2020年初三数学竞赛选拔试题

2020年初三数学竞赛选拔试题

（本卷满分：120分，时间：120分钟）

一、选择题（每小题5分、共40分）

1、如果多项式20084222

2

++++=b a b a p ，则p 的最小值是（ ）

(A) 2005 (B) 2006 (C) 2007 (D) 2008

2、菱形的两条对角线之和为L,面积为S,则它的边长为( ). (A)

2

124L S - (B)

2

124L S + (C)

2

1S L 42- (D)

2

1S L 42+

3、方程1)1(3

2

=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）

（A ）5个 （B ）4个 （C ）3个 （D ）2个 4、已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O ，△AOD 的面积为4， △BOC 的面积为9，则梯形ABCD 的面积为（ ）

（A ）21 （B ）22 （C ）25 （D ）26 5、方程|xy |+|x+y|=1的整数解的组数为（ ）。

（A ）8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 6、已知一组正数12345,,,,x x x x x 的方差为：2

2

2222123451(20)5

S x x x x x =

++++-，则关于数据123452,2,2,2,2x x x x x + + + + +的说法：①方差为S 2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S 2。其中正确的说法是（ ）

(A) ①② (B) ①③ (C) ②④ （D ）③④

7、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m ，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)。被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为 ( )

(A) 7 2° （B ）108°或14 4° （C ）144° （D ） 7 2°或144°

8、如图，已知圆心为A 、B 、C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切．若⊙A、⊙B、⊙C 的半径分别为a 、b 、c(0

（C ）

b a

c 1

11+= (D)

b

a c 111+= 二、填空题（每小题5分，共30分）

9、已知a ﹑b 为正整数,a=b-2005,若关于x 方程x 2

-ax+b=0有正整数解,则a 的最小值是________

10、如图，在△ABC 中，AB=AC, AD ⊥BC, CG ∥AB, BG 分别交

AD,AC 于E,F.若b a BE EF =，那么

BE

GE

等于 . A

B

C

G F E D

11、已知二次函数

c bx ax y ++=2

的图象与x 轴交于点(-2，0)，(x1，0)，且1＜x1＜2，与y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：①a0；③4a+c<0；④2a-b+1．其

中正确的结论是_____________．(填写序号)

12、如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°， 若22PF PE +=8，则AB 等于 ．

13、某商铺专营A ，B 两种商品，试销一段时间，总结得到经营利润y 与投人资金x(万元)的经验公式分别是yA=

x 71

，yB=x 7

3。如果该商铺投入10万元资金经营上述两种商品，可获得的最大利润为___________ 万元。

14、在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，设能完全覆盖△ABC 的圆的半径为R ．则R 的最小值是 ．

三、解答题（第15、16、17题各12分，第18题14分，共50分）

15、三项式x 2-x-2n 能分解为两个整系数一次因式的乘积 (1)若1≤n ≤30,且n 是整数,则这样的n 有多少个? (2)当n ≤2005时,求最大整数n

16、某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出）， 以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？

17、一个三角形可被剖分成两个等腰三角形。原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值。

18、已知A 1、A 2、A 3是抛物线221x y =上的三点，A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3分别垂直于x 轴，垂

足为B 1、B 2、B 3，直线A 2B 2交线段A 1A 3于点C.

（1）如图18-1，若A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA 2的长； （2）如图18-2，若将抛物线221x y =改为抛物线1212+-=x x y ，A 1、A 2、A 3三点的横坐

标为连续整数，其他条件不变，求线段CA 2的长；

（3）若将抛物线221x y =改为抛物线c x b x a y ++=2，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整

数，其他条件不变，请猜想线段CA 2的长（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）.

图18-2