高考题汇编-2017年全国高考数学真题--第21题导数教学内容
2010-2017年全国高考数学真题--第21题导数
2010年:设函数2
()1x
f x e x ax =---。
(1)若0a =,求()f x 的单调区间; (2)若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围
2011年:已知函数ln ()1a x b
f x x x
=
++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=.
(I )求,a b 的值; (II )如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x k
f x x x
>+-,求k 的取值范围.
2012年: 已知函数)(x f 满足2
1
2
1)0()1(')(x x f e f x f x +
-=-. (Ⅰ)求)(x f 的解析式及单调区间; (Ⅱ)若b ax x x f ++≥2
2
1)(,求b a )1(+的最大值.
2013: 一卷:已知函数()f x =2
x ax b ++,()g x =()x
e cx d +,若曲线()y
f x =和曲
线()y g x =都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+
(Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值; (Ⅱ)若x ≥-2时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值范围.
2014一卷:设函数1
()ln x x
be f x ae x x
-=+,曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线为
(1)2y e x =-+.
(Ⅰ)求,a b ; (Ⅱ)证明:()1f x >.
2015一卷:已知函数3
1
()4
f x x ax =++
,()ln g x x =-. (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线;
(Ⅱ)用min {},m n 表示m ,n 中的最小值,设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ,讨论()h x 零点的个数.
2016一卷:已知函数2
()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点. (I )求a 的取值范围; (II )设1x ,2x 是的两个零点,证明:122x x +<.
2017一卷:已知函数2()(2)x
x f x ae
a e x =+--.
(1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.
2013.二卷:已知函数()()ln x
f x e x m =-+
(Ι)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >
2014二卷:已知函数()f x =2x x e e x --- (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;
(Ⅱ)设()()()24g x f x bf x =-,当0x >时,()0g x >,求b 的最大值;
(Ⅲ)已知1.4142 1.4143<<,估计ln2的近似值(精确到0.001)
2015二卷:设函数2()mx
f x e
x mx =+-.
(Ⅰ)证明:()f x 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增;
(Ⅱ)若对于任意1x ,2x [1,1]∈-,都有12|()()|f x f x -1e -≤,求m 的取值范围.
2016二卷:(I)讨论函数2(x)e 2
x
x f x -=
+的单调性,并证明当0x >时,(2)e 20x x x -++>; (II)证明:当[0,1)a ∈ 时,函数()2
e =
(0)x ax a
g x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域.
2016三卷:设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+,其中0α>,记|()|f x 的最大值为A . (Ⅰ)求()f x '; (Ⅱ)求A ; (Ⅲ)证明|()|2f x A '≤.
2017二卷:已知函数2
()ln f x ax ax x x =--,且()0f x ≥. (1)求a ;(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且2
20()2e f x --<<.
2017三卷:已知函数()1ln f x x a x =--. (1)若()0f x ≥,求a 的值;
(2)设m 为整数,且对于任意正整数n ,2111(1)(1)(1)222
n m ++???+<,求m 的最小值.
精编答案
2010年:解:(1)0a =时,()1x
f x e x =--,'()1x
f x e =-.
当(,0)x ∈-∞时,'()0f x <;当(0,)x ∈+∞时,'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少,在(0,)+∞单调增加
(II )'()12x
f x e ax =-- 由(I )知1x
e x ≥+,当且仅当0x =时等号成立.故
'()2(12)f x x ax a x ≥-=-,从而当120a -≥,即1
2
a ≤
时,'()0 (0)f x x ≥≥,而(0)0f =,于是当0x ≥时,()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从
而当12
a >
时,'()12(1)(1)(2)x x x x x
f x e a e e e e a --<-+-=--, 故当(0,ln 2)x a ∈时,'()0f x <,而(0)0f =,于是当(0,ln 2)x a ∈时,()0f x <. 综合得a 的取值范围为1(,]2
-∞.
2011年:解析:(Ⅰ)22
1
(
ln )
'()(1)x x b x f x x x α+-=
-
+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1,1'(1),2
f f =??
?=-??即
1,
1,22
b a b =???-=-??
解得1a =,1b =。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知ln 1
f ()1x x x x
=
++,所以 22
ln 1(1)(1)
()()(2ln )11x k k x f x x x x x x
---+=+--。
考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)
k x x --(0)x >,则22
(1)(1)2'()k x x h x x -++=。 (i)设0k ≤,由22
2
(1)(1)'()k x x h x x +--=知,当1x ≠时,'()0h x <,h(x)递减。而
(1)0h =故当(0,1)x ∈时, ()0h x >,可得
2
1
()01h x x
>-; 当()+∞∈,1k 时,()0 0)(11 2 >?-x h x 从而当0>x ,且1≠x 时,-)(x f (1ln -x x +x k )0>,即>)(x f 1ln -x x +x k . (ii )设10< (1)(1)2k x x -++=2 (1)21k x x k -++-的图像开口向下,且 244(1)0k ?=-->,对称轴111>-= k x ,当??? ??-∈k x 11,1时,()()02112 >++-x x k , 故()0>'x h ,而0)1(=h ,故当?? ? ??-∈k x 11, 1时,()0h x >,可得 0)(11 2 -x h x ,与题设矛盾。 (iii )设k ≥1.此时2 12x x +≥,2 (1)(1)20k x x -++>?()0>'x h ,而0)1(=h ,故 当()+∞∈,1x 时,()0h x >,可得0)(11 2 -x h x ,与题设矛盾。 综合得,k 的取值范围为(]0,∞- 点评;求参数的范围一般用离参法,然后用导数求出最值进行求解。若求导后不易得到极值点,可二次求导,还不行时,就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准,看是否符合题意。求的答案。此题用的便是后者。 2012一卷:(1)12 11()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+ ?=-+ 令1x =得:(0)1f = 1211 ()(1)(0)(1)1(1)2 x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?=得:21()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+()10()x g x e y g x '=+>?=在 x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?<得:()f x 的 解析式为2 1()2 x f x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)2 1()()(1)02 x f x x ax b h x e a x b ≥ ++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾 ②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+<+ 得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令2 2 ()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=- ()00()0F x x F x x ''>?<<> 当x = max ()2e F x = 当1,a b ==(1)a b +的最大值为2 e 2013年:解:(1)由已知得f (0)=2,g (0)=2,f ′(0)=4,g ′(0)=4. 而f ′(x )=2x +a ,g ′(x )=e x (cx +d +c ), 故b =2,d =2,a =4,d +c =4. 从而a =4,b =2,c =2,d =2. (2)由(1)知,f (x )=x 2+4x +2,g (x )=2e x (x +1). 设函数F (x )=kg (x )-f (x )=2k e x (x +1)-x 2 -4x -2, 则F ′(x )=2k e x (x +2)-2x -4=2(x +2)(k e x -1). 由题设可得F (0)≥0,即k ≥1. 令F ′(x )=0得x 1=-ln k ,x 2=-2. ①若1≤k <e 2 ,则-2<x 1≤0.从而当x ∈(-2,x 1)时,F ′(x )<0;当x ∈(x 1,+∞)时,F ′(x )>0.即F (x )在(-2,x 1)单调递减,在(x 1,+∞)单调递增.故F (x )在[-2,+∞)的最小值为F (x 1). 而F (x 1)=2x 1+2-2 1x -4x 1-2=-x 1(x 1+2)≥0. 故当x ≥-2时,F (x )≥0,即f (x )≤kg (x )恒成立. ②若k =e 2,则F ′(x )=2e 2(x +2)(e x -e -2 ). 从而当x >-2时,F ′(x )>0,即F (x )在(-2,+∞)单调递增. 而F (-2)=0,故当x ≥-2时,F (x )≥0,即f (x )≤kg (x )恒成立. ③若k >e 2,则F (-2)=-2k e -2+2=-2e -2(k -e 2 )<0. 从而当x ≥-2时,f (x )≤kg (x )不可能恒成立. 综上,k 的取值范围是[1,e 2 ]. 2014年:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞,112()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x --'=+ -+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '==,故1,2a b == ……………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,12()ln x x e f x e x x -=+,从而()1f x >等价于2 ln x x x xe e ->- 设函数()ln g x x x =,则()1ln g x x '=+, 所以当10,x e ? ?∈ ???时,()0g x '<,当1,x e ??∈+∞ ??? 时,()0g x '>, 故()g x 在10,e ?? ???单调递减,在1,e ??+∞ ??? 单调递增, 从而()g x 在()0,+∞的最小值为 11 ()g e e =-. ……………8分 设函数2()x h x xe e -=-,则()()1x h x e x -'=-, 所以当()0,1x ∈时,()0h x '>,当()1,x ∈+∞时,()0h x '<, 故()h x 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减,从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值为 1 (1)h e =-. 综上:当0x >时,()()g x h x >,即()1f x >. ……12分 2015年:(Ⅰ)根据已知,2 '()3f x x a =+,若x 轴为曲线的切线,设切点横坐标为t ,则 可得'()0()0f t f t =??=?即233010 4t a t at ?+=??++=??,解得34 12 a t ? =-????=?? 所以当3 4 a =- 时,x 轴为曲线()y f x =的切线. (Ⅱ)当0a ≥时,2 '()30f x x a =+>,于是()f x 单调递增,而1 (0)4 f = ,于是()y f x =与()y g x =有唯一交点,且交点的横坐标(0,1)p ∈,此时函数()h x 的零点个数为1. 当3 04 a - <<时,()f x 在 上递减,在)+∞ 上递增,在x = 小值为33 112()048f a =+=-> 此时()y f x =与()y g x =在(0,1)内忧唯一交点,函数()h x 的零点个数为1. 当3 4a =-时,此时极小值为0,函数()h x 的零点个数为2 当53 44 a -<<-时,此时的极小值小于0,因此函数()h x 的零点个数为3 当5 4a =-时,此时()y f x =与()y g x =相交于(1,0),函数()h x 的零点个数为2 当5 4 a <-时,此时()y f x =与()y g x =的交点的横坐标大于1,此时函数()h x 的零点 个数为1 综上可得,数()h x 的零点个数为:531,44532,44533,44a a a a a ? <->-?? ? =-=-?? ?-<<-?? 或或 2016年:(Ⅰ)'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+. (i )设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点. (ii )设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <;当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >.所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln 2a b <,则223 ()(2)(1)()022 a f b b a b a b b >-+-=->,故()f x 存在两个零点. (iii )设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-. 若2 e a ≥- ,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点. 若2 e a <- ,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <;当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >.因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增.又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,)+∞. (Ⅱ)不妨设12x x <,由(Ⅰ)知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在 (,1)-∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<. 由于2 22222(2)(1)x f x x e a x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,所以 222222(2)(2)x x f x x e x e --=---. 设2()(2)x x g x xe x e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--. 所以当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <. 从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<. 2017年:(1)()f x 定义域为(,)-∞+∞,2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+, (ⅰ)若0a ≤,则()0f x '<,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. (ⅱ)若0a >,则由()0f x '=得ln x a =-. 当(,ln )x a ∈-∞-时,()0f x '<;当(ln ,)x a ∈-+∞时,()0f x '>,所以()f x 在 (,ln )a -∞-单调递减,在(ln ,)a -+∞单调递增. (2)(ⅰ)若0a ≤,由(1)知,()f x 至多有一个零点. (ⅱ)若0a >,由(1)知,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,最小值为 1 (ln )1ln f a a a -=- +. ①当1a =时,由于(ln )0f a -=,故()f x 只有一个零点; ②当(1,)a ∈+∞时,由于1 1ln 0a a -+>,即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点; ③当(0,1)a ∈时,1 1ln 0a a -+<,即(ln )0f a -<. 又4 22(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>,故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03 ln(1)n a >-,则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a ->-,因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1). 2014二卷:解:(Ⅰ)()20x x f x e e -'=+-≥,等号仅当0x =时成立 所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增 (Ⅱ)22()(2)4()4()(84)x x x x g x f x bf x e e b e e b x --=-=---+-, 22()2[2()(42)]x x x x g x e e b e e b --'=+-++- 2(2)(22)x x x x e e e e b --=+-+-+ (ⅰ)当2b ≤时,()0g x '≥,等号仅当0x =时成立,所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增,而(0)0g =,所以对任意0,()0x g x >>; (ⅱ)当2b >时,若x 满足222x x e e b -<+<-,即0ln(1x b <<-时 ()0g x '<,而(0)0g =,因此当0ln(1x b <≤-时,()0g x <。 综上,b 的最大值为2. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,3 2(21)ln 22 g b = -+- 当2b =时,3 6ln 202 g = ->,3ln 20.692812> >; 当14 b = +时,ln(1b -= 3 (ln 2)ln 202 g =--< ln 20.6934< < 所以ln 2的近似值为0.693 2015年二卷:试题分析:(Ⅰ)先求导函数' ()(1)2mx f x m e x =-+,根据m 的范围讨论导 函数在(,0)-∞和(0,)+∞的符号即可;(Ⅱ)12()()1f x f x e -≤-恒成立,等价于 12max ()()1f x f x e -≤-.由12,x x 是两个独立的变量,故可求研究()f x 的值域,由(Ⅰ) 可得最小值为(0)1f =,最大值可能是(1)f -或(1)f ,故只需(1)(0)1, (1)(0)1, f f e f f e -≤-?? --≤-?,从 而得关于m 的不等式,因不易解出,故利用导数研究其单调性和符号,从而得解. 2016年二卷:(1))(x f 的定义域为()()+∞--∞-,22,Y , ()()()()()022221)(2 22 ≥+=+--+-='x e x x e x e x x x f x x x ,且仅当0=x 时,()0='x f ,所以 )(x f 在()()+∞--∞-,2,2,单调递增,因此当()+∞∈,0x 时,1)0()(-=>f x f , 所以()()22+->-x e x x ,即()022>++-x e x x ; (II )22(2)(2)2 ()(()),x x e a x x g x f x a x x -+++= =+ 由(I )知,()f x a +单调递增,对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此,存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =, 当00x x <<时,()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减; 当0x x >时,()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值,最小值为 000 000022 000(1)+()(1)().2 x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 令2)(+=x e x h x ,由()() 021)(2 >++='x e x x h x ,所以2)(+=x e x h x 为增函数,所以由(]2,00∈x 得4222)(20212 20000e e x e x g e x =+≤+=<+=,所以对任意??? ??∈4,212e λ,存在唯一的(]2,00∈x ,()[)1,00∈=x f a ,使得λ=)(a h ,所以)(a h 的值域是??? ??4,212e , 综上所述,当[)1,0∈a 时,)(a h 的值域是?? ? ??4,212e 考点: 函数的单调性、极值与最值. 2016年三卷:(Ⅰ)' ()2sin 2(1)sin f x a x a x =---. (Ⅱ)当1a ≥时,' |()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f = 因此,32A a =-. ………4分 当01a <<时,将()f x 变形为2 ()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--. 令2 ()2(1)1g t at a t =+--,则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值,(1)g a -=, (1)32g a =-,且当14a t a -= 时,()g t 取得极小值,极小值为221(1)61 ()1488a a a a g a a a --++=--=- . 令1114a a --< <,解得13a <-(舍去),1 5 a >. (ⅰ)当1 05 a <≤时,()g t 在(1,1)-内无极值点,|(1)|g a -=,|(1)|23g a =-, |(1)||(1)|g g -<,所以23A a =-. (Ⅲ)由(Ⅰ)得' |()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当105 a <≤ 时,' |()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当115a <<时,13 1884 a A a =+ +≥,所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时,' |()|31642f x a a A ≤-≤-=,所以' |()|2f x A ≤. 2017年二卷:(1))(x f 的定义域为)0(∞+,,则0)(≥x f 等价于0ln ≥--x a ax . 设x a ax x g ln )(--=,则x a x g 1)(- ='.由题可知0>a ,则由0)(>'x g 解得a x 1 >,所以)(x g 为)1(∞+,a 上的增函数,为)1 0(a ,上的减函数.则有 ==)1 ()(min a g x g 0ln 1=+-a a ,解得1=a . (2)由(1)可知x x x x x f ln )(2 --=,则x x x f ln 22)(--='. 设x x x h ln 22)(--=,则x x h 12)(- ='.由0)(>'x h 解得21>x ,所以)(x h 为)2 1 (∞+, 上的增函数,为)210(,上的减函数.又因为0)1(012ln )21(=<-=h h ,,则)(x h 在) 2 1 0(,上存在唯一零点0x 使得0ln 2200=--x x ,即00ln 22x x =-,且)(x f 为)0(0x ,, )1(∞+,上的增函数,为)1 (0, x 上的减函数,则)(x f 极大值为4 1 )1()(000<-=x x x f .而 101)10(--≠∈e x e ,,,所以210)()(--=>e e f x f . 综上, 2022)(--< 2017年三卷:⑴ ()1ln f x x a x =--,0x > 则()1a x a f x x x -'=-=,且(1)0f = 当0a ≤时,()0f x '>,()f x 在()0+∞,上单调增,所以01x <<时,()0f x <,不满足题意; 当0a >时,当0x a <<时,()0f x '<,则()f x 在(0,)a 上单调递减; 当x a >时,()0f x '>,则()f x 在(,)a +∞上单调递增. ①若1a <,()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >,()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ③若1a =,()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意 综上所述1a =. ⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤ 则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11 ln(1)22 k k +<,*k ∈N 一方面:221111111 ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222) n n n ++++++<+++=-<, 即2111 (1)(1)...(1)e 222 n +++<. 另一方面:223111111135 (1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=> 当3n ≥时,2111 (1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈ ∵*m ∈N ,2111 (1)(1)...(1)222 n m +++<,∴m 的最小值为3. 2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y =的定义域为( C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞,, B .(1)(01)-∞-, , C .(1)(1)-∞-+∞, , D .(10)(01)-,, 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A B C D C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,, ,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-, 2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项:1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科一、解答题(本大题共10小题,共0分)1.(2013年北京高考真题数学(文))已知函数2()sin cos f x x x x x (1)若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切,求a 与b 的值。(2)若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点,求b 的取值范围。2.(2012年北京高考真题数学(文))已知函数2()1(0)f x ax a ,3()g x x bx .(Ⅰ)若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求,a b 的值;(Ⅱ)当3a ,9b 时,若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.3.(2011年北京高考真题数学(文))已知函数()()x f x x k e . (Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.(2009年北京高考真题数学(文))姓名:__________班级:__________考号:__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------● 2011-2017新课标(文科)导数压轴题分类汇编 【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 (1)求a 、b 的值; (2)证明:当0x >,且1x ≠时, f (x )> ln x x -1 【解析】 (1)22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= -+ 由于直线230x y +-=的斜率为1 2 - ,且过点(1,1), 故(1)1,1'(1),2f f =???=-?? 即1,1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =,1b =。 (2)由(1)知f (x )=x x x 1 1ln ++,所以f (x )-ln x x -1=11-x 2 (2ln x -x 2-1x ), 考虑函数,则2 2 222)1()1(22)(x x x x x x x h -- =---=', 所以x ≠1时h ′(x )<0,而h (1)=0 故)1,0(∈x 时,h (x )>0可得,),1(+∞∈x 时,h (x )<0可得, 从而当,且时,. 【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 (1)求f (x )的单调区间 (2)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f ′(x )+x +1>0,求k 的最大值 【解析】 (1) f (x )的定义域为(,)-∞+∞,()x f x e a '=-, 若0a ≤,则()0f x '>,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >,则当(,ln )x a ∈-∞时,()0f x '<;当(l n ,)x a ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减,在(ln ,)a +∞单调递增. (2)由于1a =,所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时,()()10x k f x x '-++>等价于1(0) (1) x x k x x e +<+>-①. 令1()(1) x x g x x e +=+-,则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+= --. 由(1)知,函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增,而(1)0h <,(2)0h >, ln ()1x f x x > -ln ()1x f x x >-0x >1x ≠ln ()1 x f x x >- 2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项: 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科 一 、解答题(本大题共22小题,共0分) 1.(2017北京东城区高三一模数学(文))设函数ax x x x f +-=232131)(,R a ∈. (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点,求a 的值,并讨论)(x f 的单调性; (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ,若)(x g 在区间)1,0(内有零点,求a 的取值范围; (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ,2x ,试讨论过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(,若能,求a 的值;若不能,说明理由. 2.(2017北京丰台区高三一模数学(文)) 已知函数1()e x x f x +=,A 1()x m ,,B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. (Ⅰ)求()f x 的单调区间,并写出实数m 的取值范围; (Ⅱ)证明:120x x +>. 3.(2017北京丰台区高三二模数学(文)) 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程; 姓名:__________班级:__________考号:__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------● 高考数学真题汇编——函数与导数 1.【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)由函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.【2018年理天津卷】已知,,,则a,b,c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解:由题意结合对数函数的性质可知:,, , 据此可得:.本题选择D选项. 点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确. 3.【2018年理新课标I卷】已知函数.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞) 【答案】C 详解:画出函数的图像,在y轴右侧的去掉,再画出直线,之后上下移动,可以发现当直线过点A时,直线与函数图像有两个交点,并且向下可以无限移动,都可以保证直线与函数的图像有两个交点,即方程有两个解,也就是函数有两个零点,此时满足,即,故选C. 点睛:该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题,在求解的过程中,解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题,将式子移项变形,转化为两条曲线交点的问题,画出函数的图像以及相应的直线,在直线移动的过程中,利用数形结合思想,求得相应的结果. 4.【2018年理新课标I卷】设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛:该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题,在求解的过程中,首先需要确定函数解析式,此时利用到结论多项式函数中,奇函数不存在偶次项,偶函数不存在奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求得,借助于导数的几何意义,结合直线方程的点斜式求得结果. 5.【2018年全国卷Ⅲ理】设,,则 2012年高考真题理科数学解析汇编:导数与积分 一、选择题 1 .(2012年高考(新课标理))已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 .(2012年高考(浙江理))设a >0,b >0. ( ) A .若2223a b a b +=+,则a >b B .若2223a b a b +=+,则a b D .若2223a b a b -=-,则a 5 .(2012年高考(山东理))设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 6 .(2012年高考(湖北理))已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 ( ) A . 2π 5 B . 43 C . 32 D . π2 7 .(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ( ) A . 14 B . 15 C . 16 D . 17 8 .(2012年高考(大纲理))已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = ( ) A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1 二、填空题 9 .(2012年高考(上海理))已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10.(2012年高考(山东理))设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11.(2012年高考(江西理))计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12.(2012年高考(广东理))曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13.(2012年高考(天津理))已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1 导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π,-1)处的切线方程为 A .10x y --π-= B .2210x y --π-= C .2210x y +-π+= D .10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π,即2210x y +-π+=. 故选C . 2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 3.【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ,函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x ?=?-++≥??.若函数()y f x ax b =--恰有3个零点,则 A .a <–1,b <0 B .a <–1,b >0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b , 2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y = C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞ ,, B .(1)(01)-∞- , , C .(1)(1)-∞-+∞ ,, D .(10)(01)- , , 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A . B . C . D . C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时 a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-, 切线问题 1 已知函数31()4 f x x ax =++,()ln g x x =-.当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x =的切线; 2 设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+,曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. 3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.求a 、b 的值; 4 设函数()()23x x ax f x a R e +=∈若()f x 在0x =处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; 5已知函数f(x)=e x -ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f(x)在点A 处的切线斜率为-1. 求a 的值及函数f(x)的极值; 6设函数,曲线在点处的切线方程为, 7已知函数.求曲线在点处的切线方程; 8设函数f (x )=x 2+ax +b ,g (x )=e x (cx +d ).若曲线y =f (x )和曲线y =g (x )都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线y =4x +2.求a ,b ,c ,d 的值; ()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f 单调性问题 1已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-.求)(x f 的解析式及单调区间; 2 讨论函数2()2 x x f x e x -=+ 的单调性,并证明当x >0时,(2)20x x e x -++>; 3已知函数()2x x f x e e x -=--. 讨论()f x 的单调性; 4 设1a >,函数a e x x f x -+=)1()(2.求)(x f 的单调区间 ; 5已知函数f (x )=a e 2x -b e -2x -cx (a ,b ,c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数,且曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的 切线的斜率为4-c . (1)确定a ,b 的值; (2)若c =3,判断f (x )的单调性; 6设,已知定义在R 上的函数在区间内有一个零点,为的导函数.求的单调区间; 7已知函数()ln()x f x e x m =-+. 设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; a ∈Z 432 ()2336f x x x x x a =+--+(1,2)0x ()g x ()f x ()g x 2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围. 5.设函数f(x)=(1﹣x2)e x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x (x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数. (Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 8.已知函数f(x)=e x cosx﹣x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. 9.设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数. (Ⅰ)求g(x)的单调区间; (Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0; (Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且 ∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥. 10.已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R, (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,g(x) =e x f(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0; (ii)若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)=e x(e x﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围. 导数大题 1 .已知函数()b ax x x f ++=2 3的图象在点P (1,0)处的切线与直线03=+y x 平行? (1)求常数a 、b 的值; (2)求函数()x f 在区间[]t ,0上的最小值和最大值(0>t )? 2 .已知函数R a ax x x f ∈+-=,)( 3 (1)若)(x f 在),1[+∞上为单调减函数,求实数a 取值范围; (2)若,12=a 求)(x f 在[-3,0]上的最大值和最小值? 3 .设函数x e x x f 22 1)(=. (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若当]2,2[-∈x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围. 4 .已知函数.),2,1()(3)(3 l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= (1)求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程; (2)求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =? ()I 求()f x 的单调区间; ()II 若()f x 在1x =-处取得极大值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围? 7 .已知函数2 ()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y . (Ⅰ)求b a ,的值; (Ⅱ)若方程()f x m +=m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数); 8 .已知函数21 2 ()()ln f x a x x =-+.(R a ∈) (1)当a =1时,求()f x 在区间[1,e ]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方,求a 的取值范围。 10.已知函数2 ()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+,且对于任意实数x ,恒有(5)(5)F x F x -=-? ⑴求函数)(x f 的解析式; ⑵已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调,求实数a 的取值范围; ⑶讨论函数21()ln(1)()2 h x x f x k =+- -零点的个数? 1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点,则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点:函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值.在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点,需要通过这点两边的导数的正负性来判断,在 的解,附近,如 果时,,时,则是极小值点,如果时,,时,,则是极大值点, 2. 【 2015 高考福建,文A.充分而不必要条 件12】“对任意 B.必要而不充分条件 ,”是“ C .充分必要条件 D ”的() .既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时,,构造函数,则 .故在单调递增,故,则;当时,不等式等价于,构造函数 ,则,故在递增,故 ”是“,则.综上 ”的必要不充分条件,选 所述,“ 对任 意B. , 【考点定位】导数的应用. 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用, 根 据已知条件构造函数,进而研究其图象与性质,是函数思想的体现,属于难题. 3. (2014 课标全国Ⅰ,文 12) 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 3 2 + 1,若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x x x 0>0,则 a 的取值范围是 ( ) . A . (2 ,+∞ ) B . (1 ,+∞) C . ( -∞,- 2) D .( -∞,- 1) 答案: C 解析:当 a = 0 时, f ( x ) =- 3x 2+ 1 存在两个零点,不合题意; 当 a >0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 ′( ) = 0,得 x 1 = 0, , fx 所以 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一的零点,需 ,但这时零点 x 0 一定小于 0,不合题意; 当 a <0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 f ′(x ) = 0,得 x 1=0, ,这时 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一零点,应满足 ,解得 a <- 2( a > 2 舍去 ) ,且这时 零点 x 0 一定大于 0,满足题意,故 a 的取值范围是 ( -∞,- 2) . 名师点睛:本题考查导数法求函数的单调性与极值,函数的零点,考查分析转化能力,分类讨论思想, 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时,不等式 恒成立,则实数 a 的取 值范围是() 导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三:变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<?>-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围. 2019年高考数学理科数学 导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 2.【2019年高考天津理数】已知a ∈R ,设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0 f x ≥在R 上恒成立,则a 的取值范围为 A .[] 0,1 B .[] 0,2 C .[]0,e D .[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时,(1)12210f a a =-+=>恒成立; 当1x <时,2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立, 令2 ()1 x g x x =-, 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 11122(1)2011x x x x ???? =--+-≤--?= ? ? ?--???? , 当1 11x x -= -,即0x =时取等号, ∴max 2()0a g x ≥=,则0a >. 当1x >时,()ln 0f x x a x =-≥,即ln x a x ≤恒成立, 令()ln x h x x = ,则2ln 1()(ln )x h x x -'=, 当e x >时,()0h x '>,函数()h x 单调递增, 当0e x <<时,()0h x '<,函数()h x 单调递减, 则e x =时,()h x 取得最小值(e)e h =, ∴min ()e a h x ≤=, 综上可知,a 的取值范围是[0,e]. 故选C. 3.(2019浙江)已知,a b ∈R ,函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x ? =?-++≥??.若函数()y f x ax b =--恰有3个零点,则 A .a <–1,b <0 B .a <–1,b >0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b , 2(1)y x a x =+-', 当a +1≤0,即a ≤﹣1时,y ′≥0,y =f (x )﹣ax ﹣b 在[0,+∞)上单调递增, 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点,不合题意; 当a +1>0,即a >﹣1时,令y ′>0得x ∈(a +1,+∞),此时函数单调递增, 令y ′<0得x ∈[0,a +1),此时函数单调递减,则函数最多有2个零点. 根据题意,函数y =f (x )﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y =f (x )﹣ax ﹣b 在(﹣∞,0)上有一个零点,在[0,+∞)上有2个零点, 如图: 2018年全国高考试题分类汇编-导数部分(含解析) 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x 13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-< >?图象上点P 1,P 2处的 切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-< >?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题
最新-2017新课标高考数学导数分类汇编(文)
2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题
高考数学真题汇编——函数与导数
高考真题理科数学导数
2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
高考真题导数第一问分类汇总
人教版2017年高考数学真题导数专题
高考导数大题30道(2020年整理).doc
(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc
高考数学导数题型归纳
2019年高考数学理科数学 导数及其应用分类汇编
近五年高考试题分类汇编-导数部分(附答案解析)