武汉理工控制工程第五章习题答案

习题参考答案

习题5-1 解：相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。K =10时, )

/s )(s (s )s (G 511510

++=

图5-41 习题5-1解图

由上图可知： 22020401

lg K lg lg

c

==ωω 得剪切频率41412.c ==ω。

相角裕度为：︒=ω-ω-︒-︒=ωϕ+︒=γ5195

90180180.arctan

arctan )(c

c c 当K 从10变到100时，20lgK=20lg20＝26dB ，如图中虚线所示。 202020401

lg K lg lg

c

==ωω' 相角裕度为：

︒-=ω'-ω'-︒-︒=ω'ϕ+︒=γ2295

90180180.arctan

arctan )(c

c c 求增益裕度，则需先求出g ω。 51805

90=ω⇒︒-=ω-ω-︒-g g g arctan

arctan

当K=10时，有

dB .lg

)(A lg L g

g

g g g 54925110

20202

2

=ω+ω+ω-=ω-=

当K=100时，有

()dB A L g

g

g g g 5.10251100

lg

20lg 202

2

-=++-=-=ωωωω

习题5-2 解：画出开环系统幅相频率特性，如下图所示：

图5-42 习题5-2解图

从上图中可知，1-=N ；而由表达式()()s H s G 可知0=P 。

根据Nyquist 判据有：()21202=-⨯-=-=N P Z ，因此闭环系统不稳定。

习题5-3 解： 9

8

.048.11)]([L )(1++

+-=

=-s s s t c s C 闭环传递函数

)9)(4(36

198.048.11)()()(++=

++

+-==s s s

s s s s R s C s G )

9

tg 4

(tg 221

181

1636

)9)(4(36)(ω

ω

ωωωωω--+-+⨯+=++=j e

j j j G

习题5-4 解： 求系统闭环传递函数 5

tg 21

25

4

)5(4)(5

4)(1)()()()(1

4)(ω

ωωω--+=+=

+=

+==

+=

j B K K B K e

j j G s s G s G s R s C s G s s G

根据频率特性的定义，以及线性系统的迭加性求解如下：

（1）︒===30,1,11θωr A

︒

--===

=-3.115

1

tg )

1(178.026

4)1()(1

j j j B e e

e

A j G θωω

[])7.18sin(78.0)1(sin )1()sin()(12︒+=++=+=t t A A t A t c r c s θθθ

（2）︒===45,2,21θωr A

︒

--==+=

-8.215

2tg 274.025

44)(1

j j B e e

j G ωω

)2.232cos(48.1)(︒+=t t c s

（3）)8.662cos(48.1)7.18sin(78.0)(︒--︒+=t t t c s

习题5-5 解：

系统闭环传递函数为

K

s Ts K

s G s G s R s C s G K K B ++=+==2

)(1)()()()( 10=ω时系统频率特性为 ())

(10010tg 210

210)(100

)100(10

100)()(1

ωθωωωω

ωωj T

K j e A e

T K K j T K K

j T K K j G =+-=

+-=

+-=

--==-

由已知条件得2

)(,1)(12π

θθωθω-=-===

r c A A A ，则有 ⎩⎨⎧==⇒⎪

⎩⎪⎨⎧

=-=+-1.0100

1001100

)100(2T K T K T K K

习题5-6 解：

)

116)(1()14(5)154)(1()(222++-+-=++=ωωωωωωωωωj K j j j K

j G

0→ω时，︒-∞∠=→90)(lim 0

ωωj G 。

求0→ω时的渐近线

K K j G 5)

116)(1(5lim

)](Re[lim 22

00

-=++-=→→ωωωωωωω

∞→ω时，︒-∠=∞

→2700)(lim ωωj G ，曲线顺时针穿过负实轴

求曲线与负实轴的交点 令0)](Im[=ωj G ，得5.0=ω。

K j G A g 25

.11

)](Re[)(5.0=

==ωωω 该系统幅相频率特性曲线如图所示。

当1)(=g A ω即25.1=K 时，闭环系统临界稳定。

习题5-7 解：（1）令 1

45tg 180180)(1801=⇒︒=+︒-︒=∠+︒=-c c c j G αωαωωγ