第二章 矩阵及计算
第二章矩阵的运算及与矩阵的秩
第1页，共80页。
一、矩阵的线性运算
§2.1 矩阵的基本运算
A=(aij ) m×n ，B=(bij ) m×n ，l为给定的数． （1）加法：C=(aij+bij)为矩阵A与B相加的和，记作A+B
（2）数乘：C=l(aij)为数 l与矩阵A相乘的积，记作lA
l 0 0
§2.1 矩阵的基本运算 ➢ 推论：若m×n矩阵A与B等价，则存在若干个m×m初等矩阵Pi(i=1,2-----,s)和若干个n×n初等矩阵Qj(j=1,2-----,t)使得
P 1 P 2 P sA Q 1 Q 2 Q tB
第26页，共80页。
三、矩阵的转置 定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
001 a 31a 32a 33a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
100 a 11 a 12 a 13 a 1 4a 11 a 12 a 13 a 14 E ( 2 ,3 ( k )A ) 01k a 21 a 22 a 23 a 2 4 a 2 1 k3a 1 a 2 2 k3a 2 a 2 3 k3a 3 a 2 4 k3 a 4
上述过程也可以等同于：
a11 a12 a13 a14
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 r 2 r3 a31 a32 a33 a34
a31 a32 a33 a34
a21 a22 a23 a24
第20页，共80页。
§2.1 矩阵的基本运算
100 a 11a 12a 13a 1 4 a 11 a 12 a 13 a 14 E (2 (k)A ) 0k0 a 21a 22a 23a 2 4 k2a 1k2a 2k2a 3k2a 4
第二章 矩阵及其运算
或 Ax = 0
否则, 称方程组为非齐次线性方程组. 非齐次线性方程组 否则, 称方程组为非齐次线性方程组. non-homogeneous
转置运算的性质： 转置运算的性质： (1) (AT )T = A;
(3) (λ A)T = λ AT ;
6 May 2012
(2) （A + B T = AT + B T ; ）
(4) （AB T = B T AT . ）
河北科大理学院
第二章 矩阵及其运算
17
定义7 则称A为对称阵. 定义 若 AT = A, 则称 为对称阵. symmetric matrix 则称A为反对称矩阵. 若 AT = − A, 则称 为反对称矩阵. skew symmetric matrix
第二章 矩阵及其运算 本章内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算、乘法、 矩阵的线性运算、乘法、转置及幂运算 逆矩阵, 逆矩阵,矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法 矩阵分块法
第二章 矩阵及其运算
2
第4讲 矩阵的概念 讲
一 概念的引入 线性方程组与矩阵
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 , LLLLLLLLLLLL a x + a x + L +a x = b mn n m m1 1 m 2 2
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
线性代数 矩阵及其运算
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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27
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例 例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
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例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
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18
例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
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14
例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
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15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
第2章 矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵（一）矩阵及相关概念1.矩阵阶方阵阶矩阵或是，则称若或矩阵，简记称为列的表格行排成的个数n n A n m a A n m a a a a a a a a a n m a n m n m ij mn m m n n ij =⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯,)( (21)2222111211 2.0矩阵00，则称为零矩阵，记作中所有元素而都是如果矩阵A3.同型矩阵是同型矩阵与则称中如果，矩阵B A t n s m b B a A t s ij n m ij ,,,)(,)(====⨯⨯4.矩阵相等即对应的元素都相等同型矩阵),,(j i b a B A ij ij ∀=⇔= 1. 方阵的行列式 阶行列式其元素可构造对于方阵n a A ij )(=B A B A a a a a a a a a a A nnn n n n ≠≠=得不到由,.............. (2122221)11211(二)几类特殊方阵1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n 阶段方阵，称为n 阶单位矩阵，记为E E A A AE EA ===0;2.对称矩阵),(,j i a a A A n A ji ij T ∀==即阶矩阵，如是设3.反对称矩阵对称矩阵反不一定是对称矩阵，但反也是对称矩阵，则反是同阶的若，即阶矩阵，如是设)()(,,)(,0),(-,-AB A B A B A B A a j i a a A A n A ii ji ij T λ-+=∀==4.对角矩阵 、积仍然是对角矩阵同阶的对角矩阵的和差，对角矩阵记为阶矩阵，如是设Λ≠∀≡)(0j i a n A ij5.逆矩阵 1,-==AA AB A E BA AB B n n A 记为的逆矩阵唯一的逆矩阵，是是可逆矩阵，，则称使阶矩阵阶矩阵，如存在是设6.正交矩阵T T T A A A E A A AA n A ===-1,是正交矩阵，则称阶矩阵，如是设7.伴随矩阵*=A A A A A A A A A A A n A a A n a A nn n n n n ij ij ij 的伴随矩阵，记为，称为阶矩阵所构成的的代数余子式的各元素阶矩阵，则由行列式是设....................)(212221212111二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算1.矩阵的加法CB A B A b a cC n m n m b B a A ij ij ij ij ij =++==⨯⨯==的和称为矩阵矩阵矩阵，则是两个设,)()()(),(2.矩阵的数乘kAA k b a ka n m k n m a A ij ij ij ij 记为的数乘，与矩阵称为数矩阵是一个常数，则矩阵，是设)()()(+=⨯⨯=3.矩阵的乘法nb r A r B Ax B AB A E A A A A B AB BA AB B A BA AB ABC B A b a b a b a b a c c C s m s n b B a A nk kj ik nj in j i j i ij ij ij ij ≤+≠======≠==≠==+++==⨯⨯==∑=)()(,00,0;0,;00,0)2(,)1(,...)()(),(212211则齐次方程组有非零解的解，若程中的每一列都是其次方应联想到或不能堆出，不能退出时，才能运算可交换即与只有换律矩阵的乘法一般没有交的乘积，记为与称为其中矩阵矩阵，则是两个设 ，命题成立矩阵，秩序是若不能退出的列数，则，且若可逆，则，且矩阵若立：以下两种情况消去率成，对于矩阵乘以不具有消去律n A r n m A C B A AC AB B A A r AB B A AB A AB =⨯=≠======≠=)(,,0,)3(0)(000),0(0（二）关于逆矩阵的运算规律A A =--11))(1( 111))(2(--=A k kA 111))(3(---=AB AB 11)())(4(--=T T A A 11)5(--=A A n n A A )())(6(11--=(三)关于矩阵转置的运算规律 A A T T =))(1( T T kA kA =))(2( T T T A B AB =))(3(T T T B A B A +=+))(4(（四）关于伴随矩阵的运算规律E A AA A A ==**)1( )2()2(1≥=-*n A A n )2())(3(2≥=-**n A A A n*-*=A k kA n 1))(4( **=)())(5(T T A A1)(,0)(;1)(,1)(;)(,)()6(-=-====***n A r A r n A r A r n A r n A r111-1-,)()(,1)()7(-**-**===A A A A A A AA A 可逆，则若（五）关于分块矩阵的运算法则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4433221143214321)1(B A B A B A B A B B B B A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DW CY DZ CX BW AY BZ AX W Z Y X D C B A )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T T T T D BC AD C B A )3( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n C OO B C O O B )4( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O BC O O C B O C O O B C O O B 111-1-1-1-)4(，三、矩阵可逆的充分必要条件.8,.70.6)(.5,.4)(.30.2.121的特征值全不为总有唯一解非齐次方程组只有零解齐次方程组向量线性无关行的列是初等矩阵其中，有阶方阵存在可逆，等价于阶方阵A b Ax b Ax A P P P P A nA r A EBA AB B n A n i s =∀=⋅⋅⋅==≠==四、矩阵的初等变换与初等矩阵（一）矩阵的初等变换及相关概念1.矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换（1） 对调矩阵的两行列（2） 用非零常数k 乘以某行列中所有元素（3） 把矩阵某行列所有元素的k 倍加至另一行列对应的元素上去（4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换）（5） 不要混淆矩阵的运算2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A ，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位鞠振宁经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质逆是同类型的初等矩阵初等矩阵均可逆，且其同样的行列初等变换做了一次与就是对矩阵，所得乘右左用初等矩阵.2)()(.1P A AP PA A P )()(100013-001100013001)1()(100021000110002000100101010000101010011-11-11-k E k E k E k E E E ij ij i i ij ij -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---主对角线以外；主对角线；副对角线五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念的秩是矩阵阶单位矩阵是的等价标准形，其中后者是则称若等价，记作与则称矩阵矩阵经有限次初等变换变成矩阵A r r E A E A B A B A B A r r,,000~.~,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （二）矩阵等价的充分必要条件价向量组等价必有矩阵等向量可以互相线性表示；向量组等价是指两个等价是两个不同的概念矩阵的等价与向量组的使得阶可逆矩阵，阶可逆矩阵矩阵，则存在时设，使和存在可逆矩阵秩是同型矩阵且有相同的，等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=000,.2.1~r E PAQ Q n P m n m A BPAQ Q P B A B A六、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关矩阵的概念及运算题型二、求方阵的幂n A数学归纳法思路，可用相似对角化来求个线性无关的特征向量有，当思路可用二项式定理展开则且，能分解成两个矩阵的和，若思路律就可很方便地求出个矩阵的乘积，用结合能分解为一列与一行两则，若思路,43)(,2,1)(1nn n nA n A CB A CB BC C B A A A A A r +==+== 题型三、求与已知矩阵可交换的矩阵题型四、有关初等变换的问题题型五、关于伴随矩阵的命题题型六、矩阵可逆的计算与证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====----*-O BC O O C B O C O O B C O O B A E E A A E E A A AA EBA E AB B 111-1-1-1-1114)()();()(3121，，分块矩阵法思路，初等变换法思路，伴随矩阵法思路或使，定义法，找出思路 题型七、求解矩阵方程为阶梯形方程组列方程用高斯消元法化不可逆，则可设未知数，若方法可以先求出可逆，则若方法解题思路的列向量表出的每列可由有解等价于A AB A X A B A r A r A B B Ax 2,,1)()(.2.111--===。
线性代数第二章矩阵及其运算第二节矩阵的运算
p
则称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积, 记作
C = AB.
注意:
只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例 利用下列模型计算两个矩阵的乘积.
矩阵乘法模型之：A2 2 B2 2
23 2 1 -9 15 -197
矩阵乘积模型之: A2 3 B3 3
例设 例 设
A A0 0
1 1
0
0 1 , 1 ,
这一步很关键 也很巧妙!
计算 A2, A3, An (n>3). 计算 A2, A3, An (n>3).
解 设
A = E + B,
0 1 0 其中 E 为三阶单位矩阵, B 0 0 1 , 0 0 0
设 设 2 5 3 2 2 5 3 2 9 5 1 0 , B 4 5 , C 9 5 . A A 1 0 , B 4 5 , C 4 3. 4 3 3 7 3 9 3 7 3 9 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求 (1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 并求
的乘积 AB 及 BA.
解 由定义有
法模型之：A2 2 24 2 2 B2 AB
2 4
4 16 1 2 3 6 8 1 -9 15 -197 0 4 2 4 2 -4 BA 5 -13 -7 0 3 6 1 2
清 空
32 , 16 0 . 0
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第一节 矩阵的基本概念一、矩阵概念的引入1. 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********的解取决于系数 aij (i ,j =1,2, …n )常数项 bi (i =1,2, …n )线性方程组的系数与常数项按原位置可排为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n nn n n n nb a a ab a a a b a a a212222211112112. 某航空公司在A,B,C,D 四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A 到B 有航班,则用带箭头的线连接 A 与B .四城市间的航班图情况常用表格来表示二、矩阵的定义定义：由m ×n 个数 aij (i =1,2, …, m ; j =1,2, …, n )排成的m 行n 列的数表mnm m n n a a a a a a a a a212222111211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A L L L L L L L112222111211称为m ×n 矩阵.简称m ×n 矩阵.记作A m ×n 简记为:()().ij n m ij n m a a A A ===⨯⨯这 个数称为A 的元素，简称为元.元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如⎪⎪⎭⎫⎝⎛-34695301是一个43⨯实矩阵;n m ⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222613i 是一个33⨯复矩阵； ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421是一个3×1矩阵； ()9532是一个41⨯复矩阵 ; ()4是一个11⨯复矩阵；几种特殊矩阵(1) 行数与列数都等于n 的矩阵A,称为n 阶方阵, 也可记作A n例如⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222222613i 是一个3 阶方阵. (2)只有一行的矩阵A=(a 1,a 2, …,an ),称为行矩阵(或行向量). 只有一列的矩阵,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a B M称为列矩阵(或列向量).（3）形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ 00000021的方阵，称为对对角阵).(或对角阵) ，记().,,,21n diag A λλλL =（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m ×n 零矩阵记作0m ×n 或 0 .注意不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如).0000000000000000000≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(5)单位方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==100010001L L L L L L L n E E称为单位矩阵（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵. 例如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9348314736521 为同型矩阵 2.两个矩阵A=(aij )与B=(bij ) 为同型矩阵,并且对应元素相等,即 aij =bij (i =1,2, …, m ; j =1,2, …, n ) 则称矩阵A 与B 相等,记作 A=B例1：n 个变量n x x x ,,,21 与m 个变量m y y y ,,,21 之间的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222121212121111n mn m m m n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y L L L L L L L L L L L L 表示一个从变量n x x x ,,,21 到变量m y y y ,,,21 的线性变换其中ij a 为常数。
⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222121212121111n mn m m m n n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系 若线性变换为⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn x y x y x y ,,2211称之为恒等变换⎪⎪⎪⎨⎧==x y x y,,2211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001⎭⎫ ⎝⎛-ϕϕϕϕcos sin sin cos ⎨⎧+=-=. cos sin, sin cos 11y x y y x x ϕϕϕϕ 这是一个以原点为中心旋转ϕ角的旋转变换例2 设131,213321⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=z y x B A已知A=B,求x,y,z.解：A=B, .2,3,2===∴z y x第二节 矩阵的运算 一， 矩阵的加法 二， 数与矩阵相乘 三， 矩阵与矩阵相乘 四， 矩阵的转置 五， 矩阵的其它运算 六， 小结一、矩阵的加法1.定义：设有两个m ×n 矩阵A=(aij ), B=(bij ) ，那末矩阵A 与 B 的和记作 A+B ，规定为例如：2、 矩阵加法的运算规律 (1)A+B=B+A; (2)(A+B)+C=A+(B+C);()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-mn m m n n a a a a a a a a a A1122221112113(),ij a -=称为矩阵A 的负矩阵。
()()().,04B A B A A A -+=-=-+二、数与矩阵相乘 1、定义数与矩阵A 的乘积计作λA 或A λ，规定为2、数乘矩阵的运算规（设A,B 为m ×n 矩阵, λ ,μ为数.112222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==mn m m n n a a aa a a a a a A A λλλλλλλλλλλ矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. 三、矩阵与矩阵相乘设有两个线性变如果想求出从t 1, t 2到y 1, y 2的线性变换,可将(2)代入(1),得线性变换(3)可看成是先作线性变换(2)再作线性变换(1)的结果。
我们把线性变换(3)叫做线性变换(1)与(2)的乘积.线性变换(3)所对应的矩阵定义为(1)与(2)所对应的矩阵的乘积，即１、定义设 A =(aij ) 是一个m ×s 矩阵，B=(bij ) 是一个s ×n 矩阵，那末规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m ×n 矩阵C=(cij )，其中),,2,1;,,2,1(12211n j m i b a b a b a b a c sk kj ik sj is j i j i ij K K L ===+++=∑=并把此乘积记: C=AB(1) 32322212123132121111⎩⎨⎧++=++=x a x a x a y x a x a x a y (2) 232131322212122121111⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t b t b x tb t b x t b t b x (3) )()()()(232232222122113123212211212232132212121113113211211111⎩⎨⎧+++++=+++++=t b a b a b a t b a b a b a y t b a b a b a t b a b a b a y (3) )()()()(232232222122113123212211212232132212121113113211211111⎩⎨⎧+++++=+++++=t b a b a b a t b a b a b a y t b a b a b a t b a b a b a y ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323122211211232221131211b b b b b b a a a a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++=322322221221312321221121321322121211311321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a例１：例2： 设解：∵故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ms m m is i i s a a a a a a a a a L M M L M M M L M 212111211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛sn sj s s j s j b b b b b b b b b L L M M L M L L L 122211111(),43⨯=ij a A (),34⨯=ij b B ().33⨯=∴ij c C注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛106861985123321不存在２、矩阵乘法的运算规()()();1BC A C AB =()(),2AC AB C B A +=+();CA BA A C B +=+()()()()B A B A AB λλλ==3（其中λ为数）;注意 矩阵不满足交换律，即：例： 设则故但也有例外，比如设,2002⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B ,BA AB ≠().k k kB A AB≠();4A EA AE ==有例3 计算下列乘积：()()21322 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛解 ：()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321333231232221131211321 2b b b a a a a a a a a a b b b解 ：例设 求KA解:由此归纳()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321333231232221131211321b b b a a a a a a a a a b b b .001001 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A .002012222⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==λλλλλλλλ001001201222223A A A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32323003033λλλλλλ()()200021121≥⎪⎪⎪⎪⎫ ⎛-=---k k k k k A k k k k k k k λλλλλλ用数学归纳法证明当k =2时,显然成立. 假设 k =n 时成立,则 k =n +1所以对于任意的k 都(),001001000211211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==---+λλλλλλλλλn n n n n n n n n n n n A A A ()()(),00102111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=++-+n nn n nn n n n n λλλλλλ().00021121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ四、 矩阵的转置定义:把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作AT . 例: . 转置矩阵的运算性质例5:已求 解法：,854221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ;825241⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=TA (),618=B .618⎪⎪⎭⎫⎝⎛=TB ()();1A ATT =()();2TT TB A B A +=+()();3T TA A λλ=()().4T T TA B AB =,102324171,231102⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A ().T AB ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102324171231102AB Q ().1031314170⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴TAB ,1013173140⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=解法2：五、矩阵其它的运算 1、方阵的行列式.定义 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作|A| 或 detA 例则运算性()TT TAB AB =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213012*********.1031314170⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8632=A .2-=();1A A T =();2A A nλλ=();3B A AB =.BA AB =⇒2、对称阵与伴随矩阵定义：设A 为n 阶方阵，如果满足 A =AT ,即 aij=aji (i,j =1,2, …,n ) 那么A 称为对称矩阵，简称对称阵。