2017-2018学年高中数学第一章立体几何初步1简单几何体第2课时简单多面体课件北师大版必修2
[自主解答]
∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，
∴这个几何体不是棱柱．在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E， 使AE＝2；在BB1上取点F，使BF＝2；连接C1E，EF，C1F，则 过点C1，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱 ABC－EFC1，其侧棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1－ EA1B1F，如图．
2．“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几
何体一定是棱锥吗？
提示：棱锥有一个面是多边形，其余各面 都是三角形． 但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”
的几何体未必就是棱锥，如图所示的几何体满足各面都
是三角形，但这个几何体不是棱锥．
讲一讲
1. 给出下列几个结论：
①长方体一定是正四棱柱； ②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ③多面体至少有四个面； ④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
答案：C
讲一讲 2. 如图几何体中，四边形 AA1B1B 为边长为 3 的正方 形，CC1＝2， CC1∥AA1，CC1∥ BB1，请你判断这个几何 体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你 试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为 2 的 三棱柱， 并指出截去的几何体的特征， 在立体图中画出截面．
其中，错误的个数是(
A．0 C．2
)
B．1 D．3
[自主解答]
对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错，
②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少 需有四个顶点．当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而 一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③ 是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的 侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的 顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故④是正
)
解析：只有正棱台的侧棱都相等．
答案：C
3．下列几何体中棱柱的个数为(
)
A．5
B．4
C．3
D．2解析：由棱柱的定Fra bibliotek及特征知①③为棱柱．
答案：D
4．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成________个三角形． 解析：用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，
分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱 锥，共有4个三角形．
答案：4
5．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确
的是________． ①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体； ②该几何体有12条棱、6个顶点； ③该几何体有8个面，并且各面均为三角形； ④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角 形．
解析：用平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成
的几何体是棱柱吗？
[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形， 所以所围成的几何体是棱柱．
[错因] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面 都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面围成的几何体叫做棱柱．显然题中漏掉了“并且每相
因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD 是它的一个截面而不是一个面，故填④.
答案：④
6．如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′、
C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成
两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说 明理由．
[核心必知] 1．简单多面体的定义 把由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．
2．几种常见的简单多面体
4．集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
4．集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
[问题思考] 1．如图所示的几何体是不是锥体，为什么？
提示：不是锥体．因为锥体的各侧棱必交于一点，而此 物体不具备这一特征，所以不是锥体．
确的．
[答案] B
认识、判断一个几何体的结构特征，主要从它的
侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握 好各几何体的概念，才能认清其属性．
练一练
1．下列命题中正确的是(
)
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱 D．棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等 解析：A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱 柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有 五个面、六个顶点、九条棱．
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是
棱台
A．0个 C．2个 B．1个 D．3个
解析：①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反
例(如下图所示)加以检验，故②③均不对．
答案：A
2．棱台不一定具有的性质是( A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
解析：将过固定的一边的两端点的互相平行的两个侧面作为 棱柱的底面，其他面作为棱柱的侧面来看待，正好符合棱柱 的结构特征．
答案：A
3．如图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形 成的几何体可由哪些简单几何体组成？
解：该几何体可由一个长方体补上一个三棱柱得到(如图①)； 也可以由长方体切割去一个三棱柱得到(如图②)．
邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的 几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有 的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义 判定． [正解] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．
1．下列说法正确的有(
)
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结 合它的面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它符 合哪种几何体的结构特征或是由哪些几何体组合而 成的几何体，并能用适当的平面将其分割开．
练一练
2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾 斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( A．棱柱 C．棱柱与棱锥组合体 B．棱台 D．不能确定 )
高中数学第一章立体几何初步1.1简单几何体1.1.2简单多面体省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课
答案:A
反思只有了解并掌握好各种简单多面体概念及对应结构特征,才
能对问题作出正确判断.
第18页
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 有以下四个命题:①棱台上、下底面多边形是相
同;②用一个平面去截棱锥,夹在底面和截面间几何体是棱台;③棱
台上、下底面边长之比等于棱台高与截得此棱台棱锥高比;④两个
同一点,故④不正确.
答案:①
第19页
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三 简单多面体有关量的计算
【例3】 已知,在正三棱锥V-ABC中,底面边长为8,侧棱长为2 6,
计算它高和斜高.
分析本题主要考查正三棱锥中基本量计算,关键是把已知量与未
知量放到直角三角形中求解.
第20页
题型一
题型二
题型三
题型四
解如图所表示,设O是底面中心,连接AO并延长,交BC于点D,则D
定义,故不是棱柱,也不是棱锥,也不是棱台,但它是一个多面体.
第31页
面公共顶点叫作棱柱顶点.如图所表示.
第4页
(2)表示:通惯用底面各顶点字母表示棱柱.如上图中棱柱可记作:
五棱柱ABCDE-A'B'C'D'E'.
(3)分类:按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(4)特殊棱柱:侧棱垂直于底面棱柱叫作直棱柱,底面是正多边形
直棱柱叫作正棱柱.
(5)棱柱性质有:
②若过相对棱两个截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
③若侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;
④若四棱柱四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.
其中,真命题序号是
2016-2017学年高中数学 第一章立体几何初步 1.1.2 简单多面体课件 北师大版必修2
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解:(1)错误.棱锥的侧面一定是三角形,可以是等腰三角形,也可以 是正三角形,例如棱长均相等的正三棱锥的各个面都是正三角形.
(2)正确.在三棱锥中,共有4个面,每一个面均可作为底面,每一个 顶点均可作为棱锥的顶点.
(3)错误.只有当棱锥被与其底面平行的平面所截时,才能截得一 个棱锥和一个棱台.
4.棱台 (1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截 面之间的部分叫作棱台.原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和 上底面,其他各面叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的 侧棱.如图所示.
(2)表示:用表示底面各顶点的字母表示棱台.如上图中的棱台可记 作:四棱台ABCD-A'B'C'D'. (3)分类:按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台…… (4)特殊的棱台:用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是 全等的等腰梯形.
锥的顶点,于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点,故命题④
为真命题.故选A. 答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1 下列说法中正确的是
.
①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4
个顶点;
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;
其中假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解析:解答本题可先根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征进行详细
分析,再结合已知的各个命题具体条件进行具体分析.显然命题① ②③均是真命题.对于命题④,棱台的侧棱所在的直线就是截得原
2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 构成空间几何体基本元素多面体棱柱棱
1.1.1 构成空间几何体基本元素多面体棱柱棱锥棱台一．学习要点：棱柱、棱锥和棱台的几何结构特征 二．学习过程： 1．多面体观察下列几何体：观察·探索·研究：多面体的哪些性质可以作为它的特征性质？多面体的每个面都是多边形。
（圆柱、圆锥、球等其他几何体就不具有这种性质。
多面体的有关概念：（a ）多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体。
（b ） 多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。
（c ） 多面体的棱：相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱。
（d ） 多面体的顶点：棱和棱的公共点叫做多面体的顶点。
（e ） 多面体的对角线：连结不在同一个面上的两个顶点的线段 叫做多面体的对角线。
(f)凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果 其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体。
特别说明：我们所说的多面体，如果没有特别说明，指的都是凸多面体。
(g)多面体的分类：按照围成它的面的个数分为四面体、五面体、六面体……(h)几何体的截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形，叫做这个几何体的截面。
2．棱柱哪些性质可以作为棱柱的特征性质？(1) 棱柱的特征性质：棱柱有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行。
(2)棱柱的有关概念：(a)棱柱：将一个多边形上各点都沿着同一方向移动相同的距离所形成的几何体。
(b)棱柱的底面：棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的底面。
(c)棱柱的侧面：除底面外的各面叫做棱柱的侧面。
(d)棱柱的侧棱：两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
(e)棱柱的高：棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的高。
(3)棱柱的表示法：棱柱ABCDE 11111A B C D E ，或棱柱1AC ． (4)棱柱的分类：按底面多边形的边数分类： 三棱柱、四棱柱、五棱柱……按侧棱与底面的位置关系及底面的形状分类： 斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱。
2018_2019高中数学第一章立体几何初步1.1.2简单多面体课件北师大版必修2
【 探究 4】
长 方体中， a ， b ， c 为棱长，且 a>b>c ，求沿长
方体表面从 P 到 Q 的最小距离 ( 其中 P ， Q 是长方体对角线 的两个端点)．
解 将长方体展开，有三种情况(如图)．
d1＝ a2＋b＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2bc， d2＝ c2＋a＋b2＝ a2＋b2＋c2＋2ab， d3＝ b2＋a＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2ac， 因为 a>b>c，故 dmin＝d1＝ a2＋b＋c2.
答案 D
规律方法 棱柱的结构特征： (1)两个面互相平行； (2)其余各面都是四边形；
(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满 足其他特征．
【训练 1】 名称：
根 据下列关于空间几何体的描述，说出几何体
(1)由6个平行四边形围成的几何体．
(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其
定底面
看侧棱
只有一个面是多边形， 两个互相平行的面，即为底 此面即为底面 相交于一点 面 延长后相交于一点
【训练2】 如图，三棱台A′B′C′－ABC
截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是( 解析 剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C. 答案 B ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱柱
互动 探究
1． 2
简单多面体
学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体— —棱柱、棱锥、棱台的结构特征(重点)；2.能运用棱柱、棱锥、 棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算(重、难点)．
知识点一 多面体 我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作 多面体 ．其 中棱柱、棱锥、棱台都是 简单多面体 ．
2017_18版高中数学第一章立体几何初步1简单几何体学案北师大必修
1 简单几何体学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质．知识点一两平面平行和直线与平面垂直的概念思考1 如何定义两平面平行？思考2 如何判定直线与平面垂直？梳理(1)________________的两个平面平行．(2)如果一条直线与一个平面内的__________________都垂直，则这条直线与这个平面垂直．知识点二旋转体与多面体旋转体一条__________绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作____________；封闭的旋转面围成的几何体叫作______________多面体把若干个________________围成的几何体叫作________________知识点三常见的旋转体及概念思考1 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？思考2 能否由圆锥得到圆台？梳理名称图形及表示定义相关概念球记作：球O 球面：以________________所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的________叫作球面．球体：球面所围成的几何体叫作球体，简称球球心：半圆的________．球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段．球的直径：连接__________上两点并且过______的线段圆柱记作：圆柱OO′以________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆柱高：在__________上这条边的长度．底面：垂直于____________的边旋转而成的________．侧面：__________________的边旋转而成的曲面．母线：__________________的边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线圆锥记作：圆锥OO′以直角三角形的__________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆锥圆台记作：圆台OO′以直角梯形_____ _____________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆台特别提醒：(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．知识点四常见的多面体及相关概念思考观察下列多面体，试指明其类别．梳理(1)棱柱①定义要点：(ⅰ)两个面________________；(ⅱ)其余各面都是________________；(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都________________．②相关概念：底面：两个________________的面．侧面：除底面外的其余各面．侧棱：相邻______________的公共边．顶点：底面多边形与________的公共顶点．③记法：如三棱柱ABC－A1B1C1.④分类及特殊棱柱：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、…….(ⅱ)直棱柱：侧棱________于底面的棱柱．(ⅲ)正棱柱：底面是________________的直棱柱．(2)棱锥①定义要点：(ⅰ)有一个面是________________；(ⅱ)其余各面是三角形；(ⅲ)这些三角形有一个________________．②相关概念：底面：除去棱锥的侧面余下的那个________________．侧面：除底面外的其余__________面．侧棱：相邻两个________的公共边．顶点：________的公共顶点．③记法：如三棱锥S－ABC.④分类及特殊棱锥：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有________、__________、__________、……，(ⅱ)正棱锥：底面是______________，且各侧面________的棱锥．(3)棱台①定义要点：用一个______________________的平面去截棱锥，________与________之间的部分．②相关概念：上底面：原棱锥的________．下底面：原________的底面．侧棱：相邻的________的公共边．顶点：________与底面的公共顶点．③记法：如三棱台ABC－A1B1C1.④分类及特殊棱台：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、……，(ⅱ)正棱台：由________________截得的棱台．类型一旋转体的概念例1 下列命题正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3类型二多面体及其简单应用例2 (1)下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．(提示：可以证明BC綊MN)引申探究若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱锥吗？反思与感悟(1)棱柱的识别方法①两个面互相平行．②其余各面都是四边形．③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．(2)棱锥的识别方法①有一个面是多边形．②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点．④对几类特殊棱锥的认识(ⅰ)三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体．它的每一个面都可以作为底面．(ⅱ)各棱都相等的三棱锥称为正四面体．(ⅲ)正棱锥有以下性质：侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直．(3)棱台的识别方法①上、下底面互相平行．②各侧棱延长交于一点．跟踪训练2 下列说法正确的是( )A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱C．棱锥的侧面可以是四边形D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面1．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个2．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台3．下面有关棱台说法中，正确的是( )A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形4．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是( ) A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．棱柱、棱锥、棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台．答案精析问题导学知识点一思考1 两平面无公共点．思考2 直线和平面内的任何一条直线都垂直．梳理(1)无公共点(2)任何一条直线知识点二平面曲线旋转面旋转体平面多边形多面体知识点三思考1 不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．思考2 用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．梳理半圆的直径曲面圆心球面球心矩形的一边曲面一条直角边曲面垂直于底边的腰曲面旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴不垂直于旋转轴知识点四思考(1)五棱柱；(2)四棱锥；(3)三棱台．梳理(1)①(ⅰ)互相平行(ⅱ)四边形(ⅲ)互相平行②互相平行两个侧面侧面④(ⅰ)三棱柱四棱柱五棱柱(ⅱ)垂直(ⅲ)正多边形(2)①(ⅰ)多边形(ⅲ)公共顶点②多边形三角形侧面侧面④(ⅰ)三棱锥四棱锥五棱锥(ⅱ)正多边形全等(3)①平行于棱锥底面底面截面②截面棱锥侧面侧面④(ⅰ)三棱台四棱台五棱台(ⅱ)正棱锥题型探究例1 ④⑤⑥解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．跟踪训练1 C例2 3解析①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错；②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；根据棱锥的概念知，③正确；根据棱台的概念知，④正确；棱柱的底面可以是三角形，故⑤错．正确的个数为3.(2)解①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1－DCND1.引申探究解如图，几何体B－A1B1C1就是三棱锥．跟踪训练2 B [A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．]当堂训练1．D [由棱柱的定义知，①③为棱柱．]2．D [由旋转体的结构特征知，D正确．]3．B [由棱台的结构特征知，B正确．]4．B [中线AD⊥BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥．]5．2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知，圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝34AB2，∴3＝34AB2，∴AB＝2.故答案为2.。
2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.1简单几何体学案北师大版必修2201711305
§1简单几何体1.1简单旋转体1.2简单多面体1.了解柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.掌握简单几何体的分类.3.理解圆柱、圆锥、圆台及球的概念.(重点、难点)4.理解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的概念.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1两个平面平行及直线与平面垂直的概念阅读教材P3“1.1简单旋转体”以上部分，完成下列问题.1.两个平面平行：称无公共点的两个平面是平行的.2.直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称为直线与平面垂直.长方体相对的两个侧面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定【解析】根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平行，故选A.【答案】 A教材整理2简单的旋转体阅读教材P3“1.1简单旋转体”以下至P4“1.2简单多面体”以上部分，完成下列问题.1.定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.2.球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：名称定义图形表示相关概念以半圆的直径所在的直线为球心：半圆的圆心；球旋转轴，将半圆旋转所形成球的半径：连接球心和球面上的曲面叫作球面.球面所围任意一点的线段；成的几何体叫作球体，简称球的直径：连接球面上两点并球且过球心的线段分别以矩形的一边、直角三高：在旋转轴上这条边的长度；角形的一条直角边、直角梯底面：垂直于旋转轴的边旋转圆柱、形垂直于底边的腰所在的直而成的圆面；圆锥、线为旋转轴，其余各边旋转侧面：不垂直于旋转轴的边旋圆台而形成的曲面所围成的几何转而成的曲面；母线：不垂直体分别叫作圆柱、圆锥、圆于旋转轴的边旋转，无论转到台什么位置，都叫作侧面的母线下列说法正确的是()A.直线绕定直线旋转形成柱面B.半圆绕定直线旋转形成球体C.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱D.圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的【解析】直线与定直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B错误；矩形绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故C 错误，所以应选D.【答案】 D教材整理3简单的多面体阅读教材P4“1.2简单多面体”以下至P5部分，完成下列问题.1.简单多面体的定义把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体.2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形棱柱AC′或棱柱棱锥SAC或棱锥棱台AC′或棱台表示ABCDEA′B′C′D′E′SABCDE ABCDA′B′C′D′两个面互相平行，其余各有一个面是多边形，用一个平行于棱锥底面的平面结构面都是四边形，并且每相其余各面是有一个公去截棱锥，底面与截面之间的特征邻两个四边形的公共边共顶点的三角形部分都互相平行相交于一点，但不一延长线交于一点，但不一定相侧棱平行且相等定相等等侧面平行四边形三角形梯形底面平行且全等的多边形多边形平行且边数相等的多边形下列几何体中，是棱锥的是()【解析】由棱锥的定义可知，选B.【答案】 B[小组合作型]旋转体的结构特征下列叙述中，正确的个数是()(1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台；(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；(4)圆面绕它的任一直径所在直线旋转形成的几何体是球.A.0个B.1个C.2个D.3个【精彩点拨】解答时可根据旋转体的概念和性质进行具体分析.【自主解答】(1)应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故(1)错；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故(2)错；(3) 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故(3)错；(4)正确.【答案】 B1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.[再练一题]1.下列说法正确的是________.①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；③在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球.【解析】①错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.②正确.③错.应为球面.【答案】②多面体棱柱、的结构特征下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱柱的侧面一定是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.【导学号：39292000】【精彩点拨】根据棱锥、棱台的结构特征判断.【自主解答】(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形；(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.【答案】(2)(3)(4)判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法：(1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法：棱柱棱锥棱台两个互相平行的面，即只有一个面是多边形，两个互相平行的面，即为定底面为底面此面即为底面底面看侧棱平行相交于一点延长后相交于一点[再练一题]2.给出下列几个结论：①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；②多面体至少有四个面；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点.其中，错误的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，所以③是正确的.【答案】 A[探究共研型]简单组合体的识别和截面问题探究1观察下列四个几何体，其中哪些是由两个棱柱拼接而成的？图111【提示】(1)可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，(4)可看作由两个四棱柱组合而成.探究2试描述下列几何体的结构特征.图112【提示】图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.如图113所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.图113【精彩点拨】过圆锥的轴作截面，利用三角形的相似来解决.【自主解答】设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示.则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm，SA′O′A′ 3 r 1∴＝，∴＝＝，SA OA3＋l4r 4解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.1.识别简单组合体的构成方法：组合体是由简单几何体通过拼接、截去或挖去一部分而形成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球体的几何结构特征，对原组合体进行分割.2.与圆锥有关的截面问题的解决策略：求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解.通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解.巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决.[再练一题]3.一个正方体内接于高为40 cm，底面圆的半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长.【解】如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，2x2 2 40－x 则OC＝x，∴＝，2 30 40解得x＝120(3－2 2)，∴正方体的棱长为120(3－2 2)cm.1.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是()A.①②B.②③C.①③D.②④【解析】依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误.【答案】 D2.下列说法中正确的是()【导学号：39292001】A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱的侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.【答案】 A3.下面几何体的截面一定是圆面的是()A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台【解析】无论用怎样的平面去截球，截面一定是圆面，其他三个旋转体截面则不一定是圆面.【答案】 C4.已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________.3【解析】设正三角形的边长为a，则a2＝3，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截43面三角形的高，所以所求的高为a＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以2母线长为2.【答案】3，25.如图114所示为长方体ABCDA′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′，C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由.图114【解】截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面.截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 简单多面体课件2高一数学课件
（1）)．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体(下 图(2)(3)(4))．底面是矩形的直平行六面体是长方体(下图 (3)(4)．棱长都相等的长方体是正方体(下图(4))．
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Ⅱ、棱锥
有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,
如(l果éng棱zhuī锥) 的底面是…正…多边形,且各侧面全等,就称作
正棱锥,正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.
特殊(tèshū)的三棱锥：
三棱锥也叫做四面体
正三棱锥 SAB底面C A为B正C三角形其
余(qíyú)侧面为等腰三角形;
正四面体 SA每B个C面均为正三角形
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这些面围成的几何体叫作棱锥.
基本概念： 底面：除去棱锥的侧面余下的那个多边形． 侧面：除底面外的其余三角形面． 侧棱：两个侧面的公共边． 顶点：侧面的公共顶点． 高：顶点到地面的距离 斜高：侧面三角形的高
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分类：
三棱锥(léSngzhuīA) BC 四棱S锥ABCD
§1.2 简单 页，共十六页。
学 1.通过实物观察,增强学生的直观感知. 习 2.能说出棱柱、棱锥、棱台的定义,记住相关的概 目 念,知道棱柱、棱锥、棱台的分类. 标 3.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
重 重点:明确棱柱、棱锥、棱台的定义、结构特征 点 及其分类. 难 难点:棱柱、棱锥、棱台的结构特征.疑点:棱柱、 点 棱锥、棱台的结构特征的理解.
4、一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么
它的三个侧面(cèmiàn)( D) A.必定都不是直角三角形
2017_18版高中数学第一章立体几何初步章末复习课学案北师大必修
第一章立体几何初步学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的三视图与直观图，能计算几何体的表面积与体积．1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面____________，其余各面都是__________，并且每相邻两个四边形的公共边都__________S侧＝Ch，C为底面的周长，h为高V＝Sh棱锥有一个面是__________，其余各面都是________________的三角形S正棱锥侧＝12Ch′，C为底面的周长，h′为斜高V＝13Sh，h为高棱台用一个________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分S正棱台侧＝12(C＋C′)h′，C，C′为底面的周长，h′为斜高V＝13(S上＋S下＋S上S下)h，h为高旋转体圆柱以________________所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝2πrh，r为底面半径，h为高V＝Sh＝πr2h圆锥以直角三角形的______________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝πrl，r为底面半径，h为高V＝13Sh＝13πr2h圆台用__________________的平面去截圆锥，____________之间的部分S侧＝π(r1＋r2)l，r1，r2为底面半径，l为母线V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h球以__________所在直线为旋转轴，________旋转一周形成的旋转体S球面＝4πR2，R为球的半径V＝43πR32.空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化.(3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段．②等积变换，如三棱锥转移顶点等．③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．3．四个公理公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：过________________________的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有____________________________．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相________．4．直线与直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点5．平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件结论 a ∥αb ∥αa ∩α＝∅ a ∥b(2)面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 α∥β，a β结论 α∥βα∥βa ∥ba ∥α(3)空间中的平行关系的内在联系6．垂直的判定与性质 (1)直线与平面垂直图形条件结论判定a ⊥b ，b α(b 为α内的________直线)a ⊥αa⊥m，a⊥n，m、nα，________________a⊥αa∥b，________b⊥α性质a⊥α，________a⊥ba⊥α，b⊥α(2)平面与平面垂直的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条________，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫lβl⊥α⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝alβl⊥a⇒l⊥α(3)空间中的垂直关系的内在联系7．空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________________叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围：设两异面直线所成角为θ，则________________．(2)二面角的有关概念①二面角：从一条直线和由这条直线出发的__________所组成的图形叫作二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作________________的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．类型一由三视图求几何体的表面积与体积例1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．12 B．18C．24 D．30反思与感悟(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．跟踪训练1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3B．3πC.10π3D．6π类型二平行问题例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB 上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．反思与感悟(1)证明线线平行的依据①平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；②公理4；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理；⑤线面垂直的性质定理．(2)证明线面平行的依据①定义；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理．(3)证明面面平行的依据①定义；②面面平行的判定定理；③线面垂直的性质定理；④面面平行的传递性．跟踪训练2 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.类型三垂直问题例3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.反思与感悟(1)两条异面直线相互垂直的证明方法①定义；②线面垂直的性质定理．(2)直线和平面垂直的证明方法①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理．(3)平面和平面相互垂直的证明方法①定义；②面面垂直的判定定理．跟踪训练3 如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1.(1)求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；(2)求证：BC1⊥AB1.类型四空间角问题例4 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；(2)求平面MEF与NEF的夹角的正切值．反思与感悟(1)面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法．(2)找二面角的平面角的方法有以下两种：①作棱的垂面；②过一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线．跟踪训练4 如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是AB 的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B－PA－C的余弦值．1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱2．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，则m∥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的序号是( )A．① B．②和③ C．③和④ D．①和④3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1DD．异面直线AD与CB1所成的角为45°4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2，体积是________cm3.5. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点．求证：(1)C1O∥平面AB1D1；(2)A1C⊥平面AB1D1.1.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为2．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．答案精析知识梳理1．互相平行四边形互相平行多边形有一个公共顶点平行于棱锥底面矩形的一边一条直角边平行于圆锥底面底面和截面半圆的直径半圆面3．两点不在同一条直线上一条过该点的公共直线平行4．平行相交任何5．(1)a∩α＝∅aα，bα，a∥ba∥αa∥α，aβ，α∩β＝b(2)α∩β＝∅aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b6．(1)任意m∩n＝O a⊥αbαa∥b(2)垂线7．(1)①锐角(或直角) ②0°<θ≤90°(2)①两个半平面②垂直于棱题型探究例1 C [由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，111ABC A B C V 棱柱－＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，111P A B C V －棱锥＝13111A B C S ·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABC －PA 1C 1的体积为30－6＝24.故选C.] 跟踪训练1 B [将三视图还原为直观图求体积．由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V ＝34×π×12×4＝3π.]例2 解当点F 是PB 的中点时，平面AFC ∥平面PMD ，证明如下：如图连接AC 和BD 交于点O ，连接FO ，则PF ＝12PB .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是BD 的中点．∴OF ∥PD . 又OF 平面PMD ，PD 平面PMD ， ∴OF ∥平面PMD .又MA 綊12PB ，∴PF 綊MA .∴四边形AFPM 是平行四边形． ∴AF ∥PM .又AF 平面PMD ，PM 平面PMD . ∴AF ∥平面PMD .又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.跟踪训练2 证明(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于点M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为PA中点，得QM∥PC，又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.例3 证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.跟踪训练3 证明(1)设BC的中点为M，∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC. ∵AC平面ABC，∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，∴AC⊥平面B1C1CB.又∵AC平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)连接B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝CC1.∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.例4 (1)证明连接MN，∵N，F均为所在棱的中点，∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.又∵M，E均为所在棱的中点，∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形．∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE，∴MN⊥平面NEF.而MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.(2)解在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.由(1)知MN⊥平面NEF，又EF平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.∴∠MGN为平面MEF与平面NEF的夹角．设该正方体的棱长为2， 在Rt△NEF 中，NG ＝NE ·NF EF＝233， ∴在Rt△MNG 中，tan∠MGN ＝MNNG＝2233＝62. ∴平面MEF 与平面NEF 的夹角的正切值为62. 跟踪训练4 (1)证明 连接OC .∵PO ⊥底面⊙O ，AC 底面⊙O ， ∴AC ⊥PO .∵OA ＝OC ，D 是AC 的中点，∴AC ⊥OD . 又∵OD ∩PO ＝O ， ∴AC ⊥平面POD . 又∵AC 平面PAC ， ∴平面POD ⊥平面PAC .(2)解 在平面POD 中，过点O 作OH ⊥PD 于点H . 由(1)知，平面POD ⊥平面PAC ， ∴OH ⊥平面PAC .又∵PA 平面PAC ，∴PA ⊥OH .在平面PAO 中，过点O 作OG ⊥PA 于点G ，连接HG ， 则有PA ⊥平面OGH ，∴PA ⊥HG . 故∠OGH 为二面角B －PA －C 的平面角． ∵C 是AB 的中点，AB 是直径， ∴OC ⊥AB .在Rt△ODA 中，OD ＝OA ·sin 45°＝22. 在Rt△POD 中，OH ＝PO ·OD PD ＝PO ·OD PO 2＋OD 2＝2×222＋12＝105. 在Rt△POA 中，OG ＝PO ·OA PA ＝PO ·OA PO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63.在Rt△OHG 中，sin∠OGH ＝OH OG ＝10563＝155. ∴cos∠OGH ＝1－sin 2∠OGH ＝1－1525＝105. 故二面角B －PA －C 的余弦值为105. 当堂训练 1．C 2.A 3．C 4．80 40解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm ，下面长方体的底面边长为4 cm ，高为2 cm ，其直观图如图所示，其表面积S ＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm 2)．体积V ＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm 3)．5．证明 (1)连接A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，连接AO 1， ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体， ∴A 1ACC 1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1＝AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1＝AO，∴四边形AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1，AO1平面AB1D1，C1O平面AB1D1，∴C1O∥平面AB1D1.(2)∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D，∴CC1⊥B1D1，又∵A1C1⊥B1D1，CC1∩A1C1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1CA，∵A1C平面A1C1CA，∴A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又B1D1∩AB1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.。