数学幂函数与指数函数公式整理
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))
幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。
幂函数与指数函数的概念与性质
幂函数与指数函数的概念与性质幂函数和指数函数是数学中常见的函数类型，它们在数学和实际生活中的应用非常广泛。
本文将重点介绍幂函数和指数函数的概念和性质，以帮助读者更好地理解和运用这两种函数。
一、幂函数的概念与性质幂函数是一类以自变量的幂次为指数的函数，表达形式为f(x) = x^n。
其中，n为常数，可以是整数、分数或负数。
幂函数可以分为正幂函数和负幂函数。
1. 正幂函数当n为正数时，幂函数为正幂函数，表达式为f(x) = x^n。
正幂函数的图像随着n的变化而发生改变。
- 当n > 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变陡；当x > 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数增长的趋势。
- 当0 < n < 1时，正幂函数的图像在原点右侧逐渐变缓；当0 < x< 1时，f(x)的值变得更大，呈现出指数衰减的趋势。
- 当n = 1时，正幂函数是线性函数，图像为一条直线，斜率为1。
2. 负幂函数当n为负数时，幂函数为负幂函数，表达式为f(x) = x^n。
负幂函数的图像在定义域内是连续的，它们在x轴上的负半轴上逐渐变陡，而在x轴上的正半轴上逐渐变缓。
二、指数函数的概念与性质指数函数是以一个正实数为底数，以自然对数e（约等于2.71828）为底，以变量的指数作为乘幂的函数，表达形式为f(x) = a^x。
指数函数的性质如下：1. 底数为a的指数函数与底数为1/a的指数函数互为倒数关系。
即f(x) = a^x 和 g(x) = (1/a)^x 互为倒数。
2. 指数函数在不同的底数和指数变化下，有不同的增长趋势：- 当a > 1时，指数函数呈现出指数增长的趋势，随着x的增大，f(x)的值变得更大。
- 当0 < a < 1时，指数函数呈现出指数衰减的趋势，随着x的增大，f(x)的值变得更小。
三、幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数之间存在密切的联系，可以通过归纳法来证明它们的相互转化关系。
(完整版)指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()nna a a a n N=∈零指数幂：01(0)a a=≠负整数指数幂：1(0,)ppa a p Na-=≠∈分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mn mna a a m n N n=>∈>且负分数指数幂的意义是：11(0,,,1) mnm n mna a m n N naa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地，函数ay x=叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3、幂函数的图象幂函数ay x=当11,,1,2,332a=时的图象见左图；当12,1,2a=---时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质： (1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-．log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）（ a, b > 0且均不为1）2．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； ．（2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）．1log log 1N N a a mn n m==． （3）， （4）对数恒等式．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞； 值域：R ； 过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）b mnb a n am log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)。
幂函数与指数函数的关系
幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数是高中数学中的两个重要概念，它们在数学和科学中都有着广泛的应用。
本文将探讨幂函数与指数函数之间的关系，以及它们的性质和特点。
1. 幂函数的定义与性质幂函数可以表示为 f(x) = a^x，其中 a 是实数且a ≠ 0。
幂函数的定义域为实数集，值域根据 a 的正负性质而定。
幂函数的一般形式可以写为 y = kx^n，其中 k 和 n 分别代表常数和指数。
2. 指数函数的定义与性质指数函数可以表示为 f(x) = a^x，其中 a 是正实数且a ≠ 1。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
指数函数的特点是 y 轴上存在一个水平渐近线。
3. 幂函数与指数函数的关系幂函数和指数函数有密切的联系。
事实上，幂函数是指数函数的逆运算。
幂函数 f(x) = a^x 和指数函数 g(x) = log_a(x) 是互为反函数的关系。
其中，a 是幂函数的底数，也是指数函数的基数。
4. 图像特点比较幂函数的图像特点与指数函数的图像特点相似，但有些细微差别。
幂函数的图像可能会在某些情况下与坐标轴相交，而指数函数的图像则不会与 y 轴相交。
此外，指数函数的图像在 x = 0 处存在一个水平渐近线，而幂函数的图像则没有。
5. 幂函数和指数函数的应用幂函数和指数函数在实际应用中有许多重要的应用。
指数函数在财务、经济学和生物学领域具有广泛的应用，如复利计算、人口增长模型等。
幂函数在物理学领域也有广泛应用，如速度-时间关系、反比例关系等。
总结：幂函数与指数函数之间存在密切的联系，幂函数是指数函数的逆运算。
幂函数的定义形式为 y = kx^n，而指数函数的定义形式为 f(x) = a^x。
两者的图像特点相似但有些差别，幂函数可能与坐标轴相交，而指数函数则不会。
这两种函数在数学和科学中有着广泛的应用，对我们理解和解决实际问题具有重要意义。
（注：以上内容仅供参考，具体格式如何书写，请根据实际要求和题目进行判断和调整。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
(一)指数与指数函数1根式(1) 根式的概念(2).两个重要公式”n 为奇数a① 勺a =〈a(a 王0) n 为偶数\a\=： 、—a(a<0)② (n .a)n =a (注意a 必须使I a 有意义) 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念m①正数的正分数指数幂:a n =n 孑(a 0,m> n N ,且n 1);注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行 根式的运算。
(2) 有理数指数幂的性质 ① aras=ar+s(a>0,r 、s € Q);②正数的负分数指数幂1— ■ (a • 0, m 、n m 'n N ,且 n 1)③0的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义② (ar)s=ars(a>O,r 、s€ Q)；③ (ab)r=arbs(a>O,b>O,r € Q);.3. 指数函数的图象与性质注：如图所示，是指数函数（1）y=ax, （2）y=bx, （3）,y=cx （4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 c1>d1>1>a1>b1,二c>d>1>a>b 。
即无论在轴 的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1） 对数的定义如果a * = N （a - 0且a "），那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作 x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2） 几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（a -0,且 a=1）：① log a^ 0，② log, =1，③ a 1* 二 N ， ④ log a^ = N 。
（2）对数的重要公式:12叫（a,b 均为大于零且不等于1,N 0）；log a（3）对数的运算法则：如果a 0,且a=1， M 0, N 0那么①换底公式: N log b② log a b1 iog b a①log a (MN ) = log a M log a N;②log a M-log a M-log a N；N③log a M n二n log a M (n・ R)；④log m b n = —log a b。
幂函数与指数函数
幂函数与指数函数在数学中，幂函数和指数函数是两种重要的数学函数，它们在数学和实际应用中有着广泛的应用和深远的影响。
本文将对幂函数和指数函数进行介绍和比较，分析它们的特点和应用。
一、幂函数的概念和特点幂函数是指函数的自变量为底数，函数式中只有一个幂的函数。
幂函数的一般形式可以表示为：y = x^a，其中x为自变量，a为幂指数。
幂函数中，底数为正数且不等于1，指数a可以是任意实数。
幂函数具有以下特点：1. 幂函数的定义域为所有实数，即对于任意实数x，幂函数都有定义。
2. 当指数a为正数时，幂函数是严格递增的；当指数a为负数时，幂函数是严格递减的。
指数a决定了幂函数的增减规律。
3. 幂函数图像可分为两种情况：当指数a为正数时，幂函数图像从左下方无穷趋向于渐近线y=0；当指数a为负数时，幂函数图像从右上方无穷趋向于渐近线y=0。
二、指数函数的概念和特点指数函数是指自变量作为指数的函数。
指数函数的一般形式可以表示为：y = a^x，其中a为底数，x为自变量。
指数函数具有以下特点：1. 指数函数的定义域为所有实数，即对于任意实数x，指数函数都有定义。
2. 当底数a大于1时，指数函数是严格递增的；当底数a介于0和1之间时，指数函数是严格递减的。
底数a决定了指数函数的增减规律。
3. 指数函数图像可分为两种情况：当底数a大于1时，指数函数图像从左上方无穷趋向于渐近线y=0；当底数a介于0和1之间时，指数函数图像从右上方无穷趋向于渐近线y=0。
三、幂函数与指数函数的关系与应用幂函数和指数函数之间存在着密切的关系，它们互为反函数。
即对于一个幂函数y = x^a来说，对应的指数函数是y = a^(1/x)。
幂函数和指数函数在数学和实际应用中都有广泛的应用，例如：1. 在金融领域，复利计算中的利息增长可以用指数函数来描述，而本金的变化可以用幂函数来描述。
2. 在物理学中，许多自然现象的增长和衰减过程可以用指数函数来描述，例如原子衰变、生物种群的增长等。
数学中的幂函数与指数函数
数学中的幂函数与指数函数幂函数与指数函数是数学中常见的两种函数形式，它们在数学运算、科学实验、经济学模型等领域都有广泛的应用。
本文将对幂函数与指数函数的定义、特点以及应用进行介绍。
一、幂函数幂函数是指以自变量为底数，指数为幂的函数形式，通常表示为f(x)=axⁿ，其中a为实数，n为指数。
幂函数的特点如下：1. 定义域和值域：幂函数的定义域一般是实数集R，值域则取决于指数的奇偶性以及底数的正负性。
2. 对称性：当指数n为偶数时，幂函数关于y轴对称；当指数n为奇数时，幂函数关于原点对称。
3. 增减性：当指数n为正数时，幂函数是增函数；当指数n为负数时，幂函数是减函数。
4. 特殊情况：当指数n为0时得到常函数，即f(x)=a⁰=1，此时幂函数的图像为一条水平直线。
幂函数在实际问题中的应用十分广泛，比如：1. 物体体积的求解：当物体的形状与其体积之间存在幂函数关系时，可以借助幂函数来求解物体的体积。
2. 经济增长模型：在经济学中，幂函数常被用来描述经济增长与时间之间的关系，其中时间通常作为指数。
二、指数函数指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数形式，通常表示为g(x)=aᵗ，其中a为底数，t为指数。
指数函数的特点如下：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0，+∞)。
2. 单调性：当底数a大于1时，指数函数是增函数；当底数a介于0和1之间时，指数函数是减函数。
3. 渐近线：当底数a大于1时，指数函数的图像在x轴的右侧趋近于x轴；当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像在x轴的右侧趋近于y轴。
4. 特殊情况：当底数a等于1时得到常函数，即g(x)=1ᵗ=1，此时指数函数的图像为一条水平直线。
指数函数在实际问题中也有广泛的应用，比如：1. 活化能的计算：在化学反应速率的计算中，指数函数常常用来表达活化能与温度之间的关系。
2. 金融领域的利息计算：复利计算中，指数函数常用于计算利率、本金以及复利的关系。
幂函数指数函数-高中数学专题
幂函数、指数函数知识精要： 一、幂函数 1、幂的有关概念：正整数指数幂：*)n n a a a a n N =⋅⋅⋅⋅⋅∈个（零指数幂：01(0)a a =≠ 负整数指数幂：*1(0,)p p a a p N a-=≠∈ 分数指数幂：m *n(0,,1)nm a a a m n N n =>∈>且*1(0,,,1)mnm nmnaa m n N n a a-==>∈>2、幂函数的定义：形如k y x =，（其中,0k Z k ∈≠且,p q 互质）的函数叫幂函数。
注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，指数是有理数k 。
3、幂函数的定义域(1)若*(),k n n N =∈其定义域是一切实数.(2)若*(,,2,,n k n m N m m n m=∈≥互质),则,nn mx x =其定义域满足:奇次方根被开方数为实数,偶次方根被开方数为非负实数. (3)若*1()n n k n n N x x-=-∈=，则. (4)若*(,,2,,n k n m N m m n m =-∈≥互质),则n m m n x x-=后两种情形只需注意分母不为0,其他与前两情形相似. 4.幂函数的图象.根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,()k y x k Q =∈的图象. 其中,*,2,,n m N m m n ∈≥互质.5、幂函数的性质所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）A图B图●k>0时：（图A）（1）图象都通过（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大（增函数）。
●k<0时；（图B）（1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小（减函数）（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。
例1、名题精解例2 (2002年全国高考题)函数111y x =--的图象是 ( )解题策略:利用图象变换，1y x =-向右平移1个单位，向上平移一个单位等到图像B 解:选(B).注意:本题考查学生对由函数1y x =-生成函数111y x =--的图象的熟练情况.例3、(2003年北京高考题)若1()x f x x-=,则方程f(4x)=x 的根是 ( ) (A)12 (B)12- (C)2 (D)-2 解题策略:f(x)=11x -,所以1(4)14f x x=-,不难求出方程的根.解：212(4),1141(21)0,2f x x x xx x x =∴-=∴-=∴==选(A).注意:本题除应用方程求解的思想,还可以应用数形结合求解. .概念问题例4．下列关于幂函数f (x )=x α（α∈Q ）的论述中，正确的是()(A) 当α=0时，幂函数的图像是一条直线(B) 幂函数的图像都经过(0，0)和(1，1)两个点 (C) 若函数f (x )为奇函数，则f (x )在定义域内是增函数 (D) 幂函数f (x )的图像不可能在第四象限内解:由幂函数的图像和性质知道应该选择D 例5 函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数,求m 的值. 解题策略:由函数定义可知,x 的系数为1,指数为有理数. 解:2221(1)m m y m m x --=--是幂函数.211,m m ∴--=解得121,2m m =-=当11m =-时,211212m m Q --=∈;当22m =时, 222211m m Q --=-∈ ∴m 的值为-1或2.注意:是否为幂函数,只须符合()k y x k Q =∈的形式.定义域问题 例6 求函数31052(2)y x xx -=+--的定义域.解题策略:由k y x =,根据k 的不同情况(参考前面),确定x 的取值范围. 解:使函数有意义,必须满足0020x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪-≠⎩解得02x x >≠且∴函数的定义域是{x|x>0,且x ≠2}.注意:00是没有意义的. 例7．已知函数f （x ）=cx bax ++2的图像如下图，比较a 、b 、c 的大小关系。
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数学幂函数与指数函数公式整理在数学中，幂函数与指数函数是常见的数学函数类型，它们在数学运算和解决实际问题中具有重要的作用。
在本文中，将对数学幂函数与指数函数常用的公式进行整理和总结。
一、幂函数公式
幂函数是形如y = x^n的函数，其中x为底数，n为指数。
幂函数公式如下：
1. 幂函数的定义：
y = x^n
2. 幂函数的性质：
(a) 当指数n为正数时，幂函数是递增函数，即x₁ < x₂，则
x₁^n < x₂^n。
(b) 当指数n为负数时，幂函数是递减函数，即x₁ < x₂，则
x₁^n > x₂^n。
(c) 当指数n为零时，幂函数为常函数，即y = 1。
3. 幂函数的运算规则：
(a) 幂函数的乘法：x^m * x^n = x^(m+n)
(b) 幂函数的除法：(x^m) / (x^n) = x^(m-n)
(c) 幂函数的幂次运算：(x^m)^n = x^(m*n)
(d) 幂函数的倒数：(1 / x)^n = 1 / (x^n)
二、指数函数公式
指数函数是形如y = a^x的函数，其中a为底数，x为指数。
指数函
数公式如下：
1. 指数函数的定义：
y = a^x
2. 指数函数的性质：
(a) 当底数a大于1时，指数函数是递增函数，即x₁ < x₂，则
a^(x₁) < a^(x₂)。
(b) 当底数a在0和1之间时，指数函数是递减函数，即x₁< x₂，则a^(x₁) > a^(x₂)。
(c) 当底数a为1时，指数函数为常函数，即y = 1。
(d) 当底数a为0时，指数函数为不满足定义的函数。
3. 指数函数的运算规则：
(a) 指数函数的乘法：a^m * a^n = a^(m+n)
(b) 指数函数的除法：(a^m) / (a^n) = a^(m-n)
(c) 指数函数的幂次运算：(a^m)^n = a^(m*n)
(d) 指数函数的倒数：(1 / a)^x = a^(-x)
总结：
幂函数和指数函数是数学中重要的函数类型，它们在数学建模、物理、经济以及其他科学领域中具有广泛的应用。
通过对幂函数和指数函数的公式整理，我们可以更好地理解它们的性质与运算规则，从而应用于实际问题的解决中。
请注意，上述的公式只是幂函数和指数函数的常见公式，还有其他特殊情况和衍生公式未在此列举。
在实际应用中，可以根据具体问题的需要，结合数学工具和方法进行更深入的研究和分析。
希望本文整理的幂函数和指数函数的公式对您有所帮助，加深对数学幂函数与指数函数的理解。
祝您在数学学习和应用中取得好成绩！。