(四川大学)研究生的博弈论课程：第九章 对应分析

1 第九章 对应分析 §9.1 什么是对应分析及基本思想 一、 什么是对应分析 1．对应分析的概念与基本形式 对某一行业所属的企业进行经济效益评价时，不仅要研究经济效益指标间的关系，还要将企业按经济效益的好坏进行分类，研究哪些企业与哪些经济效益指标的关系更密切一些，为各级领导部门正确指导企业的生产经营活动提供更多的信息。这就需要有一种统计方法，将指标和企业放在一块进行分类、作图，便于做经济意义上的解释。 在社会科学研究中，一个经常会遇到的问题就是要对定性变量数据进行量化分析，因为研究中往往使用一些定性（Nonmetric）变量，例如名义变量或序次变量来反映研究对象的行为、态度等，研究不同性别的顾客对不同品牌商品的喜好，不同职业的人在吸烟行为上的差异等。在上述情况下，就可以使用对应分析方法。 对应分析（Correspondence Analysis）方法是近年来新发展起来的一种多元相依变量（Interdependece）统计分析技术，它通过分析由定性变量构成的交互汇总表来揭示变量间的联系。当以变量的一系列类别以及这些类别的分布图来描述变量之间的联系时，使用这一分析技术可以揭示同一变量的各个类别之间的差异以及不同变量各个类别之间的对应关系。 对应分析的基本形式是对由两个定性或类型（Category）变量构成的交互表进行分析，将定性变量数据转变成可度量的分值、减少维度并作出分值分布图。在减少维度方面，对应分析与因子分析（Factor Analysis）相似；在作分布图方面，对应分析与多维标度（Multidimensional Scaling）方法相似。对应分析的优点就在于可以同时做到这几方面，这是以往的统计方法所不能做的，因此，在定性变量数据分析方面，对应分析提供了一种新的多元相依变量（Interdependece）的分析技术。 2．有关多元对应分析 2

虽然对应分析的基本形式是对两个定性变量进行分析，实际上对于由三个或三个以上变量形成的交互表也可以进行对应分析，这样的对应分析称为多元对应分析（Multiple Correspondence Analysis）。（在SPSS软件里使用Optimal Scaling完成，HOMALS程序）多元对应分析可以采取两种方法，第一种方法与二元对应分析非常相似，只是需要对超过二元的变量进行转换，从而使各个变量的所有类别都表现在同一个多维空间里。 以同时分析三个名义变量为例，假设我们想分析不同性别、分别居住在城市和农村的人对在过去一年取得的收入是否满意，如果要将这三个变量放在同一张交互表里，就要进行转换。我们可以将性别与城乡这两个变量合并成一个变量，原来性别分为两个类型（男、女），城乡也分为两种类型（城、乡），合并后的变量可以记为“性别城乡”分为四个类型：男_城市、男_农村、女_城市、女_农村，这样就又可以使用对应分析的基本形式（二维形式）对上述问题进行分析了。但是，从上述变量类型转换中也可以看出，当我们所要分析的变量超过三个时，用这种方法就会感到很不方便了，这时就要使用以下介绍的另一种方法。 多元对应分析的第二种方法是采用同质性分析（Homogeneity Analyisis）技术，这是一种对多个名义变量进行主成分分析的技术，其优势是可以同时对多个定性变量进行对应分析。 从上述两种多元对应分析方法的比较看，当对两个变量进行分析时（可以看作是多元对应分析的特例），用两种方法得到的统计结果并不一致（但是用各自的解释方式得出的结论是一样的）。

在变量数为两个的情况下，建议使用对应分析的基本形式；在变量数为三个的情况下，建议使用上述多元对应分析的第一种方法，即将其中两个变量合并成一个后再进行分析；当变量数为四个或以上时，建议使用上述多元对应分析的第二种方法，即运用同质性分析的方法。 3

二、对应分析的基本思想 对应分析是将R型因子分析与Q型因子分析结合起来进行统计分析，它是从R型因子分析出发，而直接获得Q型因子分析的结果。克服了由样品容量大，作Q型分析所带来的计算上的困难。另外根据R型和Q型分析的内在联系，可将指标（变量）和样品同时反映到相同坐标轴（因子轴）的一张图形上，便于对问题的分析。 对应分析，概括起来可提供如下三方面的信息即指标之间的关系，样品之间的关系，以及指标与样品之间的关系。 基本思想：由于R型因子分析和Q型因子分析都是反映一个整体的不同侧面，因此它们之间一定存在内在的联系。对应分析就是通过一个过渡矩阵Z将二者有机地结合起来，具体地说，首先给出变量点的协差阵ZZA和样品点的协差阵ZZB，由于ZZ

和ZZ有相同的非零特征根，记为m21，),min(0npm，如果A的特征根i对应的特征向量为iU，则B的特征根i对应的特征向量就是iiVZU，根据这个结论就可以很方便的借助R型因子分析而得到Q型因子分析的结果。因为求出A的特征根和特征向量后很容易地写出变量点协差阵对应的因子载荷阵，记为F。则





mpmppmmmmuuuuuuuuuF







221122221211212111

这样一来样品点协差阵B对应的因子载荷阵记为G，则 



mnmnnmmmmVVVVVVVVVG







221122221211212111

由于A和B具有相同的非零特征根，而这些特征根又正是各个公共因子的方差，因 4

此可以用相同的因子轴同时表示变量点和样品点，即把变量点和样品点同时反映在具有相同坐标轴的因子平面上，以便对变量点和样品点一起考虑进行分类。 三、对应分析方法的优点 对应分析方法的出现为我们分析定性变量提供了许多方便条件，这表现在以下几个方面。 1 定性变量划分的类别越多，这种方法的优势越明显 尽管其他统计方法也可以对交叉汇总表进行分析，但当变量是名义或序列变量、而且变量的类别很多时，用这些方法就很难看出变量之间的关系。例如，当我们调查不同职业的顾客对不同品牌香烟的喜好时，职业变量可以分成十多个类别，而香烟品牌也可以有十个之多。这样一个由名义变量构成的庞大的交叉表就很难看出变量间的联系。对于这样的研究，对应分析的优势就表现得十分明显。 2揭示行变量类别间与列变量类别间的联系 对应分析不但可以表现行变量与列变量之间的联系，而且可以揭示行变量类别间与列变量类别间的联系。 3将类别联系直观地表现于图形中 对应分析最大的优势是可以将所有行变量类别和列变量类别的联系直观地表现在同一张分布图上，从中可以看出哪些行变量类别与列变量类别有密切的联系，从而能够清楚地解释统计分析结果。 4可以将名义变量或序次变量转变为间距变量 以对应分析方法为基础还可以将名义变量或序次变量转变为间距变量，从而可以应用更多的统计方法含有这样变量的调查数据。

§9.2 对应分析方法的原理 一、原始数据的规格化 5

在处理实际问题时，如果指标（变量）的量纲不同以及数量级相差很大时，通常先将指标作标准化处理。 但标准化处理对于指标和样品是非对等的，为了使之有对等性，以便将R型与Q型建立起联系，就需设法将原始数据阵)(ijxX变换成矩阵)(ijzZ，即将ijx变换成ijz之后，使ijz对指标和样品具有对等性。1970年，法国统计学家J.P.Beozecri提出了上述求Z的方法。 在用列联表进行检验时，给出了2统计量：



ijjijiijnnnnnnn

/..

..2

在它的启发下，将原始数据阵作如下变换，而给出矩阵)(ijzZ 其中：

......ijijij

ijxx

x

xxxz



为便于理解此变换，作如下解释： 设有n个样品，每个样品有p项指标，原始资料阵为：



npnnppnpxxxxxxxxxXXXxxx2122221112112121X

假定矩阵X的元素0ijx，否则对所有的数据同加上一数，便可满足这个要求， 6

然后写出X的行和、列和与总和，分别记为 xxxji,,

...2.1..21.222221.111211xxxxxxxxxxxxxxxx

pnnpnnpp





其中 pjijiXx1. niijjxx1. ijijxx..

为了书写方便，将..x记为T。用它去除矩阵X中的每一个元素，这不过相当于改

变了测度尺度，使变量与样品具有相同比例大小，即Txxxpijijij..，显然10ijp，且ijijp1，因而ijp可解释为“概率”，这样得到一个规格化的“概

率”矩阵pnijp)(P。类似地可写出P阵的行和、列和分别记为.ip和jp.：

1.2.1..21.222221.111211pjnnpnniijpppppppppppppppppppp





 其中pjijipp1.，niijjpp1.。 如果将n个样品，看成p维空间的点，则其n个点的坐标用