流体力学四章节流体运动学
流体力学
中国科学文化出版社
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第一篇 流体力学基础
第一章 第二章 第三章 第四章
绪论 场论与正交曲线坐标 流体静力学 流体运动学
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
一、微团运动和整体运动 流体运动的全部范围叫“流场”，经过管道或明渠流动的流场叫
“通道流场”或“径流流场”，绕过物体流动的流场叫“绕流流场”。 从微观的角度来看，充满流场的是流体的分子。但流体动力学不讨论 微观的分子运动，只讨论宏观的质点和微团运动。所谓流体的质点， 是指流场中极小的单元，在这个单元中流体的运动参量是相同的。严 格来讲，流体和固体不同，由于流体分子之间的作用力较固体小，它 占有一定的空间，但可以不保持一定的形状，并可以互相移位，所以 运动中的流体，其分子之间的运动参量并不相同。由无数分子组成的 流体质点其参量也不会相同，但是可以认为其中参量的差别非常小， 可以看成是相同的。流体微团是由质点组成的，其中质点的流动参量 的差别趋于微量，这样在讨论流场中参量变化规律时，从微团出发便 于进行数学处理。
第2页
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
因为拉格朗日法描述每一个流体质点的运动，所以必须把流场中连续存 在的质点加以区别。取某一起始时刻 t t0时质点的空间坐标位置（a，b， c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。质点在流场中是连续存
在的，所以拉格朗日变数在坐标系中也是连续存在的。质点的空间位置 既随不同质点而异，又随时间不同而变化，也就是说质点的空间位置（x， y，z）是拉格朗日变数（a，b，c）和时间t 的函数
由此可得
dl dx dy dz w wx wy wz
（4.13）
这就是流线微分方程式。积分上式时，t 保持不变，可得到两个曲面方程，
它们的交线即为时刻 t 的流线方程。
例题4.2 设有流场，其速度矢为 w (2 y t)i 3x，j 求 t 0
时通过点（1，1，1）的流线方程。
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Cc
x
a
t0 et0
1 et
t
1
y
b
t0 e t0
1
e
t
t
1
zc
这就是流场中的迹线方程式，也就是质点空间坐标的拉格朗日表达式，它
表示一迹线族。若某一个质点，当 t0 0时其起始位置 a 1，b 2，c 3，
则这个质点的迹线方程式为 x 2et t 1 y 3et t 1 z 3
第一节 流体运动的描述
a f1x, y, z, t b f2 x, y, z, t
c f3x, y, z, t
（a）
将式（a）代入式（4.2），即可得到欧拉法的表达式（4.6）。反之，将 欧拉法的质点速度表达式（4.6）代入式（4.2），可得到
wx
x t
wx x,
y,
z,
t
wy
y t
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第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
由于
wx
dx dt
wy
dy dt
wz
dz dt
则
dx dy dz dt
（4.12）
wx wy wz
这就是质点的轨迹微分方程式，即迹线微分方程式，其中t是独立变量。
例题4.1 设有一流场，其欧拉表达式为
dx x t dy y t dz 0
wx t
wx
wx x
wy
wx y
wz
wx z
dwy dt
wy t
wx
wy x
wy
wy y
wz
wy z
dwz dt
wz t
wx
wz x
wy
wz y
wz
Байду номын сангаас
wz z
（4.9）
写成矢量形式
a
w t
w
w
t
w
w
（4.10）
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
上式中 w 称为流体运动的局部加速度，或称时变加速度，它是由速度
欧拉法是研究整个流场内不同位置上的流体质点的流动参量随时间 的变化。也就是用同一瞬时的全部流体质点的流动参量来描述流体的运 动。用这种方法不能表示个别质点从起始到终了的全部运动过程。因为 空间内的同一个位置，在此时刻为一个质点所占据，在另外时刻，则可 能为另外一个质点所占据。它不象拉格朗日法那样，只要是同一个拉格 朗日变数（a，b，c），不管在任何时刻都表示同一个质点。但是欧拉法 可以表示同一瞬时整个流场的参量，这在工程实际上是非常有用的。
x a、y b、 z c ，所以
a F1C1, C2 , C3, t0
b F2 C1, C2 , C3, t0
c F3 C1, C2 , C3, t0
（d）
据此可以求出用a、b、c表示的C1，C2，C3的表达式
C1 1a, b, c, t0
C2 2 a, b, c, t0
x xa, b, c, t
y ya, b, c, t
z za, b, c, t
（4.1）
例如
x a 1 bt
y b ct 2
z a bt c
第3页
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
到其当它t 位 t置0 ，0但时是，与质（点a的，坐b，标c位）置有为关（，a这，样b，就c可）以。区t 别t0不时同，的该质质点点及运其动
DB Dt
B t
wx
B x
wy
B y
wz
B z
B t
w B
t
w B
（4.11）
（三）两种描述方法的关系 拉格朗日法和欧拉法两种表达式可以互换。例如，从拉格朗日法的坐标 位置表达式（4.1），可以求出用x，y，z，t 表示的拉格朗日变数a，b， c 的关系式
第9页
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第四章 流体运动学
（e）
第11页 C3 3 a, b, c, t0
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
将（e）式代人（c）式，即可得到拉格朗日表达式（4.1）。 由于两种方法的互换性，故它们在流体动力学的研究中都可采用。
但欧拉法比较简便，在讨论整体流场的运动特性时大多采用该方法。
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（4.6）
w
iwx
jwy
kwz
w
wx2
w
2 y
wz2
p px, y, z, t
（4.7）
x, y, z, t
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（4.8）
第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
因为质点在流场内是连续的，所以流体加速度的各分量为
同样
dwx wx wx x wx y wx z dt t x t y t z t
cosT , z
dz dl
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第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
dl 是在M点流线上的微元弧长，dx ，dy，dz 为 dl 在坐标轴方向上的分量。 由于流线的切线T与速度w重合，所以两者与坐标轴的夹角余弦应相等，即
wx w
dx dl
，
wy w
dy dl
，
wz w
dz dl
p pa, b, c, t
（4.4）
a, b, c, t
（4.5）
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
由此可见，用拉格朗日法可以描述各个质点在不同时刻的参量变化。 因为拉格朗日法是追踪个别质点的描述方法，所以用它可以研究流体运 动的轨迹和轨迹上各流动参量的变化。但是用这种方法研究整个流场的 特性是不方便的。因而，除个别情况（如研究流体的波动和振荡等）外， 都不采用拉格朗日法。 （二）欧拉法
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第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
解：此流场中的流线微分方程式为
dx dy dz (2y t) 3x 0
保持t不变，积分上式得到
3 2
x2
y2
ty
C1
z C2 t=0时，x=1，y=1，z=1，则C1=1/2，C2=1。代入上式得到所求的流线 方程式为
运动情况。 由（4.1）式可知，质点的运动速度也是（a，b，c）与t 的函数
wx
dx dt
x t
xa,
b,
c,
t
wy
dy dt
y t
ya,
b, c, t
（4.2）
wz
dz dt
z t
za, b,
c,
t
这是因为a，b，c不随时间变化，所以
a t
0
b
、t
0
c
、t
0
dx
、dt
x
t 、
dy dt
根据上述流线的特性可以推导出流线方程式。设流线上任一点M
（x，y，z）的速度为w，坐标轴上的三个分速度wx，wy，wz，w的方向
余弦为
cosw, x
wx w
，c
osw,
y
wy w
，
cosw, z
wz w
而在M点的切线T与坐标轴之间夹角的余弦为
cosT , x
dx dl ，
cosT, y
dy ， dl
dt
dt
dt
求此流场的迹线方程式。
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第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
解 求解上述微分方程，得到
x Aet t 1 y Bet t 1 z C
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第一篇 流体力学基础
第一章 第二章 第三章 第四章
绪论 场论与正交曲线坐标 流体静力学 流体运动学
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
一、微团运动和整体运动 流体运动的全部范围叫“流场”，经过管道或明渠流动的流场叫
“通道流场”或“径流流场”，绕过物体流动的流场叫“绕流流场”。 从微观的角度来看，充满流场的是流体的分子。但流体动力学不讨论 微观的分子运动，只讨论宏观的质点和微团运动。所谓流体的质点， 是指流场中极小的单元，在这个单元中流体的运动参量是相同的。严 格来讲，流体和固体不同，由于流体分子之间的作用力较固体小，它 占有一定的空间，但可以不保持一定的形状，并可以互相移位，所以 运动中的流体，其分子之间的运动参量并不相同。由无数分子组成的 流体质点其参量也不会相同，但是可以认为其中参量的差别非常小， 可以看成是相同的。流体微团是由质点组成的，其中质点的流动参量 的差别趋于微量，这样在讨论流场中参量变化规律时，从微团出发便 于进行数学处理。
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
因为拉格朗日法描述每一个流体质点的运动，所以必须把流场中连续存 在的质点加以区别。取某一起始时刻 t t0时质点的空间坐标位置（a，b， c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。质点在流场中是连续存
在的，所以拉格朗日变数在坐标系中也是连续存在的。质点的空间位置 既随不同质点而异，又随时间不同而变化，也就是说质点的空间位置（x， y，z）是拉格朗日变数（a，b，c）和时间t 的函数
由此可得
dl dx dy dz w wx wy wz
（4.13）
这就是流线微分方程式。积分上式时，t 保持不变，可得到两个曲面方程，
它们的交线即为时刻 t 的流线方程。
例题4.2 设有流场，其速度矢为 w (2 y t)i 3x，j 求 t 0
时通过点（1，1，1）的流线方程。
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Cc
x
a
t0 et0
1 et
t
1
y
b
t0 e t0
1
e
t
t
1
zc
这就是流场中的迹线方程式，也就是质点空间坐标的拉格朗日表达式，它
表示一迹线族。若某一个质点，当 t0 0时其起始位置 a 1，b 2，c 3，
则这个质点的迹线方程式为 x 2et t 1 y 3et t 1 z 3
第一节 流体运动的描述
a f1x, y, z, t b f2 x, y, z, t
c f3x, y, z, t
（a）
将式（a）代入式（4.2），即可得到欧拉法的表达式（4.6）。反之，将 欧拉法的质点速度表达式（4.6）代入式（4.2），可得到
wx
x t
wx x,
y,
z,
t
wy
y t
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第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
由于
wx
dx dt
wy
dy dt
wz
dz dt
则
dx dy dz dt
（4.12）
wx wy wz
这就是质点的轨迹微分方程式，即迹线微分方程式，其中t是独立变量。
例题4.1 设有一流场，其欧拉表达式为
dx x t dy y t dz 0
wx t
wx
wx x
wy
wx y
wz
wx z
dwy dt
wy t
wx
wy x
wy
wy y
wz
wy z
dwz dt
wz t
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写成矢量形式
a
w t
w
w
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第一节 流体运动的描述
上式中 w 称为流体运动的局部加速度，或称时变加速度，它是由速度
欧拉法是研究整个流场内不同位置上的流体质点的流动参量随时间 的变化。也就是用同一瞬时的全部流体质点的流动参量来描述流体的运 动。用这种方法不能表示个别质点从起始到终了的全部运动过程。因为 空间内的同一个位置，在此时刻为一个质点所占据，在另外时刻，则可 能为另外一个质点所占据。它不象拉格朗日法那样，只要是同一个拉格 朗日变数（a，b，c），不管在任何时刻都表示同一个质点。但是欧拉法 可以表示同一瞬时整个流场的参量，这在工程实际上是非常有用的。
x a、y b、 z c ，所以
a F1C1, C2 , C3, t0
b F2 C1, C2 , C3, t0
c F3 C1, C2 , C3, t0
（d）
据此可以求出用a、b、c表示的C1，C2，C3的表达式
C1 1a, b, c, t0
C2 2 a, b, c, t0
x xa, b, c, t
y ya, b, c, t
z za, b, c, t
（4.1）
例如
x a 1 bt
y b ct 2
z a bt c
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第一节 流体运动的描述
到其当它t 位 t置0 ，0但时是，与质（点a的，坐b，标c位）置有为关（，a这，样b，就c可）以。区t 别t0不时同，的该质质点点及运其动
DB Dt
B t
wx
B x
wy
B y
wz
B z
B t
w B
t
w B
（4.11）
（三）两种描述方法的关系 拉格朗日法和欧拉法两种表达式可以互换。例如，从拉格朗日法的坐标 位置表达式（4.1），可以求出用x，y，z，t 表示的拉格朗日变数a，b， c 的关系式
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（e）
第11页 C3 3 a, b, c, t0
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第一节 流体运动的描述
将（e）式代人（c）式，即可得到拉格朗日表达式（4.1）。 由于两种方法的互换性，故它们在流体动力学的研究中都可采用。
但欧拉法比较简便，在讨论整体流场的运动特性时大多采用该方法。
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wx2
w
2 y
wz2
p px, y, z, t
（4.7）
x, y, z, t
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第四章 流体运动学
第一节 流体运动的描述
因为质点在流场内是连续的，所以流体加速度的各分量为
同样
dwx wx wx x wx y wx z dt t x t y t z t
cosT , z
dz dl
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第二节 迹线、流线、流管
dl 是在M点流线上的微元弧长，dx ，dy，dz 为 dl 在坐标轴方向上的分量。 由于流线的切线T与速度w重合，所以两者与坐标轴的夹角余弦应相等，即
wx w
dx dl
，
wy w
dy dl
，
wz w
dz dl
p pa, b, c, t
（4.4）
a, b, c, t
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第一节 流体运动的描述
由此可见，用拉格朗日法可以描述各个质点在不同时刻的参量变化。 因为拉格朗日法是追踪个别质点的描述方法，所以用它可以研究流体运 动的轨迹和轨迹上各流动参量的变化。但是用这种方法研究整个流场的 特性是不方便的。因而，除个别情况（如研究流体的波动和振荡等）外， 都不采用拉格朗日法。 （二）欧拉法
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第二节 迹线、流线、流管
解：此流场中的流线微分方程式为
dx dy dz (2y t) 3x 0
保持t不变，积分上式得到
3 2
x2
y2
ty
C1
z C2 t=0时，x=1，y=1，z=1，则C1=1/2，C2=1。代入上式得到所求的流线 方程式为
运动情况。 由（4.1）式可知，质点的运动速度也是（a，b，c）与t 的函数
wx
dx dt
x t
xa,
b,
c,
t
wy
dy dt
y t
ya,
b, c, t
（4.2）
wz
dz dt
z t
za, b,
c,
t
这是因为a，b，c不随时间变化，所以
a t
0
b
、t
0
c
、t
0
dx
、dt
x
t 、
dy dt
根据上述流线的特性可以推导出流线方程式。设流线上任一点M
（x，y，z）的速度为w，坐标轴上的三个分速度wx，wy，wz，w的方向
余弦为
cosw, x
wx w
，c
osw,
y
wy w
，
cosw, z
wz w
而在M点的切线T与坐标轴之间夹角的余弦为
cosT , x
dx dl ，
cosT, y
dy ， dl
dt
dt
dt
求此流场的迹线方程式。
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第四章 流体运动学
第二节 迹线、流线、流管
解 求解上述微分方程，得到
x Aet t 1 y Bet t 1 z C
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流体力学4
第四章
流体动力学基础
u f ( x, y, z, t ), x, y, z f (t )
u x u x u x 1 p dux 1 u x ※则： X dt dx dy dz x dt dt t x y z u y u x u x u z ux uy uz t x y z
— 推导惯性和非惯性参考 1 p a b p dy 2 y 系（相对一个惯性系如 dz dy 物体转动或匀加速运动 z o 参照系）中伯努力方程。
z
c
dx
p
1 p dy 2 y
设：六面体中心 a 点压 力为 p( xyz) ，平均密度 ( xyz)，加速度 a( xyz) 。
u z dz u z ) ( p 2 ) z 下面 ( p 2 z 2 z
zx dz zx z 2
zy dz zy z 2
第四章
流体动力学基础
二、粘性流体运动方程 根据：
F
x
max ,
F
y
may ,
F
z
maz
u x ( p 2 ) u x dx x 则： Xdxdydz [( p 2 ) ]d ydz x x 2 u x ( p 2 ) u x dx x [( p 2 ) ) d ydz x x 2 zx dz zx dz [( zx )dxdy ( zx ) dxdy ] z 2 x 2 yx dy yx dy dux [( yx ) ( yx ) dxdy ] m y 2 y 2 dt
u z 2 x ( y u x 2 y ( z
2
流体力学第4章9
2014-10-1
28
通过流管中有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分 别积分求得，即
qV vdA
qm vdA
在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均 流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相 同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍
A
A
与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然
拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题 中还是方便的。
2014-10-1 11
第二节 流体运动的一些基本概念
一、流动的分类 （1）按照流体性质分为理想流体的流动和粘性流体的流动， 不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动。 （2）按照运动状态分为定常流动和非定常流动，有旋流动 和无旋流动，层流流动和紊流流动，亚声速流动和超声速 流动
在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上 的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。
用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用
下式的形式，即
D( ) ( ) (V )( ) Dt t
式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密
D( ) 度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 称为 Dt ( ) 全导数， 称为当地导数， (V )( )称为迁移导数。 t
1、系统：包含确定不变的物质的任何集合。 系统以外的一切称为外界。 边界的性质： ① 边界随流体一起运动； ② 边界面的形状和大小可随时间变化； ③ 系统是封闭的，没有质量交换，可以有能 量交换； ④ 边界上受到外界作用在系统上的表面力；
2014-10-1 31
2、控制体：被流体所流过的，相对于某 个坐标系来讲，固定不变的任何体积。 控制面的性质： ① 总是封闭表面； ② 相对于坐标系是固定的； ③ 在控制面上可以有质量、能量交换； ④ 在控制面上受到控制体以外物体加在 控制体内物体上的力；
流体力学第四章
• 在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的 总流：无数微元流束的总和。
38
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
均匀流与非均匀流·渐变流和急变流
均匀流——同一条流线上各空间点上的流速相 同的流动，流线是平行直线，各有效截面上的 流速分布沿程不变 非均匀流——同一条流线上各空间点上的流速不 同的流动，流线不是平行直线，即沿流程方向速 度分布不均
迹线· 流线 1、迹线 1)定义：某一质点在某一时段内的运动轨迹 线。 2)迹线的微分方程
dx dy dz dt ux u y uz
烟火的轨迹为迹线
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
25
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
一维、二维和三维流动
三维流动：流动参数是x、y、z三个坐标的函数
的流动。
二维流动：流动参数是x、y两个坐标的函数的
流动。
一维流动：是一个坐标的函数的流动。
26
2016/12/26
流体运动学和动力学基础（Fluid Kinematics and Dynamics）
x= x (t)
dux ux ux dx ux dy ux dz ax dt t x dt y dt z dt
（1）当地加速度（时变加速度）：流动过程中流体 由于速度随时间变化而引起的加速度； （2）迁移加速度（位变加速度）：流动过程中流体 由于速度随位置变化而引起的加速度。
第四章流体运动学流体力学
积分后得 ln（x +t）= -ln（-y +t）+c
或为
(x +t)·（-y +t）= c′
代入 t = 0 ，x = -１，y = -1 得 c ′ = -1，则过点
(-1,-1)的流线方程为
y
xy = 1
x
三、流管、流束及总流
1.流管
2.流束 微小流束的极限是流线
3.总流
有压流 无压流
射流
四、过水断面、流量、流速 1.过水断面—处处与流线正交的断面
迹线方程
2.流线
流场中人为做出的光滑曲线，在同一瞬时其上每点
的切线与该点的速度矢量重合。（流线具有瞬时性）
r Va
a
b
r
c
Vc
r
Vb
流线
流线特点：
• 流线不相交
• 流线不转折，为光滑曲线。
• 定常运动时，流线形状不随时间变化，质点沿流线前 进，流线与迹线重合。
• 流线的形状与固体边界的形状有关，断面小处，流速 大、流线密，断面大处，流速小，流线疏
空间点仅仅是表示空间位置的几何点，并非实际的 流体质点。空间点是不动的，而流体质点则运动。同一 空间点，在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬 时又为另一新的流体质点所占据。也就是说，在连续流 动过程中，同一空间点先后为不同的流体质点所经过。
一、拉格朗日法（质点法）
质点位移的坐标 x = x(a,b,c,t) y = y(a,b,c,t) z = z(a,b,c,t)
(b)-(d)段，层流向 紊流过渡
hf = kV1.75~2
三、流态判别标准
雷诺数计算
Re vd vd
上临界Rec′: 与实验条件和初始状态有关。上临界 Rec′可高达13800。(不稳定）
流体在流管中的流动
与雷诺实验结果一致。 由（1）式变形得：
l V2 hf ， d 2g 64 Vd （称为沿程阻力系数， 或摩阻系数）， e R Re
同样压强损失可表示为：
l V2 p gh f d 2 此即流体力学中著名的达西(Darcy)公式。
3、功率损失
128 lqv2 P gh f qV d4 ( p qV p A V FV )
V 4Q 2.73 m 2 s d
64 l v 2 又，损失：h f Vd d 2g
所以：
2 gd 2 2 9.8 0.0062 6 m 2 hf 4.23 8.54 10 s 64lV 64 2 2.73
ρ 900 8. 54 106 7. 69 103 Pa s
工程上常采用石列尔公式，当取Re=2320时，得
L*=66.5d
3、起始段的能量损失
① 如果管路很长，l L ，则起始段的影响可以忽略，用
64 ，计算损失。 Re
② 工程实际中管路较短，考虑到起始段的影响，取
75 。 Re
可见，起始段损失加大，因中心层加速，外 层减速，还有部分径向运动，都附加损失。
4.2.1 管中层流流速分布和流量
u
管中层流运动分析： 管中流动流线是平行的，流速以管轴为对称轴，在同一 半径上速度相等，流体做等速运动。
取筒状流体为分离体， 设壁厚为 dr，长度为 l， 半径为 r，则: 对于层流流动，该筒状 流体 做匀速运动，所有外力 在 管轴上投影为 0，即：
2rdr ( p1 p2 ) 2rl 2l (r dr )( d ) 2rdrlg sin 0 注意到： l sin z2 z1，忽略二阶微量，代入 整理得：
l V2 hf ， d 2g 64 Vd （称为沿程阻力系数， 或摩阻系数）， e R Re
同样压强损失可表示为：
l V2 p gh f d 2 此即流体力学中著名的达西(Darcy)公式。
3、功率损失
128 lqv2 P gh f qV d4 ( p qV p A V FV )
V 4Q 2.73 m 2 s d
64 l v 2 又，损失：h f Vd d 2g
所以：
2 gd 2 2 9.8 0.0062 6 m 2 hf 4.23 8.54 10 s 64lV 64 2 2.73
ρ 900 8. 54 106 7. 69 103 Pa s
工程上常采用石列尔公式，当取Re=2320时，得
L*=66.5d
3、起始段的能量损失
① 如果管路很长，l L ，则起始段的影响可以忽略，用
64 ，计算损失。 Re
② 工程实际中管路较短，考虑到起始段的影响，取
75 。 Re
可见，起始段损失加大，因中心层加速，外 层减速，还有部分径向运动，都附加损失。
4.2.1 管中层流流速分布和流量
u
管中层流运动分析： 管中流动流线是平行的，流速以管轴为对称轴，在同一 半径上速度相等，流体做等速运动。
取筒状流体为分离体， 设壁厚为 dr，长度为 l， 半径为 r，则: 对于层流流动，该筒状 流体 做匀速运动，所有外力 在 管轴上投影为 0，即：
2rdr ( p1 p2 ) 2rl 2l (r dr )( d ) 2rdrlg sin 0 注意到： l sin z2 z1，忽略二阶微量，代入 整理得：
流体力学学习课件第四章流体动力学
x y z
dt
dt
dt
1、公式推导前提条件：恒定流（条件之一）即
p 0, u 0 ux uy uz 0
t
t
t t t
因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间 dt 的比为速度
分量，即有：
ux
dx dt
uy
dy dt
uz
dz dt
则：①
dux dt
dx
duy dt
y dt
单位质量流体的惯 性力在X、Y、Z坐 标轴上分量
Z 1 p duz
z dt
（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加
速度。 （2）适用条件：a.无粘性流体。
b.可压缩流体及不可压缩流体 c.恒定流及非恒定流
二、粘性流体运动微分方程
1、以应力表示的实际流体运动微分方程 （1）方程推导依据：
g 2g
g
h pA pB u2
g g 2g
理论流速： u 2 pA pB 2gh
实际流速： u 2gh
μ：修正系数，数值接近于1，由实验确定，μ =0.97 ； h：为两管水头差。
四、实际液体元流能量方程
实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动
时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固
dy
duz dt
dz uxdux
uyduy
uz duz
1 d (u 2 ) 2
因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二
②
p dx p dy p dz dp
x y z
（3）
则（1）式
( Xdx Ydy Zdz) 1 (p dx p dy p dz)
工程流体力学 第4章 流体运动学
质量表示时，为质量流量，以 qm 标记；以体积表示为体 积流量，以 qV 标记，可表示为
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
流体力学第04章流体动力学基础详解
dt dt dt
均等于零，于是纳维－斯托克斯方程式就变成静水
力学欧拉平衡方程式。所以纳维－斯托克斯方程式
是不可压缩液体的普遍方程式。
6
二、无粘性流体运动微分方程
理想流体， 0 得：欧拉方程
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
du y dt
fz
1
p z
ux
p
4L
(r02
r2)
上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按 抛物面的规律分布的。
13
第二节 元流的伯怒利方程
一、无粘性流体运动微分方程的伯怒利积分
沿流线积分得
fx
1
p x
dux dt
fxdx f ydy fzdz dp / d(u2 / 2)
以U（x，y，z）表示质量力的势函数 上式变为
fy fz
1
1
p y p z
du y dt duz dt
U p / u2 / 2 C
在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力， 即U=-gz，带入得
14
p u2 z C
g 2g
对微小流束上任意两个过水断面有： 15
z1
p1
g
d 2ux p
dr2 2 L
dux dr
p
2L
r
C1
利用轴心处的条件 r 0, dux 0 ，得 C1 0 。故
均等于零，于是纳维－斯托克斯方程式就变成静水
力学欧拉平衡方程式。所以纳维－斯托克斯方程式
是不可压缩液体的普遍方程式。
6
二、无粘性流体运动微分方程
理想流体， 0 得：欧拉方程
fx
1
p x
dux dt
fy
1
p y
du y dt
fz
1
p z
ux
p
4L
(r02
r2)
上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按 抛物面的规律分布的。
13
第二节 元流的伯怒利方程
一、无粘性流体运动微分方程的伯怒利积分
沿流线积分得
fx
1
p x
dux dt
fxdx f ydy fzdz dp / d(u2 / 2)
以U（x，y，z）表示质量力的势函数 上式变为
fy fz
1
1
p y p z
du y dt duz dt
U p / u2 / 2 C
在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力， 即U=-gz，带入得
14
p u2 z C
g 2g
对微小流束上任意两个过水断面有： 15
z1
p1
g
d 2ux p
dr2 2 L
dux dr
p
2L
r
C1
利用轴心处的条件 r 0, dux 0 ，得 C1 0 。故
流体力学
第四章 流体流体运动学和流体动 力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 描述流体运动的两种方法
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
欧拉法
究
方
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 特性的各种物理量的矢量场与标量场
7.湿周 水力半径 当量直径
湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
D
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
中北大学流体力学第四章习题
第四章 流体运动学基础一 选择题1. 用欧拉法表示流体质点加速度a等于 。
(A) t u (B) u u )( (C) u u t u)( (D) u u tu)(2. 恒定流就是流场中 的流动。
(A) 各断面流速分布相同 (B) 流线就是相互平行的直线 (C) 运动要素不随时间而变化 (D) 流动随时间按一定规律变化 3. 一元流动就是 。
(A) 运动参数就是一个空间坐标与时间变量的函数 (B) 速度分布按直线变化 (C) 均匀直线流 (D) 流动参数随时间而变化 4. 均匀流的 加速度为零。
(A) 当地 (B) 迁移 (C) 向心 (D) 质点 5. 在 流动中,流线与迹线重合。
(A) 恒定 (B) 非恒定 (C) 不可压缩流体 (D) 一元 6. 连续性方程表示流体运动遵循 守恒定律。
(A) 能量 (B) 动量 (C) 质量 (D) 流量7. 水在一条管道中流动,如果两断面的管径比为d 1/d 2 =2,则速度比v 1/v 2= 。
(A) 2 (B) 1/2 (C) 4 (D) 1/4 8. 流体微团 。
(A) 具有规则的几何形状 (B) 质量大小不受限制 (C) 就是由大量流体质点组成的微小质团 (D) 就是质量、体积均可忽略的微元 9. 在 流动中,伯努利方程不成立。
D(A) 恒定 (B) 理想流体 (C) 不可压缩 (D) 可压缩 10. 在总流伯努利方程中,速度 v 就是 速度。
B(A) 某点 (B) 断面平均 (C) 断面形心处 (D) 断面上最大 11. 文透里管用于测量 。
D(A) 点流速 (B) 压强 (C) 密度 (D) 流量 12. 毕托管用于测量 。
A(A) 点流速 (B) 压强 (C) 密度 (D) 流量13. 密度 = 800kg/m 3 的油在管中流动,若压强水头为2m 油柱,则压强为 N/m 2。
C(A) 1、96×104 (B) 2×103 (C) 1、57×104 (D) 1、6×103 14. 应用总流能量方程时,两断面之间 。