最新2019九年级数学上册 第二十四章 圆 为判定切线支招同步辅导素材 (新版)新人教版
九年级数学上册第二十四章圆重点归纳笔记(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆重点归纳笔记单选题1、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为BC⌢上一点，连接BE，若∠CBE=15°，BE=5，则正方形ABCD的边长为（）A．7B．5√2C．√10D．2√5答案：B分析：连接DB、OC、OE，根据圆内接正多边形性质，可证△OBE是等边三角形，从而可得BO=CO=OE=5，由此即可解题．解：连接DB、OC、OE，，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BOC=90°，∠DBC=45°，D,O,B三点共线，又∵∠CBE=15°，∴∠DBE=∠DBC+∠CBE=45°+15°=60°，又∵BO=CO=OE，∴△OBE是等边三角形，又∵BE=5，∴BO=CO=OE=5，∴BC=√2OB=5√2，选项B符合题意．故选B小提示：本题考查了正多边形和圆、等边三角形判断与性质，掌握圆内接正多边形性质，正确添加辅助线，得出△OBE是等边三角形是解题的关键．2、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=40°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．75°C．80°D．85°答案：C分析：直接利用圆周角定理求解．⌢，解：∵∠AOB和∠ACB都对AB∴∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3、如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°答案：C分析：根据圆周角定理可得∠AOC =50°，根据切线的性质可得∠PAO =90°，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．∵AC⌢=AC ⌢，∠ABC ＝25°， ∴∠AOC =2∠ABC =50°，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠PAO =90°，∴∠P =90°−∠AOC =40°．故选C ．小提示：本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．4、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC ＝BC ，AB ＝4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为（ ）A ．2B ．πC ．√32πD ．√22π 答案：D分析：由△ADE ≌△CDF ，推出∠DAE =∠DCF ，因为∠AED =∠CEG ，推出∠ADE =∠CGE =90°，推出A 、C 、G 、D 四点共圆，推出点G 的运动轨迹为弧CD ，利用弧长公式计算即可．解：如图，∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE=∠CDF=90°，CD=AD=DB，在△ADE和△CDF中，{AD=CD∠ADE=∠CDFDE=DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE=∠DCF，∵∠AED=∠CEG，∴∠ADE=∠CGE=90°，∴A、C、G、D四点共圆，∴点G的运动轨迹为弧CD，∵AB=4，AB=√2AC，∴AC=2√2，∴OA=OC=√2，∵DA=DC，OA=OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴点G的运动轨迹的长为90π×√2180=√2π2故选：D．小提示：本题考查等腰直角三角形的性质、轨迹、勾股定理、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确探究点G 的轨迹，属于中考常考题型．5、如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为（ ）A ．52B ．125C ．√13−32D ．√13−2 答案：D分析：证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上，从而计算出答案．设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD=90°∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上连接OB交圆O与点N∵点B为圆O外一点∴当直线BM过圆心O时，BM最短∵BO2=AB2+AO2，AO=1AD=22∴BO2=9+4=13∴BO=√13∵BN=BO−AO=√13−2故选：D．小提示：本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．6、如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=（）A．70°B．60°C．50°D．40°答案：C分析：由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．解：∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．小提示：本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．7、如图，在平面直角坐标系中，以1.5为半径的圆的圆心P的坐标为(0,2)，将⊙P沿y轴负方向平移1.5个单位长度，则x轴与⊙P的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定答案：A分析：根据题意，将圆心点向下平移1.5个单位，即可判断圆与x轴的位置关系．解：如图，∵圆心P的坐标为(0,2)，将⊙P沿y轴负方向平移1.5个单位长度，∴平移后的点P的坐标为(0,0.5)，∴OP=0.5，∵半径为1.5，∴PO<r，∴圆P与x轴相交，故选A.小提示：本题主要考查圆与直线的位置关系，结合题意判断圆与x轴的位置关系是解题的关键．8、如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且BC=10cm，DC=2cm．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（）cm．A．14B．12C．10D．8答案：C分析：首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出AB的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出DB的值，再在Rt△ABD中，根据勾股定理求出AD的长，即可得答案．解：圆柱侧面展开图如下图所示，∵圆柱的底面周长为12cm，∴AB =6cm，∵BC=10cm，DC=2cm，∴DB=8，在Rt△ABD中，AD=√AB2+DB2=√62+82=10( cm )，即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是10cm，故选： C ．小提示：此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图．9、如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6B．8C．10D．12答案：D分析：连接AC,OD,OF，先根据圆内接正多边形的性质可得点O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分线，从而可得∠CAD=12∠BAD=45°,∠CAF=12∠EAF=30°，再根据角的和差可得∠DAF=15°，然后根据圆周角定理可得∠DOF=2∠DAF=30°，最后根据正多边形的性质即可得．解：如图，连接AC,OD,OF，∵四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，∴点O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分线，∠BAD=90°,∠EAF=60°，∴∠CAD=12∠BAD=45°,∠CAF=12∠EAF=30°，∴∠DAF=∠CAD−∠CAF=15°，∴∠DOF=2∠DAF=30°，∵DF恰好是圆O的一个内接正n边形的一边，∴n=360°∠DOF =360°30°=12，故选：D．小提示：本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．10、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO=∠ACO=22.5°,BC=8，若扇形OBC（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（）A．√6B．2√6C．√15D．√30答案：D分析：根据圆的性质，勾股定理求出圆的半径OB，再根据扇形的弧长公式即可求解；解：根据圆的性质，∠BOC=2∠A∵∠A+∠ABO+∠OBC+∠ACO+∠OCB=180°，∠OBC+∠BOC+∠OCB=180°∴∠A+∠ABO+∠ACO=∠BOC∵∠BOC=2∠A，∠ABO=∠ACO=22.5°∴∠BOC=90°∵OB=OC，BC=8∴OB=OC=√1BC2=4√22∴BC⏜=1⋅2π⋅4√2=2√2π4∴圆锥底面圆的半径为：r=2√2π=√22π∴圆锥的高ℎ=√OB2−r2=√(4√2)2−√22=√30故选：D小提示：本题主要考查圆的性质、勾股定理、弧长公式的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．填空题11、如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=√5，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=________________．答案：3分析：连接AC，易得AC为直径，在Rt△ABC中利用勾股定理算出AC，再在Rt△ACP中利用勾股定理算出PC．解：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AC=√5，∠ABC=90°，∴AC是直径．∴∠APC=90°．在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√(√5)2+(√5)2=√10，在Rt△APC中，PC=√AC2−AP2=√(√10)2−12=3．所以答案是：3．小提示：本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．12、如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90∘，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合）OC⊥AP，OD ⊥BP ，垂足分别为C ，D ，则CD 的长为________．答案：√22分析：连接AB ，如图，先计算出AB =√2，再根据垂径定理得到AC =PC ，BD =PD ，则可判断CD 为△PAB 的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．解：连接AB ，如图，∵OA =OB =1，∠AOB =90°，∴AB =√2OA =√2，∵OC ⊥AP ，OD ⊥BP ，∴AC =PC ，BD =PD ，∴CD 为△PAB 的中位线，∴CD =12AB =√22．所以答案是：√22．小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形的中位线定理．13、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（20，0），点B 的坐标是（16，0），点C 、D 在以OA 为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_____．答案：（2，6）分析：此题涉及的知识点是平面直角坐标系图像性质的综合应用．过点M作MF⊥CD于F，过C作CE⊥OA 于E，在Rt△CMF中，根据勾股定理即可求得MF与EM，进而就可求得OE，CE的长，从而求得C的坐标．∵四边形OCDB是平行四边形,点B的坐标为(16,0)，CD∥OA，CD=OB=16，CD=8，过点M作MF⊥CD于F,则CF=12过C作CE⊥OA于E，∵A(20,0)，∴OA=20，OM=10，∴OE=OM−ME=OM−CF=10−8=2，OA=10,连接MC,MC=12∴在Rt△CMF中，MF=√MC2−CF2=√102−82=6.∴点C的坐标为(2,6).故答案为(2,6).小提示：此题重点考察学生对坐标与图形性质的实际应用，勾股定理，注意数形结合思想在解题的关键．14、如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为AC⌢上的点，且MN∥CD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O 的半径为_______．答案：212##10.5分析：连接AO ，ON ，延长NM 交⊙O 于F ，过O 作OE ⊥NF 于E ，如图，设⊙O 的半径为r ，AD =t ，先证明四边形MEOD 是矩形得到OE =DM =12t ，OD =ME =r -5，再利用勾股定理得(r −5)2+t 2=r 2①，(r −5+4)2+(12t)2=r 2②，然后解方程组即可．解：连接AO ，ON ，延长NM 交⊙O 于F ，过O 作OE ⊥NF 于E ，如图，设⊙O 的半径为r ，AD =t ，∵CD ⊥AB ，MN ∥CD ，∴∠ODM =∠DME =∠MEO =90°，∴四边形MEOD 是矩形，∴OE =DM =12t ，OD =ME =r -5，在Rt △AOD 中，(r −5)2+t 2=r 2，①在Rt △NOE 中，(r −5+4)2+(12t)2=r 2，② ②×4-①得2r -21=0，解得r =212， 即⊙O 的半径为212． 所以答案是：212小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．15、如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD⌢所对的圆周角，则∠APD的度数是______．答案：30°##30度∠AOD=30°．分析：根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=12∵OC⊥AB，OD为直径，∴BD⌢=AD⌢，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∠AOD=30°，∴∠APD=12所以答案是：30°．小提示：本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．解答题16、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD=6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．答案：（1）36√3−12π；（2）ℎ=4√2.分析：（1）利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，则可计算出BD=6√3，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积=S△ABC−S扇形EAF进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr=120⋅π⋅6180，解得r=2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．∵在等腰△ABC中，∠BAC=120°，∴∠B=30°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴BD=√3AD=6√3，∴BC=2BD=12√3，∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积=S△ABC−S扇形EAF =12×6×12√3−120⋅π⋅62360=36√3−12π.（2）设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=120⋅π⋅6180，解得r=2，这个圆锥的高h=√62−22=4√2．小提示：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．17、问题提出（1）如图①，⊙O的半径为8，弦AB=8√3，则点O到AB的距离是__________．问题探究（2）如图②，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB=8，求△ABC面积的最大值．问题解决（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为80m，等腰直角三角形ABP的边AB是⊙O的弦，直角顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD、AD、BC．现准备在△ABP和△CDP 区域内种植草坪，在△ADP和△BCP区域内种植花卉．记△ABP和△CDP的面积和为S1，△ADP和△BCP的面积和为S2．①求种植草坪的区域面积S1．②求种植花卉的区域面积S2的最大值．答案：（1）8；（2）32；（3）①S1=1600m2，②1600m2．分析：（1）作OC⊥AB交AB于点C，连接OA，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC；（2）作CD⊥AB交AB于点D，连接OA，可知当CD经过圆心O的时候△ABC面积最大，由垂径定理和勾股定理可求出CD=OC+OD=8，进一步可求出△ABC的面积；（3）①连接OD，OA，求出AD，进一步可求出S1=12(AP2+CP2)=12AD2；②表示出S2=AP⋅DP，利用完全平方公式求出S2=xy≤x2+y22，当AP=DP时，S2有最大值为1600m2．解：作OC⊥AB交AB于点C，连接OA，∵AB=8√3，由垂径定理可知：AC=BC=4√3，∵OA=8，∴OC=√OA2−AC2=4；（2）作CD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵AB=8，若使△ABC面积最大，则CD应最大，∴当CD经过圆心O的时候取值最大，由垂径定理可知：AD=BD=4，∵OA=5=OC，∴OD=3，∴CD=OC+OD=8，∴S△ABC=1×8×8=32，2（3）①连接OD，OA，则OD=OA=40m，∵△ABP是等腰直角三角形，∴∠ABP=45°，∴∠AOD=90°，即△AOD是等腰直角三角形，∴AD=√OA2+OD2=40√2m，∵∠DCP=∠ABP=45°，∠APB=∠CPD=90°，∴△CDP是等腰直角三角形，∵S△ABP=12AP2，S△CDP=12DP2，∴S1=12(AP2+DP2)=12AD2=1600m2，②由①可知：S2=12⋅AP⋅DP+12⋅BP⋅CP=AP⋅DP，设AP=x，DP=y，故S2=xy，∵(x−y)2=x2+y2−2xy≥0，∴xy≤x2+y22，当x=y时，等号成立，∴S2=xy≤x2+y22，当AP=DP时，S2有最大值为1600m2．小提示：本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式的应用，等腰直角三角形的判定及性质，（3）小问较难，解题的关键是表示出S1=12(AP2+CP2)=12AD2，求出AD，利用完全平方公式求出S2=xy≤x2+y22．18、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．答案：(1)见解析(2)2√3分析：（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．（1）解：如图，切线AD即为所求；（2）如图：连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，∵∠DAB＝75°，∴∠OAB＝15°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝15°，∴∠BOA＝150°，∴∠BCA＝1∠AOB＝75°，2∵∠ABC＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC＝2，∴∠BCO＝∠CBO＝30°，∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝OC•cos30°＝√3，∴BC＝2√3．小提示：本题主要考查了作圆的、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．。
人教版九年级数学上册第24章 圆 切线的判定和性质
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质
1.通过阅读课本能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一
点作圆的切线，培养学生的动手操作能力.
2.通过自主探究深刻理解切线的判定定理和性质定理，并能初
步运用它们解决有关问题，培养学生观察、分析、归纳问题的
能力，激发学生学习数学的兴趣.
(2)解: ∵ ⟂, = , ∴ =
= .
设⊙O的半径为r,则OE=r-2.在Rt△OEC中, ² = ² + ²,
即 ² = − ² + ²,解得r=5, ∴AE=AB-BE=2×5-2=8,
∵CA平分∠DCF,AD⊥CD,CF⊥AB,∴AD=AE=8.
AB=5,EB=3.
(1)求证： AC 是⊙ D 的切线；
(1)证明：如答图，过点D 作DF⊥AC 于点F.
∵∠B=90°,∴AB⊥BC. 又∵AD 平分
∠BAC,DF⊥AC,∴BD=DF,∴F在⊙D上，
∴AC 是 ⊙D 的切线 .
变式：如题图，在 Rt△ABC
中，∠B=90°,AD 平分
∠ BAC 交 BC 于点 D,E 为 AB 上 的 一 点 ，
过点A 作AE//BC 交 CD 的延长线于点E.
(1)求∠ ABC 的大小；(2)求证： AE 是 ⊙ O 的切线
(1)解：由题易得∠CAB=∠BDC=60°,∠ACB=∠ADB=60°,
∴∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=180°-60°-60°=60°.
(2)证明：如答图，连接AO 并延长，交BC 于点F.
③请总结一下判定切线的方法.
（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）
2019九年级数学上册第24章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2切线的判定和性质作业本课件新版新人教版
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系
24.2.2
第二十四章 圆
第2课时 切线的判定和性质
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
第2课时 切线的判定和性质
A 知识要点分类练
知识点 1 切线的判定
1．下列说法中正确的是( B ) A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
图 24－2－27
第2课时 切线的判定和性质
【解析】连接 OD，根据切线的性质定理可得 OD⊥CD.由于 AB 是⊙O 的直 径，根据“直径所对的圆周角等于 90°” ，可得∠ADB＝90°，结合已知条件 “∠A＝30°”可以说明①②的正确性；在 Rt△ADB 中，利用“30°角所对的 直角边等于斜边的一半”，可得 AB＝2BD，从而 AB＝2BC.
第2课时 切线的判定和性质
3．如图 24－2－20，A，B 是⊙O 上的两点，AC 是过点 A 的一条
60 直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝________ °时，AC 才能成
为⊙O 的切线．
图 24－在△AOB 中，OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝30°，∴当 ∠CAB＝60°时，OA⊥AC，此时 AC 为⊙O 的切线．
图 24－2－23
第2课时 切线的判定和性质
【解析】连接 OD.∵CA，CD 是⊙O 的切线，∴OA⊥AC，OD⊥CD，∴∠OAC ＝∠ODC＝ 90 ° . ∵∠ ACD ＝ 30 °，∴∠ AOD ＝ 360 °－∠C－∠OAC－∠ODC＝ 1 150°.∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB＝ ∠AOD＝75°. 2
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第24章 圆 24.2.2 第2课时 切线的判定和性质
快乐预习感知
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1.下列说法正确的是( D )
A.内心一定在三角形内部,外心一定在三角形外部
B.任何三角形只有一个内切圆,任何圆只有一个外切三角形
C.到三角形三边所在的直线距离相等的点只有一个
D.若PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,则PA=PB
快乐预习感知
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2.如图,直线AB与☉O相切于点A,AC,CD是☉O的两条弦,且CD∥AB,
证明:如图,连接OA,OB.
∵PA是☉O的切线,
∴∠OAP=90°.
∵OA=OB,AB⊥OP,
∴∠AOP=∠BOP.
又OA=OB,OP=OP,
∴△AOP≌△BOP(SAS).
∴∠OBP=∠OAP=90°,即PB是☉O的切线.
点拨:知切线,连半径,得垂直,即根据切线的性质,当已知某条直线
是圆的切线时,切线与过切点的半径垂直,这在解决问题时起着关
心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的 内心
.
8.如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.
若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是
70° .
快乐预习感知
1.直线和圆相切的性质和判定
【例1】 如图,PA是☉O的切线,切点是A,过点A作AH⊥OP,垂足为
H,交☉O于点B.求证:PB是☉O的切线.
所以PA=PB.
又因为OA=OB,
所以OP是线段AB的垂直平分线,
即有OP⊥AB.
因为AC∥OP,所以AC⊥AB.
所以∠BAC=90°.
所以BC是☉O的直径.
点拨:由该例我们不难得到如下结论:过圆外一点引圆的两条切
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线的概念切线的判定和性质》优质课教案_0
切线的判定定理与性质定理
教学目标：
1.掌握圆的切线的判定定理和性质定理，并利用切线的判定定理和性质定理解决相关问题.
2.在解题过程中体会数形结合的思想.
3.体会数学与实际生活密切相关，感受生活中蕴含的数学美.
学习重点：
切线的判定定理和性质定理的应用．
教学过程：
1、复习直线和圆的位置关系：
思考：直线与圆相切有哪几种判断方法？
2、探究切线的判定定理
书本P97思考：
在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O有什么位置关系？
从作图中可以得出：经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线。
思考：它的数学语言该怎样表示呢？
思考作图：已知：点A为⊙o上的一点，如何过点A作⊙o的切线呢？
交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA过A点作OA的垂线。
3、探究切线的性质定理：
书本P97思考：
在⊙O 中，如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？
总结交流：圆的切线垂直于过切点的半径。
4、运用切线的性质和判定定理解决简单问题：
例已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D.
求证： AC 是⊙O 的切线．
5、课堂小结：
（1）切线的判定定理与性质定理是什么？它们有怎样的联系？
（2）在应用切线的判定定理和性质定理时，需要注意什么？
6、作业布置：
教科书习题 24.2 第 4，5，12 题．。
九年级数学上册第24章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2切线长定理和三角形的内切圆听课课件新版新人教
由于等边三角形的内心就是它的外心，可得
1
1
AD＝2AB＝1，∠OAB＝2∠CAB＝30°.
在 Rt△AOD 中，OA＝2OD，由勾股定理，得 OD＝ 33，
∴图中阴影部分的面积为 S△ABC－S⊙O＝ 43×22－π×( 33)2＝
π
3－ 3 .
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
【归纳总结】三角形内切圆半径的三种求法：
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点________之间 线段的长，叫做这点到圆的切线长
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们切的线_长_______ 相等，这一点和圆心的连两线条切平线分的_夹_角______________
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
符号语 言表示
因为PA，PB是⊙O的两条切线， 所∠以APPOA＝＝_∠____BP__PBO_________＝12， ∠_A_PB______．
图 24－2－16
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系
第二十四章 圆
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识目标
目标突破
总结反思
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
知识目标
1．通过画图、折叠、度量、思考等过程，探索出切线长定理， 并能用切线长定理解决问题．
2．经历教材中“思考”的实践操作、交流过程，理解三角形 的内切圆，会画三角形的内切圆，并会求三角形内切圆的半 径．
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
目标突破
目标一 能用切线长定理解决问题
例 1 教材例 2 针对训练 已知：如图 24
－2－13 所示，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分 别是 A，B，Q 为A︵B上一点，过点 Q 作⊙O 的切 线，分别交 PA，PB 于点 E，F.已知 PA＝12 cm， ∠P＝70°.求：
2019九年级数学上册 第二十四章 24.2.3 圆的切线的性质和判定备课资料教案
第二十四章 24.2.3圆的切线的性质和判定知识点1：圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.关键提醒:(1)在应用圆切线的判定定理时,必须先弄清“题设”中的两个事项:一是经过半径外端点,二是垂直于这条半径,这两者缺一不可,千万不要只凭一个条件就判定一条直线为圆的切线.如图,其中的直线l都不是☉O的切线.(2)根据要点5,6可知,切线的判定方法有三种:①定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;②数量法:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;③判定定理.知识点2：圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径.关键提醒:(1)切线的判定定理和性质定理易混淆,要注意区别.判定定理是不知道直线是否是切线,而让你来证明它,是从数量关系(①与圆只有“1”个公共点;②d=r;③垂直即90°)到位置关系.而性质定理则是已知是切线,它具有哪些性质.(2)由圆的切线的性质定理不难得出:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.由此我们可以总结如下:切线的性质和判定主要涉及四个因素:①切线;②切点(半径外端点);③圆心;④垂直.这四个要素中满足其中的三个,就可以推出另外一个.考点1：切线的判定【例1】如图,点A为☉O外一点,连接OA交☉O于点C.过☉O上一点P作OA的垂线,交OA于点F,交☉O于点E,连接PA、PC.若∠EPC=∠CPA,求证:PA是☉O的切线.解:连接OP.∵OA⊥EP,∴=.∴∠POC=2∠EPC.∵∠EPC=∠CPA,∴∠POC=∠EPA.∵∠POC+∠OPE=90°,∴∠EPA+∠OPE=90°,即PA⊥OP.∴PA是☉O的切线.点拨:此题是判定定理的应用,连接OP后,只要证明∠OPA=90°即可.考点2：利用圆的切线的性质解决问题【例2】如图,AB是☉O的直径, P为AB延长线上的任意一点,C为半圆ACB的中点,PD切☉O于点D,连接CD交AB于点E.求证: PD=PE.解:连接OC、OD,∴OD⊥PD ,OC⊥AB.∴∠PDE=90°-∠ODE,∠PED=∠CEO=90°-∠C.又∠C=∠ODE,∴∠PDE=∠PED.∴PE=PD.点拨:要证PD=PE,即证∠PDE=∠PED,但直接证明两角相等缺条件.由于PD是☉O的切线,切点是D,所以连接OD,得PD⊥OD,又点C为半圆ACB的中点,连接OC可得∠COB=90°.∠PDE+∠ODC=90°,∠OEC+∠OCE=∠PED+∠OCE=90°,根据等角的余角相等可证.。
九年级数学上册第24章圆24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.2切线的判定和性质作业本课件 新人
C．1
D．0
图 精2选4教－育课2件－27
18
第2课时 切线的判定和性质
【解析】连接 OD，根据切线的性质定理可得 OD⊥CD.由于 AB 是⊙O 的直 径，根据“直径所对的圆周角等于 90°”，可得∠ADB＝90°，结合已知条件
“∠A＝30°”可以说明①②的正确性；在 Rt△ADB 中，利用“30°角所对的
6．2016·邵阳 如图 24－2－23 所示，AB 是⊙O 的直径，C 为 ⊙O 外一点，CA，CD 是⊙O 的切线，A，D 为切点，连接 BD，AD. 若∠ACD＝30°，则∠DBA 的大小是( D )
A．15° B．30° C．60° D．75°
图 24－2－23
精选教育课件
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第2课时 切线的判定和性质
图 24－2－19
精选教育课件
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第2课时 切线的判定和性质
3．如图 24－2－20，A，B 是⊙O 上的两点，AC 是过点 A 的一条 直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝____6_0___°时，AC 才能成 为⊙O 的切线．
图 24－2－20
精选教育课件
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第2课时 切线的判定和性质
____5____．
图 24－2－24
精选教育课件
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第2课时 切线的判定和性质
【解析】连接 OB，根据切线的性质可知 OB⊥AB.设圆的半径为 r，根据 勾股定理可得 r2＋AB2＝(r＋AC)2，即 r2＋122＝(r＋8)2，解得 r＝5.
精选教育课件
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1 为判定切线支招
同学们，证明直线是圆的切线的问题，你会感到困难吗？这里，为大家支个招，介绍两种通过添加辅助线证明圆的切线的方法：一是如果欲证的切线已知与圆有公共点，则经过这个公共点作圆的半径（或直径），然后证明该半径（或直径）与该直线垂直，简称“作半径，证垂直”；二是如果欲证的切线与圆无公共点，则经过圆心作该直线的垂线，然后证明圆心到该直线的距离等于圆的半径，简称“作垂直，证相等”.
这两种切线的证明方法分别适用于两种不同的条件，在运用是要注意正确选择．下面举例说明，供同学们学习时参考．
一、“连半径，证垂直”
例1（2016•南宁）如图1，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BD 是角平分线，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D ．求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：由已知条件可知欲证的切线AC 与⊙O 有公共点D ，
因此，连接OD ，再证明OD ⊥AC 即可．
证明：如图1，连接OD ．
∵OB ＝OD ，
∴∠ODB ＝∠OBD .
∵BD 为∠ABC 平分线，
∴∠OBD ＝∠CBD.，
∴∠CBD ＝∠O DB .
∴OD ∥BC .
∵∠C ＝90°，
∴∠ODA ＝∠C ＝90°，即OD ⊥AC .
∴AC 是⊙O 的切线．
二、“作垂直，证相等”
例2(2015∙黔东南)如图2，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意
一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A ，B 两点.求证：PN 与⊙O 相切.
分析：已知条件中没有说明直线PN 与⊙O 有无公共点，可由圆心
O 向PN 作垂线OF ，通过证明OF 与⊙O 的半径相等，得出P N 与⊙O 相
切. 证明：如图2，连接OE ，过点O 作O F⊥PN 于点F.
∵⊙O 与PM 相切于点E ，
∴OE ⊥PM.
又∵PC 平分∠MPN ，OF ⊥PN ，OE ⊥PM ，
∴OF=OE ，
∴PN 与⊙O 相切.。