和数”（也叫“朋友数”或叫“相亲数”）．这就是“亲和数”这个名称的来源．毕达哥拉斯首先发现220与284就是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获．公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，或者走出困境．数学家们仍然没有找到第二对亲和数．距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费马终于找到了第二对亲和数17296和18416，这个发现也重新点燃寻找亲和数的火炬．两年之后，“解析几何之父”——法国数学家笛卡尔于1638年3月31日宣布找到了第三对亲和数9437506和9363584．费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千五百年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛．在十七世纪以后的岁月，许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列，他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆．可是，无情的事实使他们省悟到，已经陷入了一座数学迷宫，不可能出现法国人的辉煌了．正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷．1747年，年仅39岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布：他找到了30对亲和数，后来又扩展到60对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程．时间又过了120年，到了1867年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的16岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏——让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了．这戏剧性的发现让数学家们大为惊叹．在以后的半个世纪的时间里，人们在前人的基础上，不断更新方法，陆陆续续又找到了许多对亲和数．到了1923年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得，发表了1095对亲和数，其中最大的数有25位．同年，另一个荷兰数学家里勒找到了一对有152位数的亲和数．电子计算机诞生以后，结束了笔算寻找亲和数的历史，人们利用计算机，可以更有效率的寻找和分析亲和数，但直到今天，亲和数仍有许多未解之谜，等待着数学家和计算机专家来解决．作业1.300共多少个约数？其中有多少个是6的倍数？有多少个不是4的倍数？2.把一张长108厘米，宽84厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形，且纸无剩余，至少能裁成多少个正方形？3.一个小于200的自然数，其最小的三个约数之和是31，那么这个自然数是多少？（请写出所有答案）4.已知两个三位数M和N互为反序数（M>N），且它们的最大公约数是6，那么N最小值是多少？5.两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是多少？第十六讲数论综合提高二例7．答案：5详解：从向东转向南方，可以转3次、7次、11次、15次等，即约数个数是3、7、11、……．100之内的数的约数个数最多的只有12个（有5个）．有3个约数的是4、9、25、49；有7个约数的是64；有11个约数的数最小是1024．所以有5名小朋友最后是面朝南方．例8．答案：144、324详解：有15个约数的数，质因数分解式为14或24．前者最小是142，次小的是143，都很大；后者最小的是4223，次小的是4232，这个数最小是144，次小是324．例9．答案：6457详解：因为35含有质因数5、7，恰有35个约数的数只能含有这两个质因数，所以这个数最小是6457．例10．答案：30，36，80详解：，，，易知所求三个数为30，36，80．例11．答案：23和30详解：两数之差为7，则他们的最大公约数可能为7或1，而689也可被最大公约数整除，所以两数的最大公约数为1，即两数互质，所以两数的最小公倍数，即两数之积为690，易知相差7且乘积为690的两个数为23和30．例12．答案：21.6米1025933822273286400235练习：练习1、答案：1968简答：易知第n号灯被按的次数等于n的约数的个数，如果n号灯被按灭则灯被按了奇数次，即n有奇数个约数，也就是n每个质因子的质数为偶数，即n为完全平方数．易知小于2012的完全平方数有44个,所以还有1968盏灯亮着．练习2、答案：48；105练习3、答案：4032个简答：因为42含有质因数2、3、7，恰有42个约数的数只能含有这三个质因数，所以这个数最小是622374032练习4、答案：12、16、27518423，可凑出三个数是12、16、27，质数个数分简答：把5184分解质因数得：64别是6个、5个、4个作业6.答案：18，6，12简答：通过分解质因数可得答案为18，6，12．7.答案：63简答：正方形边长为108和84的最大公约数12，所以可裁成63个正方形．8.答案：25，125，161简答：首先最小的约数可知为1，则另外两个较小的约数之和为30，可知另外两个较小约数可以是5和25，则答案为25和125；7和23，则答案为161；11和19，则答案为209；13和17，则答案为221．其中小于200的为25，125，161．9.答案：204M N a c是6简答：设这M abc，N cba，则由M和N是6的倍数，可知99()的倍数，则a c是2的倍数，又由M是偶数可知，c可能取2、4、6或8，带入尝试可求得N可以为204，228，246，258，294，426，438，456，498，618，678，最小的是204．10.答案：29简答：两数相差5，所以它们的最大公约数为5或1，所以分类讨论可得这两个数为12与17，其和为29．。