平面立体的切割
正方体的平面切割和截面特征
正方体的平面切割和截面特征正方体是一种六个面都相等且每个面都是直角四边形的立体图形。
平面切割是指将正方体沿着平面进行切割，从而得到不同的截面。
每个截面都有其特征和属性。
本文将探讨正方体平面切割和截面的特征。
首先，我们来了解一下正方体的基本属性。
正方体的六个面都是正方形，相邻面之间的边长相等。
通常，我们用字母a来表示正方体的边长。
此外，正方体的体积可以通过边长的三次方来计算，即V = a³；表面积可以通过边长的平方乘以六来计算，即S = 6a²。
接下来，我们讨论正方体的平面切割。
平面切割正方体时，切割面可以与正方体的面平行，也可以与正方体的面垂直。
对于平行切割，我们可以得到与正方体底面相似的平行四边形。
这些平行四边形的边长和对应边的长度比例与正方体底面相同。
当切割面与正方体的面垂直时，我们将得到线段、正方形、三角形或其他多边形的截面形状。
在平行切割的情况下，截面的特征与正方体的底面相似。
例如，如果我们将正方体平行地切割成一系列平行四边形，这些四边形的形状和相似性将与底面相同。
然而，它们的大小可能会有所不同，但比例关系将保持不变。
当切割面与正方体的面垂直时，截面的形状将根据切割的位置和角度而有所不同。
根据切割的位置，截面可以是线段、正方形、长方形、三角形或其他多边形。
在这些截面中，正方形和长方形出现的频率最高，因为它们是与正方体面相关联的形状。
此外，截面的边长可能与正方体的边长有关，但不一定相等。
当切割面与正方体的对角线平行时，我们将得到等腰直角三角形的截面。
这是因为对角线与正方体的边相切，并且正方体的边是直角的。
所以，切割面与对角线所包围出的截面将是等腰直角三角形。
在切割正方体时，我们还可以观察到一些有趣的截面特征。
例如，当切割面与相对的两条棱平行时，我们将得到矩形形状的截面。
这是因为切割面与这两条棱所包围出的空间将是一个矩形。
总结一下，正方体的平面切割和截面特征是多样化的。
通过平行或垂直切割，我们可以得到与正方体底面相似的平行四边形，以及线段、正方形、长方形、三角形或其他多边形的截面形状。
切割体13详解
分析：槽是由三个截平面形 成的，左右对称的两个截平 面是平行于圆柱轴线的侧平 面，它们与圆柱面的截交线 均为两条直素线。另一个截 平面是垂直于圆柱轴线的水 平面，它与圆柱面的截交线 为两段圆弧。三个截平面间 产生了两条交线，均为正垂线。
• 1
•5 (3)
完成后的投影图
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立 体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只 要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面 之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
第八章 切割体的视图
第一节 平面切割体的视图
截切——用一个与立体相交
的平面， 截去立体的一部分。
截平面——用以截切立体的 截交线
平面。
截交线——截平面与立体
表面的交线。
截断面
截断面——因截平面的截切，
在立体上形成的平面。
截平面
一、平面立体截切的基本形式
截交线的性质：
封闭性:平面立体的截交线是一个由直线组成的平面封闭多边 形，其形状取决于平面立体的形状及截平面在平面立体上的截 切位置。 共有性:截交线的每条边都是截平面与棱面的交线。
例、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个 投影。
8' 6'（7'）
8"
7"
6"
4' （5'） 5"
2' （3'） 1'
3"
2"
1"
3 1
5 7
8
具体由步于骤平如面下与：圆柱的轴线 斜交，因此截交线为一椭圆。 截（（交2134）））线先再将补的作作这全正出出些侧面截适点面投交当的投影线数投影重上量影中影的为一 4" 直的特依线一殊次转，般点光向水点。滑轮平。的廓投连线影接。与起圆来柱。面的 投影重影为圆。侧面投影可
建筑工程制图复习重点
5 8
16
4
3
7
2
注意：切口的形成及各断面的形状。
6
【例4】求圆柱切割体的投影。
8(9) 4(5) 2(3) 6(7) 1
9
8
5
4
3 7
2
6 1
3 7
1
9 ( 5)
yy
yy
6
8(4)
2
7
【例5】求圆锥切割体的投影。
10
8(9) 4(5) 6(7)
。
建筑平面图中，横向定位轴线的编号用
从
至
依次编写；次编写。
22
标高应以 为单位。
标高以青岛附近的黄海平均海平面为零
点；
标高以房屋的室内地坪为零点。
标高是构件包
括粉刷层在内的、装修完成后的标高；
标高是构件的不包括
粉刷层在内的标高。
一般房屋有四个立面，通常把反映房屋主要出入口的立面称为
复习总结
一. 平面上定点 二. 平面立体的切割 三. 曲面立体的切割 四. 轴测投影（正等测） 五. 已知形体的立体图画形体的三面投影图 六. 已知形体的两面投影图画形体的第三面投影图 七. 剖面和断面 八. 填空
1
【例1】已知平面四边形ABCD的V面投影和ABC的H面投
影，试求全其H面投影。
a
34
7—3 读图题 阅读教材第七章中某学校办公楼的部分建筑施工图，然后完成 下列各题。 （1）新建办公楼的主要出入口在 南立面 面，确定办公楼位置 的尺寸为 办公楼的南墙距传达室的北墙为11.50m，办公楼的西 墙距原教学楼的东墙为10.00m ，宿舍楼有 四 层。室内零点标 高为 46.20m ； 室内零点标高与室外地坪的高差为 0.6m ； 食堂旁边的虚线表示 食堂将计划扩建的 部分。从图中等高线 可以看出， 西北角 地势较高，东南 较平坦。 （2）底层平面图中②～⑦轴线之间的办公室开间尺寸为 3.600m 。盥洗室的地面比底层室内地面低 0.020m 。走廊采 光的高窗有 三 种类型，编号分别为 C-6、C-7、C-8 。
截交线-平面切割平面立体讲解
小结
平面与平面立体相交，其截交线是一封闭 的平面折线。求平面与平面立体的截交线， 应先求出立体棱线与截平面的交点，并判 别可见性，然后依次连接各交点，即为所 求的截交线的投影。
谢 谢！
平面切割平面立体
§3-2 截交线的投影作图
截切立体的平面，称为截平面。 平面截切立体所得的表面交线，叫截交线。 截交线所围成的平面图形，称为截断面。
§3-2-1 截交线的基本性质
(1) 由于基本体表面是有范围的，所以截 交线必定是封闭的平面图形。
(2) 截交线是截平面和基本体表面共有的 线，截交线上的点都是它们的共有点。
平面切割长方体
1’(4’)
主视图
2’(3’)
左视图
3”
2”
4”
1”
4
3
45°
1 俯视2图
截断面
截交线
截平面
Ⅳ
Ⅲ
P
Ⅱ
Ⅰ
§3-2-2 平面截交线的特点
平面与平面立体的截交线为封闭的多边形。 多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线
或底边的交点，多边形的各条边是截平面 与平面立体表面的交线。
（一）水平面切割正六棱柱
主视图
左视图
俯视图
（二）正垂面切割正六棱柱
4’
3’(5’)
5”
4” 3”
2’(6’)
6”
1”
2”
1’
6 1
2
5 4
3
Ⅴ
Ⅳ
Ⅵ
P
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
§3-2-3 平面截交线的作图步骤
分析立体的表面性质，截平面与投影面的 相对位置，截平面与立体的相对位置，初 步判断截交线的形状及其投影。
第五章切割体及尺寸标注
第二节 回转体表面的截交线 （续）
三、圆柱表面的截交线
根据截平面与圆柱的相对位置不同，圆柱表面截交线的形状有三种情 况：
第二节 回转体表面的截交线 （续）
例5—4 画出圆柱体被正垂面截切后的侧面投影。
第二节 回转体表面的截交线 （续）
分析：截平面与圆柱体的相对 位置是倾斜于圆柱的轴线，其截 交线为椭圆。因为截平面的正面 投影积聚为直线，则截交线的正 面投影在该直线上；可由正面投 影定出截交线上特殊点A（最低 点 ） 、C（ 最 高 点 ）、B（最前 点）、D（最后点）；定出一般 点E、F。因为圆柱的水平投影积 聚为圆。则截交线上各点的水平 投影积聚在该圆上。根据截交线 的水平投影和侧面投影，即可画 出截交线的侧面投影。
第二节 回转体表面的截交线 （续）
例5-11 求做顶尖左端的截交线。
第二节 回转体表面的截交线 （续）
分析：从顶尖的立体图可看出，顶尖头部是由圆锥和圆柱同轴组合而成，被水平面 P和正垂面Q所截切。截交线由三部分组成：水平截平面截切圆锥面截得双曲线；截 切圆柱面得两平行于轴线的直线段；正垂截面截切圆柱截得椭圆弧。截交线的正面 投影和侧面投影都有积聚性，只需要做出水平投影。
第一节 平面立体表面的截交线 （续）
一、棱柱表面的截交线
作棱柱表面截交线时，一 般先分析棱柱的放置位置，截平 面与棱柱的哪些表面相交，想象 出截断面的形状。画图时，一般 根据已知的投影图，先画出断面 多边形中各点的投影，然后判别 可见性，各点依次连线。
第一节 平面立体表面的截交线 （续）
例5—1 已知正六棱柱被正垂面和侧平面截切（由正面投影 表示），补画出被截切后正六棱柱的其他投影。
第一节 平面立体表面的截交线
由于平面立体的表面是由平面围成，立体表面上的棱线为 直线，故截平面与平面立体相交，所得的截交线是平面多边形。 其多边形的顶点是平面立体上棱线与截平面的交点，多边形的边 是平面立体上棱面与截平面的交线。由此可见，求平面立体表面 的截交线，可先求出截断面中各顶点的投影，再按相邻点的顺序 依次连线，即可画出多边形的投影。
平面立体被切割截交线的绘制方法
技术与应用A PPLICATION151ＯＣＣＵＰＡＴＩＯＮ2014 10摘 要：所有复杂的零件都可以看成由一些基本体通过切割和叠加而成的组合体，切割相对于叠加对学生来说更加难以掌握。
笔者结合技工学校学生的特点，总结平面立体被切割的作图方法和步骤。
关键词：截交线 点的投影 作图方法平面立体被切割截交线的绘制方法文/周佳园 高 吉一、用单一平面切割平面立体以正六棱柱为例，讲解截交线的形成。
一是用之前所学习的基本体三视图的形成，让学生分析基本体的三视图，主要着重分析棱线的投影。
二是从截平面具有积聚性的视图入手，分析截平面截断了几条棱线，截交线就是几边形。
这里的棱线不仅包括侧棱线，还包括底面和顶面的底棱线和顶棱线，如图1所示。
此截平面为正垂面，在主视图上投影具有积聚性，从主视图入手解题，根据第一步的分析，截平面截断了三条侧棱线，两条顶棱线。
在主视图上标注出这五个点，如图1所示。
图1 图2三是这五个点在棱线上处于特殊位置，按照点的投影关系求出这五个点在俯视图和左视图上的投影，这一步让学生在黑板上完成，如图2所示。
四是把这五个点的同面投影连成线，擦去没用的线条，看不见的轮廓线改成虚线，如图3所示。
五是做完这道题目，教师变换截平面的位置，让学生自己按照刚才的方法，独立完成题目，然后教师再进行讲解，以达到巩固学习的目的。
图3 图4二、用组合平面切割平面立体以正四棱锥为例，讲解组合截交线的画法。
一是分析正四棱锥的三视图，在解棱锥被切割的问题时，建议把锥顶S 以及底面顶点A 、B 、C 、D 标记出来，这样求截交线的顶点在哪条棱线上、哪个棱面上，学生就一目了然了。
二是根据图4所示的截平面的位置，用两个组合平面切割正四棱锥时，两个平面在相交位置处会产生一条绞线，在做题时教师要一个截平面一个截平面地分析。
此时截交线的顶点不仅仅是位于棱线上，也会位于棱面上，教师要分析截平面切断几条棱线，两个平面的交线的顶点位于哪个侧棱面上，按照第一步的分析，根据SABCD 这样点的标记，可以分析出此位置有几条侧棱线。
探索立体几何中的平面切割数学教案
探索立体几何中的平面切割数学教案目标：通过本节课的学习，学生能够掌握立体几何中的平面切割的概念、性质和应用，并能运用所学知识解决相关问题。
一、导入（5分钟）在黑板上画出一个简单的立体图形，让学生观察并描述该图形的特点和形状。
引导学生思考：如何将立体图形切割成平面图形？二、概念讲解与示例分析（15分钟）1. 定义平面切割：平面切割是指将立体图形切割成平面图形的过程。
2. 讲解平面切割的原理：平面切割可以通过在立体图形内部引入一个平面来实现。
3. 分析平面切割的常见形式：a. 平行切割：切割平面与立体图形平行。
b. 垂直切割：切割平面与立体图形垂直。
c. 斜切割：切割平面与立体图形既不平行也不垂直。
4. 给出具体示例，让学生通过切割平面得出平面图形的特点和性质。
三、性质总结与练习（20分钟）1. 性质总结：a. 平面切割后得到的平面图形的边界是原立体图形的一个截面。
b. 平切立体图形得到的平面图形与原图形相似。
c. 垂切立体图形得到的平面图形是原图形的一个截面。
d. 斜切立体图形得到的平面图形既不是原图形的截面，也不与原图形相似。
2. 练习：根据不同的平面切割形式，完成相关题目，巩固所学知识。
四、应用拓展（20分钟）1. 应用讨论：通过实际例子，引导学生思考在生活中使用平面切割的场景，并讨论其作用与意义。
2. 实例分析：给出一系列实际问题，让学生运用所学知识解决，包括计算切割平面的位置与角度，以及推断切割后平面图形的特点。
五、归纳总结（10分钟）总结平面切割的概念、原理、常见形式、性质和应用，并强调其在几何学和生活中的重要性。
六、师生互动（5分钟）与学生互动，检查学生对平面切割的理解程度，并解答学生的问题。
七、作业布置（5分钟）布置相关作业，要求学生进一步巩固和应用所学知识，包括练习题和实际问题。
八、板书设计（5分钟）根据学习内容，整理并梳理板书，突出重点和关键词。
九、课堂小结（5分钟）对本节课的学习内容进行小结，并鼓励学生继续深入思考和探索立体几何中的平面切割。
立体几何切割问题
立体几何切割问题立体几何切割问题是几何学中的一类基本问题，它主要解决的是如何将某个物体以特定的方式分割成若干个部分。
在实际生产和工程设计中，常常需要进行对物体的切割以获得所需的形状。
因此，了解切割问题的解决方法具有重要的理论和实践意义。
立体几何切割问题的解决方法可以通过分割对象的不同特性进行分类。
一种方法是通过描绘物体的截面，从而得到物体的切割方式。
另一种方法是通过分割物体的表面，并找到该表面的交点，进而获得物体的容积信息。
以下是两种方法的详细解释。
一、基于截面的立体几何切割问题将物体以某个截面进行切割，并将其截面像平面上的平面图形一样进行处理是一种基本的方法。
这种方法的优势在于它可以更好地说明切割后的对象的几何形状。
截面也可以通过不同的角度进行描述，从而得到不同的结果。
例如，在平凡的情况下，一根棒子被真正地切断，其截面会是一个圆。
这个圆可以有不同的大小和角度，具体取决于切割的方向。
如果切割在不同的方向上，切割后的棒子也会有不同的直径和长度。
另一个例子是，一个正方体可以沿着不同的平面进行切割，从而得到不同的长度、宽度和高度。
在这种情况下，计算和说明截面的方向和形状是非常重要的。
通常，截面的描绘是通过使用几何图形、表格或公式进行。
这些描绘提供了对切割对象几何特征的详细描述，从而有助于理解其形状和结构。
二、基于表面交点的立体几何切割问题另一种常见的方法是基于物体表面上的交点。
在这种情况下，所考虑的问题是如何将一个物体分割，并在分割过程中识别其不同部分所占的容积。
这种方法通常用于确定物体大致的形状和大小，以及找到一些特殊的属性。
例如，在制作一个汽车座椅时，需要重点关注座椅底部与座垫之间的角度和弯曲。
如何确保它们完全契合，会影响座位的舒适度和安全性。
为了解决这些问题，需要首先对座椅进行切割，获得各部分的容积和尺寸信息。
对于这类问题，解决方案通常是通过将物体表面分成多个小区域，然后将它们的体积相加来获取该物体的总体积。
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5、作图步骤
（1）根据截平面的位置与曲面立体表面的 性质、判断截交线的形状和性质。 （2）根据截平面位置和曲面立体所处位置， 决定采用什么方法求共有点。 （3）求出截交线上的特殊点。 （4）根据需要求出若干个一般点。 （5）光滑且顺次地连接各点，作出截交线， 并且判断可见性。 （6）最后，补全可见性和不可见部分的轮 廓线或转向轮廓素线，并擦除被切掉的部 分。
截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
截平面：用来截切立体的平面称为截平面。 截断面：立体被截切后的断面称为截断面。 截交线：截平面与立体表面的交线称为截交线。
讨论的问题：截交线的分析和作图 。
平面立体的截交线
1、平面立体截交线的性质 2、平面立体截交线的求法 （1） 棱柱上截交线的求法 （2） 棱锥上截交线的求法
4、特殊点
特殊点是指绘制曲线时有影响的各种点，具体有： （1）极限点 确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、 最左和最右点。 （2）转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们 是区别曲线可见于不可见部分的分界点。 （3）特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上 四个端点。 （4）结合点 截交线由几部分不同的线段（曲线、直线） 组成时结合处的那些点。 对于特殊点，根据现有知识凡是能够求出来的都应求出。
35
1
6
2 4
6
5
4
3 1 2
Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
例7 求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影
解题步骤
1．分析:截平面的 正面投影积聚，截 交线的正面投影已 知，水平投影和侧 面投影待求；
2．求出截交线上 的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ ；
3．顺次地连接各 点，作出截交线， 并且判别可见性；
4。补全轮廓线。
§2 回转体的截交线
3 求作截交线的方法
（1）表面取点法 1）素线法 在曲面立体表面取若干条素线，并求出 这些素线与截平面的交点，将其依次光滑连接即得 所求的截交线。 2）纬圆法 在曲面立体表面取若干个纬圆，并求出 这些纬圆与截平面的交点，将其依次光滑连接即得 所求的截交线。
（2）辅助平面法 用三面共点的原理做适当数量的 辅助平面，然后求作辅助平面与立体表面以及截平 面的交线，则这两条交线的交点就是截交线上的点， 将这些点依次光滑连接即得所求截交线。 （3）求作截平面与复合回转体的截交线时，应把复 合回转体分解为基本几何体，分别求出截交线。求 作多个截平面与基本立体相交时，应按单一截平面 求截交线的方法，分别求出各截平面的截交线。
1 平面与平面立体的截交线的性质
1）截交线既在截平面上，又在 立体表面上，是截平面与立体 表面的共有线。 2）截交线的形状由直线围成的平面多边形。 3) 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
求截交线的实质是求两平面的交线
2 平面立体截交线的求法
平面立体被单个或多个平面切割后，既具有平面 立体的形状特征，又具有截平面的平面特征。因此 在看图或画图时，一般应先反映平面立体特征视图 多边框出发，想象出完整平面立体形状并画出其投 影，然后再根据截平面的空间位置，想象出截平面 的形状并画出其投影。平面立体上切口的画法，常 利用平面特性中“类似形”这一投影特征作图。
★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
例5：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1(2)
2●
1●
注意：
2
制截要交逐三线个面。截共当平点平面：面分体析只和有绘
局部Ⅰ被截、切Ⅱ时两，点先分假别想为
1
整同体时被位截切于，三求个出面截上交。线
后再取局部。
ห้องสมุดไป่ตู้ [例题6] 求立体切割后的投影
6
（5） 4
1
2 （3）
二 平面与圆柱相交
1、平面与圆柱相交所得截交线形状 2、求圆柱截交线上点的方法 3、例题
P′ b′
b″
e q a
b
d
P c
A,B,C在棱线上
例3 切口六棱柱的投影
对称切口
1′
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
2′ 3′
1″ 3″
2″
先画H面投影 （积聚特征）
1（2） 3
例4：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1
(4) 2
1 ●
4●
2●
Ⅰ Ⅳ
Ⅱ Ⅲ
3
●3
4 ●
3
1
●
●
●
2
★ 空间分析 截交★平线面的投与形影体状的？分几个析棱 ★面求相截交截交？线交在线俯、左视图 ★ 分析上棱的线形状的？投影
基本要求 一 概述 二 平面与 圆柱相交 三 平面与 圆锥相交 四 平面与 圆球相交 五 综合题
基本要求
1、掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球 相交，求表面交线的方法。 2、掌握回转体截交线的性质及求截交线的 方法
一、概述
1、 截交线的性质 2、 截交线的类型及形状 3、 求作截交线的方法 4、 截交线上的特殊点 5、 作图步骤
例 1: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影
P 4≡5
2≡3≡6≡7
1≡8
8
7
5 6
3 4
5 7
8
6 3
4 2
1
Ⅴ
Ⅳ ⅦⅥ
Ⅲ
Ⅷ
Ⅱ
Ⅰ
截截分交检线交析线线查的棱的的线形截投投的状影交影投？特影性？
1
2
[例题2]五棱柱截切后的投影
g′
f′
q′ e′
d′
f″(g″) q″ e″(d″) P″
a′
c′
a″(c″)
2 求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析
☆ 截平面与体的相对位置
确定截交 线的形状
☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
确定截交线 的投影特性
画截交线投影的方法：
（1）求出截平面与棱柱或棱锥上若干棱线的交点， 如果立体被多个平面截割，应求出截平面间的交线。 （2）依次连接各点。 （3）判断可见性 （4）整理轮廓线
1、曲面立体截交线的性质
（1）曲面立体的截交线通常是封闭的平面曲线，或 是由曲线和直线所围城的平面图形或多边形。 （2）曲面立体的截交线为曲面立体表面和截平面的 共有线。 （3）曲面立体截交线上的点为立体表面和截平面的 共有点。
2、截交线的类型及形状
（1）截平面与单个回转体相交，其截交线通常是 封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平 面图形或多边形。 （2）截平面与复合回转体相交，其截交线是截平 面与基本几何体截交线的组合。这种截交线之间 的分界点，是复合回转体的相邻两立体表面分界 线与截平面的交点。 （3）多个截平面和立体相交所得的截交线是各截 平面所得截交线的组合、截交线的结合点是相邻 两截平面与立体表面的共有点，它是两截平面的 交线与立体表面的交点。两截平面的交线是各截 断面的分界线。