高中数学《事件的相互独立性
2.2.2事件的相互独立性
一．教学目标：
知识与技能：理解两个事件相互独立的概念，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
过程与方法：进一步发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力；通过对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养学生的应用能力。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：相互独立事件的意义和相互独立事件同时发生的概率公式。
教学难点：对事件独立性的判定，以及能正确地将复杂的概率问题分解转化为几类基本的概率模型.
二．教学过程：创设情境，提出问题
合作交流，感知问题
类比联想，探索问题
实践应用，解决问题
总结反思，深化拓展.
1.创设情境，提出问题：
问题一：“常言道，三个臭皮匠能抵诸葛亮”。怎样从数学上来解释呢？将问题具体化：假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88，三个臭皮匠甲、乙、丙想出计
谋的概率各为0.6、0.5、0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
问题二：2010年1月26日上午，NBA常规赛进行了一场焦点之战--勒布朗-詹姆斯领衔
的克利夫兰骑士在客场挑战由韦德率领的迈阿密热火。比赛非常激烈，直到
终场前3.1秒比分打成90平，热火队犯规，詹姆斯获两次罚篮机会，已知詹
姆斯的罚篮命中率为77.6%，问骑士队此时获胜的概率是多少？
我们一起学习完今天这节课后，问题就会得到解答。
引入课题：2.2.2事件的相互独立性（板书）
2.复习回扣:
条件概率 :设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。记作P(B |A).
条件概率计算公式:
3.新课讲解：
探究1：三张奖券有一张可以中奖，现由三名同学依次有放回地抽取。
定义A 为事件“第一位同学中奖”，B 为事件“第三位同学中奖”。
问：事件A 发生对于事件B 发生有影响吗？
答：事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率。
相互独立的定义 ： 设A 、B 是两个事件，如果P （AB ）=P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立。 判断两个事件相互独立的方法：
1.定义法:P(AB)=P(A)P(B)
2.经验判断:A 发生与否不影响B 发生的概率，B 发生与否不影响A 发生的概率。
推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于
每个事件发生的概率的积.即： P(A 1·A 2·…·A n )= P(A 1)·P(A 2)·…·P(A n )
可以让学生举例子加深对相互独立的理解
练习1 判断下列各对事件的关系
（1）甲乙各射击一次，甲射中9环与乙射中8环；（相互独立）
（相互独立）
（3）随机从52张扑克牌中抽取一张，“抽到的是红桃”与“抽到的是K ” （相互独立） 探究2：甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛子里有2个白球,2个黑球,设从甲坛子里摸出一
个球,得出白球叫做事件A,从乙坛子里摸出1个球,得到白球叫做事件B 。
引导学生总结性质
相互独立事件的性质：
4.例题讲解
例1、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一 个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概
A B A B A B A B 事件是指______________________;
事件是指______________________;
与是_____________事件；
与是_____________事件；
与是____________填空：
__事件.
)()|(B P A B P =)|()()(A B P A P AB P = 又)
()()(B P A P AB P =∴24.0)(,6.0)(,6.0)()2(===AB P B P A P 已知也都相互独立与与与那么相互独立与如果事件B A B A B A B A ,,,
率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）“都抽到中奖号码”；
（2）“恰有一次抽到中奖号码”；
（3）“至少有一次抽到中奖号码”。
解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A ，
“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，
则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB 。
由于两次的抽奖结果是互不影响的,因此A 和B 相互独立.
于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为
P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.0025
(2)“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以表示为B )A ()B (A 由于事件 B A 与 B A 互斥，
(3)
“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以表示为)B (A B)A ((AB) 。
另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率为
练习2 在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间
内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
（1）甲、乙两地都下雨的概率；
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
（3）其中至少有一地下雨的概率.
解：(1)P=0.2×0.3＝0.06 (2)P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56 (3)P=1-0.56=0.44
练习3填表
0.095 0.05
0.05)(10.05)(10.05 )P(B)A P()B P(A)P(B)A P()B P(A =?-+-?=+=+0.0975
0.05)(10.05)(11)B A P(1=-?--=-0.09750.0950.0025B)A P()B P(A P(AB)=+=++
提问：若事件ABC 之间相互独立，至少一个发生怎么表示？
5.问题解决
问题一：定义三个臭皮匠甲、乙、丙单独想出计谋分别为事件A 、B 、C ， 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为：
0.880.90.40.50.51)C B A P(1>=??-=-
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.
简述学习上合作互相帮助 团结就是力量，
问题二：詹姆斯获两次罚篮机会，已知詹姆斯的罚篮命中率为77.6%，
问骑士队此时获胜的概率是多少？
按照比赛规则，此时罚两球至少罚进一个即取得胜利，
95.0)776.01(12≈--，所以有95%的概率取得胜利。
6.辨析
7.总结，这节课你有什么收获？
8.作业：习题A 组1 2 3
三．板书设计
)
C B A P(1-
高考数学中的29个问题_理科数学问题
高考数学中的29个问题 一、主干部分 （一）三角函数 （1）三角函数的化简与求值 要求：掌握基本公式：三角函数的定义，同角三角函数的关系，诱导公式，两角和与差的三角函数，倍角公式，辅助角公式。化简思想：切割化弦，降幂思想，统一角思想，角的代换 （2）三角函数的图像与性质注意：会做基本三角函数的图像，掌握正弦，余弦，正切函数的图像及单调性，奇偶性，周期性，对称性 （3）正余弦定理的应用注意：掌握正余弦定理，边角的转换思想， （二）数列 （1）等差等比数列，掌握等差等比数列基本量的计算，性质的应用，证明，等差和的最值，等比积的最值的性质，找规律 （2）数列通项利用和与项的关系求通项利用递推公式求通项 （3）数列求和．求和原则：通项特征决定求和方法。 掌握基本的求和方法（1）公式法：（2）分组求和法（3）错位相减法： （4）裂项相消法：（5）并项求和：（6）倒序相加法： （三）统计与概率 （1）统计掌握抽样方法，频率分布直方图，茎叶图中均值，方差，中位数，众数的求法，统计案例独立性检验，线性回归方程 （2）概率与分布列注意：会求基本事件的概率（古典概型，几何概型，条件概率），互斥事件，相互独立事件，独立重复试验概率的求法 注意超几何分布，二项分布的区别，理解正态分布 （四）立体几何 （1）三视图，球的切接问题 （2）平行与垂直的判定与性质，注意直线与平面平行，面面平行的判定与性质，直线与直线垂直，线面垂直，面面垂直的判定与性质 （3）空间角的求法，会用空间向量求角（异面直线，直线与平面，二面角） (五）解析几何 （1）直线与圆 （2）圆锥曲线的概念与性质注意椭圆，双曲线，抛物线的定义，中点弦问题，抛物线中焦点弦的性质
北师大版高中数学选修条件概率与独立事件一教案
2.3条件概率 教学目标： 知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。 过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：条件概率定义的理解. 教学难点：概率计算公式的应用. 授课类型：新授课 . 课时安排：1课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。 教学过程： 一、复习引入： 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 () 3 P B=. 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？ 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一 名同学抽到中奖奖券的概率为1 2 ，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽 到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，
事件的相互独立性教案定稿
2.2.2 事件的相互独立性 一、教学目标 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 二、教学重难点 教学重点：独立事件同时发生的概率。 教学难点：有关独立事件发生的概率计算。 三、教学过程 复习引入: 1. 事件的定义： 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作() P A． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；
4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形。 5. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件。 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现 的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1 n ，这种事件叫等可能性事件。 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率 ()m P A n =。 讲解新课： 1．相互独立事件的定义： 设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立. 事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件. 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立. 2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ?=? 问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ?．（简称积事件） 从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54?种等可能的结果。同时摸出白球的结果有32?种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们
04事件的相互独立性(教案)
2． 2．2事件的相互独立性 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：4课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,, ,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A ++ +＝12()()()n P A P A P A +++
人教版高中数学高二选修2-3 第二章《事件的相互独立性》教案
2．2．2事件的相互独立性 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结 果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,, ,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件 12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,, ,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++ 探究: (1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？ 事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上 (2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这 两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？ 事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球， 得到白球
【高考数学专题复习】专题10.2 事件的相互独立性(原卷版)
10.2 事件的相互独立 运用一对立与互斥事件 【例1】（1）（2019秋?红岗区校级期末）袋中装有3个黑球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（） A．“至少有一个黑球”和“没有黑球” B．“至少有一个白球”和“至少有一个红球” C．“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个” D．“恰有一个白球”和“恰有一个黑球” (2)（2019秋?红山区校级月考）若颜色分别为红，黑，白的三个球随机得分布给甲、乙、丙3人，每人分 得1个球，事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是（） A．对立事件B．不可能事件C．互斥事件D．必然事件 【举一反三】 1．（2019秋?保定月考）学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是（） A．对立事件B．不可能事件 C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件 2．（2019秋?岳麓区校级月考）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示A的对立事件，表示B的对立事件）：①，②F＝AB，③F＝A+B，④G＝A+B，⑤， ⑥P（F）＝1﹣P（E），⑦P（F）＝P（A）+P（B）．其中正确的关系式的个数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2019秋?天心区校级期中）从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（） A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球” B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球” C．“都是白球”与“至少有一个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球” 运用二独立事件的计算 【例2】（1）（2019秋?武邑县校级月考）从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，且已知P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）A．0.8 B．0.6 C．0.35 D．0.2 （2）（2018秋?太原期末）已知随机事件A和B互斥，且P（A∪B）＝0.7，P（B）＝0.2，则P（）＝（）A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8 【举一反三】 1．（2019春?红岗区校级期末）袋中有6个不同红球、4个不同白球，从袋中任取3个球，则至少有两个白球的概率是（） A．B．C．D． 2．（2019春?锦州期末）已知随机事件A和B互斥，且P（A∪B）＝0.5，P（B）＝0.3，则P（）＝（）A．0.5 B．0.2 C．0.7 D．0.8 3．（2019春?潍坊期末）甲队和乙队进行足球比赛，两队踢成平局的概率是，乙队获胜的概率是，则甲队不输的概率是（） A．B．C．D． 4．（2019春?三明期末）已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝0.3，P（C）＝ 0.6，则P（A+B）＝（） A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9 1．（2018秋?南平期末）一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，以下事件：①恰有1件次品和
选修2-3教案2.2.2 事件的独立性
§2.2.2 事件的独立性 教学目标 （1）理解两个事件相互独立的概念； （2）能进行一些与事件独立有关的概率的计算． 教学重点，难点：理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率． 教学过程 一．问题情境 1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次． 在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响． 二．学生活动 设B 表示事件“第一次正面向上”， A 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知 ()12P A = ，()12P B =，()1 4 P AB =， 所以() ()() 1 2 P AB P A B P B = = ． 即()() P A P A B =，这说明事件B 的发生不影响事件A 发生的概率． 三．建构数学 1．两个事件的独立性 一般地，若事件A ，B 满足() ()P A B P A =，则称事件A ，B 独立． 当A ，B 独立时，若()0P A >，因为() ()()()P AB P A B P A P B = =， 所以 ()()()P AB P A P B =，反过来() ()() ()P AB P B A P B P A = =， 即B ，A 也独立．这说明A 与B 独立是相互的，此时事件A 和B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即 ()()()P AB P A P B =．（*） 若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件 A ， B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =．今后我们将遵循此约定． 事实上，若B φ=，则()0P B =，同时就有()0P AB =，此时不论A 是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与φ独立．同理任何事件也与必然事件Ω独立. 2． 个事件的独立性可以推广到(2)n n >个事件的独立性，且若事件12,,,n A A A 相互独立， 则这n 个事件同时发生的概率()()()()1212n n P A A A P A P A P A = ．
事件的相互独立性试题及答案
1 事件的互相独立性 1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有( ) A.A 与A B.A 与B C.A 与B D A 与B 2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( ) A.0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.42 3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( ) A.P 1P 2 B.P 1(1-P 2)+P 2(1-P 1) C.1-P 1P 2 D.1-(1-P 1)(1-P 2) 4.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为5 1，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）( ) A.94 B.90 1 C.54 D. 95 5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为4 1，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____________. 6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是3 1，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_______________. 7.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响. （1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.
《独立性检验》教案)
《独立性检验》教案 一、教学目标 1、知识与技能： 通过典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想，会对两个分类变量进行独立性检验，明确独立性检验的基本步骤，并能利用独立性检验的基本思想来解决实际问题. 2、过程与方法： 通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题。通过列联表、等高条形图,使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能有关系.这一直觉来自于观测数据，即样本.问题是这种来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体？这节课就是为了解决这个问题，让学生亲身体验直观感受的基础上，提高学生的数据分析能力. 3、情感态度价值观： 通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系。以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性。培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。对问题的自主探究，提高学生独立思考问题的能力；让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性。教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性。 二、教学重点 理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 三、教学难点 1.了解独立性检验的基本思想； 2.了解随机变量K2的含义，K2的观测值很大，就认为两个分类变量是有关系的。 四、教学方法 以“问题串”的形式，层层设疑，诱思探究。用“讲授法”，循序渐进，引导学生，步步为营，螺蜁上升探究本节课的知识内容. 五、教学过程设计
环 节 互动意图创 设情景、引入新课课下预习，搜集有关分类变量有无关系的一些实例。 情境引入、提出问题：1、吸烟与患肺癌有关系吗？ 2、你有多大程度把握吸烟与患肺癌有关？ 组织引 导学生 课下预 习问题 背景， 初步明 确定要 解决 “吸烟 与患肺 癌”之 间的关 系问 题. 好的课 堂情景 引入， 能激发 学生求 知欲， 是新问 题能够 顺利解 决的前 提条件 之一. 初步探索、展示内涵 变量有定量变量、分类变量，定量变量—回归分析;分类变 量—独立性检验，引出课题。 问题1、我们在研究“吸烟与患肺癌的关系”时，需要关注哪一些 量呢？ 列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般我们只 研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为2*2列联表 . 如吸烟与患肺癌的列联表： 不患肺癌患肺癌总计 不吸烟7775 42 7817 吸烟2099 49 2148 总计9874 91 9965 问题2：由以上列联表，我们估计吸烟是否对患肺癌有影响？①在 不吸烟者中患肺癌的比例为________；②在吸烟者中患肺癌的比 例为________. 1，教师 通过举 例，引 入分类 变量这 个新概 念.引 出课题 2，组织 学生填 表讨论 问题， 初步得 到问题 的结 论. 从实际 问题出 发引入 概念， 提出问 题有利 于学生 明白我 们要学 习这节 课的必 要性。。
人教A版(2019)数学必修(第二册)：10.2 事件的相互独立性 教案
事件的相互独立性 【教学过程】 一、问题导入 预习教材内容，思考以下问题： 1．事件的相互独立性的定义是什么？ 2．相互独立事件有哪些性质？ 3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？ 二、基础知识 1．相互独立的概念 设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质 若事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立． ■名师点拨 （1）必然事件Ω，不可能事件?都与任意事件相互独立． （2）事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P （A ）·P （B ）． 三、合作探究 1．相互独立事件的判断 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既 有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：
（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩． 【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有4个基本事件，由等可能性知概率都为1 4. 这时A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P（A）＝1 2，P（B）＝ 3 4，P(AB)＝ 1 2. 由此可知P(AB)≠P（A）P（B）， 所以事件A，B不相互独立． （2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这8个基本事件的概率均为1 8，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个 基本事件，AB中含有3个基本事件． 于是P（A）＝6 8＝ 3 4，P（B）＝ 4 8＝ 1 2，P(AB)＝ 3 8， 显然有P(AB)＝3 8＝P（A）P（B）成立． 从而事件A与B是相互独立的． 判断两个事件是否相互独立的两种方法 （1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件； （2）定义法：通过式子P(AB)＝P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断. 2．相互独立事件同时发生的概率 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
高中数学复习典型题专题训练122---独立性检验
高中数学复习典型题专题训练122 ．独立性检验 1．两个变量之间的关系； 常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系． 2．散点图：将样本中的n 个数据点()(12)i i x y i n =L ，，，，描在平面直角坐标系中，就得到了散点图． 散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个变量的关系． 3．如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时，散点图中的点在从左下角到右上角的区域． 反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．此时，散点图中的点在从左上角到右下角的区域． 散点图可以判断两个变量之间有没有相关关系． 4．统计假设：如果事件A 与B 独立，这时应该有()()()P AB P A P B =，用字母0H 表示此式，即0:()()()H P AB P A P B =，称之为统计假设． 5．2χ（读作“卡方”）统计量： 统计学中有一个非常有用的统计量，它的表达式为2 2 112212211212 ()n n n n n n n n n χ++++-=，用它的大小可以 用来决定是否拒绝原来的统计假设0H ．如果2χ的值较大，就拒绝0H ，即认为A 与B 是有关的． 2χ统计量的两个临界值：3.841、6.635；当2 3.841χ>时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当2 6.635χ>时，有99%的把握说事件A 与B 有关；当2 3.841χ≤时，认为事件A 与B 是无关的． 独立性检验的基本思想与反证法类似，由结论不成立时推出有利于结论成立的小概率事件发生，而小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以认为结论在很大程度上是成立的． 1．独立性检验的步骤：统计假设：0H ；列出22?联表；计算2χ统计量；查对临界值表，作出判断． 2．几个临界值：222()0.10( 3.841)0.05( 6.635)0.01P P P χχχ≈≈≈≥2.706， ≥，≥． 22?联表的独立性检验： 如果对于某个群体有两种状态，对于每种状态又有两个情况，这样排成一张22?的表，如下： 知识内容 板块五.独立性检验
事件的相互独立性的教案
事件的相互独立性的教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2.2.2事件的相互独立性 一、教学目标： 1、知识与技能： ①理解事件独立性的概念 ②相互独立事件同时发生的概率公式 2、过程与方法： 通过实例探究事件独立性的过程，学会判断事件相 互独立性的方法。 3、情感态度价值观：通过本节的学习，体会数学来源于实践又服务于 实践，发现数学的应用意识。 二、教学重点：件事相互独立性的概念 三、教学难点：相互独立事件同时发生的概率公式 四，教学过程： 1、复习回顾：（1）条件概率 （2）条件概率计算公式 （3）互斥事件及和事件的概率计算公式 2、思考探究： 三张奖券只有一张可以中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A 为“第一位同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”。 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗？ 分析：事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率。于是： 3、事件的相互独立性 设A ，B 为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A 与事件B 相互独立。 即事件A （或B ）是否发生,对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：①如果A 与B 相互独立，那么A 与B ,B 与A ，A 与B 都是相互独立的。（举例说明） ②推广：如果事件12,,...n A A A 相互独立，那么 1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A = (|)()P B A P B =()()(|)P AB P A P B A =()()() P AB P A P B ∴=
事件的独立性与条件概率专题
1．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( ) A ．0.31 B ．0.32 C ．0.33 D ．0.36 2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( ) A.12 B.35 C.34 D.310 3．打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( ) A.35 B.34 C.1225 D.1425 4．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为 ( ) A.310 B.13 C.38 D.29 5．(优质试题·济南质检)优质试题年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13 ，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，15 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北
京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 6．(优质试题·合肥月考)周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.8，做对两道题的概率为0.6，则预估计做对第二道题的概率为( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60 D ．0.48 7．从应届毕业生中选拔飞行员，已知该批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16 ，其他几项标准合格的概率为15 ，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准互不影响)( ) A.49 B.190 C.45 D.59 8．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.25 二、填空题 9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625 ，则该队员每次罚球的命中率为________． 10．袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回地摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为________． 11．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________． 12．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15 ，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有一人去此地的概率是________.
事件的独立性教案
事件的相互独立性 数学与统计学学院芮丽娟2009212085 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）了解独立性的定义（即事件A的发生对事件B的发生没有影响）； （2）掌握相互独立事件的概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B) 2、过程与方法： 通过对现实生活中不同事件问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力 3、情感态度与价值观: 通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 二、重点与难点： 正确理解独立性的定义与互斥事件的差别，掌握并运用独立事件概率公式 三、教学设想： 1、创设情境：通过回顾上节课学习的条件概率，引入本节课独立性的定义 例：3张奖券中只有一张能中奖，现分别由3名同学无放回的抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”。则问事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？若条件改为有放回，这时又是什么情况？ 解：显然无放回时，A的发生影响着B，即是条件概率。而当有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B发生的概率。于是P(B|A)=P(B)，代入条件概率公式得P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B) 2、基本概念： 独立性定义：设A，B为两个事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B 相互独立。 例1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？ 分析：理解相互独立的定义，即是一事件的发生对另一事件的发生与否没有影响，由于A事件抛掷第一枚硬币为正面，对B事件第二枚硬币为正面没有影响，故A与B独立，而
2.2.1条件概率与事件的相互独立性
2． 2．1条件概率与事件的相互独立性 教学目标：1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。理解两个事件相互独立的概念。 2，掌握一些简单的条件概率的计算。能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 3，通过对实例的分析，会进行简单的应用 教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用 教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学过程：概念：1，对于两个事件A 与B ，如果P(A)>0,称P(B ︱A)=P(AB)/P(A),为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 2，如果两个事件A 与B 满足等式 P(AB)=P(A)P(B),称事件A 与B 是相互独立的，简称A 与B 独立。 例1．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从9~0中任选一个，某人在银行自 动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求 （1） 任意按最后一位数字，不超过2次就对的概率； （2） 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则1 12()A A A A =表示不超过2次就按对 密码． (1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得 1121911()()()101095 P A P A P A A ?=+=+=?. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则 112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+ 14125545 ?=+=?. 例2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩， 问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？ 解：一个家庭的两个孩子有四种可能：{（男，男）}，{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。 这个家庭中有一个女孩的情况有三种：{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。在这种情况下“其中一个小孩是男孩”占两种情况，因此所求概率为2／3. 例3．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是6.0，计算： (1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率. 解：（1）“两人各投一次，都投中”就是事件AB 发生，因此所求概率为 P （ AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×0.6=0.36 （2）分析：“两人各投一次，恰有一人投中”包括两种情况：甲投中，乙未投中；甲未击中，乙击中。 因此所求概率为 48.06.0)6.01()6.01(6.0)()()()()()(=?-+-?=+=+B P A P B P A P B A P B A P 。
2014年人教A版选修2-3教案 2.2.2 事件的独立性
2．2．2事件的独立性 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,, ,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=-
人教版选修第二章离散型随机变量教案事件的相互独立性
数学：人教版选修2-3第二章离散型随机变量教案（2．2．2事件的相互独立性） 2．2．2事件的相互独立性 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不 发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就
把这个常数叫做事件的概率，记作． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件 发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的 两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件）称为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有个， 而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概 率都是，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果 有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果， 那么事件的概率 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A和事件B是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件． 一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件． 12．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么＝
高考数学1.2独立性检验专题1
高考数学1．2独立性检验专题1 2020.03 1,若双曲线1922=-m y x 的渐近线方程为x y 35±=，则双曲线的焦点F 到渐近 线的距离为 。 2,已知数列{}n a 中，21=a ，且n a a n n +=-1(2)n ≥，求这个数列的第m 项m a 的值(2)m ≥.现给出此算法流程图的一部分请将空格部分（两个）填上适当的内容；用“For ”循环语句写出对应的算法；若输出5051=S ，则输入的m 的值是多少？ 3,已知两正数ａ、ｂ满足：1622=+b a ，则ab 的最大值是 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
4,若实数a 、b 满足函数1412131)(223+--+=x b ax x x f 在(－∞，+∞)为增函数，则a+b>1的概率是__________。 5,函数x x y ln =的单调递减区间是__________________。 6,设p ：方程221122x y m m +=-+表示双曲线；q ：函数 324()()63g x x mx m x =++++在R 上有极值点．求使“p 且q ”为真命题的实数m 的取值范围． 7,“ 18a =”是“命题:p ),0(+∞∈?x ，21a x x +≥为真命题”的 ___________________条件。 8,不等式0)2(>-x x 的解集是 A ．（-∞，2） B ．（0，2） C ．（-∞，0） D ．（-∞，0）∪（2，+∞） 9,抛物线的顶点在原点，准线是x=4，它的标准方程是 A ．x y 162-= B ．y x 162-= C ．x y 82-= D ．y x 82= 10,一个算法的流程图如图所示，则输出S 为________。 11,数列}{n a 满足：n n n a a a +=++12, a 1=1,a 2=2,则该数列前5项之和为 A ．11 B ．18 C ．19 D ．31 12,设曲线),0(:≥=x x y C 直线0=y 及直线t x =)0(>t 围成的封闭图形的
2.2.2事件的相互独立性(教学设计)
2．2．2事件的相互独立性（教学设计） 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 教学过程： 一、复习引入： 1．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 2．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 4．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=- 5．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++ ＝12()()()n P A P A P A +++ 6．条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：()(|)() P AB P B A P A = 乘法公式：()(|)()P AB P B A P A =?. 二、师生互动，新课讲解： 思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗? 显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是 P （B| A ）=P(B ）, P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).