高中数学必修一《指数函数及其性质》导学案

2.1.2 指数函数及其性质

【学习目标】

1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系．

2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点．

3．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．

4．熟练掌握指数函数的图象和性质．

5．会求指数型函数y ＝ka x (k ∈R ，a ＞0且a ≠1)的定义域、值域，并能判断其单调性．

6．理解指数函数的简单应用模型，培养数学应用意识．

【自主梳理】

1．函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做__________，其中x 是自变量．

因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a ＞0的前提下，x 可以是任意实数，所以指数函数的定义域为______．

2．底数为什么不能是负数、零和1?

(1)当a ＜0时，如y ＝(－2)x ，当x ＝

21，41，…等时，在实数范围内函数值不存在； (2)当a ＝0时，若x ≤0，y ＝0x 无意义；

(3)当a ＝1时，y ＝1x

＝1是一个常数，没有讨论的必要．

3．在指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的表达式中，a x 的系数必须是1，自变量x 在指数的位置上．

例如：函数y ＝2x ，y ＝(2)x 是________；但y ＝2·3x ，y ＝2x ＋1等不是指数函数． 答案：1.指数函数R

3.指数函数

【重点领悟】

4．指数函数y ＝a x

(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质：

(1)图象

(2)性质

5．将函数y＝2x的图象向右平移一个单位即可得到函数____________的图象．

6．设f(x)＝a x(a＞0且a≠1)，则有：

①f(0)＝______，f(1)＝______；

②若x≠0，则__________________；

③若x≠1，则__________________；

④f(x)取遍所有正数当且仅当：________.

7．指数函数增长模型：设原有量为N，年平均增长率为p，则经过时间x年后的总量y＝__________.

答案：

5．y＝2x－1

6．①1 a②f(x)＞0且f(x)≠1

③f(x)＞0且f(x)≠a④x∈R

7.

N(1＋p)x y

【探究提升】

1）．如何判断指数函数？指数函数的定义域是什么？

解析：形如y＝x a(a＞0且a≠1)的函数叫指数函数，它是一种形式定义．因为a＞0，x是任意一个实数时，x a是确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

2）．指数函数中，规定底数a大于零且不等于1的理由？

解析：①如果a＝0，

②如果a＜0，比如y＝()x4-

，这里对于x＝4

1

，x＝2

1

，…，在实数范围内函数值不存在．

③如果a＝1，比如y＝x a＝1，是一个常量，对他就没有研究必要．为避免上述情况，所以规定a＞0且a≠1.

3）．指数函数的图象变化与底数大小的关系是什么？

解析：底数越大，函数的图象在y轴右侧部分越远离x轴，此性质可通过x＝1的函数值大小去理解．

4）．指数函数y＝x2的函数值域为[1，＋∞)，则x的范围是多少？

[0，＋∞)

5）．指数函数y ＝x

2的函数值能否为负值？

不能

【学法引领】

【例1】函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )

A ．a ＝1或a ＝3

B ．a ＝1

C ．a ＝3

D ．a ＞0且a ≠1 解析：由指数函数定义知2(2)1,0,1,

a a a ⎧-=⎨>≠⎩且所以解得a ＝3．

答案：C

【例2】下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．

①y )x ；②y ＝2x －1；③y ＝π2x

⎛⎫ ⎪⎝⎭；④y ＝x x ；⑤y ＝13x -；⑥y ＝13x ． 解析：

【例3】函数y ＝1)x 在R 上是( ) A ．增函数B ．奇函数

C ．偶函数

D ．减函数

解析：由于0－1＜1，所以函数y ＝1)x 在R 上是减函数．

因为f (－1)＝－1)－1＝12

， f (1)1，则f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠

－f (1)，所以函数y ＝1)x 不具有奇偶性．

答案：D

【例4】如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x

的图象，则a ，b ，c ，d

与1的大小关系是( )

A．a＜b＜1＜c＜d

B．b＜a＜1＜d＜c

C．1＜a＜b＜c＜d

D．a＜b＜1＜d＜c

解析：(方法一)在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x 轴，故有b＜a．在③④中底数大于1，底数越大，图象越靠近y轴，故有d＜c．故选B．(方法二)设x＝1与①②③④的图象分别交于点A，B，C，D，如图，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c＞d＞1＞a＞b．故选B．

答案：B

析规律底数的变化对函数图象的影响当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴，简称x＞0时，底大图象高．

【例5】某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求y关于x的函数解析式．

分析：在此增长模型中，基数是360，人口的平均增长率为1.2%，粮食总产量的平均增长率为4%，由此可列出1,2,3，…年后的人均一年占有量，观察得到所求的函数解析式．解：设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M kg．

1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%) kg，人口数量为M(1＋1.2%)，

则人均一年占有粮食为360(14%)

(1 1.2%)

M

M

+

+

kg，

2年后，人均一年占有粮食为

2

2

360(14%)

(1 1.2%)

M

M

+

+

kg，

……

x年后，人均一年占有粮食为y＝360(14%)

(1 1.2%)

x

x

M

M

+

+

kg，