2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (32)
2020高考模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|1}A x x =<，集合2{|log 0}B x x =<，则A B =I （ ） A ．(0,1) B ．(1,0)-C ．(1,1)-D ．(,1)-∞【答案】A【解析】先解不等式得集合A 与B ，再根据交集定义得结果. 【详解】根据题意：集合{|11}A x x =-<<，集合{|01}B x x =<<，(0,1)A B ∴=I 故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2．“()2log 231x -<”是“32x >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】log 2（2x ﹣3）＜1，化为0＜2x ﹣3＜2，解得3522x <<． ∴“log 2（2x ﹣3）＜1”是“32x >”的充分不必要条件． 3．小张刚参加工作时月工资为5000元，各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为（ ）A ．5500B ．6000C ．6500D ．7000【答案】A【解析】根据条形图求得刚参加工作的月就医费，从而求得目前的月就医费；利用折线图可知目前月就医费占收入的10%，从而可求得月工资. 【详解】由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：500015%750⨯=元 则目前的月就医费为：750200550-=元∴目前的月工资为：55010%5500÷=元本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用统计图表求解数据的问题，属于基础题.4．ABC ∆中所在的平面上的点D 满足2BD DC =u u u ru u u r，则AD =u u u r（ ）A ．3144AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rB ．1344AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rC ．2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD ．1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r【答案】D【解析】已知2BD DC =u u u r u u u r，由向量的减法可得()2AD AB AC AD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，再化简运算即可. 【详解】解：因为2BD DC =u u u ru u u r，所以()2AD AB AC AD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故选D ． 【点睛】本题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题. 5．函数()2+ln f x x x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断函数为偶函数排除BC ；再根据当0x →时，()f x →-∞ ，排除D 得到答案. 【详解】()()()222ln ln ln ()f x x x x f x x x x f x =+-=-+=+=-∴，偶函数，排除BC ； 当0x →时，()f x →-∞ ，排除D 故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.6．已知平面向量a r 、b r ，满足||||1a b ==r r ，若()20a b b -⋅=r r r ，则向量a r 、b r的夹角为（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【解析】根据()20a b b -⋅=r r r ，以及||||1a b ==r r和cos ,a b a b a b ⋅=<>r r r r r r ，即可求解出,a b <>r r的值.【详解】因为()20a b b -⋅=r r r ，所以22a b b ⋅=r r r ，所以22cos ,a b a b b <>=r r r r r ，所以2cos ,1a b <>=r r，所以1cos ,2a b <>=r r ，所以,60a b <>=︒r r .故选：C. 【点睛】本题考查根据向量的模长以及垂直关系求解向量夹角，难度较易.已知向量的模长求解向量的夹角时，可通过数量积计算公式cos ,a b a b a b ⋅=<>r r r r r r进行化简求解.7．已知角α的终边经过点(P -，则sin 2α=A ．2B ．C ．12-D ．4-【答案】B【解析】先求出点P 到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可． 【详解】角α的终边经过点p （﹣1，其到原点的距离r ==2故cos 12α=-，sin α=∴sin22α=sin α cos 122α=⨯-=（）故选B ． 【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A ．2214x y -=B ．221205x y -=C ．221123y x -=D ．2218x y -=【答案】C【解析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得. 【详解】，所以c a =①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b-=②； 因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.9．数列{}n a 中，已知12,a =且121n n a a n +=++，则10a = A ．19B ．21C ．99D ．101【答案】D【解析】利用累加法及等差数列的求和公式可求10a . 【详解】因为121n n a a n +=++，所以213a a =+，325a a =+，437a a =+L 10919a a =+. 上面各式相加可得1013193519291012a a +=++++=+⨯=L ，故选D. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.10．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 1B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称D ．函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D【解析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()g x 的解析式，依次判断()g x 的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果. 【详解】函数()f x 向右平移6π个单位长度得：2sin 22sin 2666x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 横坐标伸长到原来的2倍得：()2sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭()g x 最大值为2，可知A 错误； ()g x 最小正周期为2π，可知B 错误；3x π=时，66x ππ-=，则3x π=不是()g x 的对称轴，可知C 错误；当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,62x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()g x 单调递增，可知D 正确.本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.11．已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()2x f x =，则20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B ．C D【答案】B【解析】由()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，可推导出周期为4，而20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)f f ⨯+=，即可计算.【详解】因为(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，即()(4)f x f x =-，又()f x 为偶函数，所以()()(4)f x f x f x =-=+，所以函数周期4T =，所以20192f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(4252 1.5)(1.5)f f ⨯+==，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.12．已知椭圆C ：22221x y a b+=，()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，12MF F ∆的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若2MI IE=，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．2B ．12C ．2D ．13【答案】B【解析】连接1IF 和2IF ，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】解：12MF F ∆的内心为I ，连接1IF 和2IF ， 可得1IF 为12MF F ∠的平分线，即有11MF MI F EIE=，22MF MI F EIE=，可得12122MF MF MI F E F E IE===，即有1212222MF MF aF EEF c===， 即有12e =， 故选B ． 【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．二、填空题13．若x ，y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．【答案】10【解析】作出不等式组02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩表示的平面区域，利用线性规划知识求解。
【详解】作出不等式组02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩表示的平面区域如下：作出直线:l 20x y -=，当直线l 往下平移时，2z x y =-变大， 当直线l 经过点()2,4A -时，()max 22410z =-⨯-= 【点睛】本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (88)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，，则A∩B=（）A. B. C. D.2.命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A. ,且B. ,或C. ,且D. ,或3.已知数列{a n}中，“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的什么条件（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要4.设函数，若，则b等于（）A. 2B. 1C.D.5.已知，则cos2α=（）A. B. C. D.6.设向量满足，且与的夹角为，则=（）A. 2B. 4C. 12D.7.已知等差数列{a n}中，a3+a5=π，S n是其前n项和．则sin S7等于（）A. 1B. 0C.D.8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C等于（）A. B. C. 或 D. 或9.设f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+3）=f（x-1），若当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，记，，c=f（32），则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=sin x-cos x，g（x）是f（x）的导函数，则下列结论中错误的是（）A. 函数的值域与的值域相同B. 若是函数的极值点,则是函数的零点C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数11.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（）A. B. 5 C. 1 D.12.设函数，若存在f（x）的极值点x0满足，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），则a=______．14.已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ______ ．15.由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．16.用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例如：6的因数有1，2，3，6，g（6）=3，9的因数有1，3，9，g（9）=9，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g （22019-1）=______．三、解答题（本大题共6小题）17.给定两个命题，p：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立；q：幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．19.设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S4=16．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）当d＞1时，记，求数列{c n}的前n项和T n．20.已知函数，，（Ⅰ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，求△ABC的周长L的取值范围．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜2}，={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：命题的全称命题，则否定是特称命题，即∃x0∈N*，x02∉N*或x02＜x0，故选：D．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为等比数列，则满足a n+12=a n•a n+2，当数列a n=0时满足a n+12=a n•a n+2，但此时数列{a n}为等比数列不成立，即“a n+12=a n•a n+2”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件，故选：B．结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（）=4×-b=3-b，若b≤2，则3-b≥1，此时f（f（））=f（3-b）=23-b=4，解可得b=1；若b＞2，则3-b＜1，此时f（f（））=f（3-b）=4×（3-b）-b=12-5b=4，解可得b=，（舍）故b=1；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得f（）=4×-b=3-b，按b的范围分情况讨论，代入函数的解析式，求出b的值，综合可得答案．本题考查分段函数的解析式，涉及函数值的计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知，所以，利用三角函数的定义，解得，故cos2α=1-2sin2α=．故选：A．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：，∴，∴=．故选：D．根据条件可求出，进而求出，并且，从而根据进行数量积的运算即可求出的值．本题考查了根据向量得到坐标求向量的长度的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a3+a5=π，∴==，∴sin S7==sin（-）=-sin=-1．故选：C．由等差数列{a n}中，a3+a5=π，得==，由此能求出sin S7．本题考查等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由于，所以，解得A=，由于a=，c=1，所以，解得，由于c＜a，所以．故选：A．直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵f（x+3）=f（x-1），∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[-2，0]时，f（x）=2-x，则函数f（x）为减函数，即当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，log2=-2，则=f（-2）=f（2），c=f（32）=f（9）=f（8+1）=f（1），∵1＜＜2，且当x∈（0，2]时，f（x）为增函数，∴f（1）＜f（）＜f（2），∴a＞b＞c，故选：A．根据f（x+3）=f（x-1），得到函数是周期为4的周期函数，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合条件求出函数的周期，结合函数的周期性，奇偶10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin x-cos x，∴g（x）=f'（x）=cos x+sin x，对于A，f（x）=sin（x-），g（x）=sin（x+），两函数的值域相同，都是[-，]，A正确；对于B，若x0是函数f（x）的极值点，则x0+=kπ，k∈Z；解得x0=kπ+，k∈Z；，g（x0）=sin（kπ+-）=0，∴x0也是函数g（x）的零点，B正确；对于C，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得f（x-）=sin（x-）-cos（x-）=-cos x-sin x≠g（x），∴C错误；对于D，x∈，时，x-∈（-，0），f（x）是单调增函数，x+∈（0，），g（x）也是单调增函数，D正确．故选：C．求出函数f（x）的导函数g（x），再分别判断f（x）、g（x）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．11.【答案】D【解析】解：以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，∴，∴点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，设M（1+cosθ，2+sinθ），则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），∴，2λ+μ的最小值是3-．故选：D．建系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数求出范围．本题考查平面向量基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：函数，可得f′（x）=-，∵x0是f（x）的极值点，∴f′（x0）=0，即，得，k∈Z，即x0=mk，k∈Z，∴可转化为：，即k2m2+3＜m2，k∈Z，即，要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，又k2的最小值为0，∴，解得或，故选：B．求出导函数f′（x）=-，利用f′（x0）=0，得到x0=mk，k∈Z，可转化为：k2m2+3＜m2，k∈Z，即要使原问题成立，只需存在k∈Z，使成立即可，转化求解表达式的最值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值，以及成立条件的转化，考查计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵y=ax+ln x，∴y′=a+，则y′|x=1=a+1，∴曲线y=y=ax+ln x在点（1，a）处的切线方程为y-a=（a+1）（x-1），∵曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），解得：a=1．故答案为：1．求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线y=ax+ln x在点（1，a）处的切线过点（2，3），建立等式，解之即可求出所求．本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.【答案】或3【解析】【分析】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．分类讨论a的取值范围，得到函数单调性，代入数据即可求解．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．15.【答案】3-2ln2【解析】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为=（x2-2ln x）=3-2ln2．故答案为：3-2n2．求出曲线，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数，则g（n）=n，令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n-1），则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n+1-1）=1+3+…+（2n+1-1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1-2）==4n+f（n），即f（n+1）-f（n）=4n，分别取n为1，2，…n，并累加得：，又f（1）=g（1）=1，所以，从而，令n=2019，则所求为：．故答案为：．据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（22019-1）．本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．17.【答案】解：对任意实数x都有x2+ax+1≥0恒成立⇔△=a2-4≤0⇔-2≤a≤2，幂函数y=x a-1在（0，+∞）内单调递减⇔a-1＜0⇔a＜1，当p真q假时，有-2≤a≤2且a≥1，得1≤a≤2，当p假q真时，有a＜-2或a＞2且a＜1，得a＜-2，综上，所求实数a的取值范围是（-∞，-2）∪[1，2]．【解析】通过两个命题是真命题求出a的范围，然后通过当p真q假时，当p假q真时，求解即可．本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立条件的转化，是基本知识的考查．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有，=，=，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为-1．所以，即．所以m的最小值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，即：，解得：或．故或．（Ⅱ）由d＞1，知a n=2n-1，，故．于是：①，②①-②得：，故．【解析】（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20.【答案】解：（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，∵，可知当t∈（1，2）时，h′（t）＜0，可知当t∈（2，3）时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，∴函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，∴，记，由题意得：B⊆A，∴且，解得：，当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，∴，∴且，得，综上，所求实数m的取值范围为．【解析】（Ⅰ）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．（Ⅱ）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由已知得：，再由正弦定理得：，∵B=π-（A+C），∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C②又C∈（0，π），由①②得，，又A∈（0，π），∴．（Ⅱ）法一：由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A得b2+c2-bc=9即：（b+c）2-3bc=9，而（当且仅当b=c=3时等号成立）从而，得b+c≤6，又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9]；法二：由正弦定理得：，∴，又，从而△ABC的周长L：=，，∴，∴，从而：L∈（6，9]．【解析】（Ⅰ）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；（Ⅱ）利用余弦定理再结合基本不等式可得3＜b+c≤6，则可求出周长L的范围．本题考查平面向量数量积的运算，设计到正、余弦定理，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln x-x2+x．∵．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值．（Ⅱ）．∴．①a≤0时，F′（x）＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由F′（x）＞0得，F′（x）＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（Ⅲ）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．又g（x）单调递减，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．令．则在[1，2]上恒成立，则，而在[1，2]单调递增，∴，∴．【解析】（Ⅰ）当a=2时，f（x）=ln x-x2+x，求导得到增减区间，进而得到极值．（Ⅱ）.．①a≤0时，②当a＞0，讨论增减区间．（Ⅲ）当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2．不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．即：f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，记，则h（x）在[1，2]递减．对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．转化变量研究H（a）最大值小于等于0，进而求出t的取值范围本题考查函数的单调性的判断，考查实数的最小值的求法，考查函数性质、导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是难题．。
2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (24)
2020高考模拟考试数学（理）试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B =I （ ） A. {}|12x x -<< B. {}|11x x -≤< C. {}|12x x ≤< D. {}|11x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<， 所以A B =I {}|11x x -<≤. 故选：D .【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第三象限C. 第二象限D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】1i z =--，对应点为(1,1)-- ，在第三象限. 故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3.下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（ ）A. 1y x=B. ln ||y x =C. 2x y =D.1||y x =-【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数， 当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意； 对于C 中，函数2xy =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意， 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立，所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件. 故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5.设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αB. 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C. 若//n α，m n ⊥，则m α⊥D. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确； 对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确； 对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确； 对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立， 故选：B .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ） A. 7 B. 9C. 10D. 13【答案】C 【解析】 【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6， 可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法； （2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个. 故选：C .【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7.设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）A 若2παβ+<，则sin sin αβ+< B. 若2παβ+<，则cos cos αβ+<C. 若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D. 若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A 【解析】 【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos2sincos22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<对于B 中，例如,66ππαβ==，此时coscos66ππ+=>所以cos cos 2αβ+<不一定成立，所以不正确；对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，561162sin sin 212ππ-+=+<， 所以sin sin 1αβ+>不正确； 对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，13cos c 23os 162ππ+=-+<， 所以cos cos 1αβ+>不正确， 故选：A .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =32； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ②③C. ①②D. ①②③【答案】C 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=， 在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的； 由124O O =，可得12O O =，又由球的半径为3，即3R =， 在直角1O OC ∆中，2222212(3)1OC OO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====， 所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4 【解析】 【分析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________. 【答案】 (1). 12 (2). 454【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案.【详解】由题意，在数列{}n a 是各项均为正的等比数列，因为16a =，2326a a +=，可得221126126a q a q q q +=+=，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-（舍去）， 又由等比数列的前n 项和公式，可得4416[1()]4521412S ⋅-==-.故答案为：12，454. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，<求得m的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆22420x y x y ++-=的圆心坐标为(2,1)-，半径为r =若直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点，<33m <+所以命题为真命题的一个m 的值为0. 故答案为：0.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，||4AC =u u u r ，||2BD =u u u r ，则四边形ABCD 的面积是_______.【答案】4 【解析】 【分析】由AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，根据向量的线性运算，得到AC BD ⊥uuu r uu u r ，进而得到四边形ABCD 是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案.【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中， AB AC AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，可得()0AB AC AC AD AB AC BD ⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥uuu r uu u r所以四边形ABCD 是菱形，又由||4AC =u u u r ，||2BD =u u u r ，所以面积为14242S =⨯⨯=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________． 【答案】2或10 【解析】 【分析】令2sin()x ωϕ+=2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，根据存在相邻两个交点间的距离为6π，得到2136x x w ππ-==或21536x x w ππ-==，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =令2sin()x ωϕ+=sin()2x ωϕ+=， 解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈， 由题意存在相邻两个交点间的距离为6π，结合正弦函数的图象与性质， 可得2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得2136x x w ππ-==，解得2w =. 或21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得21536x x w ππ-==，解得10w =. 故答案为：2或10.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.14.将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号） ①130n n n kt t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-.在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与bc的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空） 【答案】 (1). ② (2). > 【解析】 【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到()130n n n t t k t +-=-，再根据函数模型，分别求得k 的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，则两次的体温变化为1n n t t +-， 又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），所以()130n n n t t k t +-=-， 当物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，可得()105305k -=-，可得51255k ==， 当物体温度从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，可得()15103010k -=-，可得14k =， 当物体温度从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min c ，可得()20153015k -=-，可得13k =，可是111,,,0543a mb mc m m ===>，又由222221111111()5341516151601111431212b c m m m m m a ac b b bc m m m ⨯-----====>⨯， 即a b 与b c 的大小关系是a b >b c . 故答案为：② ，>【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C =. （1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）23C π∠=（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，求得sin 0C C =，即可求解C ∠的大小；（2）由正弦定理，可得1sin 2B =，得到6B π∠=，进而得到6A B C ππ∠=-∠-∠=，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因sin cos 0c A C +=，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 0C C =，即tan C = 又因为0C π<<，所以23C π∠=. （2）由正弦定理，可得2sin 1sin 2b C B c ===，又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，得P D，即可得到结论.到七概率为()【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2， 记事件A “从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=， 所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=， (2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小； （3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B MB Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A NA B的值（用含λ的代数式表示）.【答案】（1）证明见解析（2）3π（3）1λ- 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱111ABC A B C -的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得11A B ⊥平面11B BCC ，得到111A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）得到AB BC ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求得向量11,B C A B u u u r u u u r，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由11B M B C λ=，得(2,0,22)M λλ-，设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，求得向量MN u u u u r 的坐标，结合//MN 平面11A ACC ，利用0MN n ⋅=u u u u r r，即可求解.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ， 又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C . 又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC .因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥ 又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥， 又1111A B B C B =I ，所以1BC ⊥平面11A B C.（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -， 由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B .所以()12,0,2B C =-u u u r ，()10,2,2A B =--u u u r. 所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . 故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =r，由11B MB Cλ=，得(2,0,22)M λλ-. 设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=---u u u u r因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=u u u u r r，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A NA Bλ=-.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 18.已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R . （1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）1a =-（2）不存在，详见解析 【解析】 【分析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+，由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值. 综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-， 又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，即32000222303x x x a b -+-+=， 设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解， 过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19.已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）,0,7447⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意，列出方程组，求得22a =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2，可得222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+.① 直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭. 同理可得220,1y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++u u u u r u u u u r()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=-u u u u r u u u u r . 依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅>u u u u r u u u u r ，即211271081k F M F N k -⋅=>-u u u u r u u u u r . 解得217k >或218k <.综上，直线l 的斜率的取值范围是,⎛⎛⎫⎛⎫-∞⋃⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L „.（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b L L ，若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}T =（2）不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.(3)详见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合的定义{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L „，即可求解；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，得到1024(1)()j i i j =-++，根据i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进而得到结论.（3）若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==L ，得到1(1)()2t j i i j +-++=不成立，结合数学归纳法，把数列22n a n =-，转化为数列0,1,2,3,,,n L L ，其相应集合T 中满足1010n b ≤有多少项，即可得到结论.【详解】（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N L „，可得{3,5,6,7,9,10}T =.（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++L L ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2t m b ≠，*t N ∈.若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++==L ， 由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和. 若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈. 当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++L L L 此时结论成立.当1221t k +<+时，由等差数列的性质有： (21)(21)(21)h k k k =++++++L()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++L L ，此时结论成立.对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n L L ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.。
2020高考数学（理）必刷试题+参考答案+评分标准（55）
2020⾼考数学（理）必刷试题+参考答案+评分标准（55）2020⾼考数学模拟试题（理科）⼀、单项选择题：本题共8⼩題，每⼩题5分，共40分。
在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合題⽬要求的。
1.⼰知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B=A.{x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是A.x∈R, X2-X+1≤0B. x∈R, x2-x+1<0C. x∈R, x2-x+l<0D. x∈R, x2-x+l≤03.若双曲线(a>0,b>0)的离⼼率为，则其渐近线⽅程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=,则a,b,c的⼤⼩关系为A.aB. aC. bD. b5.为弘扬我国古代的“六艺⽂化”，某夏令营主办单位计划利⽤暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周⼀门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第⼀周，课程“御”不排在最后⼀周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最⼩值，则sinα=A. B. C. D.8.函数,若⽅程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]满意不满意⼆、多项选择题：本題共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
在每⼩题给出的选项中，有多项符合題⽬要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.某⼤学为了解学⽣对学校⾷堂服务的满意度，随机调査了50名男⽣和50名⼥⽣，每位学⽣对⾷堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所⽰的列联表.经计算K 2的观测值k ≈4.762，则可以推断出A. 该学校男⽣对⾷堂服务满意的概率的估计值为B. 调研结果显⽰，该学校男⽣⽐⼥⽣对⾷堂服务更满意C. 有95%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异D. 有99%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异10. 已知函数f(x)=sin(3x+)(-＜＜)的图象关于直线x=对称，则 A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[，]上单调递増C. 若|f(x 1)-f(x 2)|=2,则|x 1-x 2\的最⼩值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x 的图象11. 如图,在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则A. 直线BD 1丄平⾯A 1C 1DB. 三棱锥P-A 1C 1D 的体积为定值C. 异⾯直线AP 与A 1D 所成⾓的取值范⽤是[45°,90°]D. 直线C 1P 与平⾯A 1C 1D 所成⾓的正弦值的最⼤值为12. 已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P(x 1,y 1),G(x 2,y 2)，点P 在l 上的射影为P 1，则 A. 若X 1+X 2=6.则|PQ|=8B. 以PQ 为直径的圆与准线l 相切C. 设M （O,1）,则|PM|+|PP 1|≥D. 过点M （0,1）与抛物线C 有且只有⼀个公共点的直线⾄多有2条三、填空題：本題共4⼩題，每⼩题5分，共20分。
2020年高考数学(理)必刷试卷3(解析版)
2020年高考必刷卷（新课标卷）03数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，则集合()U A B ⋃ð等于( ) A ．{}x x 1 B ．{x |x 2}≤ C ．{x |1x 2}<≤ D ．{x |1x 2}≤<【答案】D 【解析】 【分析】求出A 与B 的并集，根据全集U ＝R ，求出并集的补集即可． 【详解】Q 全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，A B {x |x 1∴⋃=<或x 2}≥，则()U A B {x |1x 2}⋃=≤<ð，故选：D ． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ） A ．12z z ⋅是实数 B ．12z z 是纯虚数C ．24122z z =D ．22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ⋅=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3．已知55log log n m >，则下列结论中不正确的是（ ）A ．m ＞n ＞1B ．n ＞1＞m ＞0C ．1＞n ＞m ＞0D ．1＞m ＞n ＞0【答案】C 【解析】 【分析】先化简原不等式为11lg lg n m>，再对,m n 分四种情况讨论即得解. 【详解】 由题得lg5lg5lg lg n m>， 所以11lg lg n m>， 当1,1m n >>时，lg lg ,m n >所以,1m n m n >∴>>,所以选项A 正确； 当01,01m n <<<<时，lg lg ,m n > 所以10m n >>>，所以选项D 正确；当1,01n m ><<时，不等式55log log n m >显然成立，所以选项B 正确； 当01,1n m <<>时，不等式55log log n m >显然不成立.所以选项C 不正确.故选：C 【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=（）A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数满足f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），结合函数为奇函数可得f（x）＝f（x+2），则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）、f（-1）与f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f （﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题．6．若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y 的最大值得解. 【详解】由题得2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y ,(当且仅当x=y=-1时取等) 所以1≥2√2x+y ，∴14≥2x+y ,∴2−2≥2x+y ， 所以x+y≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则9314a a -=（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113(10)44a a a d -=+，即可得到答案. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数的图象关于点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数的图象关于直线6x π=-对称C ．函数()2f x 的最小正周期为πD ．当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图象与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象，可得A ＝2，14•25126πππω=-，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•6π+φ2π=，∴φ6π=，f （x ）＝2sin （2x 6π+）． 令x 3π=-，求得f （x ）＝﹣2，为函数的最小值，故A 错误； 令x 6π=-，求得f （x ）＝﹣1，不是函数的最值，故B 错误；函数f （2x ）＝2sin （4x 6π+）的最小正周期为242ππ=，故C 错误； 当766x ππ≤≤时，2π≤2x 562ππ+≤，函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形为x 6π=、x 76π=、y ＝2、y ＝﹣2构成的矩形的面积的一半，矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形面积为2π， 故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．9．ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，S 表示三角形ABC ∆的面积，且满足222)S a c b =+-，则B ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．23π【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵)222a cb +-=12acsinB ，cosB=2222a c b ac +-．代入原式子得到12cos sin 2ac B ac B =，B ∈（0，π）， ∴B=3π． 故答案为B ．10．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3 【答案】C 【解析】试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a 1、a 2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a 3、a 4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a 1＜a 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a 3＜a 4 ∴可得到a 1＜a 2＜a 3＜a 4故选A ． 考点：圆锥曲线的共同特征．11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C 【解析】 【分析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得AC =4PA =，则PC ==，OP =，所以球表面积为224()424S OP πππ==⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数g （x ）()f x x=，由g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，可得函数g （x ）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g （x ）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数g （x ）()f x x=，∴g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，∵xf ′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在（0，+∞）单调递减． ∵函数f （x ）为奇函数， ∴g （x ）()f x x=是偶函数，∴c ()33f -==-g （﹣3）＝g （3）， ∵a ()f e e==g （e ），b ()22f ln ln ==g （ln 2）， ∴g （3）＜g （e ）＜g （ln 2）， ∴c ＜a ＜b ， 故选D ．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【精编版】2020年高考数学(理)必刷试卷3(解析版)
2020年高考必刷卷（新课标卷）03数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，则集合()U A B ⋃ð等于( ) A ．{}x x 1 B ．{x |x 2}≤ C ．{x |1x 2}<≤ D ．{x |1x 2}≤<【答案】D 【解析】 【分析】求出A 与B 的并集，根据全集U ＝R ，求出并集的补集即可． 【详解】Q 全集U R =，A {x |x 1}=<，B {x |x 2}=≥，A B {x |x 1∴⋃=<或x 2}≥，则()U A B {x |1x 2}⋃=≤<ð，故选：D ． 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．若复数11z i =+，21z i =-，则下列结论错误的是（ ） A ．12z z ⋅是实数 B ．12z z 是纯虚数C ．24122z z =D ．22124z z i +=【答案】D 【解析】分析：根据题中所给的条件，将两个复数进行相应的运算，对选项中的结果一一对照，从而选出满足条件的项.详解：212(1)(1)12z z i i i ⋅=+-=-=，是实数，故A 正确，21211212z i i i i z i +++===-，是纯虚数，故B 正确， 442221(1)[(1)](2)4z i i i =+=+==，22222(1)224z i i =-=-=，故C 正确，222212(1)(1)220z z i i i i +=++-=-=，所以D 项不正确，故选D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检验，从而找到正确的结果.3．已知55log log n m >，则下列结论中不正确的是（ ）A ．m ＞n ＞1B ．n ＞1＞m ＞0C ．1＞n ＞m ＞0D ．1＞m ＞n ＞0【答案】C 【解析】 【分析】先化简原不等式为11lg lg n m>，再对,m n 分四种情况讨论即得解. 【详解】 由题得lg5lg5lg lg n m>， 所以11lg lg n m>， 当1,1m n >>时，lg lg ,m n >所以,1m n m n >∴>>,所以选项A 正确； 当01,01m n <<<<时，lg lg ,m n > 所以10m n >>>，所以选项D 正确；当1,01n m ><<时，不等式55log log n m >显然成立，所以选项B 正确； 当01,1n m <<>时，不等式55log log n m >显然不成立.所以选项C 不正确.故选：C 【点睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】 【分析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】水费开支占总开支的百分比为25020% 6.25%250450100⨯=++.故选：A 【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x),若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=（）A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数满足f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），结合函数为奇函数可得f（x）＝f（x+2），则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）、f（-1）与f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，将其相加即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（x+1），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f （﹣x）＝f（x+2），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝-f（x），则有f（x）＝-f（x+2），则f（x+2）=- f（x+4），可得f（x）= f（x+4）则函数f（x）为周期为4的周期函数，又由f（1）＝1，则f（1）=f（5）=……＝f（2017）＝1，f（-1）=- f（1）=-1，则f（3）=f（7）=……= f（2019）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），则f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2018）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝505-505+0=0；故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题．6．若实数x，y满足2x+2y=1，则x+y的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y 的最大值得解. 【详解】由题得2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y ,(当且仅当x=y=-1时取等) 所以1≥2√2x+y ，∴14≥2x+y ,∴2−2≥2x+y ， 所以x+y≤-2.所以x+y 的最大值为-2. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．等差数列{}n a 中2912142078a a a a a a ++-+-=，则9314a a -=（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据题意，求解1104a d +=，进而可求得93113(10)44a a a d -=+，即可得到答案. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d ，则291214207112202(10)8a a a a a a a d a d ++-+-=+=+=，即1104a d +=， 又由931111138(2)(10)3444a a a d a d a d -=+-+=+=，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为d ，利用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数的图象关于点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数的图象关于直线6x π=-对称C ．函数()2f x 的最小正周期为πD ．当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图象与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：函数()()002f x Asin x A πωφωφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＞，＜的部分图象，可得A ＝2，14•25126πππω=-，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•6π+φ2π=，∴φ6π=，f （x ）＝2sin （2x 6π+）． 令x 3π=-，求得f （x ）＝﹣2，为函数的最小值，故A 错误； 令x 6π=-，求得f （x ）＝﹣1，不是函数的最值，故B 错误；函数f （2x ）＝2sin （4x 6π+）的最小正周期为242ππ=，故C 错误； 当766x ππ≤≤时，2π≤2x 562ππ+≤，函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形为x 6π=、x 76π=、y ＝2、y ＝﹣2构成的矩形的面积的一半，矩形的面积为π•（2+2）＝4π，故函数f （x ）的图象与直线y ＝2围成的封闭图形面积为2π， 故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，余弦函数的图象和性质，属于中档题．9．ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，S 表示三角形ABC ∆的面积，且满足2223()4S a c b =+-，则B ∠=（ ） A ．6π B ．3π C ．3π或23π D ．23π【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵S=()22234a cb +-=12acsinB ，cosB=2222a c b ac +-．代入原式子得到312cos *sin 42ac B ac B =，tanB=3，∵B ∈（0，π）， ∴B=3π． 故答案为B ．10．如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3 【答案】C 【解析】试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a 1、a 2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a 3、a 4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a 1＜a 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a 3＜a 4 ∴可得到a 1＜a 2＜a 3＜a 4故选A ． 考点：圆锥曲线的共同特征．11．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，2AB BC ==，鳌臑P ABC -的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．64π【答案】C 【解析】 【分析】四个面都是直角三角形，由AB BC =得AB BC ⊥，然后证明BC PB ⊥，这样PC 中点O ，就是P ABC -外接球球心，易求得其半径，得面积．【详解】四棱锥P ABC -的四个面都是直角三角形，∵2AB BC ==，∴AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，PA CA ⊥，∴BC PB ⊥，取PC 中点O ，则O 是P ABC -外接球球心．由2AB BC ==得22AC =，又4PA =，则81626PC =+=，6OP =，所以球表面积为224()4(6)24S OP πππ==⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时， ()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数g （x ）()f x x=，由g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，可得函数g （x ）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g （x ）为偶函数，即可判断． 【详解】 构造函数g （x ）()f x x=，∴g ′（x ）()()2'xf x f x x-=，∵xf ′（x ）﹣f （x ）＜0， ∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在（0，+∞）单调递减． ∵函数f （x ）为奇函数， ∴g （x ）()f x x=是偶函数，∴c ()33f -==-g （﹣3）＝g （3）， ∵a ()f e e==g （e ），b ()22f ln ln ==g （ln 2）， ∴g （3）＜g （e ）＜g （ln 2）， ∴c ＜a ＜b ， 故选D ．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学(理)必刷试题(解析版) (6)
2020高考模拟考试数学（理）试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵，,,∴，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y＝±x，再由双曲线离心率为2，得到c＝2a，由定义知b a，代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2，∴c＝2a，可得b a因此，双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4.在中，若，，，则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3，c，C，∴由正弦定理，可得，可得：sin B，∵c＜b，可得B或，故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题．5.从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上单调递增B. 是奇函数，且在上单调递减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R，，即，∴是偶函数，当时，,为增函数，为减函数，∴在上单调递增，故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状，结合图形，求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P﹣ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积为：，故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8.设函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或，从而作出判断. 【详解】f（x ）＝，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，∴在，上单调递增，在上单调递减，且,,若有且只有一个零点，则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9.已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，圆的方程为：,，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，，，圆的方程为：,∴，∴，，∴∴时，的最大值是8，【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到，方程改变，不关于轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到，方程改变，不关于对称；当时，显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令,易得，即适合题意，同理可得适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式，再令，求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为，令，解得，即展开式中的常数项为，故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】(1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2，当n＝4或5时，S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点，，，中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；设抛物线的标准方程为：，不难验证适合，故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知函数的定义域为，且，当时，．若存在，使得，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x +）＝2f（x），得f（x）＝2f（x ﹣），分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵，∴，∵当时，．∴当时，．当时，．当时，．作出函数的图象：令，解得：或，若存在，使得，则，故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式：，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度），为室内外温度差．值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型B型C型D型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值，根据值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：，B型双层玻璃窗户：，C型双层玻璃窗户：，D 型双层玻璃窗户：，根据，且值越小，保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题共6小题，共86分。
江苏卷08-2020年高考数学必刷试卷(解析版)
江苏卷08-2020年高考数学必刷试卷（解析版）数学试题I一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，4}，则∁U A ＝________． 答案：{3，5}解析：本题考查集合的补集运算2. 若复数z ＝(1＋i)(3－ai)(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－3解析：z ＝(3－ai)＋3i －ai 2＝(3＋a)＋(3－a)i ，∴ a ＋3＝0，a ＝－3. 3. 命题：“∃x ∈R ，|x|≤0”的否定是__________________． 答案：∀x ∈R ，|x|＞0解析：含有量词的命题否定要将存在换成任意，p 改成非p.4. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝8x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为______________． 答案：3解析：由定义可知距离1＋p2＝1＋2＝3.5. 设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x ＋y≤3，2x ＋y≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．答案：7解析：由题设可知线性规划的可行域的四个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．从而(3x ＋2y)max ＝3×1＋2×2＝7.6. 如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值是________．答案：－32解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环体对y ＝12×2－1＝0，|y －x|＝2≥1，x ＝0；第2次循环体对y ＝0－1＝－1，|y －x|≥1，x ＝－1； 第3次循环体对y ＝－32，|y －x|＜1，停止，输出y ＝－32.7. 抽样统计甲、乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：城市空气质量指数(AQI)第1天第2天 第3天 第4天 第5天 甲 109 111 132 118 110 乙110111115132112则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为________(填“甲”或“乙”)． 答案：乙解析：由题设可知甲的数据波动较大，乙的数据波动较小，由观察法知乙方差较小．．8. 在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为______________．(第8题)答案：33解析： V PBCE ＝13S △BCE ·PA ＝13×12×1×2×sin120°×2＝33.9. 将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________． 答案：π3解析：向右平移π6后，解析式f(x)＝sin(2x ＋φ－π3)为奇函数，从而φ－π3＝kπ.又0＜φ＜π，从而φ＝π3.10. 已知等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n .若log 3⎣⎡⎦⎤12a n （S 4m ＋1）＝9，则1n ＋4m的最小值是________． 答案：52解析：由题设a n ＝2×3n －1，S 4m ＋1＝2（1－34m ）1－3＋1＝34m ，∴ 12a n (S 4m ＋1)＝34m ＋n －1.又log 3[12a n (S 4m ＋1)]＝9，∴ 12a n (S 4m ＋1)＝39，即4m ＋n －1＝9，∴ 4m ＋n ＝10.又1n ＋4m ＝110⎝⎛⎭⎫1n ＋4m (4m ＋n)＝110·(17＋4n m ＋4m n )≥52，当且仅当4n m ＝4mn，即m ＝n ＝2时，“＝”成立．11. 若向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，且|a ＋b |≤2a·b ，则cos(α－β)的值是________． 答案：1解析：由题意知a·b ＞0，且a 2＋2ab ＋b 2≤4|a ·b|2，即2＋2ab≤4|a·b|2，从而有2(|a·b|2)－a·b －1≥0，即(2a·b ＋1)(a·b －1)≥0，∴ a ·b ≥1，即|a||b|cos(α－β)≥1，∴ cos(α－β)≥1.又cos(α－β)≤1，∴ cos(α－β)＝1. 12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝alnx 的切线，则当a>0时，实数b 的最小值是______________． 答案：－1解析：不妨设切点P(x 0，y 0)，则f′(x 0)＝ax 0＝1，∴ x 0＝a ，从而y 0＝a ＋b ，y 0＝alna ，即有b ＝alna －a ，a>0.又令b′(a)＝lna ＝0，解得a ＝1，∴ 当a ＝1时，b 取得最小值－113. 已知集合M ＝{(x ，y)|x －3≤y≤x －1}，N ＝{P|PA≥2PB ，A(－1，0)，B(1，0)}，则表示M∩N 的图形面积等于________． 答案：23＋83π解析：设P(x ，y)，由PA 2≥PB 2知(x ＋1)2＋y 2≥2(x －1)2＋2y 2.整理得(x －3)2＋y 2≤8，则集合M∩N 示意图如下图，则S M∩N ＝S △ABN ＋2S 扇BNF .又N(3，0)到AB 距离d ＝2，从而△ABN 为等边三角形，∴ S △ABN ＝34(22)2＝23，2S 扇BNF ＝2×12l·r ＝lr ＝r 2θ＝8×π3＝83π.综上知M∩N 的图形面积为23＋83π.14. 若函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14(a>0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________． 答案：8解析：f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋10a 2＋14－100a(a ＞0)，由题设知原题可以等价于对任意区间[x 1，x 2]，x 2－x 1＝2，函数f(x)在[x 1，x 2]上的最大值与最小值之差大于等于8，不妨设g(x)＝ax 2＋14－100a ，则原题可转化成对任意t ∈R ，g(x)在[t ，t ＋2]上最大值与最小值之差大于等于8， ① 当t≥0时，g(x)在[t ，t ＋2]上递增，从而g max (x)－g min (x)＝g(t ＋2)－g(t)＝a[(t ＋2)2－t 2]≥8，即a(4t ＋4)≥8对t≥0恒成立，从而4a≥8a≥2； ② 当t ＋2≤0时，g(x)在[t ，t ＋2]上递减，从而g max (x)－g min (x)＝g(t)－g(t ＋2)≥8时，对任意t≤－2恒成立，即a(－4t －4)≥8.对任意t≤－2恒成立，从而a(8－4)≥8a≥2；③ 当t ＋1≤0时，g(x)在[t ，0]上递减，在[0，t ＋2]上递增，且g(t ＋2)≥g(t)，从而g max (x)－g min (x)＝g(t ＋2)－g(0)＝a(t ＋2)2≥8，对于任意t≥－1恒成立，从而有a≥8； ④ 同理t ＋1≥0时，也有a≥8，综上知a≥8.二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB 1⊥BC ，且AA 1＝AB.求证： (1) AB ∥平面D 1DCC 1； (2) AB 1⊥平面A 1BC.证明：(1) 在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AB 平面D 1DCC 1，CD平面D 1DCC 1，所以AB ∥平面D 1DCC 1.(6分)(2) 在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，四边形A 1ABB 1为平行四边形，又AA 1＝AB ，故四边形A 1ABB 1为菱形．从而AB 1⊥A 1B.(9分)又AB 1⊥BC ，而A 1B∩BC ＝B ，A 1B 、BC 平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC.(14分) 16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.(2分) 因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(7分)时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233，S ＝12·absinC ＝23 3.(10分)当cosA≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.(13分)所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.(14分)17. (本小题满分14分)已知a 为实常数，y ＝f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝2x －a 3x 2＋1.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x)≥a －1对一切x>0成立，求a 的取值范围．解：(1) 由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)上的单调性即可． f′(x)＝2＋2a 3x3，令f′(x)＝0，得x ＝－a.(2分)② 当a≤0时，f′(x)>0，故f(x)在区间(－∞，0)上是单调递增．(4分)② 当a>0时，x ∈(－∞，－a)，f′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，－a)上是单调递增；x ∈(－a ，0)，f′(x)<0，所以f(x)在区间(－a ，0)上是单调递减．(6分)综上所述，当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；当a>0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a)，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a)．(7分)(2) 因为f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－⎝⎛⎭⎫－2x －a 3x 2＋1＝2x ＋a3x2－1.(9分) ① 当a<0时，要使f(x)≥a －1对一切x>0成立，即2x ＋a 3x 2≥a 对一切x>0成立．而当x ＝－a2>0时，有－a ＋4a≥a ，所以a≥0，这与a<0矛盾．所以a<0不成立．(11分)② 当a ＝0时，f(x)＝2x －1>－1＝a －1对一切x>0成立，故a ＝0满足题设要求．(12分)③ 当a>0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数．所以f min (x)＝f(a)＝3a －1>a －1，所以a>0时也满足题设要求．(13分) 综上所述，a 的取值范围是[0，＋∞)．(14分) 18.(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF ︵的中点，其所在圆O 的半径为4 dm(圆心O 在弓形EMF 内)，∠EOF ＝2π3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD ∥EF ，且点A 、D 在EF ︵上，设∠AOD ＝2θ.(1) 求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2) 当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cosθ的值．解：(1) 设矩形铁片的面积为S ，∠AOM ＝θ.当0<θ<π3时(如图①)，AB ＝4cosθ＋2，AD ＝2×4si nθ，S ＝AB×AD ＝(4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．(3分) 当π3≤θ＜π2(如图②)，AB ＝2×4cosθ，AD ＝2×4sinθ， 故S ＝AB×AD ＝64sinθcosθ＝32sin2θ.综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为S ＝⎩⎨⎧16sinθ（2cosθ＋1），0<θ<π3，32sin2θ，π3≤θ<π2.(7分)(2) 当0<θ<π3时，求导，得S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]＝16(4cos 2θ＋cosθ－2)．令S′＝0，得cosθ＝33－18.(10分) 记区间⎝⎛⎭⎫0，π3内余弦值等于33－18的角为θ0(唯一存在)．列表： θ (0，θ0) θ0 ⎝⎛⎭⎫θ0，π3S′ ＋ 0 － S增函数极大值减函数又当π3≤θ<π2时，S ＝32sin2θ在⎣⎡⎭⎫π3，π2上为单调减函数， 所以当θ＝θ0即cosθ＝33－18时，矩形的面积最大．(16分)19. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点⎝⎛⎭⎫1，32的椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M 、N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，335，试求直线PA 的方程；(3) 记M 、N 两点的纵坐标分别为y M 、y N ，试问y M ·y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：(1) 由题意，得 2a ＝（1－1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＋（1＋1）2＋⎝⎛⎭⎫32－02＝4，即a ＝2.(2分) 又c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 因为B ⎝⎛⎭⎫85，335，所以P(－85，－335)．又F(1，0)，所以k AB ＝3，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．(7分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3（x －1），解得A(0，－3)．(9分)所以直线PA 的方程为y ＝－34x －3， 即3x ＋4y ＋43＝0.(10分)(3) 当直线AB 斜率k 不存在时，易得y M y N ＝－9.当直线AB 斜率k 存在时，设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则P(－x 2，－y 2)，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减，得（x 2＋x 1）（x 2－x 1）4＝－（y 2＋y 1）（y 2－y 1）3，所以（y 2＋y 1）（y 2－y 1）（x 2＋x 1）（x 2－x 1）＝－34＝k PA k ，所以k PA ＝－34k.(12分)所以直线PA 方程为y ＋y 2＝－34k(x ＋x 2)，所以y M ＝－34k (x 2＋4)－y 2＝－3（x 2＋4）（x 2－1）4y 2－y 2.因为直线PB 方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.(14分)所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）x 2－4y 22x 2.因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22， 所以y M y N ＝－3×（x 2＋4）（x 2－1）＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.(16分)20(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1＋a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2＋b 1，a 1＋b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．(1) 求数列{a n }和数列{b n }的通项公式； (2) 按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 项和为S n .求满足S n <22 014的最大正整数n.解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＝a 1＋2d ，b 1（b 1q ）＝b 1q 2，（a 1＋2d ）＋（a 1＋b 1q ）＝2[（a 1＋d ）＋b 1]，（a 1＋d ）2＝a 1（b 1q ），解得a 1＝d ＝1，b 1＝q ＝2.故a n ＝n ，b n ＝2n .(6分)(2) 将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有P n ＝n 2（n 2＋1）2＋2n 2＋n ＋1－2.(11分)P 45－22 014＝452（452＋1）2＋22 071－22 014－2>0，P 44－22 014＝442（442＋1）2－21 981(233－1)－2<0.当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 012)时，S n －22 014＝－22 013－2＋452（452＋1）2<0.(13分)当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 013)时，S n －22 014＝－2＋452（452＋1）2>0.可得到符合S n <22 014的最大的n ＝452＋2 012＝4 037.(16分)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值； (2) 求A －1. 解：(1) 由题意得： A α＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2m ＋2＝4⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2.(5分) (2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12b ＝02a ＋c ＝02b ＋d ＝1⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 120－11.(10分) B ．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cosθ，y ＝72＋2sinθ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆． (1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．解：(1) 圆M ：⎝⎛⎭⎫x －5322＋(y －72)2＝4，⎝⎛⎭⎫3，π3对应直角坐标系下的点为⎝⎛⎭⎫32，32，⎝⎛⎭⎫2，π2对应直角坐标系下的点为(0，2)，∴ 圆N ：⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1.(5分)(2) PQ ＝MN －3＝4－3＝1.(10分)C ．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1，abc≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．(5分)(2) 柯西不等式a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．(10分)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．(1) 证明：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x A(4，4)、B(1，－2)， 设A 1⎝⎛⎭⎫m 24，m 、B 1⎝⎛⎭⎫n 24，n ， k AT ＝kA 1T 44－t ＝m m 24－t m 2－4t ＝4m －tm m(m －4)＝t(4－m)m ＝－t A 1⎝⎛⎭⎫t 24，－t ， 同理：B 1(t 2，2t)k ＝3t t 2－t 24＝4t kt ＝4为定值．(5分) (2) 解：A 1B 1：y －2t ＝4t(x －t 2)，令y ＝0得N ⎝⎛⎭⎫t 22，0，而M(2，0)， S 1S 2＝⎪⎪⎪⎪y A y B＝2S 2＝12S 1， S 4S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yA 1TM·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 22－t t －2·t 4＝t 28S 4＝t 28S 1， S 3S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yB 1TM·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（t －2）t －2·2t 4＝t 24S 3＝t 24S 1， S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，∴ t 2＝1而t>0t ＝1.(10分)23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．23. 解：如图以CB 、CA 分别为x 、y 轴，过C 作直线Cz ∥BC 1，以Cz 为z 轴， ∴ B(3，0，0)，C(0，0，0)，A(0，3，0)，C 1(3，0，3)，CB 1→＝CC 1→＋CB →＝(6，0，3)B 1(6，0，3)，CA 1→＝CC 1→＋CA →＝(3，3，3)A 1(3，3，3)．(1) T 是△ABC 1重心T(2，1，1)TA 1→＝(1，2，2)，设平面ABC 1的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，AB →＝(3，－3，0)，AC 1→＝(3，－3，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－3y 1＝03x 1－3y 1＋3z 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0x 1＝y 1取法向量n 1＝(1，1，0)，∴ cos 〈TA 1→，n 1〉＝33·2＝22〈TA 1→，n 1〉＝π4. 设TA 1与平面ABC 1所成的角为αα＝π2－〈TA 1→，n 1〉＝π4.(5分) (2) T 在平面ABC 1内，CT →＝CB →＋BT →＝CB →＋mBC 1→＋nBA →＝(3－3n ，3n ，3m)，即T(3－3n ，3n ，3m)．由TB 1＝TC ，得(3－3n)2＋(3n)2＋(3m)2＝(3n ＋3)2＋(3n)2＋(3m －3)2－2m ＋4n ＝－1， ①设平面CAA 1C 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，CA →＝(0，3，0)，CC 1→＝(3，0，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＝03x 2＋3z 2＝0取n 2＝(1，0，－1)．设平面TA 1C 1法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)，C 1A 1→＝(0，3，0)，C 1T →＝(－3n ，3n ，3m －3)，⎩⎪⎨⎪⎧y 3＝0－3nx 3＋（3m －3）z 3＝0取n 3＝(m －1，0，n)． 由平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1，得cos 〈n 2，n 3〉＝m －1－n 2·（m －1）2＋n 2＝0m ＝n ＋1. ②由①②解得n ＝12，m ＝32， ∴ 存在点T ⎝⎛⎭⎫32，32，92，TC ＝3112.(10分)。
2020年高考真题——数学(理)(全国卷Ⅲ)+Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x *N ，{(,)|8}B x y x y ，则A B ∩中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B ∩中元素的即可.【详解】由题意，A B ∩中的元素满足8y xx y ，且*,x y N ，由82x y x ，得4x ，所以满足8x y 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B ∩中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i的虚部是（）A.310B.110C.110D.310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i ，所以复数113z i 的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p pB.14230.4,0.1p p p pC.14230.2,0.3p p p pD.14230.3,0.2p p p p 【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为 140.1230.4 2.5A x ，方差为 222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s ；对于B 选项，该组数据的平均数为 140.4230.1 2.5B x ，方差为 222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s ；对于C 选项，该组数据的平均数为 140.2230.3 2.5C x ，方差为 222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s ；对于D 选项，该组数据的平均数为 140.3230.2 2.5D x ，方差为 222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s .因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合 0.95I tK求得t即可得解.【详解】0.23531t KI t e∵，所以0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B 【解析】【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4COx COx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,C D 两点，且OD OE ，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a ，||6b ，6a b ，则cos ,= a a b （）A.3135B.1935C.1735 D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出a ab 、a b 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b的值.【详解】5a ∵，6b ，6a b，225619a a b a a b .7a b，因此，1919cos ,5735a a b a a b a a b.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（）A.19B.13C.12 D.23【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC，即可求得答案.【详解】∵在ABC 中，2cos 3C，4AC ，3BC 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C2224322433AB可得29AB ，即3AB 由∵22299161cos 22339AB BC AC B AB BC故1cos 9B .故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B. C.6+2 D.【答案】C 【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin 60222ADB S AB AD△该几何体的表面积是：632 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A.–2 B.–1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74∵，tan 12tan 71tan，令tan ,1t t ，则1271tt t，整理得2440t t ，解得2t ，即tan 2 .故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.10.若直线l 与曲线y =和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A.y =2x +1B.y =2x +12C.y =12x +1 D.y =12x +12【答案】D 【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y上的切点为 0x ，则00x ，函数y的导数为y，则直线l的斜率k，设直线l的方程为 0y x x，即00x x ，由于直线l 与圆2215x y，两边平方并整理得2005410x x ，解得01x ，015x（舍），则直线l 的方程为210x y ，即1122y x .故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2．P是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（）A.1B.2C.4D.8【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】ca∵，c ，根据双曲线的定义可得122PF PF a ，12121||42PF F PF F S P△，即12||8PF PF ，12F P F P ∵， 22212||2PF PF c ，22121224PF PF PF PF c ，即22540a a ，解得1a ，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【解析】【分析】由题意可得a 、b 、 0,1c ，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b ，得85b ，结合5458 可得出45b，由13log 8c ，得138c ，结合45138 ，可得出45c，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a、b、0,1c ，222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b，a b ；由8log 5b ，得85b ，由5458 ，得5488b ，54b ，可得45b；由13log 8c ，得138c ，由45138 ，得451313c ，54c ，可得45c .综上所述，a b c .故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy ，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y ，当322x zy 经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x，得12x y ，(1,2)A ，所以max 31227z 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】写出622x x二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】∵622x x其二项式展开通项：62612rrrr C xx T1226(2)r r r r x C x 1236(2)r r rC x 当1230r ，解得4r 622x x的展开式中常数项是：664422161516240C C .故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握na b 的展开通项公式1C r n r r r n T ab ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM，故122S△A BC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r解得：2r =，其体积：3433V r .故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f （x ）=1sin sin x x有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x 可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，152622f，152622f，则66f f，所以，函数 f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f x 的定义域为,x x k k Z ，定义域关于原点对称， 111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x∵，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x，则22f x f x，所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题③正确；对于命题④，当0x 时，sin 0x ，则 1sin 02sin f x x x，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a ，37a ，21n a n ，证明见解析；（2）1(21)22n n S n .【解析】【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出 n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a ，32381587a a ，由数列 n a 的前三项可猜想数列 n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n ，证明如下：当1n 时，13a 成立；假设n k 时，21k a k 成立.那么1n k 时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k 也成立.则对任意的*n N ，都有21n a n 成立；（2）由（1）可知，2(21)2nnn a n 231325272(21)2(21)2n n n S n n ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n ，②由① ②得：23162222(21)2nn n S n 21121262(21)212n n n1(12)22n n ，即1(21)22n n S n .【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43 100，等级为2的概率为510120.27100，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100（3）22 列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228221003383722 5.820 3.84155457030K ，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB ，1AD ，13AA ，求二面角1A EF A 的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz ，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A 的余弦值，进而可求得二面角1A EF A 的正弦值.【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D 中，//AD BC 且AD BC ，11//BB CC 且11BB CC ，112C G CG ∵，12BF FB ，112233CG CC BB BF 且CG BF ，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG ，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG 且1C E DG ，1//C E AF 且1C E AF ，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz ，则 2,1,3A 、 12,1,0A 、 2,0,2E 、 0,1,1F ，0,1,1AE ， 2,0,2AF ， 10,1,2A E ， 12,0,1A F，设平面AEF 的法向量为 111,,m x y z，由0m AE m AF，得11110220y z x z 取11z ，得111x y ，则 1,1,1m ，设平面1A EF 的法向量为 222,,n x y z，由110n A E n A F，得22222020y z x z ，取22z ，得21x ，24y ，则 1,4,2n，cos ,7m n m n m n，设二面角1A EF A 的平面角为，则cos 7，sin 7.因此，二面角1A EF A的正弦值为7.【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m 的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）∵222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率154c e a ，解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y ，即221612525x y ；（2）∵点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又∵90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ △△，∵221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时，故532MB ，∵PMB BNQ △△，||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d，根据两点间距离公式可得：AQ，APQ面积为：15252；②当P 点(3,1) 时，故5+38MB ，∵PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d ，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522 ，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c ，曲线()y f x 在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b ；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1(02f ，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()(422f x x x x ，易知()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,)2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(),(,(1)424244f c f c f c f c ，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b ，由题意，'1()02f ，即21302b 则34b；（2）由（1）可得33()4f x x x c ，'2311()33()422f x x x x ，令'()0f x ，得12x 或21x ；令'()0f x ，得1122x ，所以()f x 在11(,22 上单调递减，在1(,2 ，1(,)2 上单调递增，且111111(1),(,(),(1)424244f c f c f c f c ，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f 或(1)0f ，即14c 或14c .当14c 时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1) 上存在唯一一个零点，在(1,) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c 时，111111(1)0,(0,(0,(1)0424244f c f c f c f c ，又32(4)6434(116)0f c c c c c c ，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c 上存在唯一一个零点0x ，即()f x (1,) 上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【答案】（1）（2）3cos sin 120【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)BAB；（2）由（1）可知12030(4)AB k ，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bc bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ∵，22212ab bc ca a b c .,,a b c ∵均不为0，则2220a b c ， 222120ab bc ca a b c；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ∵， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c 时，取等号，a ，即max{,,}abc .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (63)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣16808．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．189．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+] 11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0}【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，即A∩B＝，故选：B．2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，则|z|＝＝＝＝，故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣11【解答】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝（）α＜1，b＝＞1，c＝logα＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D．6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，则四边形OAEB为平行四边形，∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．故选：C．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣1680【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，故选：A．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，该刍薨的体积为，故选：B．9．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f（π）＝1﹣＜0，排除B，f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，故选：A．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+]【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，解得z的最大值为：2+，当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理，即z的最小值为：﹣2，所以z∈．故选：C．11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝|cos x|+cos|2x|＝|cos x|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cos x，可得f（x）＝|cos x|+2cos2x﹣1＝2|cos x|2+|cos x|﹣1，由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；可令t＝|cos x|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由y＝|cos x|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；由y＝cos x在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n＝+4＝95．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，∴c＝＝1∴e＝＝．故答案为：．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为06．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，可得直线AF的方程为y＝1﹣x，设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，代入抛物线方程可得＝a•，可得a＝．故答案为：．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得，又因为C∈（0，π），所以；（2）由，得，得﹣4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos30°＝3，∴CD＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），＝（0，﹣3，﹣3），＝（），则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝，，x1x2＝，由k QM+k QN＝0，则+＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq ＝0，∴﹣﹣+2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A，x B，x C，x D为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A，x B，x C，x D为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究y A y B y C y D的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820 P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），＝，由f′（x）＝0，得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以e a（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）e a，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）e x，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）e x，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，则u″（x）＝，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．。
2020新课标高考数学(理科)必刷卷(二)【含答案解析】
2020新课标高考数学（理科）必刷卷（二）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数a 的值为( )A ．B ．－C ．3D ．－3 【答案】C 【解析】 因为，由实部与虚部是互为相反数得，解得，故选C.考点：复数的概念与运算.2．已知集合2{|20},{|lg(1)}A x x x x y x =-<==-，则A B =U A ．(0,)+∞ B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(,0)-∞【答案】A 【解析】{02}A x x =<<,{1}B x x =>,{0}A B x x ⋃=>,选A.3．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（） A ．22b a ab b a ->>+ B ．22b a b a ab ->+> C ．22b a b a ab +>-> D ．22ab b a b a >->+【答案】B 【解析】 【分析】首先得到0a <，0b >即0ab <，根据对数的运算法则可得121a b +<，即21b a ab+<，进而可得2b a ab +>，通过作差比较可得22b a b a ->+，综合可得结果.【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <， 因为66612log 0.32log 2log 1.2a b +=+⨯=6log 61<=，即21b a ab+<， 又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->， 所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>，故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质比较大小，判断出ab 的符号以及根据对数的运算的性质得到21b aab+<是解题的关键，属于中档题. 4．下列四个命题中错误的是（ ） A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+k ，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位D ．若()()122,0,2,0F F -，124PF PF a a+=+，（常数0a >），则点P 的轨迹是椭圆 【答案】D 【解析】A. 回归直线过样本点的中心(),x y ，正确；B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；C. 在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy平均增加0.2个单位，正确；D. 若12124(2,0),(2,0),(0)F F PF PF a a a-+=+>，则点P 的轨迹是椭圆，因为当2a =时，12PF PF +=4，P 的轨迹是线段12F F ，故错误，所以选D.5．函数()()21()1x xe f x x e -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和在0x >时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 因为()()21()1x xe f x x e -=+是偶函数，所以排除A ，C ，当0x >时，()0f x >恒成立，所以排除D.故选:B. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力.6．若mn 、表示空间中两条不重合的直线，αβ、表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//,m n n α⊂，则//m αB ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nC ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥【答案】C 【解析】【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断． 【详解】对于A ，若n ⊂平面α，显然结论错误，故A 错误；对于B ，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n 或m ，n 异面，故B 错误；对于C ，若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C 正确； 对于D ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ，n 位置关系不能确定，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题．7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的13是较少的两份之和，则最少的一份面包个数为（ ） A ．46 B ．12C ．11D ．2【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为等差数列的问题，通过()3451213a a a a a ++=+和5120S =，求解出1a 即可. 【详解】设每个人所得面包数，自少而多分别为：12345,,,,a a a a a 且成等差数列 由题意可知：()3451213a a a a a ++=+，5120S = 设公差为d ，可知：()111139235451202a d a d a d ⎧+=+⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩1126a d =⎧⇒⎨=⎩ 所以最少的一份面包数为12 本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用等差数列求解基本项的问题，关键在于将文字描述的内容转化为等差数列中的关系式，利用通项公式和求和公式求解出基本项. 8．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且()13f π=，则()f x 的一个对称中心坐标是 A ．2(,0)3π- B ．(,0)3π-C ．2(,0)3π D ．5(,0)3π 【答案】A 【解析】 试题分析：由的最小正周期为，得．因为()13f π=，所以12()232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，由，得，故．令1()23x k k Z ππ+=∈，得22()3x k k Z ππ=-∈，故()f x 的对称中心为，当时，()f x 的对称中心为，故选A ．考点：三角函数的图像与性质．9．在ABC ∆中，D 为BC 中点，O 为AD 中点，过O 作一直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r （0xy ≠），则11x y+=( ) A ．3 B ．2C ．4D ．14【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，得1111(),()4444MO x AB AC ON AB y AC =-+==-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ，利用共线向量的条件得出111()()04416x y --+=，化简即可得到11x y +的值，即可求解.【详解】在ABC ∆中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，若,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r，所以11()44MO AO AM x AB AC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，11()()44ON AN AO y AB AC AB y AC =-=+=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为//MO ON u u u u r u u u r ，所以111()()04416x y --+=， 即1()04x y xy +-=，整理得114x y +=，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算性质，以及向量的共线定理和三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC V 的面积为S ，且222S (a b)c =+-，a =，则tanC 等于( ) A ．34B ．43C ．34-D ．43-【答案】D 【解析】()22222222cos 2S b c a b c a bc bc A bc =+-=+-+=+ ，而1sin 2S bc A =，所以sin 2cos 2A A =+ ，又根据22sin cos 1A A +=，即()2222cos 2cos 15cos 8cos 30A A A A ++=⇒++= ，解得cos 1A =- (舍)或3cos 5A =- ，4sin 5A = ，解得4tan 3A =- ，故选D.11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为（ ）A ．2B C D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义及求法，得到ECD ∠为所求，连接ED ，由CDE ∆为直角三角形，即可求解． 【详解】在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，可得ECD ∠即为异面直线AB 与CE 所成角， 连接ED ，则CDE ∆为直角三角形，不妨设2AB a =，则,3DE EC a ==，所以sin 3DE ECD EC ∠==, 故选：B ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图像是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是（ ）A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 设g （x ）()f x cosx=，通过研究导函数及函数()f x 的奇偶性，可判断g （x ）在x ∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数且单调递减，利用性质解得不等式即可． 【详解】 令()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x+''=.因为,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，∴当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()()cos f x g x x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.又()f x 是定义域在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，∴()()()()()cos cos f x f x g x g x x x--==-=--，则()()cosxf xg x =也是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数并且单调递减.又()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于()3cos cos 3f f m m ππ⎛⎫⎪⎝⎭<， 即()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴3m π>，又22m ππ-<<，∴32m ππ<<.故选：D 【点睛】本题考查了运用导数判断函数的单调性及应用，考查了函数奇偶性的应用，考查了构造法的技巧，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。