排列组合中“重复”的产生及纠正
有重复元素的排列组合计算
有重复元素的排列组合计算
为了解决有重复元素的排列组合计算问题，我们需要明确一些基本概念和原则。
1. 重复元素：在排列组合中，如果存在相同的元素，则称这些元素为重复元素。
2. 排列：排列是指从给定的一组元素中取出若干个元素进行有序排列的方式。
对于有重复元素的排列，我们需要考虑重复元素的不同排列情况。
3. 组合：组合是指从给定的一组元素中取出若干个元素进行无序组合的方式。
对于有重复元素的组合，我们需要去除重复元素所导致的重复情况。
为了计算有重复元素的排列组合，可以按照以下步骤进行：
1. 确定元素集合：首先，我们需要确定参与排列组合计算的元素集合，并将其列出。
2. 计算元素频次：对于有重复元素的集合，我们需要计算每个元素的频次，即该元素在集合中出现的次数。
3. 计算排列数量：对于有重复元素的排列，我们可以使用重复排列公式进行计算。
假设元素集合中存在n个不同的元素，其中第i个元素的频次为m[i]，则有重复元素的排列数量为
4. 计算组合数量：对于有重复元素的组合，我们可以使用组合公式进行计算。
假设元素集合中存在n个不同的元素，其中第i个元素的频次为m[i]，则有重复元素的组合数量为
这些方法可以帮助我们计算有重复元素的排列组合。
需要注意的是，对于较大的元素集合或频次较大的情况，计算量可能较大，可以考虑使用计算工具或编程语言进行辅助计算。
重复元素的排列组合问题
重复元素的排列组合问题简介在排列组合问题中，有时会涉及到重复的元素。
这篇文档将介绍如何解决重复元素的排列组合问题。
问题描述重复元素的排列组合问题指的是在一个集合中存在多个相同的元素，在进行排列组合时需要考虑这些重复元素的情况。
简单来说，就是要找出所有可能的排列组合，而不考虑元素的顺序。
解决方法解决重复元素的排列组合问题有几种常用的方法：1. 使用集合可以使用集合来存储元素，从而去除重复的元素。
然后，对于每个集合中的元素，分别计算其排列组合。
最后将所有的排列组合合并起来，得到最终的结果。
2. 使用递归可以使用递归的方式来解决重复元素的排列组合问题。
首先选择一个元素，然后对剩余的元素进行递归计算其排列组合。
最后将选择的元素插入到每个递归计算的结果中，得到最终的排列组合。
示例下面通过一个示例来说明如何解决重复元素的排列组合问题：假设有一组数字 {1, 2, 2}，要求找出所有可能的排列组合。
使用集合首先去除重复的元素，得到集合 {1, 2}。
然后计算集合 {1, 2}的排列组合，得到结果 {1, 2} 和 {2, 1}。
接下来考虑重复的元素2，将其插入到排列组合的每个位置中，得到结果 {1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2}、{2, 1}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
使用递归首先选择元素 1，然后递归计算剩余元素 {2, 2} 的排列组合。
得到结果 {2, 2} 和 {2, 2}。
然后将选择的元素 1 插入到递归计算的结果中，得到结果 {1, 2, 2} 和 {1, 2, 2}。
最后将元素 2 插入到递归计算的结果中，分别得到结果 {2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2, 2}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
结论重复元素的排列组合问题可以通过使用集合或者递归的方法来解决。
解决排列组合问题的常用方法
故所求自然数共120+48+6+1=175个．
∴正因数之和为31×40×6=7440
【变式】1、72的正约数（包括1和72）共有__________个
解析：72=23×32
∴2m·3n（0≤m≤3，0≤n≤2，m，n∈N）都是72的正约数
m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共3×4个。答案：12
用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、……元素的错位排列问题
题型讲解
【例1】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种（以数字作答）
解：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A 种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A ×5=120
【变式】求不同的排法种数：
（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；
（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．
解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：
（2）是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决： 。另法：用捆绑与剔除相结合：
【例2】用0，1，2，3，4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
排列组合问题中的重复计算剖析
排列组合问题中的重复计算剖析在解答排列组合问题中，易犯的错误是遗漏与重复。
遗漏多半比较明显,而重复较为隐蔽.本文对一些隐蔽的重复计算错误举例剖析.研究失误的原因，寻求补正和预防的方法。
例1 某天有六节不同的课，若第一节排数学,或第六节排体育,问共有多少种不同的排法?错解数学排第一节的排法有5A种，体育排第六节的排法也有55A5种，根据加法原理，第一节排数学或排体育的排法共有5A＋55A＝525A＝240种5剖析在数学排第一节的排法中，存在着体育排第六节的排法，在排体育第六节的排法中，存在着数学排第一节的排法，它重复计算了数学排第一节，同时体育排第六节的排法，即多算4A种。
正确结4果是：5A＋55A－44A＝216种5例2 从4名男生3名女生中选3人成立科技小组,问当选者中至少有一名男生和一名女生的选法有几种?错解先选一名男生，有1C种选法，再选一名女生,有13C种选法,4最后从余下的5名学生中选一名有1C种选法，故共有选法14C13C15C5＝60种剖析上述解法中，每一种选法都符合要求，但是否有重复计算呢？为此我们不妨设4名男生为A1，A2，A3,A4，3名女生为B1，B2，B3，把上面选法中含有一名男生的选法分为4类。
在含有男生A1的一类的选法有：A1，B1，A2，即先选A1，再选B1，最后选A2；在含有男生A 2的一类中有A 2， B 1，A 1,即先选A 2，再选B 1,最后选A 1.显然这两种选法被重复计算了。
因此上述解法是错误的。
错误的原因在于没有将符合要求的选法进行正确分类，分类要不重不漏. 正解 以男生人数分类，则符合条件的有且仅有两类，一类是男生一名女生两名,有1243C C 种选法，另一类是男生两名女生一名，有2143C C .故共有1243C C ＋2143C C ＝30种 例3 n 个不同的球放入n －1个不同的盒子，假设每个盒子都有足够大的容量，问每个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？错解 先在每盒子中放入一球共有1n n A -种放法，再将剩下的一球放入，有n －1种放法。
含有重复元素的排列组合计算
含有重复元素的排列组合计算引言在排列组合中，当元素存在重复时，计算的方法与不重复元素的情况有所不同。
本文将介绍含有重复元素的排列组合计算方法。
排列计算排列是从一组元素中选出特定数量的元素进行排列的方式。
当元素存在重复时，计算排列的方法如下：1. 计算总的排列数量，即将所有元素都排列的情况。
2. 对于每个重复的元素，计算它们之间的排列数量，并将这些数量相乘。
3. 将所有元素的排列数量相乘，得到最终的排列数量。
组合计算组合是从一组元素中选取特定数量的元素的方式，与排列不同的是组合不考虑元素的顺序。
当元素存在重复时，计算组合的方法如下：1. 计算总的组合数量，即从所有元素中选取特定数量元素的情况。
2. 对于每个重复的元素，计算它们之间的组合数量，并将这些数量相乘。
3. 将所有元素的组合数量相乘，得到最终的组合数量。
示例假设有一组元素：A, A, B, C。
我们要从中选取2个元素进行排列和组合计算。
排列计算总的排列数量为4! = 4x3x2x1 = 24。
其中，重复的元素A有2个，所以它们之间的排列数量为2! = 2x1 = 2。
最终的排列数量为24 / 2 = 12。
组合计算总的组合数量为C(4,2) = 4! / (2!(4-2)!) = 6。
其中，重复的元素A有2个，所以它们之间的组合数量为C(2,2) = 1。
最终的组合数量为6 / 1 = 6。
结论含有重复元素的排列和组合计算可以通过计算总的排列或组合数量，并考虑重复元素之间的排列或组合数量来得到最终的结果。
以上是关于含有重复元素的排列组合计算的介绍。
希望对您有所帮助！。
排列组合之重复剔除
排列组合之重复剔除华图教育 杨东时在公考中，排列组合题目一直都是考生最为头疼的一块内容，在之前的文章中已经对于基础的排列组合的知识以及捆绑法、插空法、挡板法，进行了介绍，在本文中将继续对这一部分中的另一个重点也是难点的内容进行讲解—重复剔除。
重复剔除所用的情况一般有两种，第一种是平均分组。
第二种是环形排列，接下来将对这两种情况进行进一步的讨论以及说明。
平均分组6个人平均分3组有多少种情况？大家都会想到是6个人中选2人，再从剩下的4人中选2人，最后将余下的2人选出，情况数应该为=90种，但是在选择的时候忽略了重复的情况，如果分成的三组是：AB 、CD 、EF ；CD 、AB 、EF ；EF 、AB 、CD ；AB 、EF 、CD ；CD 、EF 、AB ；EF 、CD 、AB ；其实际对应的是一种情况，所以，最后要将重复的情况剔除，结果为90/6=15；所以，在平均分租的情况下N 组人数相同，在最后÷N N A ，剔除重复的情况； 环形排列4人围坐一圈有多少种情况？4个人坐成一排为 但围成圈的时候会发现有重复的情况出现，例如线性排列A 、B 、C 、D 在环形排列中有4种情况如下： A B D A C D B CD C C B B A A D则本题的最总结果为种，所以在N 个人环形围坐的情况数为-1N -1N NN A N A =÷以下将通过两道例题的求解来具体的介绍重复剔除题目的求解步骤。
【例1】八位同学出去野营，晚上他们在沙滩上玩游戏，游戏需要这八位同学围成两个四人的圆圈，请问一共有多少种方法？A.720B.900C.1080D.1260222426C C C 44A 64=÷44A【答案】D【解析】第一步：8个人分成两个4人组，是平均分组情况数为224448A C C /；第二步：第一组4人围圈，环形排序33A第三步：第二组4人围圈，环形排序33A 总的情况数= 【例2】有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。
高中数学教学论文 排列组合常见解题错误剖析
排列组合常见解题错误剖析排列组合是高中数学中较难学的内容之一.它与其他知识联系较少，内容比较抽象.解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高.通过多年的教学我们会发现，学生解决排列组合问题时出现的错误往往具有普遍性，因此，分析学生解题中的这些常犯错误，充分暴露其错误的思维过程，使学生认识到出错的原因，可使他们在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象，从而有效地提高解题准确率。
学生在解排列组合题时常犯以下几类错误：1、“加法”、“乘法”原理混淆；2、“排列”、“组合”概念混淆；3、重复计数；4、漏解.本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下：1.“加法”、“乘法”原理混淆两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类方法，这n 类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.【例1】50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.（注：所选高考题为理科题，以下同）【错解】有))((1464424634C C C C ++＝46575种.【错因】分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆.【正解】分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法原理）24634C C 种；第二类，有4件次品的抽法同理有14644C C 种，最后由加法原理，不同的抽法共有24634C C +14644C C ＝4186种.【例2】从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有（ ）（A ）140种 （B ）84种 （C ）70种 （D ）35种【错解】有15242514C C C C ＝300种选法.【错因】同例1.【正解】（合理分类，合理使用两个基本原理）从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有15242514C C C C +＝70种选法.所以选C .2．“排列”、“组合”概念混淆界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法.【例3】（题目见上例）【错解】有15242514A A A A +＝140种选法，答A .【错因】元素与顺序无关，应是组合问题.【例4】有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.(A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040【错解一】分三步完成：首先从10人中选出4人，有410C 种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有24A 种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有22A 种方法，由乘法原理，不同的选法共有410C 24A 22A ＝5040种，选D.【错因】“排列” 、“组合”概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A 应为24C .【错解二】分三步完成，不同的选法共有410C 24C 22C ＝1260种，选A.【错因】剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即22C 应为22A .【正解一】不同的选法有410C 24C 22A ＝2520种.【正解二】先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出一人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有1718210C C C ＝2520种.【正解三】从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法有28210A C ＝2520种，选C.【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法.【错解】有34C =4 种.【错因】3个品种种在不同土质的3块土地上，有不同的种植顺序，应是排列问题.【分析】对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先选后排”.【正解】有3334A C ＝24（或34A =24）种植方法.3、重复计数出增解【例6】（题目同例2）【错解】从甲、乙型机中各取1台，再由余下的7台机子中取1台，有171415C C C =140种选法.所以选A.【错因】若从甲型机中选出的是a 机和b 机，依错解会出现先取a 机后取b 机和先取b 机后a 取机两种情形，显然两种取法的结果是相同的，但却作为两种不同取法重复进行了计数，即由于组合问题的无序性，使不同的组合方式，产生了相同的结果.【正解一】（注意到错解正好多算一倍）1402171415=C C C . 【正解二】有15242514A A A A +=70种选法,所以选C. 【例7】四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有________种.【错解一】从4只盒子中取出三只，有34C 种方法，从4个球中取出3个放入取出的三只盒子内，有34A 种方法，再将余下的球放入三只有球的盒子中的一只内，有13C 种放法，所以共有34C 34A 13C ＝288种放法. 【错解二】分三步完成.首先取出3个盒子，有34C 种方法；再把球分为三组，有1224C C 种方法；最后把三组球排列后放入盒子，有33A 种方法.由乘法原理，共有34C 1224C C 33A ＝288种方法.【错因】同上题.【正解一】在错解中消除重复，有2C 133434C A ＝144种放法. 【正解二】从四个球中取出2个作为一组，与另两个球一起放入四个盒子中的三个内，有3424A C ＝144种放法.【正解三】将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒（自然出现一空盒），有2444C A ＝144种放法.【例8】（课本变式题）7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有几种？【错解一】排在排头的有除甲之外的16A 种情形，排在尾的也有除乙之外的16A 种情形，两端排好后余下的排中间有55A 种情形，所以不同的排法有551616A A A =4320种.【错因】排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了555A 种情形.【正解一】减去重复数，应为551616A A A -555A ＝3720种.【错解二】头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有25A 种排法，余下的人排中间有55A 种方法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有25A 55A 种；又甲、乙分别在排尾、排头的排法各有66A 种，因此不同的排法共有25A 55A +266A ＝3840种. 【错因】甲排尾且乙排头已包含在甲排尾或乙排头的情形中，因此重复计算了55A 种排法.【正解二】减去重复数，应为25A 55A +266A -55A ＝3720种排法. 重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出现的错误之一，且自己还很难查出错因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类问题上少出错.4、思维不严密而漏解（遗漏有关情形）【例9】（题目同例8）【例10】A 、B 、C 、D 、E 五人站成一排，如果B 必须站在A 的右边（A 、B 可以不相邻），那么不同的站法有（ ）种.(A) 24 (B) 60 (C) 90 (D) 120【错解】把A 、B “捆绑”为一个元素（B 在A 的右边），与C 、D 、E 一起全排列，有44A ＝24种站法，答A.【错因】审题不严，未注意到“A 、B 可以不相邻”而漏解.【正解一】按B 的位置分为四类：B 排第一、二、三、四位时的排法数分别是44A 、333A 、233A 、33A ，所以共有44A +333A +233A +33A =60种排法，选B.【正解二】利用对称关系（注意到A 在B 左边与A 在B 右边的排列情形是对称相同的），有255A =60(种)，选B . 【例11】四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141【分析】考虑到此题中四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式410C －446C ＝150而错选A ；若只考虑到情形①、②，就会由算式410C －446C －3＝147而错选B ；若只考虑到情形①、③，就会由算式410C －446C －6＝144而错选C ；只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果410C －446C －6－3＝141，选D.（从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心）5、算法选择不当而造成易出错的复杂局面【例12】同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种【正解一】A 的卡分给B 、C 、D 三人，有13C 种方法；设B 拿到A 的卡，则B 的卡可分给A 、C 、D 三人中任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有11C 种方法，所以共有13C 13C 11C ＝9种不同的分法. 【正解二】设A 先拿卡有13C 种方法；然后由A 拿到谁的卡，则由谁再去拿卡，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以共有13C 13C 11C ＝9种不同的分法.或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错.6、应用对称关系不当一些排列组合问题，可应用对称关系简便地解决，但首先应判断清楚该问题是否具有对称性.【例13】由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数.【错解】（应用对称关系）有4355A =90个. 【错因】1与2在这个五位数中的位置有12、1╳2、1╳╳2、1╳╳╳2四种情形，故误以为1、2不相邻的情形有占总数的43，而实际上，这四种情形下的五位数的个数是不同的，不具有对称性.【正解】：有2433A A （或55A -4422A A ）＝72个.。
题目：排列组合常见种类与解决办法
题目：排列组合常见种类与解决办法排列组合常见种类与解决办法介绍排列组合是离散数学中的一个重要概念，应用广泛于各个领域，包括数学、计算机科学、统计学等。
排列组合问题涉及到元素的排列和组合方式，常见的种类包括排列、组合、置换和分组等。
本文将介绍这些常见的排列组合种类，并提供相应的解决办法。
排列排列是指从一组元素中选取若干元素进行排序，其中元素的顺序是重要的。
排列问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
无重复元素的排列无重复元素的排列问题可以通过以下方法解决：1. 阶乘法：对于给定的元素个数 n，可以通过计算 n 的阶乘来得到所有可能的排列数。
$$P(n) = n!$$2. 递归法：可以通过递归的方式来生成所有可能的排列。
从给定的元素列表中选取一个元素作为起始，然后递归地对剩余的元素进行排列。
有重复元素的排列有重复元素的排列问题可以通过以下方法解决：1. 字典序法：首先将元素按照字典序排序，然后通过递归的方式生成排列。
组合组合是指从一组元素中选取若干元素，无需考虑元素的顺序。
组合问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
无重复元素的组合无重复元素的组合问题可以通过以下方法解决：1. 组合数公式：对于给定的元素个数 n 和选取的元素个数 k，可以使用组合数公式来计算组合数。
$$C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}$$2. 回溯法：通过回溯的方式生成所有可能的组合。
从给定的元素列表中选取一个元素作为起始，然后递归地对剩余的元素进行组合。
有重复元素的组合有重复元素的组合问题可以通过以下方法解决：1. 增加限制条件：在生成组合的过程中，设置限制条件，限制重复元素的选择次数。
置换置换是指从一组元素中选取若干元素进行排列，其中元素的顺序非常重要。
与排列不同的是，置换要求选取的元素个数与元素总数相同。
置换问题可以通过以下方法解决：1. 阶乘法：对于给定的元素个数 n，可以通过计算 n 的阶乘来得到所有可能的置换数。
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排列组合中“重复”的产生及纠正
有些类型的排列、组合应用题是较容易出现错误解法的，其中产生的错误原因之一是由
于重复造成的。
现举几例对排列组合问题中“重复”现象产生的原因加以剖析、纠正，以期
望对于提高解排列、组合应用题及分析解决问题的能力能有较大益处。
一、“至少”问题易重复
例1：在100件产品中有3件次品，从这些产品中取出4件，至少有1件次品的抽法有多少
种？
解法1：先在3件次品中抽出1件，抽法有13C 种；然后在其余的99件产品（含未被抽出的
2件次品）中任意抽出3件，抽法有399C 种，这样抽出的4件产品至少含1件次品。
根据分
步计数原理，符合题意的抽法有47054739913=⋅C C （种）。
点评：解法1 是错的，假设A 、B 、C 分别为三件次品，D 为某一合格品，“先抽出A （13
C 的一种可能），再抽B 、C 、
D （399C 的一种可能）”与先抽出B ，再抽A 、C 、D 是相同的抽
法，所以解法1含3件次品的抽法重复而导致错误。
又，假设E 是另一合格品，“先抽出A ，
再抽出B 、D 、E ”与“先抽出B ，再抽出A 、D 、E ”是相同的抽法，所以解法1中多出的
种数还有含2件次品的抽法重复在内。
正确方法：
直接法456385197332972339713=⋅+⋅+⋅C C C C C C 或间接法4563854974100=-C C 种。
2、均分组问题易重复
例2：将8个不同的小球分成四堆，每堆2个，共有多少种不同的分堆方法？
解法1 ：分四步完成。
首先，从8个不同的小球中任意取出2个作为一堆 ，有28C 种取法；
然后，从其余的6个小球中任取2个作为一堆，有26C 种取法；再者，从剩下的4个小球中
任取2个作为一堆，有24C 种取法；最后，留下的2个作为一堆，有22C 种取法；根据分步
计数原理，共有不同的分堆方法种数为252022242628=⋅⋅⋅C C C C 种。
点评：解法1是错误的，比如将8个不同的小球编号，对应号码分别为1，2，3， (8)
第一种取法：第一次取出1，2号球，第二次取出3，4号球，第三次取出5，6号球，第四
次取出7，8号球，分成了四组。
第二种取法：第一次取出7，8号球，第二次取出1，2号
球，第三次取出3，4号球，第四次取出5，6号球，分成了四组，不难看出这两种取法是同
一种分组方法，因此解法1出现重复，导致错误。
正确解法：根据分步计数原理，共有22242628C C C C ⋅⋅⋅种取法，
再除以均分堆的重复44A 次，所以共有不同的分堆方法有10544
22242628=⋅⋅⋅A C C C C 种。
3、多个位置要求兼顾的排列问题易重复
例3：6人任意排成一排照相，甲不排在左端，乙不排在右端，共有多少种不同的排法？
解法1 ：6个人任意排成一排排法总数为66C 种，其中不合题意的排法分两类。
第一类：甲
排在左端，其余5个人排在剩下的5个位置上，有55A 种排法；第二类：乙排在右端，其余
5人排在剩下的5个位置上，有55A 种排法。
所以适合题意的排法有48025566=-A A 种。
点评：解法1是错误的。
解法1中在去掉“不符合题意的”排列时产生了重复减。
原因：解
法1第一类，甲在左端为55A 中有 左 中 右 左 中 右
甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况,
左 中 右 左 中 右
甲 含乙 无乙 与 甲 无乙 乙 两种情况,
故在“全部减去不符”中，甲在左端乙在右端的情况重复被减去，因而导致错误。
正确解法：在55662A A -的基础上应再补上多减去的甲在左且乙在右的一类排法有4
4A 种，所以适合题意的排法有5042445566=+-A A A 种。
4、环排问题易重复
例4．6个人围圆桌而坐，一共有多少种不同的排法？
解法1：6个人围坐，又无其他限制，则总共7206
=！种。
点评：6个人围桌坐和6个人坐成一排是不同的，原因在于坐成一个圆形没有首尾之分。
不
妨设6个人为f e d c b a ,,,,,，坐法f e d c b a ,,,,,与a f e d c b ,,,,,其实是相同的。
为此，可
把某人固定一个位，其余5人尽量变换次序，其余5人此时可全排为！5。
故正确的解法应
为120)
16(=-！种。
5、顺序固定问题易重复
例5、某人的电子邮箱的密码由5位数字组成，为了提高保密程度，他决定再插入两个英文
字母b a 、，原来的数字及顺序不变，求可构成的新密码的个数。
解法1：新密码由5个数字和两个字母这7个不同元素组成，则可构成的新密码应为7
7A 种。
点评：虽然新密码由5个数字和两个字母这7个不同元素组成，但题中规定原来的数字及顺
序不变，也即在7个元素的排列过程中，原来5个元素的相对位置是不能改变的。
故正确的
方法是先把7个不同的元素全排列，则应是77A 种方法，对其中的一类排列分析：不妨设b a 、
在第一、二两位，另5位上全排，共有55A 种方法，而这55A 种方法中只有一种是正确的，所以正确的方法应是4255
77 A A 种。
综上，解排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到
分类标准明确，分步层次清楚，不“重”不漏。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются дляобучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
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