积分变换第6讲
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数学积分变换法PPT学习教案
F1
1F
t
df( x,
)f *(
,
) 1( x )2 e 4(t )
x2
de4( t
)
d
2 0 t 2 (t )
*
1
x2
e 4t
2 t
t
f ( x, )*
1
x2
e d 4(t )
0
2 (t )
第9页/共40页
第16页/共40页
傅 立 叶 逆 变 换是一 种把分 析运算 化为代 数运算 的有效 方法,但 1.傅 立 叶 变 换 要求 原象函 数在R上 绝对可 积.,大 部分函 数不能 作傅立 叶变换
t
f ( )
1
e d
x2 4a2 (t
)
2a 0
(t )3/2
第34页/共40页
例设
求 解 下面定 解问题
x 1, y 0
2u x2 y xy
解 对 进 行 拉普拉 斯变换 ,
y
u | y0 x 2
u | x1 cos y
ux, y Ux, p
则原方程
变为
x
u y
x2
y
d pU x, p x2 x2 1
2a t
gt
易证
g0 0
而
L1
e
px a
L1
p
1
e
px a
p
于是
L[ g
't ]
p
1
e
p a
x
g 0
p
p x
e a
第33页/共40页
于是
L1[
p
1
e
p a
x
积分变换_(Laplace)课件与习题
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
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定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
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有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
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上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
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容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
拉普拉斯积分变换 PPT课件
记为 F(s) L f (t)
F(s)称为 f (t)的拉氏变换（或称为象函数）。
2
若F(s)是f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉 氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t) L1F(s)
可以看出，f (t) (t 0)的拉氏变换，实际上就是 f (t)u(t)e t 的傅氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
(s sin
kt
k
cos kt)
0
s2
k
k2
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
Lcoskt
s2
s
k2
(Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换。
解
利用性质： f (t) (t)dt f (0) ，有
即
L
t 0
f
(t )dt
1 s
L
f
(t)
1 s
F (s)
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏 变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
7
则 f (t) 的拉氏变换
F (s) f (t) est dt 0
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。
积分变换1-5.ppt
ut u t0
a2uxx ( x 0;t
( x);ux x0 0
0)
解
记ℱy[u( x,t)]
u( x, t )cos wxdx uˆ y (w,t)
0
ℱy[( x)]
0
(
x
)
cos
wxdx
ˆ
y
(
w)
- 11 -
第五节 傅里叶变换的应用
方程两边求傅立叶余弦变换得
ℱy[uxx ( x,t)]
(
x)
sin
wxdx
ˆ
z
(
w
)
傅 里
方程两边求傅立叶正弦变换得
叶 变 换
ℱz[uxx ( x,t)]
0 uxx ( x, t )sin wxdx
ux
sin
wx
0
w
0 ux cos wxdx
w[u
cos
wx
0
w
usin wxdx]
0
w2uˆz
-9-
所以
第 一
因此
章
傅 里 叶 变 换
第五节 傅里叶变换的应用
第 一
aiwX (w) bX (w) c X (w) H(w)
章
iw
傅即
里 叶 变
换 所以
X
(w)
b
H(w) i(aw
c
)
w
x(t )
ℱ1[ X (w)]
ℱ1[
b
H(w) i(aw
c
] )
w
1
2
bw
wH (w) i(aw2
c
)
e
iwt
dw
-3-
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
积分变换--傅里叶变换课件
x
前面计算出
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 2 2 n w n nw n , 可将cn以竖线标在频率图上 T 2
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一
周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
n
f (t 8n),
w
一般地, 对于周期T
1 jw n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 jw n t e dt T 1 1 1 1 jw n t jw n jw n e e e Tjw n Tjw n 1 2 sin w n 2 sinc( w n ) (n 0,1,2, ) T wn T
1
例如变换核 k( t ,ω ) e jωt , 积分域 ( a,b ) ( , ), 则
F( ω )
f ( t )e jωt dt
变换核 k(t , s) e st , 积分域 (a, b) (0,), 则
F ( s)
0
f ( t )e st dt ( s为复变量)
T 2
则在T=8时,
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 4 2 n w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 8 4
w
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2,) 8 2 n w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 16 8
1 T2 jnwt 合并为：cn fT (t )e dt n 0, 1, 2, T T 2
积分变换
= 1,2,3,
fT (t) = c0
cne
jw nt
c e- jwnt -n
=
cne jwnt
n =1
n = -
20
给定fT(t), cn的计算如下:
c 0
=
a0 2
=
1 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
当 n
1时 c n
=
an
- jb n 2
=
1 T
m =1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t cos
nwtd t =
m =1
2
= a n
T
2 cos
-T 2
2 nwt d t =
T an 2
即
an
=
2 T
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
16
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T
(n, m = 1,2,3, , n m ),
T
2 cos nwt cos mwt d t = 0 (n, m = 1,2,3, , n m ), -T 2
13
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...
的函数的长度计算如下:
T
1 = 2 12 dt = T -T 2
sin x
= 1, 则函数在整个实轴连续
x x=0
26
sinc函数的图形:
sinc(x)
x
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L [f1(t)]=F1(s), L [f2(t)]=F2(s), 则有
L [af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s) L -1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
3
微分性质 若L [f(t)]=F(s),
则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0)
积分变换
第6讲
1
拉氏变换的性质
本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变 换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数 都满足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这 些函数的增长指数都统一地取为c. 在证明性 质时不再重述这些条件
2
1. 线性性质
若a,b是常数
因为L
[sin
kt]
s2
k k2
根据上述微分性质可知
L
[t sin
kt]
-
d ds
s2
k k 2
2ks (s2 k2)2
同理可得
L
[t cos kt]
-
d ds
s2
s k 2
2s2
1
2s2 - s2 - k 2 s2 - k 2
-
(s2 k2)2 s2 k2
(s2 k2)2
-k2L [cos kt]=s2L [cos kt]-s 移项化简得
L
[cos kt]
s2
s k2
(Re(s) 0)
7
例2 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其 中m是正整数. 由于f(0)=f '(0)=...=f(m-1)(0)=0, 而f(m)(t)=m! 所以L [m!]=L [f(m)(t)]=smL [f(t)]-sm-1f0)-
=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f '(0)-...-f(n-1)(0) (2.4)
5
特别, 当初值f(0)=f ‘(0)=...=f(n-1)(0)=0时, 有
L [f ’(t)]=sF(s), L [f ‘’(t)]=s2F(s), ...,
L [f(n)(t)]=snF(s)
(2.5)
即L [ f (t)] sF (s) - f (0) (Re(s) c)
4
推论 若L [f(t)]=F(s), 则
L [f ''(t)]=sL [f'(t)]-f '(0)
=s{sL [f(t)]-f(0)}-f '(0)
=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0) ... L [f(n)(t)]=sL [f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)
(2.6)
和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c.
(2.7)
这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导
可以调换次序
d F (s) d f (t) e-std t
ds
ds 0
d f (t) e-std t - tf (t) e-std t
0 ds
0
9
例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换.
证 根据拉氏变换式, 有
L [eat f (t)] e at f (t) e-std t 0 f (t) e-(s-a)td t 0
因L
[sinh t]
s
1 2-
1
(习题一,1(5)),由积分性质
L
sinh t
t
s
1 s2 -1
d
s
s
1 2
s
1 -1
-
s
1 1
d
s
1 2
ln
s s
-1 1
s
1 ln s 1 2 s -1
14
如果积分 f (t) d t存在,按(2.10)式,取s 0 0t
则有
f (t) d t
F(s)d s,
0t
0
其中F(s)=L [f(t)]. 此公式常用来计算某些积分.
例如,
Hale Waihona Puke L[sin t]
s
1 2
1
,
则有
sin t d t
0t
0
1 s2
1
d
s
arctan
s
|0
2
15
4.位移性质 若L [f(t)]=F(s), 则有 L [eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c). (2.12)
(2.3)
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
u
a
d
v
uv
|ba
-
b
vdu
a
L [ f (t)] f (t) e-std t e-std f (t)
0
0
e-st
f (t) -
f (t) de-st
0
0
- f (0) s f (t) e-std t sL [ f (t)] - f (0) 0
sm-2f '(0)-...-f(m-1)(0) 即
而
L
[m!]=smL [tm]
L [m!] m!L
[1]
m!
s
所以
L
[t m ]
m! s m1
(Re(s) 0).
8
此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的
微分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则
F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c.
L
t
0
f (t) d t
1 sL
f (t) 1 F (s)
s
11
重复应用(2.8)式, 就可得到:
{ } L
t
dt
t dt
t
f (t) d t
0 0 0
1 sn F(s)
(2.9)
n次
12
由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质:
若L [f(t)]=F(s), 则
F(s)d s
f (t) e-std t d s
s
s0
0
f
(t )
-1 e-st t
s
d t
f (t) e-std t 0t
L
f (t) t
即L
f
(t) t
F(s)d s
s
一般地,有L
f (t) tn
ds
s
ds
s
n次
s F (s)d s
13
例4 求函数
f (t) sinh t 的拉氏变换. t
(s2
k
)2 2
10
3. 积分性质 若L [f(t)]=F(s)
则
L
t 0
f
(t)
d
t
1 s
F
(s)
(2.8)
证 设h(t) t f (t) d t,则有 0 h(t) f (t), 且h(0) 0
由上述微分性质, 有
L [h(t)] sL [h(t)] - h(0) sL [h(t)], 即
此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化
为F(s)的代数方程.
6
例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变换. 由于f(0)=1, f '(0)=0, f ''(t)=-k2cos kt, 则 L [-k2cos kt]=L [f ''(t)]=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0). 即
L [af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s) L -1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)
此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.
3
微分性质 若L [f(t)]=F(s),
则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0)
积分变换
第6讲
1
拉氏变换的性质
本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变 换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数 都满足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这 些函数的增长指数都统一地取为c. 在证明性 质时不再重述这些条件
2
1. 线性性质
若a,b是常数
因为L
[sin
kt]
s2
k k2
根据上述微分性质可知
L
[t sin
kt]
-
d ds
s2
k k 2
2ks (s2 k2)2
同理可得
L
[t cos kt]
-
d ds
s2
s k 2
2s2
1
2s2 - s2 - k 2 s2 - k 2
-
(s2 k2)2 s2 k2
(s2 k2)2
-k2L [cos kt]=s2L [cos kt]-s 移项化简得
L
[cos kt]
s2
s k2
(Re(s) 0)
7
例2 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其 中m是正整数. 由于f(0)=f '(0)=...=f(m-1)(0)=0, 而f(m)(t)=m! 所以L [m!]=L [f(m)(t)]=smL [f(t)]-sm-1f0)-
=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f '(0)-...-f(n-1)(0) (2.4)
5
特别, 当初值f(0)=f ‘(0)=...=f(n-1)(0)=0时, 有
L [f ’(t)]=sF(s), L [f ‘’(t)]=s2F(s), ...,
L [f(n)(t)]=snF(s)
(2.5)
即L [ f (t)] sF (s) - f (0) (Re(s) c)
4
推论 若L [f(t)]=F(s), 则
L [f ''(t)]=sL [f'(t)]-f '(0)
=s{sL [f(t)]-f(0)}-f '(0)
=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0) ... L [f(n)(t)]=sL [f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)
(2.6)
和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c.
(2.7)
这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导
可以调换次序
d F (s) d f (t) e-std t
ds
ds 0
d f (t) e-std t - tf (t) e-std t
0 ds
0
9
例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换.
证 根据拉氏变换式, 有
L [eat f (t)] e at f (t) e-std t 0 f (t) e-(s-a)td t 0
因L
[sinh t]
s
1 2-
1
(习题一,1(5)),由积分性质
L
sinh t
t
s
1 s2 -1
d
s
s
1 2
s
1 -1
-
s
1 1
d
s
1 2
ln
s s
-1 1
s
1 ln s 1 2 s -1
14
如果积分 f (t) d t存在,按(2.10)式,取s 0 0t
则有
f (t) d t
F(s)d s,
0t
0
其中F(s)=L [f(t)]. 此公式常用来计算某些积分.
例如,
Hale Waihona Puke L[sin t]
s
1 2
1
,
则有
sin t d t
0t
0
1 s2
1
d
s
arctan
s
|0
2
15
4.位移性质 若L [f(t)]=F(s), 则有 L [eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)>c). (2.12)
(2.3)
证 根据分部积分公式和拉氏变换公式
b
u
a
d
v
uv
|ba
-
b
vdu
a
L [ f (t)] f (t) e-std t e-std f (t)
0
0
e-st
f (t) -
f (t) de-st
0
0
- f (0) s f (t) e-std t sL [ f (t)] - f (0) 0
sm-2f '(0)-...-f(m-1)(0) 即
而
L
[m!]=smL [tm]
L [m!] m!L
[1]
m!
s
所以
L
[t m ]
m! s m1
(Re(s) 0).
8
此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的
微分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则
F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c.
L
t
0
f (t) d t
1 sL
f (t) 1 F (s)
s
11
重复应用(2.8)式, 就可得到:
{ } L
t
dt
t dt
t
f (t) d t
0 0 0
1 sn F(s)
(2.9)
n次
12
由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质:
若L [f(t)]=F(s), 则
F(s)d s
f (t) e-std t d s
s
s0
0
f
(t )
-1 e-st t
s
d t
f (t) e-std t 0t
L
f (t) t
即L
f
(t) t
F(s)d s
s
一般地,有L
f (t) tn
ds
s
ds
s
n次
s F (s)d s
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例4 求函数
f (t) sinh t 的拉氏变换. t
(s2
k
)2 2
10
3. 积分性质 若L [f(t)]=F(s)
则
L
t 0
f
(t)
d
t
1 s
F
(s)
(2.8)
证 设h(t) t f (t) d t,则有 0 h(t) f (t), 且h(0) 0
由上述微分性质, 有
L [h(t)] sL [h(t)] - h(0) sL [h(t)], 即
此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化
为F(s)的代数方程.
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例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变换. 由于f(0)=1, f '(0)=0, f ''(t)=-k2cos kt, 则 L [-k2cos kt]=L [f ''(t)]=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0). 即