【精准解析】重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
重庆市巴蜀中学2019—2020学年度第一学期期末考试一、选择题1.13sin 4π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（）A.22-B.22C.3D.32【答案】B 【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值.【详解】1313sin sin 44ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭sin 34ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin 4π=22=故选：B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的计算诱导公式的应用，是基础题.2.若集合{}2|30M x x x =-=，2{|lo }2g N x x =<，则M N ⋃=（）A.{}3 B.()0,3 C.(),4-∞ D.[)0,4【答案】D 【解析】【分析】分别解出集合,M N ，即可求得M N ⋃.【详解】{}2|30M x x x =-= ，{}0,3M ∴=，2{|log }2N x x =< ，{}04N x x ∴=<<，[)0,4M N ∴⋃=.故选：D.【点睛】本题主要考查的是集合的并集运算，正确解出集合,A B 是解决本题的关键，是基础题.3.已知实数a ，b ，c 满足1ln 4a =，0.912b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，233c =，则实数a ，b ，c 的大小关系为（）A.b a c<< B.a c b<< C.c a b<< D.a b c<<【答案】D 【解析】【分析】将,,a b c 分别与0,1进行比较，即可得到实数a ，b ，c 的大小关系.【详解】由题意得：1ln04a =<，0.9110122b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，203331c =>=，即a b c <<.故选：D.【点睛】本题考查指对数函数的性质，着重考查推理论证能力，是基础题.4.若1)f x +=()f x 的解析式为（）A.2()f x x x =-B.2()(0)f x x x x =-≥C.()2()1f x x x x =-≥ D.2()f x x x=+【答案】C 【解析】【分析】1+=t ，t ≥1，则x ＝（t ﹣1）2，由此能求出函数f （x ）的解析式．【详解】解：f 1）＝x ，1+=t ，t ≥1，则x ＝（t ﹣1）2，∴f （t ）＝（t ﹣1）2+t﹣1＝t 2﹣t ，t ≥1，∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣x （x ≥1）．故选：C ．【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数定义域等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.函数21()cos log 1xf x x x-=⋅+的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由条件判断函数为奇函数，且在()0,1为负数，从而得出结论.【详解】()12211()cos log cos log 11x x f x x x x x -+-⎛⎫-=-⋅=⋅ ⎪-+⎝⎭21cos log ()1x x f x x -=-⋅=-+,因此函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称排除,C D ；当()0,1x ∈时，cos 0x >，12log log 1011x x x -⎛⎫=-< ⎪++⎝⎭，因此()0f x <.故选：A .【点睛】本题主要考查的是函数图像的应用，奇偶性的应用，根据奇偶函数的对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题.6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，当3,04x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()2f x x =，则()2020f =（）A.2B.1C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】根据()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得出函数()f x 的周期，再根据题意即可求得()2020f .【详解】()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭且()f x 是定义在R 上的奇函数，()()32f x f x f x ⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭，()()332f x f x f x ⎛⎫∴+=-+= ⎪⎝⎭，()f x ∴的周期为3，()()()3112020673311222f f f f f⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+==+-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又3,04x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()2f x x =，()1202012f f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题主要考查的是函数的周期性，根据题意得出函数的周期是解决本题的关键，是中档题.7.tan 50tan 80tan 80tan 50tan 30︒︒︒︒︒--的值为（）A.3-B.3C. D.【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正切公式化简后根据特殊角的正切值，即可求得.【详解】()tan 50tan 80tan 50tan 801tan 80tan 50tan 30tan 30tan 301tan 80tan 50tan 30︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒===-+--故选：D .【点睛】本题主要考查的是两角差的正切公式的应用，考查学生的计算能力以及特殊角的函数值的应用，是基础题.8.已知光通过一块玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的14以下，则至少需要通过这样的玻璃（参考数据：lg 30.477,lg 20.301≈≈）（）A.12块B.13块C.14块D.15块【答案】C 【解析】【分析】先求得光通过x 块玻璃后强度的解析式，以强度为原来的14以下列不等式，解不等式求得需要至少通过的玻璃数.【详解】设光原来的强度为k ，通过()*x x N∈块这样的玻璃以后强度为y .光通过1块玻璃后，强度()110%0.9y k k =-=，光通过2块玻璃后，强度()2110%0.90.9y k k =-⋅=，…光通过x 块玻璃后，强度0.9x y k =.由题意得0.94xk k <，即10.94x<，两边同时取对数，可得1lg 0.9lg 4x <.∵lg 0.9lg10<=，∴1lg2lg 20.602413.1lg 0.92lg310.9541x -->==≈--.又*x ∈N ，∴至少需要通过14块这样的玻璃，光的强度能减弱到原来的14以下.故选C.【点睛】本小题主要考查指数函数模型的运用，考查指数不等式的解法，考查对数运算，考查运算求解能力，属于中档题.9.若cos()1210x π+=-，511,1212x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos()6x π-值为（）A.35 B.45 C.35-D.45-【答案】A 【解析】【分析】根据题意求出sin 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，6412x x πππ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，再用两角差的余弦即可求得cos()6x π-值.【详解】cos()1210x π+=- ，511,1212x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则,122x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin 1210x π⎛⎫∴+==⎪⎝⎭，cos()cos cos sin sin 6412412412x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3=2102105⎛⎫⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查的是同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式的应用，考查学生的计算能力，是中档题.10.已知函数2||()ln(2)x f x x e -=+-，则使得不等式()()21f x f x <+成立的x 的取值范围是（）A.11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】判定函数()f x 为偶函数并且为单调增函数，列出不等式，解不等式即可得x 的取值范围.【详解】()2||()ln(2)x f x x f x e --=+=- ，函数()f x 为偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2lg 2,xx e-+-均为增函数，所以函数()f x 为增函数，则当(),0x ∈-∞时，函数()f x 为减函数，21x x ∴<+，解得113-<<x .故选：B .【点睛】本题主要考查的是函数的奇偶性和单调性的应用，得出函数()f x 是偶函数和在[)0,x ∈+∞的单调性是解决本题的关键，是中档题.11.函数322,2()log (2),2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()2–41()g x a f x x =-++有6个不同的零点，则a 的取值范围为（）A.()0,2 B.(]0,2 C.(]0,1 D.()0,1【答案】D 【解析】令2t 41x x =-++，得出t 的范围，再结合题意和图形即可得出a 的取值范围.【详解】令()22t 4125x x x =-++=--+，则5t ≤，又函数()2–41()g x a f x x =-++有6个不同的零点，()a f t ∴=有三个零点且2t 41x x =-++有两解因此5t <，由函数322,2()log (2),2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的图像可知，a 的取值范围是()0,1，故选：D .【点睛】本题主要考查的是函数零点的应用，同时考查的是分段函数的应用，数型结合思想的应用，考查学生的分析问题的能力，是中档题.12.已知函()()2sin (0,||2f x x πωϕωϕ=+>≤对任意x 满足033f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在43,1510ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为（）A.3B.9C.15D.27【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件得出3x π=是函数()f x 的对称轴，,06π⎛⎫⎪⎝⎭函数()f x 的对称，又43,,151063ππππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在43,1510ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，得出ω的最大值.【详解】函数()()2sin f x x ωϕ=+满足033f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图像关于3x π=对称，11,32k k Z ππωϕπ∴+=+∈①又函数()f x 满足066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22,6k k Z πωϕπ∴+=∈②由①②得()12,622k k k k Z πππωππ∴=-+=+∈，得63,k k Z ω=+∈，又()f x 在43,1510ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，43,,151063ππππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，34101542T πππω-≤=，即015ω<≤又63,k k Z ω=+∈，max 15ω∴=.故选：C .【点睛】本题主要考查正弦函数的图像的对称性，能从函数值间的关系分析出函数的对称点和对称轴是解题关键；二、填空题13.幂函数()()222mm m f x x =+-在()0,∞+上为减函数，则实数m 的值为______.【答案】-3【解析】【分析】由已知可知，2221m m +-=，然后依次验证是否满足条件.【详解】由已知可知，2221m m +-=解得：1m =或3m =-，当1m =时，()f x x =，在()0,∞+上是增函数，故不成立；当3m =-时，()3f x x -=，在()0,∞+上为减函数，成立故答案为：-3【点睛】本题考查根据幂函数的性质求参数，属于简单题型.14.若222,1()log ,1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩，则()()0.222log 1.2f f +=_______.【答案】12【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的运算性质，求得()()0.222log1.2f f +的值.【详解】222,1()log ,1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩ ，且0.2221,log 1.21><，可得()()2log 1.220.20.2222log 1.2log 22f f -+=+ 1.210.242=+=.故答案为：12.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，指数函数、对数函数的运算性质，求函数的值，属于基础题.15.将函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数()y g x =的图象，若()y g x =图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小正值为_________.【答案】3π【解析】【分析】根据余弦函数图像平移和余弦函数的对称性进行求解即可.【详解】 函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数()y g x =，()()cos 2cos 2233y g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫∴==-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0ϕ>，又()y g x =图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，522,1232k k Z πππϕπ∴⨯+-=+∈，,,032k k Z ππϕϕ=-∈>，min 3πϕ=.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和余弦函数的对称性的求解，根据余弦函数的对称性是解决本题的关键，是中档题.16.已知函数()234f x x x =--，()2g x kx =-，若存在唯一的整数0x ，满足()00()f x g x <，则实数k 的取值范围是________.【答案】[)18,4,225⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】画出()f x 的图像，()g x 图像过()0,2-，结合题意列出不等式，解不等式即可得出实数k 的取值范围.【详解】()2g x kx =- ，恒过()0,2-点，由函数()234f x x x =--，()2g x kx =-，若存在唯一的整数0x ，满足()00()f x g x <结合图像可得：()()()()()()334455f g f g f g ⎧≥⎪<⎨⎪≥⎩或()()()()1122f g f g ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩，解得1825k <≤或42k -≤<-，故答案为：[)18,4,225⎛⎤--⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了方程的根与函数的交点的关系，同时考查了函数的图象的应用，属于中档题.三、解答题17.已知函数()()2ln 23f x x x =-++的定义域为集合A ，函数()222g x x x =+-，[]2,1x ∈-的值域为集合B .（1）求A ，B ；（2）设集合{|}1C x a x a =≤≤+，若A B C C = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|13A x x =-<<，[]3,1B =-；（2）10a -<≤【解析】【分析】（1）根据定义域和值域的求法得出集合A ，B ；（2）可判断C ≠∅，由题意得C A B ⊆ ，列出关于a 的不等式组，解不等式组即可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）{}{}2230|13|A x x x x x =-++>=-<<()()222213g x x x x =+-=+- ，[]2,1x ∈-()g x ∴在[]2,1--上单调递减，在[]1,1-上单调递增，()13g -=- ，()11g =，()22g -=-，所以()g x 的值域[]3,1B =-（2）1{|1}A B x x =-<≤ ，又A B C C = ，故C A B ⊆ 且C ≠∅，所以111a a +≤⎧⎨>-⎩，解得10a -<≤所以实数a 的取值范围10a -<≤.【点睛】本题主要考查的是集合之间的关系，集合的运算以及一元二次不得等式的解法和一元二次函数值域的求法，是基础题.18.化简求值：（1）已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求()cos 2cos 22sin 3cos παπααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭+的值；（2）已知7sin cos 4αα+=，,22a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin cos αα-的值.【答案】（1）19-；（2）54-【解析】【分析】(1)由已知可求tan 3α=，利用诱导公式化简所求即可计算得解.(2)将sin cos 4αα+=平方得出92sin cos 16αα=-，再将sin cos αα-平方，根据α的范围，即可得解.【详解】解（1）1tan tan 241tan πααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭ ，tan 3α∴=所以cos 2cos()sin 2cos tan 2122sin 3cos 2sin 3cos 2tan 39παπααααααααα⎛⎫+-- ⎪-+-+⎝⎭===-+++（2）sin cos 4αα+=，()27sin cos 12sin cos 16αααα∴+=+=所以92sin cos 16αα=-，又22,ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭ ，cos 0α∴>，则sin 0α<，故sin cos 0αα-<而225(sin cos )12sin cos 16αααα-=-=，所以5sin cos 4αα-=-【点睛】本题主要考查的是两角和的正切公式的应用，诱导公式的应用，以及sin cos ,αα+sin cos αα-，sin cos αα三者知一求二的方法，平方法，是中档题.19.已知函数()sin 3sin f x x x x ωπωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，（0>ω）最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.【答案】（1）5,,1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)利用辅助角公式对函数解析式进行化简整理然后利用正弦函数的最小正周期求得ω，则函数解析式可得.(2)根据x 的范围可确定23x π+的范围，进而根据正弦函数的单调性求得函数的最大值和最小值，则函数的值域可得.【详解】（1）()sin sin 3f x x x xπωωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1sin 2sin cos 322x x x πωωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2sin 3sin 333x x x πππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 的最小正周期2T ππω==，故2ω=，则()3sin(23f x x π=+令222232k x k πππππ-<+<+，解得51212k x k ππππ-<<+故()f x 的单调递增区间为5,,1212k k k Zππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2）当,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，42,363 x πππ+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，sin 2,132x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故函数()f x的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了辅助角公式，正弦函数的图像和性质的应用，考查了学生运用所学知识解决实际的能力，是中档题.20.已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,8-，且不等式()0f x <的解集为()2,4-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()sin (cos )4g m f πθθθθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，R θ∈的最小值为4，求m 的值.【答案】（1）()2–28f x x x =-；（2）2m =或6m =-【解析】【分析】（1）由题意得出关于,,a b c 的方程，解出即可得出函数()f x 的解析式；（2）将函数()g θ化简整理，再令[]sin 1,1t θ=∈-，转化成关于t 的二次函数，知道最小值讨论得出m 的值.【详解】解：（1）由题()20f x ax bx c =++=的两根为-2和4，则有()242408b a c a f c ⎧-+=-⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪==-⎪⎪⎩，解之得：1a =，2b =-，8c =-，所以()2–28f x x x =-（2）由（1）得：()22()2(sin cos )sin cos 2cos 8sin (2)sin 7g m m θθθθθθθθ=-+---=+++令[]sin 1,1t θ=∈-，()2(2)t 7g t t m =+++，[]1,1t ∈-，则()min 4g t =①当212m +-≤-，即0m ≥时，()()min 164g t g m =-=-=，解得2m =（合题）②当212m +-≥，即4m ≤-时，()()min 1104g t g m ==+=，解得6m =-（合题）③当2112m +-<-<，即40m -<<时，2min 2(2)()7424m m g t g ++⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭解得2m =-±综上，2m =或6m =-.【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数的表达式，考查三角函数的最值，将函数2()sin (2)sin 7g m θθθ=+++转化为二次函数，转化为函数恒最值问题是解答本题的关键，是中档题.21.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()12x f x g x ++=．（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，不等式()()22f x mg x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）设()()224xh x a a =-⋅+-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求a 的取值范围．【答案】（1）()22xxf x -=+，()22x xg x -=-；（2）4；（3）3a ≥或2a =【解析】【分析】（1）用x -替换x 再利用奇偶性得到()()22x f x g x --=⋅，与已知条件联立即可得到函数()f x ，()g x 的解析式；（2）将()(),f x g x 代入，换元思想，分离参数，构造函数，求函数最小值，即可得实数m 的最大值；（3）根据题意，换元后转化为方程()23(4)10a k a k -⋅+-⋅-=有且只有一个正根，再对a讨论即可得出a 的取值范围．【详解】解：（1）()()22xf xg x +=⋅ ，用x -代替x 得()()22xf xg x --+-=⋅，则()()22()()22xxf xg x f x g x -⎧+=⋅⎨-=⋅⎩，解方程得：()22xxf x -=+，()22x xg x -=-.（2）()()222(2)22222222x x x xx x f x m ---=+=-+≥--对任意[)1,x ∈+∞恒成立，令22x x t -=-，[)1,x ∈+∞，因为令22x x t -=-在[)1,x ∈+∞单调递增，故32t ≥则244t m t t t+≤=+对,2 3t ∈+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭恒成立当2t =时，min42t t ⎛⎫⎪⎝⎭=+故4m ≤，即max 4m =（3）由题：方程()22224xxx a a -+=-⋅+-有且只有一个根即()()2324210xx a a -+-⋅-=⋅有且只有一个根，令2x k =，因为2x k =在R 上单调递增，且0k >故方程()23(4)10a k a k -⋅+-⋅-=（*式）有且只有一个正根①当3a =时，方程有唯一根1k =，合题②当3a ≠时，方程变形为()()1310k a k --+=⎡⎤⎣⎦，解得两根为11k =，213k a=-因为（*式）有且只有一个正根，故113a =-或103a<-，解得2a =或3a >综上：a 的取值范围为3a ≥或2a =【点睛】本题主要考查的是函数的奇偶性与单调性的应用，考查不等式恒成立问题，方程在给定范围内由一解的解题方法，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.22.已知函数()32723x xf x ⋅-=-，()2log g x x =.（1）当[]0,1x ∈时，求函数()f x 的值城（2）若关于x 的方程()g x t =有两个不等根(),αβαβ<，求αβ的值；（3）是否存在实数a ，使得对任意]1[0m ∈，，关于x 的方程()()()244310g x ag x a f m -+--=在区间1,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有．．3个不等根1x ，2x ，3x ，若存在，求出实数a 与123x x x ⋅⋅的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）[]1,2；（2）1a β=；（3）存在，141153a <≤，12311,84x x x ⎡⎫⋅⋅∈⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）将函数()f x 化简再根据单调性即可得函数()f x 的值域；（2）根据()g x 的解析式，将,αβ代入化简，即可得到αβ的值.（3）令()p f m =，()t x g =，2()4431h t t at a =-+-，根据]1[0m ∈，得出p 的取值范围，由题意可得关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3有两解12,t t ，且()1t g x =有两个不等根，()2t g x =只有一个根，列出不等式组得出a 的范围，再结合（2）知，123x x x ⋅⋅的取值范围.【详解】（1）()()3232232323x x x f x -+==+--在区间[]0,1x ∈单调进减，而()02f =，()11f =，故函数()f x 的值域为[]1,2．（2）因为()2|log |g x x =在[]0,1x ∈单调递减，在[)1,+∞单调递增，()()t g g αβ== 01αβ∴<<<，则有22log log αβ=，即22log log αβ-=故2220log log log αβαβ=+=，所以1a β=（3）令()p f m =，由（1）知()[]1,2p f m =∈令()t x g =，因为()2log g x x =在1,18x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调减，在[]1,4单调递增，且138g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =，()42g =则当(]0,2t ∈时，方程()t x g =有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1；当(2,3]{0}t ∈ 时，方程()t x g =有且只有一个根且此根在区间11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭内或者为1.令2()4431h t t at a =-+-，由二次函数()h t 与()g x 的图象特征，原题目等价于：对任意[]1,2p ∈，关于t 的方程()h t p =在区间[]0,3上总有2个不等根()1212,t t t t <，且()1t g x =有两个不等根，()2t g x =只有一个根，则必有12023t t <≤<≤结合二次函数()h t 的图象，则有(0)312(2)1551(3)3592h a h a h a =->⎧⎪=-<⎨⎪=-≥⎩，解之得141153a <≤，此时；()(]22,3t g x ∈=，则其根11,84x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故必有12311,84x x x ⎡⎫⋅⋅∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题主要考查的是利用函数的单调性求函数值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的求法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.。
2019-2020学年重庆八中高一上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年重庆八中高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．已知全集{}*|4U x N x =∈≤,集合{1,2},{2,4}A B ==,则()U AC B =( )A ．{}1B ．()1,3C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】C【解析】由集合,,U A B ,根据补集和并集定义即可求解. 【详解】 因为{}*|4U x Nx =∈≤,即{}1,2,3,4U =集合{1,2},{2,4}A B == 由补集的运算可知{}1,3U C B =根据并集定义可得(){}{}{}1,21,31,2,3U A C B == 故选:C 【点睛】本题考查了补集和并集的简单运算,属于基础题. 2．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是( ) A ．||y x =- B ．y x = C ．1y x -= D ．3y x =-【答案】D【解析】根据函数解析式,即可判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】对于A,||y x =-为偶函数,所以A 错误;对于B,y x =为奇函数,且在R 上为单调递增函数,所以B 错误;对于C,1y x -=是奇函数,在定义域()(),0,0,-∞+∞内不具有单调性,所以C 错误;对于D,3y x =-为奇函数,在R 上为单调递减函数,所以D 正确.综上可知,D 为正确选项. 故选:D 【点睛】本题考查了根据函数的解析式,判断函数的奇偶性及单调性,属于基础题.3．已知tan 2,tan 5αβ==,则tan()αβ+=( )A ．79B ．711C ．79- D ．711-【答案】C【解析】根据正切函数的和角公式,代入即可求解. 【详解】由正切函数的和角公式()tan tan tan 1tan tan αβαββ++=-⋅因为tan 2,tan 5αβ==,代入可得()257tan 1259αβ++==--⨯ 故选:C 【点睛】本题考查了正切函数和角公式的简单应用,属于基础题. 4．设2log 0.2a =,0.23b -=,0.22c =,则( ) A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】B【解析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,可通过中间值法比较大小,即可得解. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知22log 0.2log 10a =<=0.203310b -<<== 0.20221c =>=所以c b a >> 故选:B 【点睛】本题考查了指数、对数图像与性质的简单应用,函数值大小的比较,属于基础题. 5．在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点,若(,)BP BA BC R λμλμ=+∈,则λμ=( )A ．116B ．118C ．14 D ．12【答案】A【解析】根据平面向量线性的加法运算,即可求解. 【详解】 在ABC 中,D 是AC 的中点,P 是BD 的中点由平面向量的线性加法运算,可知()111222BP BD BA BC ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦()14BA BC =+1144BA BC =+ 因为(,)BP BA BC R λμλμ=+∈ 所以11,44λμ==则116λμ=故选:A 【点睛】本题考查了平面向量的线性加法运算,属于基础题. 6．函数()[]sin ,,f x x x x ππ=∈-的大致图象是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】利用奇偶性定义可知()f x 为偶函数，排除,B C ；由02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除D ，从而得到结果. 【详解】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B C又sin 02222f ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，排除D故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型.7．函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为( )A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．(2,)+∞ D ．(,1)-∞【答案】C【解析】先求得函数的定义域,根据复合函数单调性的性质即可求解. 【详解】 函数()2()ln 32f x xx =-+所以定义域为2320x x -+>,解得2x >或1x < 由复合函数“同增异减”的性质,可知函数()2()ln 32f x x x =-+的单调递增区间为2x >即(2,)x ∈+∞为函数()f x 的单调递增区间故选:C 【点睛】本题考查了对数函数的定义域求法,复合函数单调性的性质,属于基础题.8．若直线6x π=是函数()cos(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴,则ϕ=( ) A ．6π- B ．3π- C ．23π-D ．56π-【答案】B【解析】根据余弦函数的图像与性质,可求得()cos(2)f x x ϕ=+的对称轴,结合6x π=及0πϕ-<<即可求得ϕ的值. 【详解】 函数()cos(2)f x x ϕ=+由余弦函数的图像与性质可知,其对称轴为2,x k k Z ϕπ+=∈ 而6x π=为其一条对称轴,所以2,6k k Z πϕπ⨯+=∈解得,3k k Zπϕπ=-+∈因为0πϕ-<<所以当0k =时,解得3πϕ=- 故选:B 【点睛】本题考查了余弦函数的图像与性质,根据余弦函数的对称轴求参数,属于基础题.9．已知函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最大值为2,则(1)(2)(2020)f f f ++=( )A ．-2B ．0C ．2D ．3【答案】B【解析】根据函数的最大值,可求得函数的解析式.由周期公式可得函数的周期,即可求得(1)(2)(2020)f f f ++的值.【详解】 函数()sin (0)36f x A x A ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最大值为2所以()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由周期公式2T πω=,代入可得263T ππ==则(1)(2)(3)(4)+(5)(6)f f f f f f ++++()()()2112110=++-+-+-+=而202033664=⨯+ 所以(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)f f f f f f f ++=+++而(1)2sin 1236f ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭(2)2sin 2136f ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭(3)2sin 3136f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭(4)2sin 4236f ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭所以()()(1)(2)(3)(4)21120f f f f +++=++-+-=即(1)(2)(2020)(1)(2)(3)(4)0f f f f f f f ++=+++=故选:B 【点睛】本题考查了正弦函数的周期性,根据正弦函数的周期性求值,属于基础题.10．已知实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2x x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞,则a 的取值范围是()A ．()1,2B ．(2,)+∞C ．(0,1)(1,2]⋃D ．[2,)+∞【答案】D【解析】分类讨论01a <<和1a >两种情况.结合函数的值域为[4,)+∞,即可求得a 的取值范围. 【详解】实数0a >且1a ≠,若函数6,2(),2x x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩的值域为[4,)+∞, 当01a <<时,当2x >时,()f x 的值域为()20,a ,与值域为[4,)+∞矛盾,所以01a <<不成立当1a >时,对于函数()6f x x =-,2x ≤,函数的值域为[4,)+∞.所以只需当2x >时值域为[4,)+∞的子集即可.即24a ≥,解得2a ≥（舍去2a ≤-）综上可知a 的取值范围为[2,)+∞ 故选:D 【点睛】本题考查了指数函数的单调性与值域的综合应用,分类讨论思想的应用,属于中档题.11．若3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且2sin cos 3αα+=,cos2=α( )A ．9B ．9-C ．59-D ．59【答案】B【解析】将2sin cos 3αα+=平方后化简,结合3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭即可进一步确定α及2α的取值范围.再根据正弦的二倍角公式及同角三角函数关系式,求得cos2α的值. 【详解】 因为2sin cos 3αα+=,两边同时平方可得 224sin 2sin cos cos 9αααα++=,即52sin cos 9αα=- 则sin ,cos αα异号 又因为2sin cos 03αα+=>,3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以cos20α<由正弦的二倍角公式可知52sin cos sin 29ααα==- 根据同角三角函数关系式可得cos 2α===故选:B【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦二倍角公式的化简与应用,关键在与确定角的取值范围,属于中档题. 12．已知函数12()21x f x e x x -=+-+,则使得不等式(2)(1)f m f m <+成立的实数m 的取值范围是( )A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】将函数解析式变形,即可判断出其对称轴.结合函数的单调性及不等式,即可得关于m 的不等式,解不等即可求得m 的取值范围. 【详解】 函数|1|2()21x f x e x x -=+-+,变形后可得()()2|1|1x f x e x -=+-所以()f x 的图像关于1x =对称由函数单调性可知,当1x >时,函数()f x 单调递增 因为(2)(1)f m f m <+ 所以满足|21|||m m -< 变形可得()2221m m -<,展开可知23410m m -+<因式分解可得()()3110m m --< 解不等式可得113m <<即实数m 的取值范围为1,13⎛⎫⎪⎝⎭故选:A【点睛】本题考查了函数对称性及单调性的综合应用,根据单调性解不等式,绝对值不等式的解法.关键在于对函数解析式进行变形及判断出对称轴,属于中档题.二、填空题13．设向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行,则实数λ=___________.【答案】4-【解析】根据平面向量共线基本定理,可设()22a b a b λμ-=+,即可求得λ的值. 【详解】因为向量,a b 不平行,向量2a b λ-与2a b +平行 由平面向量共线基本定理可设()22a b a b λμ-=+则根据向量数乘运算可得22μλμ=⎧⎨-=⎩解得4λ=- 故答案为:4- 【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,由平面向量共线求参数,属于基础题. 14．计算:23348log 4log 9-⨯=___________.【答案】2【解析】根据指数幂的运算及对数的换底公式,化简即可得解. 【详解】由指数幂的运算及对数的换底公式,化简可得23348log 4log 9-⨯()233333log 92log 4log 4=-⨯422=-=故答案为:2 【点睛】本题考查了指数幂及对数换底公式的应用,属于基础题. 15．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,(4)()f x f x +=,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,则函数1()()13g x f x x =--的零点个数为___________. 【答案】6【解析】根据()f x 为偶函数且周期为4,结合解析式可画出函数()f x 的图像.由零点定义可知,令1()()103g x f x x =--=,可得1()13f x x =+.画出()113h x x =+的图像,通过判断()f x 与()h x 图像交点个数即可判断()g x 的零点个数. 【详解】因为(4)()f x f x +=,即()f x 是周期为4的周期函数()f x 为偶函数,且22,01()42,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩,画出函数图像如下图所示:令1()()103g x f x x =--= 可得1()13f x x =+.画出()113h x x =+的图像如上图所示: 由图像可知,()f x 与()h x 图像共有6个交点所以1()()13g x f x x =--共有6个零点故答案为:6 【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,函数零点的概念及函数图像的画法,属于中档题. 16．将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位,得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,则ω的取值范围是___________.【答案】30,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据函数图象的平移变换求得()y g x =的解析式.根据()y g x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,可得关于ω的不等式组,解不等式组即可求得ω的取值范围.【详解】 由题意可知将函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位 可得2sin ()sin 332x g x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪=⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 若()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,且()g x 过原点 于是6232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ 解不等式组可得302ω<≤,即30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为: 30,2⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查了三角函数的平移变换,根据三角函数的单调性求参数的取值范围,属于中档题.三、解答题17．设α为第二象限角,sin α.(1)求tan α的值;(2)求222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)12-(2)43- 【解析】（1）根据同角三角函数关系式,结合角α为第二象限角,即可求得tan α的值.（2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简,根据（1）中的结论,代入即可求解. 【详解】（1）由于,,sin 2παπα⎛⎫∈=⎪⎝⎭由同角三角函数关系式22sin cos 1αα+=于是cos α==所以sin 1tan cos 2ααα==- （2）由诱导公式化及正弦二倍角公式,结合齐次式形式的化简可得222sin(2)2sin sin 2παπαα-⎛⎫+- ⎪⎝⎭222sin 22sin cos ααα=+ 224sin cos 2sin cos αααα=+24tan 2tan 1αα=+ 由（1）可知1tan 2α=-所以22144tan 422tan 131212αα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-+⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角公式的综合应用,属于基础题.18．已知函数()1(1)x f x a a =+>在区间[]0,2上的最大值与最小值之差为3. (1)求a 的值;(2)证明:函数()()()F x f x f x =--是R 上的增函数. 【答案】(1)2a =(2)见解析【解析】（1）根据指数函数的单调性,由最大值与最小值之差为3代入即可求得a 的值.（2）先求得()F x 的解析式,再根据定义设12x x <,利用作差法即可证明函数的单调性. 【详解】（1）由于1a >,所以()1x f x a =+在定义域内单调递增, 于是()f x 在区间[]0,2的最大值与最小值之差为()()203f f -= 即213a -= 又1a >,解得2a = （2）证明:()()()22x x F x f x f x -=--=-,不妨设12x x <,则()()()12122211121122222222x x x x x x x x f x f x ---=---=-+-()121212212122122221222x x x x x x x x x x +-⎛⎫=-+=-+ ⎪⋅⎝⎭由于12xx <,所以12220x x -<,211102x x ++>于是()()120f x f x -<,即()()12f x f x < 所以()()()F x f x f x =--是R 上的增函数 【点睛】本题考查了指数函数的单调性应用,根据定义证明函数单调性的方法,属于基础题.19．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式; (2)若8253f απαπ⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求sin α的值. 【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)33sin 10α+=【解析】（1）由图像即可求得A 和T ,进而得ω.得到函数()f x 的解析式,将最高点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式,即可求得ϕ的值,即可求得函数()f x 的解析式;（2）将2α代入解析式,即可得4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,利用正弦的和角公式变形即可求得sin α的值. 【详解】（1）由函数图象可知2A =,44T π=,即T π=, 所以22Tπω==,从而函数()2sin(2)f x x ϕ=+将,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 解析式得232k ππϕπ+=+,26k πϕπ=+, 又||2ϕπ<,故6π=ϕ 所以函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）因为82sin 265f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 又,3παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,从而7,626πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以3cos 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 于是sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭,即sin α=.【点睛】本题考查了已知部分图像求三角函数解析式的方法,正弦和角公式的简单应用,属于基础题.20．已知函数2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅-- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期; (2)求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π （2）最大值为0；最小值为124--【解析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展开,结合余弦的降幂公式及辅助角公式展开化简,由正弦函数的周期公式即可得解.（2）根据自变量x 的取值范围为,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,求得23x π-的范围,结合正弦函数的图像与性质即可求得函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）根据余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,结合余弦的降幂公式和辅助角公式,展开化简可得2()cos cos 6f x x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭21cos sin 2x x x x ⎫=⋅+⎪⎪⎝⎭21sin cos 2x x x =1sin 224x x =1sin 2234x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 所以由周期公式可知222T πππω===即最小正周期为π（2）因为,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则52,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由正弦函数的图像与性质可知sin 23x π⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦所以11sin 2232x π⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 即函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-【点睛】本题考查了余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,余弦的降幂公式和辅助角公式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题. 21．已知函数44()log 2x xmf x +=为偶函数. (1)求m 的值; (2)若()4()log 2xf x a a ≥⋅-在区间(1,2]上恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)1m =(2)170,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】（1）根据偶函数定义()()f x f x =-,代入化简即可求得m 的值;（2）根据不等式恒成立,分离参数a 可得()211221x x x a +≤+-,并构造函数()()211221x x x y g x +==+-.用换元法,令21(35)x t t =+<≤,化简为打勾函数形式,根据函数单调性即可求得a 的范围;同时,满足对数函数的定义域要求,综合上述条件即可求得a 的取值范围.【详解】（1）44()log 2x x m f x --+-=,由于函数44()log 2x x m f x +=为偶函数 所以()()f x f x =- 代入可得4444log log 22x x x x m m --++= 即4422x x x x m m --++=,化简可得()2222x x x x m --=--∴1m =（2）由题得()4441log log 22x x x a a +≥⋅-恒成立, 即4122x x x a a +≥⋅-恒成立,所以()211221x x x a +≤+-恒成立,令()()211221x x x y g x +==+-,令21(35)x t t =+<≤ 则2()1123213t y h t t t t t==+=+-++-,由于函数()h t 在(]3,5上单调递减,故()()min 17512h t h ==∴1712a ≤ 又()210x a ->在(]1,2x ∈上恒成立所以0a >,于是a 的取值范围是170,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查了偶函数的定义及指数形式的化简,对数不等式的解法,分离参数及构造函数法求参数的取值范围,打勾函数在求最值中的应用,属于中档题.22．设函数()cos 2sin f x x a x a =++.(1)当1a =时,求函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域; (2)设函数()x ϕ的定义域为I ,若0x I ∈,且()1x ϕ=,则称0x 为函数()y x ϕ=的“壹点”,已知()f x 在区间[0,2]π上有4个不同的“壹点”,求实数a 的取值范围.【答案】(1)117,28⎤⎥⎣⎦(2)01a << 【解析】（1）由同角三角函数关系式化简()f x ,代入1a =,利用换元法将()f x 化为二次函数形式,即可根据二次函数的单调性求得在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. （2）根据题意,将函数化为2()2sin sin y g x x a x a ==-++在区间[]0,2π上有4个零点.利用换元法将函数转化为二次函数形式,通过分离讨论即可求得a 的取值范围.【详解】（1）2()cos 2sin 2sin sin 1f x x a x a x a x a =++=-+++当1a =时,2()2sin sin 2y f x x x ==-++,令sin 02t x t ⎛=<≤ ⎝⎭ 则2()22y g t t t ==-++所以函数()g t 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,1,42⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减∴min 3122y g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,max 11748y g ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为117,28⎤⎥⎣⎦ （2）由题意22sin sin 11x a x a -+++=在区间[]0,2π有四解,令2()2sin sin y g x x a x a ==-++,则()y g x =在区间[]0,2π上有4个零点,令sin [1,1]t x =∈-,则2()2y h t t at a ==-++.(i )若()h t 在()1,1-上有两个非零,则2(1)0(1)0801114(0)0h h a a a a h -<⎧⎪<⎪⎪∆=+⇒<<⎨⎪-<<⎪⎪≠⎩ (ii )若()h t 的两个零点为0,1,则012a a =⎧⎪⎨=⎪⎩,无解,故舍去; (iii )若()h t 的两个零点为0,-1,则012a a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,无解,故舍去. 综上:01a <<【点睛】 本题考查了三角函数式的化简变形及应用,换元法在三角函数中的应用,二次函数的综合应用,属于中档题.。
重庆市巴蜀中学2020学年高一数学上学期期末考试试题(无答案)新人教A版
重庆市巴蜀中学2020学年度第一学期期末考试高2020级(一上)数学试题卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I （ ）A 、}3,2{B 、}5,4,3,2,1{C 、}5,4,1{D 、}3,2,1{2、角α的终边过点)43(，-P ，则=αsin （ ） A 、54- B 、54 C 、53- D 、53 3、下列函数中，既是奇函数又在),0(+∞单调递增的是（ ） A 、2x y = B 、1-=x yC 、21x y =D 、31x y = 4、函数),1[,142+∞∈++=x x x y 的值域为（ ） A 、),3[+∞ B 、),2()2,(+∞-∞Y C 、]3,2( D 、]3,(-∞5、已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图象如图所示，则 ( )A 、6,1πϕω== B 、6,1πϕω-== C 、6,2πϕω== D 、6,2πϕω-==6、已知20:<<a p ，:q 不等式021)2()2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，则p 是q 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件7、要得到函数x y 2sin =的图象，只需将函数)32(cos π-=x y 的图象（ ） A 、向右平移π6个单位 B 、向左平移π6个单位 C 、向右平移12π个单位 D 、向左平移12π个单位 8、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上单调递增，又)3.1(9.0f a =，)9.0(3.1f b =，)4(log 21f c =，则c b a ,,的大小关系为 （ ）A 、a b c <<B 、b a c <<C 、a c b <<D 、c b a <<9、若关于x 的方程04sin sin 2=++x a x 在区间],0[π有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围为（ ）A 、44>-<a a 或B 、45-≤≤-aC 、5-<aD 、4-≤a10、已知偶函数)(x f 对任意x 均满足6)1()3(=--++x f x f ，且当]21[，∈x 时，2)(+=x x f 。
重庆市巴蜀中学2020学年高一数学上学期期末考试试卷(无答案)
重庆市巴蜀中学2020学年高一数学上学期期末考试试卷（无答案）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I （ ）A 、}3,2{B 、}5,4,3,2,1{C 、}5,4,1{D 、}3,2,1{ 2、角α的终边过点)43(，-P ，则=αsin （ ） A 、54-B 、54C 、53-D 、533、下列函数中，既是奇函数又在),0(+∞单调递增的是（ ） A 、2x y = B 、1-=x y C 、21x y =D 、31x y =4、函数),1[,142+∞∈++=x x x y 的值域为（ ） A 、),3[+∞ B 、),2()2,(+∞-∞Y C 、]3,2( D 、]3,(-∞ 5、已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图象如图所示，则 ( ) A 、6,1πϕω== B 、6,1πϕω-== C 、6,2πϕω==D 、6,2πϕω-==6、已知20:<<a p ，:q 不等式021)2()2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，则p 是q 的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 7、要得到函数x y 2sin =的图象，只需将函数)32(cos π-=x y 的图象（ ）A 、向右平移π6个单位B 、向左平移π6个单位 C 、向右平移12π个单位 D 、向左平移12π个单位8、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在]0,(-∞上单调递增，又)3.1(9.0f a =，)9.0(3.1f b =，)4(log 21f c =，则c b a ,,的大小关系为 （ ）A 、a b c <<B 、b a c <<C 、a c b <<D 、c b a <<9、若关于x 的方程04sin sin 2=++x a x 在区间],0[π有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围为（ ）A 、44>-<a a 或B 、45-≤≤-aC 、5-<aD 、4-≤a 10、已知偶函数)(x f 对任意x 均满足6)1()3(=--++x f x f ，且当]21[，∈x 时，2)(+=x x f 。
重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin(2015π3)的值等于()A. 12B. −12C. √32D. −√322.设集合M={x|log2(x−1)<0}，集合N={x|x≥−2}，则M∪N=()A. {x|−2≤x<2}B. {x|x≥−2}C. {x|x<2}D. {x|1≤x<2}3.三个数a=0.312,b=log20.31,c=20.31之间的大小关系为()A. a<c<bB. a<b<cC. b<a<cD. b<c<a4.已知f(1x )=x1−x，则f(x)的解析式为()A. f(x)=1−xx (x≠0，且x≠1) B. f(x)=11−x(x≠0，且x≠1)C. f(x)=1x−1(x≠0，且x≠1) D. f(x)=xx−1(x≠0，且x≠1)5.函数f(x)=sinx+cosxx的大致图象为()A. B.C. D.6.已知奇函数f(x)(x∈R)满足f(x+4)=f(x−2)，且当x∈[−3,0)时，f(x)=1x +3sinπ2x，则f(2018)=()A. −14B. −13C. 13D. 127.tan15°+tan105°等于()A. −2√3B. 2+√3C. 4D. 4√338.己知lgx=log2100+log1225，则x的值是()A. 2B. 12C. 10D. 1009. √3cos π12−sin π12的值是( )A. 0B. −√2C. √2D. 210. 已知函数f(x)=ln(e x +e −x )+x 2，则使得f(2x)>f(x +3)成立的x 的取值范围是( )A. (−1,3)B. (−∞,−3)∪(3,+∞)C. (−3,3)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)11. 已知函数若方程|f(x)|−a =0有四个不同的解，则a 的取值范围是( )A. (0,4)B. [0,4)C. [ln2,4)D. (ln2,4]12. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)，x ∈R ，其中ω>0，−π<φ≤π.若函数f(x)的最小正周期为6π，且当x =π2时，函数f(x)取得最大值，则 ( )A. f(x)在区间[−2π,0]上是增函数B. f(x)在区间[−3π,−π]上是增函数C. f(x)在区间[3π,5π]上是减函数D. f(x)在区间[4π,6π]上是减函数二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 当x ∈(0,+∞)时，幂函数y =(m 2−m −1)x m 为减函数，则实数m 的值为______ ． 14. 已知函数f(x)={2x−1−2,x ≤1−log 2(x +1),x >1，且f(a)=−3，则f(6−a)=________．15. 将函数y =2sin x +cos x 的图象向右平移φ个单位长度，得到函数y =2sin x −cos x 的图象，则sin φ的值为________．16. 已知函数f(x)={x 2−x,x >012−|12+x|,x ≤0,若关于x 的方程f(x)=kx −k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为______________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 记函数f(x)=√x+3x+1−2的定义域为A ，g(x)=lg[(1−x)(x +1)]的定义域为B ，求集合A 、B 、A ∩B ．18.(1)已知tanα=3，求(sinα+cosα)2的值；(2)已知0<α<π4，sin(α+π4)=1213，求sinαcos(π4−α)的值．19.已知函数f(x)=√3sin2x+cos2x(1)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的单调递增区间(2)若x∈[−π6,π3]，求函数f(x)值域．20.已知二次函数f(x)的图象过点(0,4)，对任意x满足f(3−x)=f(x)，且有最小值74．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数ℎ(x)=f(x)−(2t−3)x在[0,1]上的最小值g(t)．21.函数f(x+1)是偶函数，当x>1时，f(x)=x2+1，求当x<1时，f(x)的解析式．,3]．22.已知f(log3x)=x2−2x+4，x∈[13(1)求f(x)的解析式及定义域；(2)若方程f(x)=a2−3a+3有实数根，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：sin(2015π3)=sin(335×6+53π)=sin(5π3)=−sinπ3=−√32．故选：D．运用诱导公式即可化简求值．本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．2.答案：B解析：解：M={x|1<x<2}；∴M∪N={x|x≥−2}．故选：B．可求出集合M，然后进行并集的运算即可．考查对数函数的单调性，描述法表示集合的定义，以及并集的运算．3.答案：C解析：本题考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．解：∵0<0.312<0.310=1，log20.31<log21=0，20.31>20=1，∴b<a<c．故选C．4.答案：C解析：解：设1x =t，(t≠0)，则x=1t，∴f(t)=1t1−1t=1t−1；∴f(x)的解析式为f(x)=1x−1，(x≠0且x≠−1)．故选：C．用换元法，设1x =t，则x=1t，求出f(t)，即得f(x)的解析式本题考查了用换元法求函数的解析式的问题，是基础题5.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属于简单题．利用函数的奇偶性排除错误选项，然后再利用函数值的正负判断即可．解：函数f(x)=sinx+cosxx ，定义域关于原点对称，满足函数f(−x)=−sinx−cosxx=−f(x)，所以函数为奇函数，排除A、C，因为x∈(0,π2)时，sinx>0，cosxx>0，此时f(x)>0，所以排除D，故选：B．6.答案：D解析：本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．解：由题意，函数f(x)(x∈R)为奇函数满足f(x+4)=f(x−2)，所以f(x+6)=f(x)，即函数f(x)表示以6为周期的周期函数，因为当x∈[−3,0]时，f(x)=1x +3sinπ2x，所以f(2018)=f(336×6+2)=f(2)=−f(−2)=−[1−2+3sin(−π)]=12．故选D．7.答案：A解析：tan15°+tan105°=tan(60°−45°)+tan(45°+60°)=tan60°−tan45°1+tan60°tan45°+tan45°+tan60°1−tan45°tan60°=−2√3，故选A．8.答案：D解析：因为lgx=log2100+log1225=2log210−2log25=2=lg100，所以x=100.故选D．9.答案：C解析：变形可得原式=2(sinπ3cosπ12−cosπ3sinπ12)，由两角差的正弦函数可得．本题考查两角和与差的正弦函数，属基础题．解：√3cosπ12−sinπ12=2(√32cosπ12−12sinπ12)=2(sinπ3cosπ12−cosπ3sinπ12)=2sin(π3−π12)=2sinπ4=√2故选：C10.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，要注意：奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反．先利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，将f(2x)>f(x+3)转化为|2x|> |x+3|进行求解．解：因为f(−x)=ln(e−x+e x)+(−x)2=ln(e x+e−x)+x2=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，又f(x)在(−∞,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增，所以f(2x)>f(x+3)等价于|2x|>|x+3|，解得x<−1或x>3．故选D．11.答案：C解析：本题主要考查由函数零点的个数求参数范围，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题．根据分段函数的表达式，作出|f(x)|的图象，利用数形结合进行求解即可． 解：当x <0时，|f(x)|=|x 2+4x|={x 2+4x,x <−4,−x 2−4x =−(x +2)2+4,−4≤x <0,即当−4≤x <0时，|f(x)|≤4，当x ≥0时，|f(x)|=|ln(x +2)|=ln(x +2)为增函数， 且此时|f(x)|≥ln2．若方程|f(x)|−a =0有四个不同的解， 即|f(x)|=a 有四个不同的解，作出函数y =|f(x)|与y =a 的图象，则两函数图象有四个不同的交点，由图象知ln2≤a <4， 即实数a 的取值范围是[ln2,4)． 故选C ．12.答案：A解析： 本题考查函数的图象和性质，属基础题．先通过已知条件求解出函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求出f(x)的单调递增区间． 解：∵2πω=6π，∴ω=13．又∵13×π2+φ=2kπ+π2，k∈Z且−π<φ≤π，∴当k=0时，φ=π3，f(x)=2sin(13x+π3)，要使函数f(x)单调递增，须有2kπ−π2≤13x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得6kπ−5π2≤x≤6kπ+π2，k∈Z，当k=0时，−52π≤x≤π2，∴函数f(x)在[−52π,π2]上单调递增．故选A．13.答案：−1解析：解：当x∈(0,+∞)时，幂函数y=(m2−m−1)x m为减函数，∴{m2−m−1=1m<0，解得m=−1．故答案为−1．由于：当x∈(0,+∞)时，幂函数y=(m2−m−1)x m为减函数，可得{m 2−m−1=1m<0，解得m即可．本题考查了幂函数的定义与单调性，属于基础题．14.答案：−74解析：本题考查了对数与对数运算，函数定义域与值域，和分段函数．分类讨论满足f(a)=−3的a值，进而可得f(6−a)的值．解：当a≤1时，f(a)=2a−1−2=−3无解，当a >1时，解f(a)=−log 2(a +1)=−3得：a =7， ∴f(6−a)=f(−1)=2−2−2=−74，故答案为−74．15.答案：45解析：本题考查三角函数的平移变换以及两角和差的三角函数的公式，根据平移得到新函数化简后与所给的函数比较得到方程组，求解即可．解：函数y =2sin x +cos x 的图象向右平移φ个单位长度后得到，y =2sin(x −φ)+cos(x −φ)=sinx(2cosφ+sinφ)+cosx(cosφ−2sinφ)， 则{2cosφ+sinφ=2cosφ−2sinφ=−1，解得sinφ=45． 故答案为45．16.答案： [−13,1)∪(1,+∞)解析：根据函数与方程的关系，转化为函数f(x)与g(x)=k(x −1)，至少有两个不同的交点，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于难题． 解：由f(x)=kx −k 至少有两个不相等的实数根， 得f(x)=k(x −1)至少有两个不相等的实数根，设g(x)=k(x −1)，则等价为f(x)与g(x)至少有两个不同的交点， 作出函数f(x)的图象如图：，g(x)=k(x−1)，过定点C(1,0)，当x>0时，f(x)=x2−x的导数f′(x)=2x−1，在x=1处，f′(1)=2−1=1，当k=1时，g(x)=x−1与f(x)=12+12+x=x+1平行，此时两个图象只有一个交点，不满足条件．当k>1时，两个函数有两个不相等的实数根，当0≤k<1时，两个函数有3个不相等的实数根，当k<0时，当直线经过点A(−12,12)时，两个图象有两个交点，此时k(−12−1)=12，即k=−13，当−13<k<0时，两个图象有3个交点，综上要使方程f(x)=kx−k至少有两个不相等的实数根，则k≥−13且k≠1，故答案为[−13,1)∪(1,+∞)．17.答案：解：(1)由f(x)=√x+3x+1−2，得到{x+3x+1−2≥0x+1≠0，解得：−1<x≤1，即A={x|−1<x≤1}，由g(x)=lg[(1−x)(x+1)]，得到(1−x)(x+1)>0，解得：即B={x|−1<x<1}；(2)∵A={x|−1<x≤1}，B={x|−1<x<1}，∴A∩B=B={x|−1<x<1}．解析：(1)根据函数的解析式，求出集合A、B；(2)由集合A、B，求出A∩B．本题考查了求函数定义域的问题，也考查了集合的基本运算问题，是基础题．18.答案：解：(1)∵tanα=3，∴(sinα+cosα)2=sin 2α+2sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanα+1tan 2α+1=9+6+19+1=85； (2)∵0<α<π4，sin(α+π4)=1213， ∴cos(α+π4)=√1−sin 2(α+π4)=513，∴sinαcos(π4−α)=sin[(α+π4)−π4]sin(α+π4)=√22sin(α+π4)−√22cos(α+π4)sin(α+π4)=√22−√22×512=7√224．解析：(1)将所求关系式转化为(sinα+cosα)2=tan 2α+2tanα+1tan 2α+1，从而可得答案；(2)利用同角三角函数间的关系、诱导公式与两角差的正弦即可求得答案．本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的化简求值，考查运算求解能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)∵函数f(x)=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)，令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，求得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ．再根据x ∈[0,π2]时，可得函数的增区间为[0,π6].(2)函数f(x)=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)∵x ∈[−π6,π3]， ∴2x +π6∈[−π6,5π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，故当sin(2x +π6)=−12时，g(x)取得最小值为−1；当sin(2x +π6)=1时，g(x)取得最大值为2，故函数g(x)的值域为[−1,2]．解析：(1)当x ∈[0,π2]时，利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调递增区间． (2)利用正弦函数的定义域和值域，求得它的值域．本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 20.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)对任意x 满足f(3−x)=f(x)，且有最小值74．∴函数图象的顶点坐标为(32,74)，设f(x)=a(x −32)2+74，∵函数f(x)的图象过点(0,4)，∴a(−32)2+74=4， ∴a =1，∴f(x)=(x −32)2+74=x 2−3x +4，(Ⅱ)函数ℎ(x)=f(x)−(2t −3)x =x 2−2tx +4的图象是开口朝上，且以直线x =t 为对称轴的抛物线，当t <0时，函数ℎ(x)在[0,1]上为增函数，当x =0时，函数ℎ(x)的最小值g(t)=4；当0≤t ≤1时，函数ℎ(x)在[0,t]上为减函数，在[t,1]上为增函数，当x =t 时，函数ℎ(x)的最小值g(t)=−t 2+4；当t >1时，函数ℎ(x)在[0,1]上为减函数，当x =1时，函数ℎ(x)的最小值g(t)=5−2t ；综上所述，值g(t)={4,t <0−t 2+4,0⩽t ⩽1&5−2t ,1<t&．解析：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．(Ⅰ)由已知可得：函数图象的顶点坐标为，设出顶点式方程，将点(0,4)代入可得，函数f(x)的解析式；(Ⅱ)分类讨论，函数ℎ(x)在[0,1]上的单调性，进而得到各种情况下函数ℎ(x)在[0,1]上的最小值，综合讨论结果，可得答案． 21.答案：解：∵函数f(x +1)是偶函数，∴f(x)的图象关于x =1对称，即f(x)=f(2−x)，设x <1，则−x >−1，则2−x >1，∴f(2−x)=(2−x)2+1=x 2−4x +5，∵f(x)=f(2−x)，∴f(x)=x 2−4x +5(x <1)．解析：本题考查利用函数的奇偶性，求解函数的解析式，由题知函数f(x +1)是偶函数，知f(x)=f(2−x)，令x <1则x >−1，则2−x >1，则f(2−x)=(2−x)2+1=x 2−4x +5，即可求得f(x)的解析式，属简单题．22.答案：解：(1)设t =log 3x ，因为x ∈[13,3]，所以t ∈[−1,1]；并且x =3t ，所以f(t)=(3t )2−2×3t +4，所以f(x)=(3x )2−2×3x +4，x ∈[−1,1]；(2)设u =3x ，u ∈[13,3]，ℎ(u)=u 2−2u +4=(u −1)2+3，所以当u =1时函数有最小值ℎ(u)=3，而ℎ(13)=319，ℎ(3)=7，所以ℎ(u)∈[3,7]，所以a 2−3a +3∈[3,7]，所以a ∈[−1,0]∪[3,4]．解析：本题考查了利用换元法求函数解析式以及方程的根的存在性；换元法求解析式必须注意定义域的范围．(1)利用换元法得到x 以及其范围求解析式；(2)设u =3x ，得到ℎ(u)，利用u 的范围求得ℎ(u)值域，从而得到a 2−3a +3的范围，解不等式得之．。
2019-2020学年重庆市六校联考高一上期末数学试卷((有答案))
2019-2020 学年重庆市六校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．（5 分）=（）A．B．C．D．2．（5 分）已知会合 M={ 1，2} ， N={ 2， 3， 4} ，若 P=M∪ N，则 P 的子集个数为（）A．14 B．15 C．16 D．323．（5 分）已知函数 f（x）=，若f（﹣1）=f（1），则实数a的值为（）A．1 B．2C．0D．﹣ 14．（5 分）若函数 f（ x） =ax2﹣bx+1（a≠0）是定义在 R 上的偶函数，则函数g（x）=ax3+bx2+x （x∈R）是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数．（分）设2，b=（）3，c=3，则（）5 5a=logA． c＜ b＜ a B． a＜b＜ c C．c＜a＜b D．b＜a＜c6．（5分）已知 tan（α﹣β）= ，tan（﹣β）=，则 tan（α﹣）等于（）A．B．C．D．7．（5 分）方程 x﹣ log x=3 和 x﹣log x=3 的根分别为α，β，则有（）A．α＜βB．α＞βC．α =βD．没法确立α与β大小8．（5 分）函数 f（ x）=2sin（ 2x+）的图象为M，则以下结论中正确的选项是（）A．图象 M 对于直线 x=﹣对称B．由 y=2sin2x的图象向左平移获得MC．图象 M 对于点（﹣，0）对称D． f（x）在区间（﹣，）上递加．（分）函数2（ x﹣）的图象沿 x 轴向右平移 m 个单位（ m＞0），所得图象对于 y 95y=sin轴对称，则 m 的最小值为（）A．π B．C．D．10．（5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单一递减，若实数 a知足f（3| 2a+1|）＞f（﹣），则 a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，+∞） D．（﹣，﹣）．（分）已知α∈332，5[，] ，β∈ [ ﹣，0] ，且（α﹣）﹣sin α﹣ 2=0，8β+2cos β11+1=0则 sin（+β）的值为（）A．0 B．C．D． 112．（5 分）若区间 [ x1， x2] 的长度定义为| x2﹣x1| ，函数 f（x） =（ m∈R，m ≠0）的定义域和值域都是 [ a，b] ，则区间 [ a，b] 的最大长度为（）A．B．C．D．3二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .把答案填写在答题卡相应地点上 .13．（5分）计算： log3+lg4+lg25+（﹣）0=．．（分）已知扇形的面积为4cm 2，扇形的圆心角为 2 弧度，则扇形的弧长为．14 515．（5分）若α∈（ 0，π），且cos2 α =sin（+α），则 sin2 α的值为．．（分）已知正实数x，y，且 x 2+y2，若（，），则（，）的值域为．16 5=1f x y = f x y三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10 分）已知全集 U=R，函数的定义域为会合A，会合 B={ x| 5≤x＜7}（1）求会合 A；（2）求（ ?U B）∩ A．18．（ 12 分）在平面直角坐标系xOy 中，若角α的始边为 x 轴的非负半轴，其终边经过点 P（ 2，4）．（1）求 tan α的值；（2）求的值．19．（12 分）已知二次函数f （x）=mx2+4x+1，且知足 f （﹣ 1） =f（3）．（1）求函数 f （x）的分析式；（2）若函数 f （x）的定义域为（﹣ 2，2），求 f （x）的值域．20．（12 分）已知函数 f （x）=sin2ωx+2 cos ω xsin ωx+sin（ωx+）sin（ωx ﹣）（ω＞0），且 f （x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数 f （x）在区间（ 0，π）上的单一增区间．21．（12 分）已知函数 f（ x）=log2（）﹣x（m为常数）是奇函数．（1）判断函数 f （x）在 x∈（，+∞）上的单一性，并用定义法证明你的结论；（2）若对于区间 [ 2，5] 上的随意 x 值，使得不等式 f（ x）≤ 2x+m 恒建立，务实数 m 的取值范围．22．（12 分）已知函数f（ x）=a（| sinx|+| cosx| ）﹣sin2x﹣1，若f（） =﹣．（1）求 a 的值，并写出函数f（x）的最小正周期（不需证明）；（2）能否存在正整数 k，使得函数 f（x）在区间 [ 0，kπ] 内恰有 2017 个零点？若存在，求出k的值，若不存在，请说明原因．2019-2020 学年重庆市六校联考高一（上）期末数学试卷参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共60 分 .在每题给出的四个备选项中，只有.一项为哪一项切合题目要求的1．（5 分）=（）A．B．C．D．【解答】解： cos=cos（π+）=﹣cos=﹣应选 D．P=M∪ N，则P 的子集个数为（）2．（5 分）已知会合 M={ 1，2} ， N={ 2， 3， 4} ，若A．14 B．15 C．16 D．32【解答】解：会合 M={ 1， 2} ， N={ 2， 3， 4} ，则 P=M∪N={ 1，2，3，4} ，∴P 的子集有 24=16 个．故答案为： C．3．（5 分）已知函数 f（x）=，若f（﹣1）=f（1），则实数a的值为（）A．1 B．2C．0D．﹣ 1【解答】解：∵函数 f（ x）=，f（﹣1）=f（1），∴f（﹣ 1）=1﹣（﹣ 1）=2， f（ 1）=a，∵f（﹣ 1）=f（1），∴a=2．应选： B．4．（5 分）若函数 f（ x） =ax2﹣bx+1（a≠0）是定义在 R 上的偶函数，则函数g（x）=ax3+bx2+x （x∈R）是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【解答】解： f （x）为偶函数，则 b=0；∴g（x） =ax3+x；∴g（﹣ x）=a（﹣ x）3﹣ x=﹣（ ax3+x） =﹣ g（x）；∴g（x）是奇函数．应选 A．．（分）设2，b=（）3，c=3，则（）5 5a=logA． c＜ b＜ a B． a＜b＜ c C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解： a=log2＜，b=（）3∈（ 0，1），c=3＞1．∴c＞b＞a．应选： B．6．（5 分）已知 tan（α﹣β）=，tan（﹣β）=，则tan（α﹣）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵ tan （α﹣β）=，tan（﹣β）=，∴tan （α﹣）=tan[（α﹣β）﹣（﹣β）] ===．应选： C．7．（5 分）方程 x﹣ log x=3 和 x﹣log x=3 的根分别为α，β，则有（）A．α＜βB．α＞βC．α =βD．没法确立α与β大小【解答】解：方程 x﹣log x=3 和x﹣log x=3，分别化为： log2x=3﹣x，log3x=3﹣ x．作出函数图象： y=log2x，y=3﹣x，y=log3x．则α＜β．应选： A．8．（5 分）函数 f（ x）=2sin（ 2x+）的图象为M，则以下结论中正确的选项是（）A．图象 M 对于直线 x=﹣对称B．由 y=2sin2x的图象向左平移获得MC．图象 M 对于点（﹣，0）对称D． f（x）在区间（﹣，）上递加【解答】解：∵函数 f（ x）=2sin（2x+ ）的图象为 M ，令 x=﹣，可得 f（x）=0，可得图象 M 对于点（﹣，0）对称，故图象 M 不对于直线 x=﹣对称，故 C 正确且 A 不正确；把 y=2sin2x的图象向左平移获得函数 y=2sin2（x+ ）=2sin（2x+）的图象，故 B 不正确；在区间（﹣，）上，2x+∈（0，π），函数 f（x）=2sin（ 2x+）在区间（﹣，）上没有单一性，故 D 错误，应选： C．．（分）函数2（ x﹣）的图象沿 x 轴向右平移 m 个单位（ m＞0），所得图象对于 y 9 5y=sin轴对称，则 m 的最小值为（）A．π B．C．D．【解答】解：函数 y=sin2（x﹣）==的图象沿x轴向右平移m个单位（ m＞ 0），可得 y=的图象，再依据所得图象对于 y 轴对称，可得 2m=（ 2k+1）? ，k ∈Z ，即 m ═（ 2k+1）? ，则 m 的最小值为，应选： D ．10．（5 分）已知 f （x ）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞， 0）上单一递减，若实数 a知足f （3|2a +1|）＞f （﹣），则 a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣ ）∪（﹣ ，+∞） B ．（﹣∞，﹣）C ．（﹣ ，+∞）D ．（﹣ ，﹣ ）【解答】 解：∵函数 f （ x ）是偶函数，∴f （ 3| 2a +1| ）＞ f （﹣），等价为 f （3| 2a +1| ）＞ f （），∵偶函数 f （x ）在区间（﹣∞， 0）上单一递减， ∴f （ x ）在区间 [ 0，+∞）上单一递加，∴3| 2a +1| ＞ ，即 2a+1＜﹣ 或 2a+1＞ ，解得 a ＜﹣ 或 a ＞﹣，应选 A ．．（ 分）已知 α∈3 32，[ ， ] ，β∈ [ ﹣ ，0] ，且（α﹣ ） ﹣sin α﹣ 2=0，8β+2cos β11 5+1=0则 sin （ +β）的值为（ ）A ．0B ．C ．D ． 1【解答】 解：∵（ α﹣ ）3﹣sin α﹣ 2=0，可得：（α﹣）3﹣cos （ ）﹣ 2=0，即（﹣ α） 3+cos （）+2=0由 8β3+2cos 2β+1=0，得（ 2β）3+cos2β+2=0，∴可得 f （ x ）=x 3+cosx+2=0，其，x 2=2β．∵α∈[ ， ] ，β∈[ ﹣，0] ，∴∈[ ﹣π，0] ， 2β∈[ ﹣π，0]可知函数 f （x）在 x∈[ ﹣π，0] 是单一增函数，方程x3+cosx+2=0 只有一个解，可得，即，∴，那么 sin（+β） =sin =．应选： B．12．（5 分）若区间 [ x1， x2] 的长度定义为| x2﹣x1| ，函数 f（x） =（m∈R，m ≠0）的定义域和值域都是 [ a，b] ，则区间 [ a，b] 的最大长度为（）A．B．C．D．3【解答】解：函数f（x）=（m∈R，m≠ 0）的定义域是{ x| x≠0}，则[ m，n]是其定义域的子集，∴[ m，n] ? （﹣∞， 0）或（ 0，+∞）．f （x）==﹣在区间[ a，b]上时增函数，则有：，故 a，b 是方程 f （x）=﹣=x 的同号相异的实数根，即 a，b 是方程（ mx）2﹣（ m2+m）x+1=0 同号相异的实数根．那么 ab=，a+b=，只要要△＞0，即（ m2+m）2﹣ 4m2＞0，解得： m＞1 或 m＜﹣ 3．那么： n﹣ m==，故 b﹣a 的最大值为，应选：A．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .把答案填写在答题卡相应地点上.13．（5 分）计算： log3+lg4+lg25+（﹣）0=．【解答】解：原式 = +lg102+1= +2+1=．故答案为：．．（分）已知扇形的面积为4cm 2，扇形的圆心角为 2 弧度，则扇形的弧长为4cm．14 5【解答】解：设扇形的弧长为 l，圆心角大小为α（rad），半径为 r，扇形的面积为 S，则： r 2．解得，===4r=2∴扇形的弧长为l=r α=2×2=4cm，故答案为： 4cm．15．（5 分）若α∈（ 0，π），且cos2 α =sin（+α），则 sin2 α的值为﹣1．【解答】解：∵α∈（ 0，π），且cos2α=sin（+α），∴cos2α=2sin（+α），∴（ cosα+sin α）?（cosα﹣ sin α）=（cosα+sinα），∴cosα+sin α=0，或 cosα﹣sin α=（不合题意，舍去），∴α=，∴ 2α=，∴ sin2α=sin=﹣ 1，故答案为：﹣ 1．．（分）已知正实数x ，，且2+y2，若（，）=，则（，）的值域为[，16 5y x=1f x y f x y 1）．【解答】解： x2+y2=1；∴=====；∵1=x2+y2≥2xy，且 x，y＞0；∴；∴1＜1+2xy≤2；∴；∴；∴f（ x， y）的值域为．故答案为： [，1）．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10 分）已知全集 U=R，函数的定义域为会合A，会合 B={ x| 5≤x＜7}（1）求会合 A；（2）求（ ?U B）∩ A．【解答】解：（1）由题意可得：；解得 3≤ x＜10；∴A={ x| 3≤x＜10} ；（2）C U B={ x| x＜5 或 x≥7} ；∴（ C U B）∩ A={ x| 3≤x＜5 或 7≤ x＜ 10} ．18．（ 12 分）在平面直角坐标系xOy 中，若角α的始边为 x 轴的非负半轴，其终边经过点 P（ 2，4）．（1）求 tan α的值；（2）求的．【解答】解：（1）由随意角三角函数的定可得：．（2）==．19．（12 分）已知二次函数 f （x）=mx2+4x+1，且足 f （ 1） =f（3）．（1）求函数 f （x）的分析式；（2）若函数 f （x）的定域（ 2，2），求 f （x）的域．【解答】解：（1）由 f（ 1） =f（3）可得二次函数的称x=1⋯（2 分）即进而得 m= 2⋯（4 分）所以二次函数的分析式f（x）= 2x2+4x+1⋯（6 分）（2）由（ 1）可得 f （x）= 2（x 1）2+3⋯（9 分）所以 f（x）在（ 2，2] 上的域（ 15，3] ⋯（ 12 分）20．（12 分）已知函数 f （x）=sin2ωx+2 cos ω xsin ωx+sin（ωx+）sin（ωx ）（ω＞0），且 f （x）的最小正周期π．（1）求ω的；（2）求函数 f （x）在区（ 0，π）上的增区．【解答】解：（1）f（x） =sin2 ωx+2 cosωxsin ωx+sin（ωx+）sin（ωx ），=+ sin2 ωx （cos2ωx sin2ωx），=；⋯（5 分）由意得，即可得ω=1⋯（6 分）（2）由（ 1）知由函数增性可知：整理得：⋯（9 分）∴f（ x）在（ 0，π）上的增区，⋯（12分）21．（12 分）已知函数f（ x）=log2（） x（m 常数）是奇函数．（1）判断函数 f （x）在 x∈（，+∞）上的性，并用定法明你的；（2）若于区 [ 2，5] 上的随意 x ，使得不等式 f（ x）≤ 2x+m 恒建立，求数 m 的取范．【解答】解：（1）由条件可得 f（ x）+f（x）=0，即，化得 1 m2 22，进而得 m=±2；由意 m= 2 舍去，x =14x所以 m=2，即，上减函数；明以下：， f（x1）（2）2（） 12（）+x 2，f x=log x log因＜x1＜x2，所以x2x1＞0，2x11＞ 0，2x21＞ 0；所以 f（x1） f（ x2）＞ 0，即 f（ x1）＞ f（x2）；所以函数 f （x）在 x∈（，+∞）上减函数；（2） g（ x）=f（ x） 2x，由（ 1）得 f（x）在 x∈（，+∞）上减函数，所以 g（x）=f（ x） 2x在 [ 2，5] 上减；所以 g（x）=f（ x） 2x在 [ 2，5] 上的最大，由意知 n≥g（x）在 [ 2，5] 上的最大，所以．22．（12 分）已知函数 f（ x）=a（| sinx|+| cosx| ） sin2x 1，若 f（） =．（1）求 a 的，并写出函数 f（x）的最小正周期（不需明）；（2）能否存在正整数 k，使得函数 f（x）在区 [ 0，kπ] 内恰有 2017 个零点？若存在，求出 k 的，若不存在，明原因．【解答】解：（1）函数 f （x） =a（| sinx|+| cosx| ）sin2x 1，∵f（） =﹣．∴a（sin +cos）﹣ sin﹣1=﹣．解得： a=1，函数 f（x）的最小正周期 T=π，（2）存在 n=504，知足题意：原因以下：当时，，设 t=sinx+cosx，则，sin2x=t2﹣ 1，则，可得 t=1 或，由 t=sinx+cosx 图象可知， x 在上有 4 个零点知足题意．当时，，t=sinx﹣cosx，则，sin2x=1﹣t 2，，，t=1 或，∵，∴x 在上不存在零点．综上议论知：函数 f （x）在 [ 0，π）上有 4 个零点，而 2017=4×504+1，所以函数在 [ 0，504π] 有 2017 个零点，所以存在正整数 k=504 知足题意．。
重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷一、选择题1. 已知24a -≤≤，13b ≤≤，则2a b -的取值范围是（ ） A. [8-，2] B. [3,1]-C. [4,2]--D. [7,7]-【答案】A 【解析】 【分析】由已知b 的范围，利用不等式的性质可得2b -的范围，再结合a 的范围，利用不等式的可加性得答案． 【详解】13b ，622b ∴---， 又24a -，822a b ∴--． 故2a b -的取值范围是[8-，2]． 故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题． 2. 已知//a α，b α⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交或异面C. 异面D. 平行或异面【答案】D 【解析】【分析】由直线//a 平面α，直线b 在平面α内，知//a b ，或a 与b 异面． 【详解】解：直线//a 平面α，直线b 在平面α内，//a b ∴，或a 与b 异面，故选：D ．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答． 3. 在等差数列{}n a 中，若23a =，41a =，则6a =（ ） A. 1- B.13C. 5D. 9【答案】A【解析】【分析】利用等差中项的性质可求得6a 的值.【详解】由等差中项的性质可得4262a a a =+，64222131a a a ∴=-=⨯-=-. 故选：A.【点睛】本题考查利用等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题. 4. 已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A. ,55⎛- ⎝⎭B. ,55⎛- ⎝⎭C. 55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D. 55⎛- ⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用向量的概念计算. 【详解】()3,2A ，()5,1B ,2,1AB，则22AB ==所以与AB 反方向的单位向量为255,55AB AB. 故选：B.【点睛】本题考查单位向量及坐标表示，属于基础题.5. 侧棱长为a 的正四棱锥，如果底面周长是4a ，则这个棱锥的侧面积是（ ）A.2B.2C.)21aD. 25a【答案】A 【解析】【分析】根据正四棱锥，底面周长是4a ，得到底面边长是a ，再根据侧棱长为a ，得到各侧面是正三角形求解.【详解】因为正四棱锥，底面周长是4a ，所以底面边长是a 又因为侧棱长为a ， 所以各侧面是正三角形，所以这个棱锥的侧面积是2142S a a =⨯⨯= 故选：A【点睛】本题主要考查正四棱锥的几何特征以及侧面积的求法，属于基础题. 6. 若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= A.6425B. 4825C. 1D.1625【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．7. 为了得到函数cos 2y x =的图象，只需把函数cos(2)6y x π=-的图象A. 向左平移12π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移6π个单位长度 【答案】A 【解析】【分析】将πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭转化πcos 212x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由此判断出正确选项.【详解】由于ππcos 2cos 2612y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故需向左平移π12后得到cos 2y x =的图像.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，转换过程中要注意是将哪个函数变到哪个函数，属于基础题. 8. 已知实数0a >，0b >，111112a b +=++，则2+a b 的最小值为（ ）A. B. 6+C. 3+D. 3+【答案】D 【解析】【分析】用“1”的代换凑配出定值，然后由基本不等式得最小值． 【详解】()()21213a b a b +=+++-()()213111211a b a b +++⎛⎫⎡⎤=+++- ⎪⎣⎦⎝⎭212111232234231111b b a a b a b a ，当且仅当12(1)11a b b a ++==++11a b =+=所以2+a b 的最小值为3. 故选：D.【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出定值． 9. 过正三棱柱底面一边和两底中心连线的中点作截面，则这个截面的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰梯形D. 平行四边形【答案】C 【解析】【分析】根据平面的基本性质作交点、交线．根据平面的位置关系确定线线位置关系．【详解】如图，过AB 和1OO 中点M 作截面ABM ，1,D D 分别是11,AB A B 中点，111,O DC O DC ∈∈，直线DM 是截面ABM 与平面11DD C C 的交线，在平面11DD C C 中延长DM 与1CC 相交于点H ，由于13DO DC =，∴13OM CH =，而112OM CC =，因此H 在1CC 的延长线上，连接BH 交11B C 于E ，连接AH 交11AC 于F ，连接,,AF FE EB ，四边形ABEF 为截面．由正三棱柱的性质可得//EF AB ，AF BE =，四边形ABEF 是等腰梯形．故选：C ．【点睛】本题考查棱柱的截面，掌握平面的基本性质是解题关键．要注意两直线的交点只有在同一平面内才可作出．同样平行线也只能在同一平面内才能作出． 10. 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则(n = ) A. 119 B. 121C. 120D. 1222【答案】C 【解析】【分析】由已知推导出2n a n =12122n a n +=+=，由此能求出n ． 【详解】数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，2214n n a a +∴-=，∴{}2n a 是以21a =4为首项，以d=4为公差的等差数列，24n n a ∴=，2n a n ∴=又∵114n n n n a a a a ++-=+，则()11114n nn na a a a ++-=+， ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，即()()213211112544n n n a a a a a a a ++-+-+⋯+-=-=， 12122n a n +∴=+=，解得1121n +=，120n ∴=．故选C ．【点睛】本题考查数列项数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式、累加法的合理运用．11. 如图梯形ABCD ，AB CD ∥且5AB =，24AD DC ==，E 在线段BC 上，0AC BD ⋅=，则AE DE ⋅的最小值为A.1513B.9513C. 15D. 1513-【答案】B 【解析】【分析】先建系解得,D C 坐标，再设E 坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值.【详解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设(,),(2,),(0,0)D m n C m n m n +>>，因此22222221616{{,{(2,)(5,)0310023m m n m n m n m n m n m n =+=+=∴+⋅-=+--==， 因此23:5),23(5)BC y x y x =-=--，设(,23(5)),45,E x x x --≤≤ 所以(,23(5))(2,23(5)23)AE DE x x x x ⋅=--⋅----2(,23(5))(2,23(5)23)13110240x x x x x x =--⋅----=-+当55[4,5]13x =∈时，AE DE ⋅最小值为95.13选B. 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.12. 已知非等腰ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且444222222a b c a bc a b+++=+，若c 为最大边，则2a bc+的取值范围是（ ）A. 1,23⎛ ⎝⎭B. 12⎛ ⎝C. 1,23⎛ ⎝⎦D. 12⎛⎝ 【答案】A 【解析】【分析】先将444222222a b c a b c a b +++=+，转化为()222222a b c a b =+-，即2222124a b c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭+-，再根据c 为最大边，得到1cos 2C =-，然后由余弦定理得到222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，再利用基本不等式得到)c a b >+即可. 【详解】因为444222222a b c a b c a b+++=+， 所以444222222()a b c a b c a b +++=+，即()222422222(2)a b c a b c a b =-+++，即()222422222()2a b c c a b a b -+++=即()222222a b c a b =+-，所以2222124a b c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭+-， 因为c 为最大边， 所以1cos 2C =-， 由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，()()()2222324b a a ab b a a b b +⎛⎫+++ -=⎪⎭>⎝=-，所以)c a b >+，即a b c +<又a b c +>，所以1a b c +<<，所以122a b c +<<. 故选：A【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及基本不等式的应用，还考查了运算变形求解问题的能力，属于较难题.二、填空题13. 已知2a =，4b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角的度数为______. 【答案】3π【解析】【分析】设a 与b 的夹角为α，根据2a =，4b =，()a a b⊥-，由()22cos 0a a b a a b a a b α⋅-=-⋅=-⋅=求解.【详解】设a 与b 的夹角为α， 因为2a =，4b =，()a ab ⊥-，所以()22cos 0a a b a a b a a b α⋅-=-⋅=-⋅=， 解得1cos 2α=， 因为[]0,απ∈， 所以3πα=，故答案为：3π【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及夹角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14. 设等比数列{}n a 满足24a =，34128a a =，则6a =________. 【答案】64 【解析】【分析】设公比为q ，由题意可得4q ×4q 2＝128，解得q ＝2，则a 6＝a 2q 4，问题得以解决.【详解】解：设公比为q ，∵a 2＝4，a 3a 4＝128， ∴4q ×4q 2＝128， ∴q 3＝8， ∴q ＝2，∴a 6＝a 2q 4＝4×24＝64， 故答案为：64.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，关键是求出公比q ，属于基础题.15. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是_____.【答案】cm 【解析】【分析】分三种情形讨论：（1）重叠的是长、宽分别为5cm ，4cm 的面，（2）重叠的是长、高分别为5cm ，3cm 的面，（3）重叠的是宽、高分别为4cm ，3cm 的面．利用长方体的对角线公式即可求得．【详解】解：有以下三种情形：（1）重叠的是长、宽分别为5cm ，4cm 的面，（2）重叠的是长、高分别为5cm ，3cm 的面，（3）重叠的是宽、高分别为4cm ，3cm 的面，故在这些新长方体中，最长的对角线的长度是． 故答案为：．【点睛】本题以长方体为载体，考查长方体的对角线的计算，考查分类讨论的数学思想．16. 在ABC ，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2a =，3b =，2C A =，则cos 2C =______. 【答案】78- 【解析】【分析】根据条件得到3B A π=-，由正弦定理得到2sin sin 1sin sin 334sin a A A b B A A===-，求得sin A ，再结合倍角公式，即可求解.【详解】因为2C A =，所以3B A C A ππ=--=-，由直线定理，可得sin sin sin sin sin(3)sin 3a A A A b B A Aπ===-， 因为sin3sin(2)sin cos 2cos sin 2A A A A A A A =+=+22sin (12sin )2cos sin A A A A =-+223sin (12sin )2(1sin )sin 3sin 4sin A A A A A A =-+-=-，所以32sin 123sin 4sin 34sin 3a Ab A A A ===--， 因2(0,)C A π=∈，所以(0,)2A π∈，解得6sin 4A =，所以2261cos 212sin 12()44A A =-=-⨯=， 则217cos 2cos 42cos 2121168C A A ==-=⨯-=-. 故答案：78-. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及二倍角公式，两角和的正弦公式的应用，着重考查推理与运算的能力，属于中档试题.三、解答题17. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1AB 、BD 的中点.（1）求证：//EF 平面11BCC B ； （2）求直线EF 与直线1AA 所成的角. 【答案】（1）证明见解析；（2）4π. 【解析】【分析】（1）连接1CB ，利用中位线的性质证明出1//EF BC ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出 //EF 平面11BCC B ；（2）设正方体的棱长为2，连接1111,AC B D 交于点 G ，取11AB 的中点H ，连接,,EH EG FG GH ，，则 1//FG AA ，所以EFG （或其补角）就是直线EF 与直线1AA 所成的角.然后计算出 EFG ∆的三边边长，可得答案．【详解】（1）如下图所示，连接1CB ，E 、F 分别为1AB 和 AC 的中点，1//EF BC ∴，EF ⊄平面11BB C C ， 1CB ⊂平面11BB C C ，//EF ∴平面 11BCC B ；（2）如下图所示，设正方体的棱长为2，连接1111,AC B D 交于点 G ，取11A B 的中点H ，连接,,EH EG FG GH ，，则 1//FG AA ，所以EFG （或其补角）就是直线EF 与直线1AA 所成的角. 在Rt EHG 中，1112EH AA ==， 11112GH A D ==，所以222EG EH HG =+=， 又1122EF B C ==，12FG AA ==， 222EF FG FG ∴=+，所以4EFG π∠=，所以直线EF 与直线1AA 所成的角为4π.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了异面直线所成的角的计算，在计算异面直线所成的角时，要遵循“一作、二证、三计算”的原则来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题. 18. 已知函数()2sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.【答案】（1）π；（2）1,312【解析】【分析】（1）展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x 的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域． 【详解】（1）()sin 2coscos 2sin1cos 266f x x x x32cos 212x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，22T ππ∴==, 即()f x 的最小正周期为π；（2）5,36x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x，sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， 13sin 213123x，∴()f x 的值域为1,312. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题.19. 已知数列{}n a 中，12a =且*122(2,)n n a a n n n N -=-+≥∈.（1）求2a ，3a ，并证明{}n a n -是等比数列；（2）设12nn n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）1242n n nS n -+=+-【解析】【分析】（1）在已知的数列递推公式中分别取2,3n =，结合已知的首项即可求得23,a a 的值，再把递推式两边同时减n 即可证明{}n a n -是等比数列；（2）由{}n a n -是等比数列求出数列{}n a 的通项公式，代入12nn n a b -=，分组后利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知()*1222,n n a a n n n N -=-+≥∈+24a =，37a =，1222n n a n a n --=-+，即()121n n a n a n -⎡⎤-=--⎣⎦，因为()()*122,1n n a nn n N a n --=≥∈--，所以{}n a n -是以2为公比的等比数列． （2）由（1）得()1112n n a n a --=-⋅，即12n n a n -=+，所以11122n n n n a nb --==+， 设12n n nC -=，且前n 项和为n T ，所以01231123422222n n nT -=+++++， ①123112322222n n nT =++++， ② ①－②得12311111111122112122222222212n n n n n n n n n T ---+⎛⎫=+++++-=+-=- ⎪⎝⎭- 所以1242n n n T -+=-，1242n n nS n -+=+-．【点睛】该题考查的是数列的有关内容，涉及到的知识点有等比数列的证明，数列的递推公式，数列的求和方法，注意对式子的正确变形以及相应的公式，才能正确得出结果.20. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为,,a b c cos )sin a c B b C -=． （1）求角C ；（2）若ABC ∆的面积4S a b =+=，求sin sin A B 及cos cos A B 的值． 【答案】（1）60C =︒；（2）15sin sin ,cos cos 1212A B A B ==- 【解析】【详解】试题分析：（1）从已知条件出发，可用正弦定理把边角关系化为角的关系，由三角形内角和定理可化sin A 为()sin B C +，展开()sin B C +可得tan 3C =，从而有60C =︒；（2）结合（1）由面积公式in 12s S ab C =可得43ab =，4a b +=和余弦定理可求得23c =，当然可以求出边,a b 后再求得sin ,sin A B ，也可不直接求,a b ，利用正弦定理有221sin sin sin 12ab A B C c =⋅=，再由cos cos()C A B =-+可得cos cos A B ．试题解析：（1）[]3(cos )sin 3sin()sin cos sin sin a c B b C B C C B B C -=⇒+-= ∴3sin cos sin sin B C B C =，而在ABC ∆中，sin 0B ≠， ∴0tan 360C C =⇒=， （2）0314sin 60323S ab ab ==⇒=， 由余弦定理有：222()22cos ()312c a b ab ab C a b ab =+--=+-=， ∴23c =，由正弦定理有：,c a b c a b 、、且、、 ∵1cos cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B =-+=-+=，所以5cos cos 12A B =-． 考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式与余弦公式．21. 已知长方体PQRS ABCD -，底面ABCD 为正方形，过AB 的平面与平面PCD 的交线为EF ，且满足1:3:PEF CDEF S S =△四边形（PEF S △表示PEF 的面积）.（1）证明：//PB 平面ACE ；（2）当22PA AD ==时，求点F 到平面ACE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）13； 【解析】【分析】（1）连接BD 交AC 于G ，连接EG 通过证明//EG PB ，证得//PB 平面ACE . （2）由等体积法，利用F ACE E ACF V V --=求得点F 到平面ACE 的距离.【详解】（1）由题知四边形ABCD 为正方形，∴AB //CD ，又CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD .∴AB //平面PCD ，又AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE ∩平面PCD =EF ，∴EF // AB ，又AB //CD ，∴EF //CD ， 由1:3:PEF CDEF S S =△四边形得E 、F 分别为PC 、PD 的中点， 连接BD 交AC 于G ，连接EG ，则G 为BD 中点，在PBD △中FG 为中位线，∴ EG //PB .∵ EG //PB ，EG ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ，∴PB //平面ACE .（2）∵PA =2，AD =AB =1， ∴2AC =， 152AE PD ==∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，AD ∩PA =A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ， 在Rt CDE △中，2232CE CD DE =+=， ACE 中由余弦定理知2225cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠==⋅ ∴25sin AEC ∠=∴13sin 24ACE S AE CE AEC =⋅⋅⋅∠=△，设点F 到平面ACE 的距离为h ，则131344F ACE V h h -=⨯⨯=， 由DG ⊥AC ，DG ⊥PA ，AC ∩PA =A ，得DG ⊥平面PAC ，且2DG =， ∵E 为PD 中点，∴E 到平面ACF 的距离为1224DG =又F 为PC 中点，∴122ACF ACP S S ==△△，∴1132412E ACF V -=⋅=，由F ACE E ACF V V --=得13h =，∴点F 到平面ACE 的距离为13. 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查运用等体积法求点到面的距离，属于中档题.22. 数列{}n a 满足10a =，22a =，且对任意m ，*n ∈N 都有()22121122m n m n a a a m n --+-+=+-.（1）设()*2121n n n b a a n +-=-∈N，证明：{}nb 是等差数列，并求{}na 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足12c =，11n n c c a +=+，记[]x 表示不超过x 的最大整数，求不等式1220201112nn b a c c c ⎡⎤++⋅⋅⋅+>-⎢⎥⎣⎦的解集. 【答案】（1）证明见解析，2n a n n =-；（2）{}1,2,3,4.【解析】【分析】（1）根据等差数列的证明方法，即证明1n n b b +-是常数即可；根据{}n b 是等差数列可求得{}n a 的通项公式．（2）通过构造数列的方法证明出111111n n n c c c +=---，进而求出122020120212*********1111c c c c c c +++=-=----，再由数列{}n c 的单调性求得()20191110,1c ∈--，将不等式转化为关于n 的不等式组，进而求得n 的值．【详解】（1）对任意m ，*n ∈N 都有()22121122m n m n a a a m n --+-+=+-， 令2,1m n ==，可得321226a a a ， 令2m n =+，可得23212128nn n a a a ，()()23212121123212128n n n n n n n n n a a a a a b b a a +++-+-++=---=-+∴=-，{}n b ∴是首项为1316b a a ，公差为8等差数列，61882nb n n ，即212182n n a a n +--=-，()()()2121212123311n n n n n a a a a a a a a ++---=-+-++-+2241453042n n n n ，令1m =，得1222112nna n n a n a ；（2）由已知得，211n n n c c c +=-+，()111n n n c c c +∴-=-，()11111111n n n n nc c c c c +∴==----，即111111n n n c c c +=---， 1220201202120211111111111c c c c c c ∴+++=-=----， 又()2110n n n c c c +-=-≥，1n n c c +∴≥，202120202019232c c c c ∴≥≥≥≥=>，()2021110,11c ∴-∈-，1220201110c c c ⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦， 不等式1220201112n nb ac c c ⎡⎤+++>-⎢⎥⎣⎦等价于2510n n -+<， 解得5212n ，52152，且*n N ∈，1n ∴=，2，3，4，故不等式1220201112n n b a c c c ⎡⎤+++>-⎢⎥⎣⎦的解集为{}1,2,3,4． 【点睛】本题考查了等差数列的证明，通项公式求法，数列求和公式的综合应用，对分析问题、解决问题能力要求较高，属于难题．。
精练03 基本不等式-高一上学期数学期末考点(新教材人教A版必修第一册)
精练03基本不等式1．【内蒙古赤峰市2019-2020学年高一期末】已知0x >，0y >满足22280x y xy y x +--=，则2y x +的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D【答案】C 【详解】由22280x y xy y x +--=知：(2)8xy x y y x +=+，而0x >，0y >∴182y x x y +=+，则21816(2)(2)()101018y x y x y x x y x y +=++=++≥=∴2y x +≥ 故选：C2．【湖北省荆州市2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足21x y +=，则12x y+的最小值为（ ）A ．4B ．3+C ．8D ．9【答案】C 【详解】解：因为正数x ，y 满足21x y +=，所以()12422248x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当4x y y x =，即11,42x y ==时取等号， 所以12x y+的最小值为8， 故选：C3．【宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高一期末】下列函数的最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．1sin (0)sin 2y x x x π=+<<C ．y =D ．1tan (0)tan 2y x x x π=+<<【详解】 对于A. 1y x x=+,当0x <时，0y <，所以最小值为不是2，A 错误； 对于B. 1sin 0sin 0sin 2y x x x x π⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭，，所以1sin 2sin x x +≥=时， 即sin 1x =，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B 错误.对于C.2y =≥2=，此方程无解，则y 的最小值取不到2，C 错误；对于D,1tan (0)tan?2y x x x π=+<<，因为tan 0x >，所以1tan 2tan x x +≥=， 当且仅当tan 1x =，即4x π=时，y 有最小值2，满足，D 正确；故选：D.4．【江西省南昌市2019-2020学年高一期末】已知a ，0b >，且满足21a ab +=，则3a b +的最小值为（ ）A B C ．D ．【答案】C 【详解】 ∵21a ab +=， ∴1b a a=-．即11332a b a a a a a +=+-=+≥=当且仅当2a =时取等号．∴3a b +的最小值为5．【河北省石家庄市2019-2020学年高一期末】如果x ＞0，y ＞0，且111x y+=，则xy 有（ ） A ．最小值4 B ．最大值4 C ．最大值14D ．最小值14【答案】A 【详解】x ＞0，y ＞0，且111x y+=，又11x y +≥1≤，114xy ≤， 即4xy ≥，当2x y ==时取等号, 则xy 有最小值4， 故选：A6．【贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高一期末】已知正实数a ，b 满足1a b +=，则2241a ba b--+的最小值为（ ） A ．11 B ．9C ．8D ．7【答案】C 【详解】解：因为正实数a ，b ，且1a b +=，所以2241a b a b--+41a b a b =-+- 41()b a a b =+-+ 41()()1b a a b =+⋅+- 44b a a b =++4≥8=当且仅当4b a a b =即223a b ==时，取等号. 所以2241a b a b--+的最小值为8. 故选：C.7．【广东省佛山市禅城区2019-2020学年高一期末】若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A ．1ab ≤B ≤C ．22a b +≥D ．223a b +≥【答案】A 【详解】对于A ，0a >，0b >，a b ∴+≥12a b+≤=，即1ab ≤，当且仅当1a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，224a b =++=+≤2≤，当且仅当1a b ==时取等号，故B 错误； 对于C ， 不妨设32a =，12b =时，23172244a b =+=<+，故B 错误； 对于D ，()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，当且仅当1a b ==时取等号，故D 错误. 故选：A8．【广东省佛山市南海区2019-2020学年高一期末】若函数()()40,0af x x x a x=+>>当且仅当2x =时取得最小值，则实数a 的值为（ ） A ．12 B ．24C ．16D ．36【答案】C 【详解】()4af x x x=+≥24x a =，∴22x ==，解得：16a =， 故选：C.9．【黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2019-2020学年高一期末】已知0,0x y >>，231x y +=，则48x y+的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．D ．【答案】C 【详解】∵00x y >>，，231x y +=，∴232482x y x y ≥+=+= 当且仅当2322x y =即11,46x y ==时，等号成立，所以48x y +的最小值为. 故选：C10．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C 【详解】由已知可得31155x y +=，则3194123131234()(34)555555555y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=，所以34x y +的最小值5，应选答案C ．11．【山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一期末】若两个正实数,x y 满足112x y+=，且不等式2x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．()4,1-C ．()(),12,-∞-+∞D ．()(),14,-∞-+∞【答案】C 【解析】正实数x ,y 满足112x y+=， 则()111112222224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭，当且仅当1,y x x y ==+取得最小值2. 由2x y m m +<-有解,可得22m m ->， 解得m >2或m <−1. 本题选择C 选项.12．【安徽省宿州市十三所省重点中学2019-2020学年高一期末】已知2m >，0n >，3m n +=，则112m n+-的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【详解】因为2m >，0n >，3m n +=，所以21m n -+=，则()1111222224222n m m n m n m n m n-⎛⎫+=+-+=++≥+= ⎪---⎝⎭， 当且仅当22n m m n -=-且3m n +=，即51,22m n ==时取等号， 故选：B.13．【安徽省宣城市2019-2020学年高一期末】已知m ，0n >，4121m n+=+，则m n +的最小值为（ ） A ．72B ．7C ．8D ．4【答案】A 【详解】 ∵m ，0n >，4121m n+=+， ∴()()4111411911554122122n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫++=+++⨯=++≥+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当411n m m n +=+且4121m n+=+，即2m =，32n =时取等号， 故m n +的最小值72.故选：A.14．【湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一期末】已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11D ．726+【答案】B 【详解】1x >，10x ->，又0y >，且1211x y+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++[]12(1)211x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪-⎝⎭22(1)61y x x y -=++- 22(1)621y x x y-+⋅-10=， 当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ．15．【湖南省长沙市长沙县实验中学2019-2020学年高一期末】设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?3xy xy x y zx xy y x y y xy x===-++--，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D16．【广东省惠州市2019-2020学年高一期末】函数2241y x x =++的最小值为__. 【答案】3 【详解】函数2241y x x =++， 即()224111y x x =++-+1413≥=-=， 当且仅当212+=x ，即1x =±时，取等号， 则函数的最小值为3， 故答案为：3.17．【吉林省长春市实验中学2019-2020学年高一期末】已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________.【答案】(),1-∞ 【详解】由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <，因此，实数k 的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.18．【湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一期末】设1x >，则函数151y x x =++-的最小值为_____ 【答案】8【详解】 1x >，∴函数115(1)62(1)68111y x x x x x x =++=-++-+=---，当且仅当2x =时取等号． 因此函数151y x x =++-的最小值为8． 故选：A ．19．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【详解】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号．)120∴≥，∴2≥1≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．20．【四川省凉山州2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则1aa b+的最小值为______． 【答案】3 【详解】依题意1113a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=. 当且仅当12a b ==时等号成立. 故答案为：321．【河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一期末】若441x y +=，则x y +的取值范围是____________．【答案】(],1-∞- 【详解】由基本不等式可得1144222x y x y x y +++=+≥=⨯=，10x y ∴++≤，解得1x y +≤-.所以，x y +的取值范围是(],1-∞-. 故答案为：(],1-∞-.22．【安徽省淮南市第一中学2019-2020学年高一期末】已知x ，0y >，且194x y+=，则x y +的最小值________． 【答案】4 【详解】因为x ，0y >，且194x y+=，所以x y +()11919110104444⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝y x x y x y x y 当且仅当9y xx y=，,即1,3x y ==时，取等号， 所以x y +的最小值为4， 故答案为：423．【山西省2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >，1a b +=，则161a b+的最小值为__________. 【答案】25 【详解】()1611611617b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭17172425≥+=+⨯= 当且仅当2216a b =，即45a =，15b = 时取等号. 故答案为：2524．【重庆市巴蜀中学2019-2020学年高一半期考试】设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.【答案】20202019-【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+221140392202020202020=-+⨯=， 当且仅当0a <，22020a b a b =时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 25．【四川省乐山市2019-2020学年高一期末】已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．【答案】10【详解】49abc a b =+4994a b c ab a b+∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号） 故答案为：1026．【湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高一期末】一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比；若在距离车站2km 处建仓库，则1y 和2y 分别为10万元和1.6万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出这个最小值.【答案】5km 处，最小值为8万元..【详解】解：设仓库建在距离车站km x 处时，两项费用之和为y 万元.根据题意可设1y x λ=，2y x μ=.由题可知，当2x =时，110y =，2 1.6y =，则20λ=，45μ=. 所以()20405y x x x =+>.根据均值不等式可得8y ≥=， 当且仅当2045x x =，即5x =时，上式取等号. 故这家公司应该把仓库建在距离车站5km 处，才能使两项费用之和最小，且最小值为8万元.27．【安徽省池州市2019-2020学年高一期末】已知函数2(4)()x f x x+=(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞503； （2）求函数f （x ）的最小值．【答案】（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【详解】 （1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x>⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >. （2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=， 当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16. 28．【浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高一期末】已知0a >，0b >且3a b +=．（Ⅰ）求11()a b +的最大值及此时a ，b 的值； （Ⅱ）求2231a b a b +++的最小值及此时a ，b 的值．【答案】（Ⅰ）32a b==时，11a b⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值为2-；（Ⅱ）6a=-，3b=-+3+；【详解】解：（Ⅰ）1133224233333333333a b a b b a b aa b a b a b a b a b+++=+=+=+++=，当且仅当33b aa b=且3a b+=，即32a b==时取等号，311423loga b⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭即最大值为2-，（Ⅱ）3a b+=，∴223313131(1)121111a ba b a ba b a b a b a b++=++-+=+-++=++++++3113(1)3(2()()332314444(1)4(1)a b b aba b a b b++=+++=+++=+++，当且仅当3(1)44(1)b aa b+=+且3a b+=，即6a=-3b=-+29．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一期末】已知0a>，0b>.（1）求证：()2232a b b a b+≥+；（2）若2a b ab+=，求ab的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b+-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b+≥+.（2）∵0a>，0b>，∴2ab a b=+≥2ab≥1，∴1≥ab.当且仅当1a b==时取等号，此时ab取最小值1.和分析法来一起证明，属于中档题.30．【安徽省合肥市第十一中学2019-2020学年高一期末】某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【答案】（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）()80016001600 4280828084S x x x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=， 当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．。
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
【点睛】
本小题主要考查三角函数的单调性、对称轴、对称中心，考查三角函数的周期性，属于中档题.
13．0
【分析】
利用指数、对数运算，结合特殊角的三角函数值，化简所求表达式.
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高一上学期期末数学____班级：___________考号：___________
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
2．设集合 ，则 （）
A． B． C． D．
3．若函数 ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
对于D选项， 在 上递减，在 上递增，不符合题意.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性判断，属于基础题.
5．D
【分析】
将 转化为正弦的形式，然后结合 在 上的单调性，以及 在 上的单调性，判断出 的大小关系.
【详解】
，而 在 上递增，所以 ，由于 在 上递增，所以 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
3．C
【分析】
先求得 的值，然后求得 的值.
【详解】
依题意 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查分段函数求值，属于基础题.
4．B
【分析】
对选项逐一分析函数在 上的单调性，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项， 的定义域为 ，不符合题意.
对于B选项， 在 上递增，符合题意.
对于C选项， 在 上递减，不符合题意.
C．向左平移 个单位长度D．向左 平移个单位长度
9．已知 ，则 的值为（）
A．0B． C． D．
10．已知函数 是定义在R上的奇函数， 为偶函数，且 ，则
A．2B．1C．0D．
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高一上学期期末复习题(解析版)
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高一上学期期末复习题一、单选题1．下列命题中：①第一象限角一定不是负角，②小于90°的角是锐角，③2009π和1711°均是第一象限角，④已知α是第二象限的角，则2α是第一或第三象限角.正确的有（ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由象限角的概念可得①错误，由锐角的概念可得②错误，由终边相同的角的表示可得③错误，由终边相同的角的表示及象限角可得④正确. 【详解】解：对于选项①，300-为第一象限角，即①错误；对于选项② ，300-小于90°，但300-不是锐角，即②错误； 对于选项③，20022299πππ=+，因为29π为第一象限角，则2009π为第一象限角，17114360271=⨯+，因为271不是第一象限角，即1711不是第一象限角，即③错误；对于选项④，因为α是第二象限的角，则22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，则,422k k k Z παπππ+<<+∈，即22,422m m m Z παπππ+<<+?或5322,422m m m Z παπππ+<<+?，即2α是第一或第三象限角，即④正确，综上可得正确的有1个， 故选：B. 【点睛】本题考查了象限角及终边相同的角的表示，重点考查了角的概念，属基础题. 2．若存在实数a 使得方程cos x a =在[0,2]π上有两个不相等的实数根12,x x ，则12sin3x x +=（ ）A ．12B C ．12-D ． 【答案】B【解析】由函数cos y x =的图像在[0,2]π关于直线x π=对称，又方程cos x a =在[0,2]π上有两个不相等的实数根12,x x ，则有122x x +=π，再运算即可得解. 【详解】解：由函数cos y x =的图像在[0,2]π上关于直线x π=对称， 由方程cos x a =在[0,2]π上有两个不相等的实数根12,x x ， 则122x x +=π，即122x x π+=， 则12233x x π+=，即122sinsin 332x x π+==， 故选：B. 【点睛】本题考查了余弦函数图像的对称性，重点考查了函数与方程思想，属基础题.3．若cos 0θ<，且cos sin θθ-=θ的（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得，sin cos θθ==-，即cos sin sin cos θθθθ-=-，所以sin θcos θ0-?，即s i n c o s θθ≤，又c o s 0θ<，所以sin 0,θ<θ位于第三象限，故选C. 【考点】三角函数的化简及判定. 4．若(0,)2πα∈，且225sin 2cos 4αα+=，则tan α的值等于（ ）A ．2 B C D【答案】D【解析】由225sin 2cos 4αα+=，结合22sin cos 1αα+=，所以21cos 4α=，又(0,)2πα∈即3πα=，代入运算即可得解.【详解】解：由225sin 2cos 4αα+=， 因为22sin cos 1αα+=， 所以21cos 4α=， 又(0,)2πα∈，所以1cos 2α=， 所以3πα=，所以tan tan 3πα==，故选：D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系及三角函数求值问题，属基础题.5．若函数2sin 2y x =的图象向右平移m 个单位后（其中m ＞0），图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．32π 【答案】B【解析】先由三角函数图像的平移变换可得将函数2sin 2y x =的图象向右平移m 个单位后，所得函数解析式为()2sin(22)f x x m =-，由函数图像的性质可得函数()f x 为奇函数，则2m k π-=，则,2k m k Z π=-∈，再求解即可. 【详解】解：将函数2sin 2y x =的图象向右平移m 个单位后，所得函数解析式为()2sin 2()2sin(22)f x x m x m =-=-，又函数()f x 的图象关于原点对称，即函数()f x 为奇函数，则2m k π-=，则,2k m k Z π=-∈，又m ＞0，即 1k =-时，m 取最小值2π， 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数的奇偶性，属基础题.6．函数2cos ()2cos xy x R x+=∈-的最大值为（ ）A ．53 B ．52C ．3D ．5【答案】C【解析】由题意有412cos y x=--，再结合三角函数的有界性[]cos 1,1x ∈-，代入运算即可得解. 【详解】 解：由2cos 412cos 2cos x y x x+==---，因为[]cos 1,1x ∈-，所以[]2cos 1,3x -∈，所以411,32cos 3x ⎡⎤-∈⎢⎥-⎣⎦，即函数2cos ()2cos xy x R x+=∈-的最大值为3，故选：C. 【点睛】本题考查了分式函数的最值问题，重点考查了三角函数的有界性，属基础题. 7．函数()sin()1,04f x x πωω=-->的最小正周期为23π，则函数()f x 一个对称中心为（ ） A ．7(,1)12π- B ．(,0)12πC ．(,1)4π-D ．5(,1)12π- 【答案】D【解析】由函数的周期可得3ω=，再解34x k ππ-=，可得函数()f x 的对称中心为(,1),312k k Z ππ+-∈，得解. 【详解】解：由函数()sin()14f x x πω=--的最小正周期为23π， 则223ππω=，解得3ω=，即()sin(3)14f x x π=--，令34x k ππ-=，则,312k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，解得512x π=，即函数()f x 一个对称中心为5(,1)12π-， 故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数的周期求参数的值，重点考查了三角函数图像的对称中心的求法，属基础题.8．使函数()2sin(2)([0,])6f x x x ππ=-∈为增函数的区间是（ ）A ．[0,]3πB ．7[,]1212ππC ．5[,]6ππ D ．2[,]33ππ【答案】D【解析】由函数()2sin(2)6f x x π=-的增区间即为函数()2sin(2)6g x x π=-的减区间，再求函数()g x 的递减区间,再利用集合的包含关系得解. 【详解】解：由()2sin(2)2sin(2)66f x x x ππ=-=--，则函数()2sin(2)6f x x π=-的增区间即为函数()2sin(2)6g x x π=-的减区间， 由3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即函数()g x 的减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 又[]0,x π∈，即函数()f x 的增区间为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 又2[,]33ππ⊆5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 即使函数()2sin(2)([0,])6f x x x ππ=-∈为增函数的区间是2[,]33ππ， 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的单调区间的求法，重点考查了集合的包含关系，属基础题. 9．函数sin()(0,||,)2y A x x ωϕωϕπ=+><∈R 的部分图象如图所示，则函数表达式为A ．4sin()84y x ππ=-- B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=+D ．4sin()84y x ππ=-+【答案】D【解析】利用给定的三角函数的图象，求解4A =-，又由最小正周期，求解8πω=，最后代入2x =-，确定ϕ的值，即可得到答案． 【详解】由图知，当0A <时，4A =- ，()2[62]16T =⨯--= ，所以28T ωππ== ， 所以4sin()8y x ϕπ=-+ ．当2x =- 时，()22()8k k ϕπ⨯-+=π∈Z ，解得24k ϕπ=+π，当0k = 时，4πϕ= ，所以函数表达式为4sin()84y x ππ=-+，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的解析式的求解，其中确定三角函数sin()y A x ωϕ=+中的参数的方法：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）w 的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定．10．要得到函数2sin 2y x =的图象，只需要将函数()2cos(2)3f x x π=-的图象（ ）A ．向左平移12πB ．向左平移6π C ．向右平移12πD ．向右平移6π【答案】C【解析】由三角函数的诱导公式可得2sin 22cos(2)2cos[2()]2123y x x x πππ==-=--，再结合三角函数图像的平移变换即可得解. 【详解】解：由2sin 22cos(2)2cos[2()]2123y x x x πππ==-=--，即要得到函数2sin 2y x =的图象，只需要将函数()2cos(2)3f x x π=-的图象向右平移12π单位，故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数的图像的平移变换及诱导公式，属基础题. 11．方程sin()lg 3x x π+=的实数根个数为（ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．9个【答案】A【解析】由方程sin()lg 3x x π+=的实数根个数等价于函数sin()3y x π=+与函数lg y x =的图像的交点个数，在同一直角坐标系中作出函数sin()3y x π=+与函数lg y x =的图像，再观察图像的交点个数即可得解.【详解】 解：方程sin()lg 3x x π+=的实数根个数等价于函数sin()3y x π=+与函数lg y x =的图像的交点个数，在同一直角坐标系中，函数sin()3y x π=+与函数lg y x =的图像如图所示，由图可知，函数sin()3y x π=+与函数lg y x =的图像的交点个数为3个，则方程sin()lg 3x x π+=的实数根个数为3个，故选：A.【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像的交点个数之间的相互转化，重点考查了函数思想及数形结合的数学思想方法，属中档题. 12．对于函数11()(sin cos )cos sin 22f x x x x x =+--，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的值域为[－1，1]B ．当且仅当222k x k πππ<<+（k Z ∈）时，()f x ＞0C ．当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值1D ．函数()f x 是以π为最小正周期的周期函数 【答案】B【解析】先理解题意可得sin ,cos sin ()cos ,cos sin x x x f x x x≥⎧=⎨<⎩，再作出函数()y f x =的图像，再观察图像的性质即可得解. 【详解】 解：由函数11()(sin cos )cos sin 22f x x x x x =+--， 则sin ,cos sin ()cos ,cos sin x x xf x x x≥⎧=⎨<⎩，作出函数()y f x =的图像（实线部分），观察图像的性质有：函数()f x 的值域为2⎡-⎢⎣⎦，即选项A 错误， 当且仅当222k x k πππ<<+（k Z ∈）时，()f x ＞0，即选项B 正确，当且仅当2()4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值2，即选项C 错误， 函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，即选项D 错误， 故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角函数图像的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题13．2515costan()sin81034ππ+-⋅︒=________________________. 【答案】32【解析】由三角函数的诱导公式可得2515costan()sin81034ππ+-⋅︒cos tan sin 9034ππ=+⋅，再求值即可. 【详解】解：2515cos tan()sin810cos(8)tan(4)sin(72090)3434ππππππ+-⋅︒=++-+⋅+ 13cos tan sin 90113422ππ=+⋅=+⨯=，故答案为：32.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，重点考查了特殊角的三角函数值，属基础题. 14．已知点P 33(sin ,cos )44ππ落在角θ的终边上，且[0,2]θπ∈，则θ的值为________；【答案】74π 【解析】 由点33(sin,cos )44P ππ，即22P -，点P 落在角θ的终边上， 且[0,2]θπ∈，则θ的值为74π. 点睛：本题考查了特殊角的三角函数值的求解和终边相同角的表示，其中解答中熟记特殊角的三角函数值的计算和已知角的终边上的点确定角的大小是解答的关键，考查了学生推理与计算能力.15．函数lg(2sin 1)y x =-_____________________________. 【答案】,26π⎛⎤⎥⎝⎦【解析】要使函数有意义，则需21sin 240x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，再求解不等式组即可得解.【详解】解：由题意有21sin 240x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，解得522,6622k x k k Z x ππππ⎧+<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩，即26x π<≤，即函数lg(2sin 1)y x =-,26π⎛⎤ ⎥⎝⎦，故答案为：,26π⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法，重点考查了三角不等式及二次不等式的求法，属基础题. 16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且最小正周期为2π，当[0,]4x π∈时，2()(sin 1)f x x =-，则7()3f π-=________________. 【答案】14【解析】由函数()f x 的最小正周期为2π，则75()()()3266f f f ππππ-=-+=，再结合函数在[0,]4x π∈时的解析式运算即可得解.【详解】解：由函数()f x 的最小正周期为2π，则75()()()3266f f f ππππ-=-+=， 又当[0,]4x π∈时，2()(sin 1)f x x =-，则2()(sin 11)664f ππ==-，即71()34f π-=， 故答案为：14.【点睛】本题考查了利用函数的周期求函数的值，重点考查了函数性质得应用，属基础题. 17．已知角α的终边在直线3y x =-上，则310sin cos αα+的值为_______； 【答案】0.【解析】由题意可得tan 3α=-，对角α的终边分类讨论：当α的终边位于第二象限时，sinαα==，则310sin 0cos αα+=； 当α的终边位于第四象限时，sinαα==，则310sin 0cos αα+=；综上可得310sin 0cos αα+=. 点睛：一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解.三、解答题18．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 【答案】（1）50cm 2（2）【解析】(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓． ∵α＝60°＝，R ＝10，∴l ＝π(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝×π×10－×102·sin60°＝50cm 2.(2)∵扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝，∴S 扇＝α·R 2＝α＝，当且仅当α＝，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值. 19．（1）化简tan(540)sin()cos(360)tan(900)sin(540)tan()x x x x x x ︒+-︒-⋅⋅︒-︒--（2）若sin cos 0αα⋅<，()f x =(cos )(cos )f f αα+-的结果. 【答案】（1）2cos sin xx-（2）当α为第二象限的角时，2(cos )(cos )sin f f ααα+-=，当α为第四象限的角时，2(cos )(cos )sin f f ααα+-=-【解析】（1）由三角函数的诱导公式化简即可得解； （2）由象限角的符号结合二倍角的正弦及余弦公式化简即可. 【详解】 解：（1）tan(540)sin()cos(360)tan(900)sin(540)tan()x x x x x x ︒+-︒-⋅⋅=︒-︒--tan sin()cos()tan()sin(180)tan()x x x x x x --⋅⋅=-︒--tan sin cos tan sin tan x x x x x x -⋅⋅=--2cos sin xx-；（2）由sin cos 0αα⋅<，()f x = 则(cos )(cos )f f αα+-==22sin cos sin cos 22222sin cossinsincos2222ααααααααα+=+==， 又sin cos 0αα⋅<，则α为第二象限的角或第四象限的角，故当α为第二象限的角时，2(cos )(cos )sin f f ααα+-=， 当α为第四象限的角时，2(cos )(cos )sin f f ααα+-=-. 【点睛】本题考查了象限角的符号问题，重点考查了二倍角的正弦及余弦公式，属中档题. 20．已知关于x20m +=的两根为sin α和cos α （1）求m 的值；（2）若(0,)2πα∈，求3322sin cos sin cos αααα+-的值.【答案】（1（2）4±【解析】（1）由关于x20m +=的两根为sin α和cos α，结合韦达定理与sin cos αα+，sin cos αα之间的关系，运算即可得解；（2）由平方差公式及立方和公式，结合sin cos αα+，sin cos αα，sin cos αα-之间的关系，运算即可得解.【详解】解：（1）由关于x 20m +=的两根为sin α和cos α，则由韦达定理可得：sin cos 2αα+=，sin cos 2αα=， 又2(sin cos )12sin cos αααα+=+，212+=，即4m =； （2）由3322sin cos (sin cos )(1sin cos )1sin cos 3(sin cos )(sin cos )sin cos 4(sin cos )sin cos αααααααααααααααααα++--===+----，又22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=， 所以21(sin cos )2αα-=，即sin cos 2αα-=±，故3322sin cos sin cos αααα+=-【点睛】本题考查了韦达定理及sin cos αα+，sin cos αα，sin cos αα-之间的关系，重点考查了运算能力，属中档题. 21．已知函数1()sin(2)(0)2f x x φφπ=+<<的图象经过点1(,)62π. （1）求φ的值；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再将图象上所有点向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递减区间及对称轴方程. 【答案】（1）6πφ=（2）单调递减区间为5,,26212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；对称轴方程为,46k x k Z ππ=+∈【解析】（1）由三角函数图像过定点，可得11sin(2)262πφ⨯+=，再结合()0,φπ∈求值即可；（2）由三角函数图像的平移及伸缩变换可得1()sin(4)26g x x π=-，再求其单调减区间及对称轴方程即可. 【详解】解：（1）由函数1()sin(2)(0)2f x x φφπ=+<<的图象经过点1(,)62π， 则11sin(2)262πφ⨯+=，则232k ππφπ+=+， 则2,6k k Z πφπ=+∈，又()0,φπ∈， 即6πφ=；（2）由（1）得1()sin(2)26f x x π=+，则将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，再将图象上所有点向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，则11()sin[4()]sin(4)212626g x x x πππ=-+=-， 由3242262k x k πππππ+≤-≤+，解得5,26212k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 由462x k πππ-=+，解得,46k x k Z ππ=+∈， 故函数()y g x =的单调递减区间为5,,26212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； 对称轴方程为,46k x k Z ππ=+∈. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数图像的性质，重点考查了运算能力，属中档题.22．已知函数2()cos sin ()f x x a x a a R =++∈. （1）若()12f x a >-恒成立，求a 的取值范围； （2）求()f x 在区间[,0]2π-上的最大值.【答案】（1）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）2max1,0(2)(),2040,2a a a f x a a +≥⎧⎪+⎪=-<<⎨⎪≤-⎪⎩ 【解析】（1）由()12f x a >-恒成立，则分离变量可得2sin 3sin xa x>+恒成立，再设[]9()6,2,4g t t t t=+-∈，然后求其最大值即可得解； （2）由二次型函数的动轴定区间问题，分别讨论当02a ≥时，当12a≤-时， 当102a-<<时，函数()h m 在[]1,0-的最大值即可得解. 【详解】解：（1）因为2()cos sin ()f x x a x a a R =++∈， 又()12f x a >-，即2cos sin 12x a x a a ++>-， 即2(3sin )1cos x a x +>-， 即2(3sin )sin x a x +>，即2sin 3sin x a x>+恒成立，令3sin t x =+，则[]2,4t ∈ ， 则sin 3x t =-，则22sin (3)963sin x t t x t t-==+-+， 设[]9()6,2,4g t t t t=+-∈， 易得()g t 在[]2,3为减函数，在[]3,4为增函数， 又1(2)2g =，1(4)4g =，所以max 1()(2)2g t g ==， 即12a >， 即a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）由22()cos sin sin sin 1f x x a x a x a x a =++=-+++， 又[,0]2x π∈-，所以[]sin 1,0x ∈-，令sin m x =，则 []1,0m ∈-，则[]2()1,1,0h m m am a m =-+++∈-，①当02a≥即0a ≥时，函数()h m 在[]1,0-为增函数，即max ()(0)1h m h a ==+， ②当12a≤-即2a ≤-时，函数()h m 在[]1,0-为减函数，即max ()(1)0h m h =-=，③当102a -<<即20a -<<时，函数()h m 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，在,02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，即2max44()()24a a a h m h ++==， 综合①②③可得2max1,0(2)(),2040,2a a a f x a a +≥⎧⎪+⎪=-<<⎨⎪≤-⎪⎩. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，主要考查了二次型函数动轴定区间问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.。