n维球体的体积公式

n 维球体的体积递推公式

若用n V 表示n 维半径为1的球体的体积，则n+1维半径为1的球

体的体积为

?=+2

01sin cos 2π

θθd V V n n n （1）

本文简要地推导此递推公式。换言之，简要说明积分项为何为θθsin cos d V n n 。

首先看一维情形。当1=n 时，球体的体积显然为其半径的两倍。换言之，此时2=n V 。

再来看二维情形。二维球体（即我们通常所说的圆）可以认为是这样从一维球体拓展而成的：过一维球体的球心作一维球体的垂线。沿此垂线慢慢向上平移一维球体，在移动的过程中同时慢慢地收缩一维球体，以保证一维球体的边界点到球心的距离不变（即使之始终等于1）。显然，向上移到某一位置（也即移动一个单位长的距离）后，一维球体的两边界点合二为一。（若边界点继续向上移动，那将导致边界点到球心的距离就会大于1了。）如此这样也就得到了半个二维球体，即通常所说的一个半圆。若如此这般从初始位置向下移到一维球体，即可得另外半个二维球体。这样二维球体的体积（也即我们常说的面积）也就等于初始的一维球体如此向上移动过程中所扫过的体积的两倍，或者说是如此累积起来的所有的一维球体的“总体积”的两倍。

若用θ表示其中某一个一维球体的某一个边界点和球心的连线

与初始一维球体的夹角（注：因为所有如此得到的一维球体彼此平行，且球体是完全的对称体，所以同一个一维球体上的各边界点与球心的连线与所有的一维球体的夹角相等都为θ。这一点对于高维空间显然也是成立的。），则由三角知识可得此一维球体的半径为θcos 。这样，此一维球体的一维体积就为θcos 2。因此，它在向上微微移动θsin d 的过程中所扫过的二维体积就为θθsin cos 2d 。显然，此即二维情形下的积分项。

与二维球体类似，三维球体可以认为是二维球体即我们通常所说的圆的基础上这样拓展而成的：过二维球体的球心作此二维球体的垂线。沿此垂线慢慢向上平移二维球体，在移动的过程中同时慢慢地收缩二维球体，以保证二维球体所有的边界点到球心的距离不变（即使之始终等于1）。向上移至某一位置后，二维球体的边界点就会完全收缩为一个点。这样就得到了半个三维球体，即通常所说的一个半球体。显然，整个球体的体积就等于二维球体在上述过程中所扫过的体积的两倍。用θ表示其中某一个二维球体的某一个边界点与球心的连线与初始二维球体的夹角，由三角知识可导出此二维球体的半径为θcos 。这样，此二维球体的二维体积就为θ22cos V 。因此，它在向上微微移动θsin d 的过程中所扫过的三维体积就为θθsin cos 22d V 。显然，此即三维情形下的积分项。

采用同样的方法，我们不仅可以构造出四维、五维的球体，而且也可用n 维球体构造出n+1维球体。

过n 维球体的球心作此n 维球体的垂线。沿此垂线慢慢向上平移

n 维球体，在移动的过程中同时慢慢地收缩n 维球体，以保证n 维球体所有的边界点到球心的距离始终等于1。移到某一位置后，n 维球体的边界点就会完全收缩为一个点。这样就得到了半个n+1维球体。显然，整个n+1维球体的体积就等于n 维球体在上述过程中所扫过的体积的两倍。用θ表示其中某一个n 维球体的某一个边界点和球心的连线与初始n 维球体的夹角，由三角知识可导出此n 维球体的半径还是等于θcos 。这样，此n 维球体的n 维体积就为θn n V cos 。因此，它在向上微微移动θsin d 的过程中所扫过的n+1维体积就为θθsin cos d V n n 。此即（1）式中的积分项。

有了（1）式，原则上我们是可以利用数学归纳法一步步地导出任意维球体的体积的计算公式。

后记：

在研究了正n 体与n 维锥体的体积（见《三角形面积公式的另类推导方法》）之后，很自然就想到了求n 维球体的体积。因为有利用正n 体构建正n+1体的经验，所以很快就想到了利用n 维球体构造n+1维球体的方法，而探求n 维锥体的体积又令我对祖暅原理有了一个全新的认识。二者结合起来，很快就找到（1）式。

（1）式对不对呢？将其用到三维上，完全正确。

（2）将其用到四维时，需要求解出这样的一个定积分：

?2

03sin cos π

θθd （2）

没想到我一下子被这样的一个定积分给卡住了，无奈只好转而将（1）式用到五维上。这一次很顺利，因为

?2

04sin cos π

θθd ＝()?-2022sin sin 1πθθd ＝()?-10221dx x ＝15

8 （3） 再回过来看（2）式，折腾了几次后终于也找到了求解之法（找到后我长舒了口气，头脑中也突然跳出了这样的一句很流流的话：“当上帝在你面前关上一扇窗口的时候，他也一定会为你打开另一扇窗口。”）。

（2）式可如下变形，稍加整理后即得：

()?????? ??++=+=202022

04

4cos 212cos 223412cos 141cos πππ

θθθθθθθd d d ＝π83 将此值与三维单位球的体积代入（1）式，即可得四维单位球的体积为2

2π；再四维单位球的体积与（3）式代入（1）式，即可得五维单位球的体积为15

82π。得到五维单位球的体积后，才想到回过头来将（1）式用到二维的情形。很简单，没问题。上网一查，四维、五维都没问题。

从定积分（2）式和（3）式的求解过程不难看出，只要n 为奇数，积出的值就会出现一个π；n 为偶然时，积出的值中就不会出现π。将这一结果代入（1）式即可推测出，当k n 2=或12+k 时，n 维单位球的体积一定等于一有理数与k π的乘积。

从积分项中出现的θn cos 即还可以看出，为何古人能用祖暅原理得到三维球体的体积（适当构图，用一圆柱体的体积减去一圆锥体的体积可得一个半球体的体积），而我们却不能用同样的方法得到一般的n 维单位球的体积。古人能够成功，而我们一般不能

成功，是因为不论θ取何值，当n ＝2时，都有下述的恒等式

1sin cos 22=+θθ

而当2≠n 时，一般情况下

1sin cos ≠+θθn n

读者可从对照求解二维与三维单位球的体积的过程中看出其中的奥妙。对照分析时需要注意的是，二维锥体即我们常说的三角形，二维圆柱体即我们常说的矩形。