河南省郑州市高一下学期期中数学试卷
河南省郑州市高一下学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（）
A .
B .
C .
D . 1
2. （2分） (2016高一下·烟台期中) 现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）运行如图所示的程序，若输出y的值为1，则可输入x的个数为（）
C . 2
D . 3
4. （2分）给出下列五个命题：
①将A,B,C三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体为9个，则样本容量为30；
②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；
③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；
④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y=1-2x，则x每增加1个单位，y平均减少2个单位；
⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为0.4.
其中真命题为（）
A . ①②④
B . ②④⑤
C . ②③④
D . ③④⑤
5. （2分）某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号为6号，32号，45号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是
A . 19
B . 16
C . 24
D . 36
6. （2分）样本数据：2，4，6，8，10的标准差为（）
C . 2
D . 2
7. （2分）矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E、F分别为AB、CD的中点，沿EF把BCFE折起后与ADFE垂直，P 为矩形ADFE内一动点，P到面BCFE的距离与它到点A的距离相等，设动点P的轨迹是曲线L，则曲线L是（）
A . 圆的一部分
B . 椭圆的一部分
C . 抛物线的一部分
D . 双曲线的一部分
8. （2分） (2016高二上·枣阳期中) 设点（a，b）是区域内的任意一点，则使函数f（x）=ax2﹣2bx+3在区间[ ，+∞）上是增函数的概率为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）把67化为二进制数为（）
A . 1 100 001(2)
B . 1 000 011(2)
C . 110 000(2)
D . 1 000 111(2)
10. （2分）从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
11. （1分）若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（0，2），则这个圆的方程是________．
12. （1分）(2017·临汾模拟) 图1是随机抽取的15户居民月均用水量（单位：t）的茎叶图，月均用水量依次记为A1、A2、…A15 ，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，那么输出的结果n=________．
13. （1分） (2016高三上·浦东期中) 已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是________．
14. （1分）用秦九韶算法求多项式f（x）=x5+3x4﹣5x3+7x2﹣9x+11，当x=4时的值为________
三、解答题 (共5题；共50分)
15. （15分）(2018·辽宁模拟) 经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：
其中：，，
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到0.01）
（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9~1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06~1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12~1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？
16. （5分）为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．
（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．
17. （10分）
（1）计算；
（2）求中n的值．
18. （10分）某社区调查了老年大学全部48名学员参加书法班和演讲班的情况，数据如表：（单位：人）
参加书法班未参加书法班
参加演讲班85
未参加演讲班233
（1）从该老年大学随机选1名学员，求该学员至少参加上述一个班的概率；
（2）在既参加书法班又参加演讲班的8名学员中，有5名男学员A1，A2，A3，A4，A5，3名女学员B1，B2，B3．现从这5名男学员和3名女学员中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
19. （10分） (2016高二上·河北开学考) 在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4
（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2 ，求直线l的方程
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
三、解答题 (共5题；共50分)
15-1、
15-2、
15-3、
16-1、
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
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河南省郑州市高一下学期期中数学试卷
河南省郑州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2019高一上·周口期中) 设集合，集合，则________.2. （1分） (2016高一下·新乡期末) sin40°cos10°+cos140°sin10°=________．3. （1分） (2017高一下·安平期末) 数列1，，，2…的一个通项公式为an=________．4. （1分） (2016高三上·烟台期中) 设函数f（x）= 若f（a）＞a，则实数a的取值范围是________．5. （1分） (2016高二上·澄城期中) 已知实数x，y满足，则z=x﹣3y的最大值是________．6. （1分） (2017高一下·芮城期末) 若等比数列满足，则 ________．7. （1分） (2017高二上·景县月考) 在△ABC中，若B=30°，AB=2 ，AC=2，求△ABC的面积________．8. （1分） (2016高三上·大连期中) 等差数列{an}的首项为23，公差为﹣2，则数列前n项和的最大值为________．9. （1分） (2018高一下·攀枝花期末) 二次不等式的解集为，则________．10. （1分）(2016·温岭模拟) {an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N* ，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6=________．11. （1分）已知sinα是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，且α是第三象限角，则=________．12. （1分） (2016高一下·大庆期中) 已知函数f（n）=n2sin ），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a2016的值为________13. （1分） (2016高一上·宿迁期末) 如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若• =2，• =4，则BC的长度为________．14. （1分） (2017高一下·池州期末) 等差数列{an}前n项和为Sn ，已知a1=13，S3=S11 ， n为________时，Sn最大．二、解答题 (共6题；共60分)15. （10分） (2016高二下·河北期末) 已知（1）若，求tanx的值；（2）若函数，求f（x）的单调增区间．16. （10分）(2020·海安模拟) 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率.17. （10分） (2016高一下·晋江期中) 已知（1）求与的夹角θ；（2）求．18. （5分） (2016高一下·安徽期末) 解关于x的不等式ax2﹣（a+2）x+2＜0（a∈R）．19. （10分） (2017高一下·盐城期末) 如图，OA、OB是两条公路（近似看成两条直线），，在∠AOB内有一纪念塔P（大小忽略不计），已知P到直线OA、OB的距离分别为PD、PE，PD=6千米，PE=12千米．现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA、OB分别交于点M、N．（1）求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；（2）若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长．20. （15分） (2019高一下·佛山月考) 在数列与中，，，数列的前项和满足， .（1）求，，，的值，猜测的通项公式，并证明之.（2）求数列与的通项公式；（3）设， .证明： .参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6、答案：略7-1、8-1、9、答案：略10、答案：略11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共60分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。
郑州市十校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题含解析
2022-2023学年下期高一年级期中联考试题数学学科一、单项选择题（本大题共小题,每小题分,共分.每小题只有一个正确选项）1．若i 为虚数单位，复数z 满足z (1＋i)＝|3＋4i|，则z 的虚部为()A.52i B.52C．－52iD．－522.已知向量(2,3),(,2)a b x ==,则“,a b 的夹角为锐角”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值为（）A．14B．13C．12D．344．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知b ＝c ，222(1sin )a b A =-，则A 等于()A.3π4B.π3C.π4D.π65.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 则△ABC 的面积S =根据此公式，若cos (3)cos 0c B b a C ++=，且2224c a b --=，则△ABC 的面积为（）6.已知圆O 的半径为2，A 、B 是圆上两点且∠AOB ＝23π，MN 是一条直径，点C 在圆内且满足＝λ+（1﹣λ）（0＜λ＜1），则•的最小值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣2D．﹣17.已知分别是三个内角的对边，若sin 2sin 0b A B =，b =，则ca的值为()A．1B.7C.5D.38．在四边形ABCD 中，(6,8)AB DC == ，且||||||AB AD ACAB AD AC +=，则||BD =()A．5B．10C．D．二、多项选择题（本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得分,有选错的得分,部分选对的得分）9．与向量=a 共线的单位向量有（）A．122⎛⎫⎪⎝⎭B．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D．1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.下列命题正确的是（）A.若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈；B.若复数z 满足iR z∈，则z 是纯虚数；C.若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；D.若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是()A．圆柱的侧面积为22R πB．圆锥的侧面积为22R πC．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶212.已知分别是三个内角的对边,下列四个命题中正确的是（）A.若是锐角三角形,则B.若,则是等腰三角形C.若,则是等腰三角形D.若是等边三角形,则三、填空题（本大题共小题,每小题分,共分）13.如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的点，且AB ＝AD ＝32BD ，BC ＝2BD ，则sin C =_______．14.设平面向量,,a b c满足2,ab a == 与b 的夹角为()()2,03a cbc π-⋅-= ，则c r 的最大值为__________15，如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则=Rr________．（15题图）（16题图）16.如图,在中,点是线段上两个动点,且,则，的最小值为.四、解答题（本大题共小题,共分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．本小题满分10分已知z为复数，2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位．(1)求复数z；(2)若117=12z z i m m +--+对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．18.本小题满分12分已知a ＝(1，0)，b＝(2，1).(1)当k 为何值时，k a ＋b 与a ＋2b共线？(2)当k 为何值时，k a ＋b 与a ＋2b垂直？(3)当k 为何值时，k a ＋b 与a ＋2b的夹角为锐角？19.本小题满分12分如图，一个圆锥的底面半径3cm =R ，高4cm =H ，在其内部有一个高为cm x 的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．20．本小题满分12分已知分别是三个内角的对边且sin +sin sin A C Bc b c a =--.（1）求角A 的大小；（2）若a =2，且S △ABC ＝2，求△ABC 的周长21.本小题满分12分已知,,,a b c d R ∈，请判断2)ac bd +（与2222)()a b c d ++（的大小，并用向量方法证明所得的结论.22.本小题满分12分在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.并且()223sin sin 222C B bcb c b c a +=++．（1）求角A 的大小；（2）若c a >，求a bm c+=的取值范围．2022-2023学年下期高一年级期中联考参考答案一、选择题题号123456789101112答案D A BCCABDADBDCDACD二、填空题13.6614.115.316.2 4.5三、解答题17.解(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则b ＋2＝0，b ＝－2.又z 2－i ＝2a ＋25＋a －45i，则a －45＝0，解得a ＝4，所以z ＝4－2i，..............5分(2)由题意得，z 1＝4＋1m －1＋4＋1m－1>0，2－7m ＋2<0，.........................7分解得－2<m <34或1<m <32.........................9分故m 分18.解：19.解（1）圆锥的母线长为5cm ===L ，........2分所以圆锥的侧面积为23515cm =⋅⋅=⨯⨯=侧S R L πππ．........5分（2）设圆柱的底面半径为r ，如图可得-=x R r H R ，即343-=x r ，得33(04)4=-<<r x x ........7分所以圆柱的侧面积()2324(04)2=⋅⋅=⋅-+<<S r x x x x ππ．...........9分由于S 是x 的二次函数，所以当2(0,4)=∈x 时，S 取得最大值6π．.....10分即当2=x 时，圆柱的侧面积最大，最大面积为26πcm ．..........12分20.解：（1）由，利用正弦定理可得：（a +c ）（c ﹣a ）＝b （c ﹣b ），化为：c 2+b 2﹣a 2＝bc ，.................2分∴cos A ＝＝，∵A ∈（0，π），∴A ＝．.................（6分）（2）∵a ＝2，且S △ABC ＝2，∴＝c 2+b 2﹣bc ，bc sin＝2，得=8bc .................（9分）化为：（b +c ）2＝3bc +12＝3×8+12＝36，解得b +c ＝6，∴△ABC 周长为6+2.............（12分）21.结论：22222()()()acbd a b c d +≤++..............3分证明：设向量u=(,)a b ,v=(,)c d .........................5分由于u.v=cos u v θ,（其中θ为向量u,v 的夹角）故cos ac bdθ+=......................8分所以222222()()()cos ac bd a b c d θ+=++2222()()a b c d ≤++.....10分其中等号成立的条件是u,v 同向或反向。
河南省郑州市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
(1)求
uuuuv AM
uBuDuv的值;
(2)若
N
为线段
AC
上任意一点，求
uuuv AN
uuuuv MN
的最小值.
21．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面枳和体积（尺寸如图，
单位：cm）．
注：V台
1 3
h
S上
S上S下 S下
22．在 VABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且满足
河南省郑州市第一中学 2022-2023 学年高一下学期期中数学 试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知复数 z 满足 z 1 i ，则 z （ ）
A． 1
B．1
C． 2
D．2
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是
△ ABC 的形状为( )
A．正三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
7．如图，水平放置的四边形 ABCD 的斜二测直观图为矩形 ABCD ，已知
AO OB 2, BC 2 ，则四边形 ABCD 的周长为（ ）
试卷第 1 页，共 4 页
A．20
B．12
C．8 4 3
D． 8 4 2
A． 或 5 66
B． 6
C． 或 2 33
D． 3
5．已知圆锥 SO 的高为 5 ，它的侧面展开图是圆心角为 240o 的扇形，则该圆锥的表面
积是（ ）
A．10
B． 6
C． 4 5
D． 4 5 3
2022-2023学年河南省郑州市高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年河南省郑州市高一下学期期中数学试题一、单选题1．如果直线平面，直线平面，且，则与的位置关系为（ ）a ⊂αb ⊂β//αβa b A ．共面B ．平行C ．异面D ．平行或异面【答案】D【分析】根据空间中面面、线面、线线的位置关系直接判断即可．【详解】因为直线平面，直线平面，且，a ⊂αb ⊂β//αβ所以直线与的位置关系为：平行或异面，a b 故选：D ．2．若复数满足，则在复平面内的共轭复数所对应的点位于（ ）z 2(1i)34i z +=+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数除法计算出，再根据共轭复数定义得出，最后确定对应点在复数平面的位置z z 即可．【详解】由，得，2(1i)34i z +=+()()234i i 34i 34i 43i 32i (1i)2i 222z +⨯-++-=====-+所以，则其在复平面内其所对应的点为，位于第一象限．32i 2z =+32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A ．3．已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）b =2a b ⋅=- a b A ．B ．C ．D ．23a - 23a 23b - 23b【答案】C【分析】根据投影向量的定义求向量在向量上的投影向量即可.a b【详解】向量在向量上的投影向量为.a b 22cos ,3||b a b b a b a a b a b b b b a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=-故选：C4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（）ABCD【答案】D【分析】由侧面为等边三角形，结合面积公式求解即可..【详解】设底面棱长为，正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则侧面为等边三角形，2(0)a a >.=故选：D5．如图，矩形是一个水平放置的平面图形的直观图，其中，，则原图形O A B C ''''3O A ''=1O C ''=是（ ）A ．面积为B ．面积为C 的菱形D 【答案】A【分析】由直观图与原图形面积关系求面积，由直观图得出原图形，证明四边形为菱形即可得解.【详解】因为直观图中四边形为矩形，所以，O A B C ''''3S O A O C '''''=⋅=所以原图形中四边形面积，S ===由直观图，还原原图形，如图，由，可得1,45O C D O A '''''=∠=︒O D ''=所以，OD =1CD C D ''==所以,又，3OC ==,OA CB OA CB =∥所以四边形为菱形.OABC 故选：A6．在中，角，B，所对的边分别为，，，已知，，为使此三角形ABC A C a b c 60A =︒b =有两个，则满足的条件是（ ）aA B C．D3a <<a <<3a <<a <<【答案】C【分析】为使此三角形有两个，只需满足b sin A ＜a ＜b ，即可求a 范围．【详解】为使此三角形有两个，即b sinA ＜a ＜b ，∴a ＜3＜a ＜故选：C ．【点睛】本题考查三角形解的情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．7．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O 的球面上，，，且四棱锥的体积3AB=BC =O ABCD -为O的表面积为（ ）A ．B ．CD 76π112π【答案】A【分析】由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．【详解】由题可知矩形所在截面圆的半径即为的对角线长度的一半，ABCD ABCD，，=3AB BC =，r ∴==由矩形的面积ABCD S AB BC ==则到平面的距离为满足：O ABCD h 13⨯=解得，4h =故球的半径R 故球的表面积为：，2476πR π=故选：A ．8．圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（ ）O 2,AB =1EF =P EF PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．12-34-1214-【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则，得到，再由圆的性质，得到的最小21PA PB PO ⋅=- PO值，即可得出结果.【详解】由题意可得，，()()()()PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA ⋅=+⋅+=+⋅-2221PO OA PO =-=- 为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点时，OPOP EF ⊥P EF 又，因此1EF =minPO==所以的最小值为.PA PB ⋅ 14-故选：D.二、多选题9．已知三个内角的对边分别是，则下列说法正确的是（ ）ABC ,,A B C ,,a b c A ．若，则A B >sin sin A B>B ．若，则为钝角三角形0AB CA ⋅>ABC C ．若为锐角三角形，则ABC sin cos A B>D ．若，则为锐角三角形sin :sin :sin 2:3:4A B C =ABC 【答案】ABC【分析】对于A ：结合大角对大边及正弦定理即可求解；对于B ：由向量夹角公式即可判断；对于C ：由锐角三角形内角的性质与诱导公式即可求解；对于D ：由余弦定理变形式即可求解.【详解】对于A ：由大角对大边及正弦定理可知：，故A 正确；sin sin A B a b A B >⇒>⇒>对于B ：因为，所以，0AB CA ⋅> 0AB AC ⋅< 所以为钝角，所以为钝角三角形，故B 正确；A ABC 对于C ：因为为锐角三角形，所以,ABC πππ0222A B A B +>⇒>>->所以，故C 正确；πsin sin cos 2A B B⎛⎫>-= ⎪⎝⎭对于D ：因为，由正弦定理得：sin :sin :sin 2:3:4A B C =，设，::2:3:4a b c =23,4a k b k c k =⇒==由余弦定理变形式得：，22222249161cos 022234a b c k k k C ab k k +-+-===-<⨯⨯所以为钝角，故D 错误.C故选：ABC.10．已知i 为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）A ．B ．复数的虚部为234i i i i 0+++=2i --i -C ．若复数为纯虚数，则D ．z 22||z z=1212z z z z ⋅=【答案】AD【分析】根据复数的运算可得A,C,D 的正误，根据复数虚部的概念可知B 的正误.【详解】因为，A 正确；234i i i i i 1i 10+++=--+=复数的虚部为，B 不正确；2i --1-若，则，，C 不正确；i z =21z =-2||1z =设，所以，12i,i z a b z c d =+=+()12i z z ac bd ad bc =-++=D 正确.=故选：AD.11．在锐角中，内角A ，B ，C 的对边分别为ABCa ，b ，c ，，且 ）2(sin sin )(2sin sin )sin A B B C C +=+sin A >A ．B ．a >cC ．c >aD ．cos c a a C -=π3C >【答案】ACD【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知2222()a b c b c a +-=-、判断A 、B 、C 正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公cos c a a C -=0c a a ->sin sin 1cos CA C =+式得，即可得范围判断D 正误.tan2C >π02C <<【详解】由正弦边角关系知：，则，2()(2)a b b c c +=+22222a ab b bc c ++=+所以，而，则，A 正确；2222()a b c b c a +-=-222cos 02a b c C ab +-=>cos c a a C -=由上知：，即，B 错误，C 正确；0c aa ->c a >由知：，则，cos c a a C -=sin sin sin cos C A A C -=22sincos sin 22sin tan 1cos 22cos 2C C CC A C C===>+又，故，则，即，D 正确.π02C <<π024C <<ππ624C <<ππ32<<C 故选：ACD12．已知点为所在平面内一点，满足，（其中）.（ ）O ABC 0OC OB OA λμ++=R λμ∈，A ．当时，直线过边的中点；λμ=OC AB B ．若，且，则；1OA OB OC =====1λμ32OA AB ⋅=- C ．若时，与的面积之比为；=2=3λμ，AOB AOC 2:3D ．若，且，则满足.0OA OB ⋅= 1OA OB OC === λμ，22+=1λμ【答案】ABD【分析】对于A ，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B ，由条件可判断为等边三角形，利用数量积的定义即可求得的值；对于C ，利用作图，结合向量加ABC OA AB ⋅减法的几何意义，可判断与的面积之比；对于D,由得，AOB AOC 0OC OB OA λμ++= ，平方后结合数量积的运算可推得结果.()OC OB OA λμ=-+【详解】对于A ，设AB 的中点为D ，则当时，有,λμ=20OC OB OA OC OD λμλ++=+=即得O,C,D 三点共线，故直线过边的中点，故A 正确；OC AB 对于B ，由于且时，，1OA OB OC === ==1λμ0OC OB OA ++=故O 为的外心和重心，故为等边三角形，ABC ABC 则 ,由可得，30BAO ∠=1OA OB OC === ||21cos30AB =⨯⨯=故，故B 正确；31cos1502OA AB ⋅==-对于C ，延长OA 至,使 , 延长OB 至,使,A '3OA OA '=B '2OB OB '=连接,设其中点为E ,连接OE 并延长至 ，使 ,A B ''C 'EC EO '=连接 ,则四边形是平行四边形，,A C B C ''''OA C B '''所以，而时，，23OB OA OB OA OC '''+=+==2,=3λμ230OC OB OA ++= 故,即 三点共线，且，0OC OC '+= ,,C O C '||||OC OC '= 根据同底等高三角形面积相等，则,2AOC AOC AOB AOB S S S S ''=== 即与的面积之比为,故C 错误；AOB AOC 1:2对于D ，因为，且，0OA OB ⋅= 1OA OB OC === 由得，，0OC OB OA λμ++=()OC OB OA λμ=-+ 所以,即，故D 正确，2222221OC OB OA OB OA λλμμ=+⋅+= 22+=1λμ故选：ABD三、填空题13．已知向量，，若，则_____．(8,3)a k =- (2,2)()b k k R =+∈ //a b a b -=【分析】首先根据向量共线的坐标表示得到关于的方程，求出的值，即可得到、的坐标，k k ab再求出，最后根据向量模的坐标表示计算即可．a b -【详解】因为，//a b 所以，解得，2(8)3(2)k k -=+2k =则，，(6,3)a = (4,2)b =所以，(2,1)a b -= 所以a b -==14．设复数满足条件，那么的最大值为_____．z 1z=iz ++【答案】3【分析】利用复数模的三角不等式可求得的最大值.iz ++【详解】因为，则，1z=i 13z ++==当且仅当时，等号成立，故的最大值为.1i 2z =+i z ++3故答案为：.315．已知与是单位向量，．若向量满足，则的取值范围是_____．a b0a b ⋅=c 2c a b --= c【答案】22⎡⎣【分析】通过、及可求得；根据且22c a b --= 1==a b0a b ⋅= ()222a b c c +⋅=- 1==a b可求得，从而可构造出关于和的等式，利用可求a b ⊥ a b + c cos ,c a b + []cos ,1,1c a b +∈- 得的取值范围.c【详解】，是单位向量，，a b 1a b ∴== ，2c a b --= ，()()()2222222224c a b c a b c a bc a b c a a b b ∴--=-+⋅++=-+⋅++⋅+= 又，，0a b ⋅= ()222a b c c ∴+⋅=- 且1a b == 0a b ⋅= a ∴+，22,c c a b∴-=+又，[]cos ,1,1c a b +∈-]1,1-所以，即，2|||2|c c c →→→-≤-≤22||20||20c c ⎧+≥⎪⎨-≤⎪⎩解得2故答案为；22⎡+⎣16．在锐角中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且ABC ，则的取值范围是______．()2sin 2sin cos sin 2c B A a A B b A-=+ca 【答案】()1,2【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为，根据为锐角三角形可()sin sin B A A-=ABC 得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦2B A =π3C A =-ππ64A <<sin sin 3sin sin c C A a A A ==展开式和的范围可得答案.cos A 【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得()2sin sin 2sin sin cos sin sin 2C B A A A B B A-=+()2sin sin cos 2sin sin cos 2sin sin cos sin cos A A B B A A A A B B A =+=+，()2sin sin A A B =+因为，所以，π0<<,π2C C A B -=+()()0s s in s in πin C A C B =-=≠+可得，()sin sin B A A-=因为，所以，ππ0022A B <<<<，ππ22B A -<-<所以，，2B A =π3C A =-由，可得，202πB A <=<203ππC A <<=-ππ64A <<，，cos A <<213cos 24A <<由正弦定理得()sin 2sin sin 3sin 2cos cos 2sin sin sin sin sin A A c C A A A A A a A A A A ++====.()222cos cos 24cos 11,2A A A =+=-∈故答案为：.()1,2四、解答题17．已知向量，．()4,3a =-()1,2b =-（1）设向量与的夹角为 ，求；a b θsin θ（2）若向量与向量垂直，求实数 ．ma b + a b - m 【答案】（12）.37【解析】（1）利用平面向量夹角的坐标表示即可求，再利用同角三角函数基本关系即可求解；cos θ（2）利用向量垂直得，展开即可求解.()()0ma b a b +⋅-= 【详解】（1），cos a b a b θ⋅====⋅所以sin θ===（2）若向量与向量垂直，则，ma b + a b - ()()0ma b a b +⋅-= 即，()2210ma m a b b +-⋅-= ，，，()2224325a =-+= ()413210a b ⋅=-⨯+⨯-=- ()222251b =+-= 所以，即，解得：.()2510150m m ---=3515m =37m =18．在中，角，，所对的边分别为，，.ABC A B C a b c cos sin 0C c A -=(1)求角的大小；C (2)已知，的面积为，求边长的值.6b =ABCc 【答案】(1)；π3C =(2)c =【分析】（1边角互化，化简可求出角的大小；cos sin 0C c A -=C （2）根据三角形面积公式及余弦定理即得．【详解】（1）在ABC cos sin sin 0A C C A -=因为，所以，0πA <<sin 0A >，又 ，sin C C =cos 0C ≠所以，tan C =0πC <<所以；π3C =（2）在中，，ABC 1π6sin 23ABC S a =⨯⨯=△4a =由余弦定理得：．222π64264cos 283c =+-⨯⨯=所以c =19．在中，点分别在边和边上，且，，交于点，ABC ,D E BC AB 2DC BD =2BE AE =AD CE P 设，．BCa = BAb = (1)试用，表示；a b BP (2)在边上有点，使得，求证：三点共线．AC F 5AC AF = ,,B P F 【答案】(1)1477BP a b =+ (2)证明见解析【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；（2）利用向量的线性运算及共线向量基本定理即可求解.【详解】（1）设，由题意，EP tEC = 2233BE BA b == 所以，①，23EC EB BC a b =+=- ()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ 设，由，，②，DP k DA = 1133BD BC a == 13DA DB BA b a =+=- ()113BP BD DP k a kb =+=-+ 由①、②得，，()()211133ta t b k a kb +-=-+ 所以，解得，()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以；1477BP a b =+ （2）由，得，AC a b =- ()1155AF AC a b ==-所以，1455BF BA AF a b =+=+ 所以，75BF BP = 因为与有公共点B ，BF BP 所以B ，P ，F 三点共线．20．如图,已知四棱锥的底面为直角梯形,底面,且P ABCD -//,90,AB CD DAB PA ∠=⊥ ABCD 是的中点.11,2PA AD DC AB M ====PB(1)求证:;AM CM =(2)若是的中点,求证:N PC // C.DN AM 平面【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】试题分析：(1)利用垂直，构造等腰三角形，证明结论成立；(2)通过构造平行四边形，证明∥，结合直线与平面平行的判定定理，证明得到直线与平面DN OM 平行.试题解析：(1)设为的中点，则可得平面E AB EM ⊥ABCD且222222,AM AE ME MC CE ME =+=+AE EC=所以.AM CM =(2)∥,为中点，DE BC O DE所以∥，∥，且=， =OD BC MN BC OD 12BC MN 12BC 所以为平行四边形，从而∥MNDO DN OM平面，平面DN ⊄AMC OM ⊂AMC故∥平面.DN AMC 点睛：一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面．三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．21．已知向量，，函数．,3a cos x sinx π⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,6b sin x sinx π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x a b =⋅ Ⅰ求函数的最小正周期和单调递减区间；()()f x Ⅱ在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，求面积的()ABC c =()12f C =-ABC 最大值．【答案】（Ⅰ）最小正周期为，单调递减区间为，；（Ⅱπ2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k Z ∈【分析】Ⅰ根据向量数量积的定义求出函数的解析式，结合周期公式以及单调性进行求解即可；()Ⅱ根据条件求出C 的值，结合余弦定理以及基本不等式，以及三角形的公式进行求解即可．()【详解】解：Ⅰ，，(())(3f x a b cos x π⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ )(6sinx sin x π⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭)sinx 2221cos sin ()362x x sin x cosx sin xππ⎛⎫⎛⎫=-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221112224426cos x sin x cos x x sin x π⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭函数的周期，∴22T ππ==由，，322x 2262k k πππππ+≤+≤+k Z ∈即，，263k x k ππππ+≤≤+k Z ∈即函数的单调递减区间为，．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k Z ∈Ⅱ，(()1)2f C =- ，112262sin C π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，216sin C π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭即，得，，2262C k πππ+=-3C k ππ=-k Z ∈，当时，，0C π<< ∴1k =23C π=由余弦定理得，2222c a b abcosC =+-c = ，22222122233a b abcos a b ab ab ab ab π∴=+-=++≥+=即，4ab ≤则三角形的面积，当且仅当时取等号，11422S absinC =≤⨯=a b =．【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，利用向量数量积的定义以及辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键，还考查余弦定理，求面积公式等，属中档题．22．在长方体中，E ，F ，G 分别为所在棱的中点，H ，Q 分别为AC ，，的中1111A BCD A B C D -1AD 点，连EF ，EG ，FG ，DQ ，CQ ，．1D H（I ）求证：平面平面ACQ//EFG （II ）问在线段CD 上是否存在一点P ，使得平面？若存在，求出P 点的位置若不存在，//DQ 1D PH 请说明理由【答案】（1）证明见解析 （2）当时，满足条件，证明见解析.13DP DC =【分析】(1) 连接可证平面ACQ ，平面ACQ ,从而可证.111,AC BC //EF //GF (2) 当时，连接并延长交于点,连接,取线段的中点，连接,可13DP DC =PH AB M 1D M 1D M N QN 证四边形为平行四边形，从而可证，从而得出答案.QDPN //QD NP 【详解】连接,由E ，F ，G 分别为所在棱的中点111,AC BC 所以, 11//A C GF 1//EF BC 由,所以,又平面ACQ , 平面ACQ11//AD BC 1//AD EF 1AD ⊂EF ⊄所以平面ACQ//EF 又,所以,又平面ACQ , 平面ACQ11//A C AC //GF AC AC ⊂GF ⊄所以平面ACQ ,又//GF GF EF F⋂=所以平面平面ACQ//EFG （2）线段CD 上存在一点P ，当时，满足平面.13DP DC =//DQ 1D PH 证明如下：连接并延长交于点,连接，则平面与平面为同一平面.PH AB M 1D M 1D PH 1D PM 由H 为AC 的中点，则与全等.则AMH CPH △2233AM AB CD ==取线段的中点，连接.1D M N QN 由分别为的中点，所以且,Q N 11,AD D M 111233QN AM AB DC ===//QN AM又且, 即且//DP AM 13DP DC =//QN DP QN DP=所以四边形为平行四边形，故QDPN //QD NP 又平面，平面，所以平面.QD ⊄1D PH NP ⊂1D PH //DQ 1D PH【点睛】关键点睛：本题考查面面平行的证明和动点位置的探索问题，解答本题的关键是探索出满足条件的点的位置，构造平行四边形，从而使得，使得问题得以解决，属于中档P QDPN //QD NP 题.。
河南省郑州市高一下学期期中数学试卷
河南省郑州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共11题；共22分)1. （2分）下列四个关系中，正确的是（）A . a∈{a，b}B . {a}∈{a，b}C . a∉{a}D . a∉{a，b}2. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知复数，则下列结论正确的是（）A . 的虚部为iB .C . 为纯虚数D .3. （2分） (2020高二下·应城期中) 若复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数是（）A .B .C .D .4. （2分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高二下·大庆月考) 圆上到直线的距离为的点共有（）A . 个B . 个C . 个D . 个6. （2分） (2017高二下·芮城期末) 已知点的极坐标为，那么过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二下·蛟河期中) 极坐标方程表示的曲线是（）A . 两条相交直线B . 两条射线C . 一条直线D . 一条射线8. （2分）(2017·北京) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A . 2B .C .D .9. （2分） (2019高二下·顺德期末) 若点在椭圆内，则被所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，可求得：被所平分的双曲线的弦所在的直线方程是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二下·大庆期末) 某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，甲图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，乙图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为（）A . 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B . 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C . 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，D . 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米11. （2分） (2018高二上·陆川期末) 在极坐标系中，点(1，0)到直线θ＝(ρ∈R)的距离是（）A .B .C . 1D .二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分）已知lg2=a，lg3=b，那么log36=________．13. （1分） (2019高一上·焦作期中) 已知幂函数在上是增函数，则实数________．14. （1分） (2020高三上·合肥月考) 若直线经过抛物线的焦点且与圆相切，则直线的方程为________．15. （1分）(2017·山西模拟) 已知圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=16，过直线l：6x+8y﹣5a=0（a＞0）上的任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则直线l在y轴上的截距为________．三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分） (2020高二下·海丰月考) 已知复数 .（1）当实数m取什么值时，复数z是1；（2）复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数.17. （5分）(2019·黄山模拟) 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据考试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分，现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级不合格合格得分[20，40）[40，60）[60，80）[80，100]频数6x24y（I）若测试的同学中，分数段[20，40）、[40，60）、[60，80）、[80，100]内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人，完成2×2列联表，并判断：是否有90%以上的充准认为性别与安全意识有关？（II）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望E（X）；（III）某评估机构以指标M（M= ，其中D（X）表示X的方差）来评估该校安全教育活动的成效。
河南省郑州市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
郑州一中2021～2022学年下学期期中考试24届 高一（数学）试题说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分。
2．考试时间：120分钟。
3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上。
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．3．在△ABC 中，角的对边分别是已知，则=（）A．B ．C ．D ．4．在矩形中，为线段的中点，则（ ）A ．B ．()1i 2i z +=+z =31i22+31i22-11i 22+11i22-A B C '''O 'B C ''2O A ''=,,A B C ,,a b c 222a b c bc =++A 3π23π34π56πABCD E AB C E BD -=2AB AD- 12AB AD-C．D ．5．复数满足（i 为虚数单位），则实数＝（ ）A ．2B ．1C ．－1D ．－26．已知是平面，是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的个数是（ ）．①若，，，，则；②若，，则；③若点不在直线上，且到的距离相等，则直线；④若三条直线两两相交，则直线共面；⑤若，，，则；⑥若，，，则．A ．0B ．1C ．2D ．37．在高为的直三棱柱中，△ABC 是以为直角的等腰三角形，且，其中为棱的中点，为线段上的动点，则的最小值为（ ）A ．BC ．D ．8．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（ ）1322AB AD-122AB AD-z i 1i z z m -=+m α,,l m n m α⊂n α⊂l m ⊥l n ⊥l α⊥l m ⊥l n ⊥m n ∥,A B l l AB l ∥,,l m n ,,l m n m α⊂n α⊥l n ⊥l m ∥m α⊥n α⊥l m ∥l n ∥3111ABC A B C -C AB =D 11B C M BC AM MD +325A B C D E F G H 2OA =AB ．C．D ．9．为虚数单位，则（）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥中，平面，，，点，分别是线段的中点，直线相交于点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．11．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上，则的最小值是（ ）A ．－1B ．1C ．－3D ．312．在钝角△中，分别是△的内角所对的边，点是△的重心，若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）OE OG ++=OA OD =-g 4AH EH += 4+=+AH GH i 20231i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭i -1-i 1S ABC -SA ⊥ABC SA AB BC ==2AC =E F ,AB BC ,AF CE G G αS ABC -O 8,29ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦83,92ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A OB AO B Ð=12022O A O C ==E CD EA EBg ABC ,,a b c ABC ,,A B C G ABC AG BG ⊥cos C ⎫⎪⎪⎭40,5⎛⎫⎪⎝⎭45⎡⎢⎣4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
三、填空题
17．某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中
间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为40cm 和100cm ，棱台的
高为40cm ，中间挖去的圆柱孔的底面半径为10cm .计算时π取3.14.
(1)求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；
(2)为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂
27000cm ，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）
18．在梯形
ABCD 中，//DC AB ，E 是线段AB 上一点，2AD =，5AB =，1AE CD ==，
60DAB Ð=°，把BCE V 沿CE 折起至SCE △，连接,SA SD 使得平面SCD ^平面AECD ．
(1)证明：
//AE 平面SCD ；
(2)求异面直线
AE 与SC 所成的角；
(3)求直线AE 与平面
SDE 所成角的正弦值．
19．如图，设
ABC V 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，。
河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
郑州外国语学校2023-2024学年高一下期期中试卷数 学（120分钟 150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出即可得解.【详解】复数，在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B2. 下列说法正确的是（ ）A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥B. 长方体是平行六面体C. 用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形D. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台【答案】B 【解析】【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱和圆锥的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ， 底面是正多边形，侧棱均相等的棱锥是正棱锥，故A 错误；对于B ，平行六面体是各个面都为平行四边形的棱柱，而长方体是各面为矩形的棱柱，所以长方体是平行六面体，故B 正确；对于C ，用一个平面去截圆柱，所得截面可能为椭圆，故C 错误；对于D ，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D 错误.故选：B .3. 在中，角所对边分别为，若，则（ ）A.B. 2C. 1或2D. 2的()i 1i z =+i z z 1i z =-+z (1,1)-ABC ,,A B C ,,a b c π1,6a b B ===c =【解析】【分析】由余弦定理即可求.【详解】由余弦定理得，化简得，解出或2.故选：C.4. 已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（ ）条件A. 充分非必要 B. 必要非充分条C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】A 【解析】【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定.【详解】因为，所以，又因为，所以，即“”是“”的充分条件；如图，在长方体中，设面为面、面为面，则，且与面不垂直，即“”不是“”的必要条件；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为222cos 2a c b B ac +-==2320c c -+=1c =m n αβn αβ= αβ⊥m β⊥m n ⊥n αβ= n β⊂m β⊥m n ⊥m β⊥m n ⊥ABCD αBCEF βm n ⊥m βm β⊥m n ⊥m β⊥m n ⊥A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.6. 已知直角三角形ABC 中，，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则的最大值为（ ）,CD a PE b ==212PO CD PE =⋅,a b ,CD a PE b ==PO ==212PO ab =22142a b ab -=24()210b b a a -⋅-=b a =90A ∠=︒PB PC ⋅A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.【详解】以为原点建系，，，即，故圆的半径为，∴圆，设中点为，，，∴，故选：D.16556525PB PC PD =- A ()()0,2,4,0BC :142x yBC +=240x y +-=r 2216:5A x y +=BC ()2,1D 22221120544PB PC PD BC PD PD =-=-⨯=- max PD AD r =+==()max8156555PB PC =-=7. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，将该三角形绕AC 边旋转得一个旋转体，则该旋转体体积为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得该旋转体为大圆锥去掉小圆锥，结合圆锥的体积公式运算求解.【详解】因为，即，由余弦定理可得，且，可得，又因为，，即，解得或（舍去），如图，将该三角形绕AC 边旋转得一个旋转体，则该旋转体为大圆锥去掉小圆锥，可得，则，大圆锥的底面半径为3，高为，小圆锥的底面半径为3，所以该旋转体体积为.故选：B.8. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；ABC ,,a b c 222bc a b c =--a=b =360︒2π,3A c ==CO AO 222bc a b c =--222b c a bc +-=-2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-()0,πA ∈2π3A =a =b =2213c =--2180c -=c =c =-360︒CO AO cos 60sin 603AO AB BO AB =︒==︒=CO CA AO =+=CO 119π3V =⨯⨯=AO 219π3V =⨯=12V V V =-=-=1111ABCD A B C D -BC②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面所在四边形的面积为定值；④棱始终与水面所平面平行；⑤当容器倾斜如图3所示时，是定值．其中正确命题的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据棱柱的定义判定①②，利用线面垂直的性质定理可得水面是矩形判定③，利用线面平行的判定定理判断④，利用等体积法判断⑤即可.【详解】根据棱柱的定义：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余没相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形可知，由于边固定，所以在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，所以在倾斜的过程中有水的部分始终呈棱柱形，同理没有水的部分始终呈棱柱形，①②正确；在倾斜的过程中，，长度不变，不断变化，又因为，所以始终垂直于平面，又平面，所以水面是矩形，所以水面所在四边形的面积不是定值，③说法错误；因为在倾斜的过程中，始终与平行，且水面，水面，所以棱始终与水面所在平面平行，④说法正确；因为水的体积是不变的，正三棱柱的高始终是也不变，所以底面面积也不会变，即是定值，⑤说法正确；综上正确的是：①②④⑤，在EFGH 11A D ·BE BF EFGH BC AD EH FG BC ∥∥∥AEFB DHGC ,EH FG ,EF HG FG BC ∥FG 11ABB A EF ⊆11ABB A EFGH EFGH 11A D FG 11A D ⊄FG ⊆11A D BEF CHG -BC ·BE BF故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知，，则下列结论正确的是（ ）A B. C. 与的夹角为D. 在【答案】AC 【解析】【分析】已知向量的坐标，证明向量垂直，求向量的模长、夹角、投影等都比较简单，根据公式求解即可.【详解】因为，，所以，则，所以，故A 正确；因为，所以，故B 错误；，所以，故C 正确；在方向上的投影向量是，故D 错误.故选:AC.10. 下列说法正确的是（ ）A. 若、互为共轭复数，则为实数B. 若为虚数单位，为正整数，则C. 已知是关于的方程的一个根，则D. 复数满足，则的最大值为【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数乘法可判断A 选项；利用复数的乘方可判断B 选项；分析可知为方程.的(3,1)a =- (2,1)b =()a b b-⊥ 2a b +=a b4πa b()3,1a =- ()2,1b = ()1,2a b -=-()12(2)10a b b -⋅=⨯+-⨯= ()a b b -⊥2(71)a b +=，|2|a b +==cos ,||||a b a b a b ⋅==⋅<>,[π]a b ∈ <>0，π,4a b = <>a b cos ,a a b = 1z 2z 12z z i n 43i in +=1i +x ()220,ax bx a b ++=∈R 1a b +=-z 1z =1i z --11i ±的两根，利用韦达定理可求出、的值，可判断C 选项的正误；利用复数模的三角不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，设，则，所以，为实数，A 对；对于B 选项，，B 错；对于C 选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以为方程的两根，则，所以，，解得，所以，，C 对；对于D 选项，利用复数模的三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，D 对.故选：ACD.11.在三棱锥中，已知，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则（ ）A.B. 异面直线AN ，CM所成的角的余弦值是C. 三棱锥D. 三棱锥的外接球的表面积为【答案】ABD 【解析】【分析】将三棱锥补形为长方体，向量法求直线的夹角判断A ，B ；利用体积公式求三棱锥的体积判断C ；确定三棱锥的外接球的半径，求表面积判断D.【详解】三棱锥中，已知，三棱锥补形为长方体，如图所示，()220,ax bx a b ++=∈R a b ()1i ,z a b a b =+∈R 2i z a b =-()()2212i i z z a b a b a b =+-=+433i i i n +==-1i ±()220,ax bx a b ++=∈R 0a ≠()()()()21i 1i 1i 1i ab a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪++-=-⎪⎩12a b =⎧⎨=-⎩1a b +=-1i 1i 1z z --≤++=+z =A BCD -3,2AB AC BD CD AD BC ======MNAD ⊥78A BCD -A BCD -11πA BCD -3,2AB AC BD CD AD BC ======AHDG FCEB -则有，解得，以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则有，，，，，，所以，A 选项正确；，，，所以异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是，B 选项正确； 三棱锥，三棱锥，三棱锥，三棱锥，体积都为三棱锥，C 选项错误；222222222949BF BG AB BFBE BC BG BE BD ⎧+==⎪+==⎨⎪+==⎩BF BE BG ===B ,,BF BE BGx y z ())(0,0,0,,,B CAD M N ⎫⎪⎪⎭(0,0,MN = ()AD = 0MN AD ⋅=MN AD ⊥AN ⎛= ⎝ CM ⎛= ⎝ 7cos ,8AN CM AN CM AN CM ⎛⎛++ ⋅-===⋅ 78E BCD -G ABD -F ABC -H ACD -1132⨯=A BCD -4-=的外接球，其表面积为，D 选项正确.故选：ABD.12. 在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）A. 外接圆面积是 B. 面积最大值是C. 周长的取值可以是 D. 内切圆半径的取值范围是【答案】ABD 【解析】【分析】根据，结合正弦定理，可求，结合，可求角.根据三角形外接圆半径满足，可判断A 的真假；结合余弦定理和基本（均值）不等式，可判断B 的真假；利用为锐角三角形，求出角的取值范围，利用正弦定理表示出，可求周长的取值范围，判断C 的真假；根据BC 的结论，结合三角形的面积、三角形周长、三角形内切圆半径之间的关系，判断D 的真假.【详解】由，结合正弦定理，可得：.因为在锐角三角形中，，所以.由，又为锐角，所以.对A ：设的外接圆半径为，由，所以，所以外接圆的=A BCD -24π11π⨯=ABC 、、A B C a b c 、、2cos cos )a b C c B =+cos 2)1A B C ++=ABC 4πABC ABC 9ABC 1,1]-2cos cos )a b C c B =+a cos 2)1A B C ++=A 2sin aR A=ABC B b c +)2cos cos a b C c B =+)sin sin cos cos sin a A B C B C =+()B C =+A =sin 0A ≠a =()cos 21A B C ++=⇒()1cos 2B C A +=-⇒22sin A A =⇒sin A =A π3A =ABC R 2sin a R A=⇒24R ==2R =ABC面积为：.故A 正确.对B ：由余弦定理（当且仅当时取“”）.所以.故B 正确；对C ：因为为锐角三角形，所以，，，所以.由正弦定理：，所以，，所以，因为，所以，所以，所以周长的取值范围为.因为，故C 错误；对D ：设内切圆半径为，则.又， ，，所以，由.故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：（1）涉及三角形周长或面积的取值范围，可将问题转化为利用基本（均值）不等式求最值或转化为三角函数求值域的问题解决.（2）本题的关键是三角形式锐角三角形，由此确定三角形角的取值范围，是该题的一个关键点.2π4πR =2222cos a b c bc A =+-⇒2212b c bc bc +-=≥b c ==11sin 1222ABC S bc A =£´´=ABC π02B <<π02C <<2π3B C +>ππ62B <<4sin sin sin b c aB C A===4sin b B =4sin c C =()4sin sin b c B C +=+2π4sin sin 3B B ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π4sin sin 3B B ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π6B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 6B ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(6,b c +∈ABC (6+(96∉+ABC r ()12ABC S a b c r =++△⇒2ABC S r a b c =++△a =()2312b c bc +-=1sin 2ABC S bc A =r ===6b c <+≤11r -<≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______．【答案】3【解析】【分析】根据圆锥底面圆的半径为1得到侧面展开图扇形的弧长为，然后根据侧面展开图扇形的圆心角为列方程，解方程即可得到圆锥的母线长.【详解】因为圆锥底面圆的半径为1，所以侧面展开图扇形的弧长为，设圆锥的母线长为，因为侧面展开图扇形的圆心角为，所以，解得，所以此圆锥的母线长为3.故答案为：3.14. 已知向量和满足：，，与向量的夹角为______.【答案】【解析】【分析】设向量与向量的夹角为，根据得到，再利用向量的夹角公式计算得到答案.【详解】设向量与向量的夹角为，，故，故，，故.故答案为：15. 四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则_________23π2π23π2πl 23π23222l ππππ=⨯3l =a b 1a = 2b = 2a b -= ab 2π3abθ()2212a b -=1a b ⋅=-abθ2a b -= ()22224444412a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+= 1a b ⋅=- 11cos 212a b a b θ⋅-===-⨯⋅ []0,πθ∈2π3θ=2π3P ABCD -E PD 35PE PD =PF PC λ=//BF ACE λ=【答案】【解析】【分析】连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE ，结合平面ACE ，则证明平面平面ACE ，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案.【详解】如图，连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，由是正方形，得，在线段PE 取点G ，使得，由，得，连接BG ，FG ，则，由平面，平面，得平面，而平面，，平面，因此平面平面，又平面平面，平面平面，则，所以.故答案为：16. 在锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为的面积，且，则的取值范围为______.13//BG //BF //BGF //GF EC ABCD BO OD =GE ED =35PE PD =13PG PE =//BG OE OE ⊂ACE BG ⊄ACE //BG ACE //BF ACE BG BF B ⋂=,BG BF ⊂BGF //BGF ACE PCD ACE EC =PCD BGF GF =//GF EC 13PF PG PC PE λ===13ABC ABC ()222S a b c =--22b c bc+【答案】【解析】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角关系式可得，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围，令，则，然后由对勾函数的单调性即可求出．【详解】在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，，所以，即的取值范围是.故答案为：.342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭sin 2cos 2A A +=sin A 435tan 5b c C =+tan C b cb tc =221b c t bc t+=+ABC 2222cos a b c bc A =+-ABC 1sin 2S bc A =()222S a b c =--sin 22cos bc A bc bc A =-sin 2cos 2A A +=0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22sin cos 1A A +=25sin 4sin 0A A -=4sin 5A =sin 0A =()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C bB AC A C c C C C C ++====+ABC 02C π<<2B AC ππ=--<22A C ππ-<<13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-== ⎪⎝⎭140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭b t c=35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭221b c b c t bc c b t +=+=+1y t t =+3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1t =2y =35t =3415y =53t =3415y =342,15y ∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭22b c bc+342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，进而可以求解.四、解答题：本题共5小题，共70分．其中第17题12分，第18， 19题每题13分，第20题15分，第21题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知复数，，其中.（1）若，求的值；（2）若是纯虚数，求的值.【答案】（1）2 （2）或.【解析】【分析】（1）利用复数相等几何复数运算即可求出结果；（2）利用纯虚数定义即可求出结果.【小问1详解】∵，，，∴，从而，解得，所以的值为2.【小问2详解】依题意得：，因为是纯虚数，所以，解得或.435tan 5b c C =+()21i z a =+243i z =-R a ∈12i z z =a 12z z a 2a =12a =-()21i z a =+243i z =-12i z z =()22i 12i 34i a a a +=-+=+21324a a ⎧-=⎨=⎩2a =a ()()()()()2222122i 143i 464383i i 43i 2525a a a a a a a z z +-+--++-+===-12z z 2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩2a =12a =-18. （1）已知向量，点，若向量，且的坐标；（2）已知向量，若与夹角为钝角，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）且.【解析】【分析】（1）设，根据向量垂直和向量的模得到方程组，解出即可；（2）计算出与坐标形式，根据向量点乘小于0，并结合向量反向共线即可得到答案.【详解】（1）设，则因为向量，所以又，所以解得或，所以的坐标为或（2）因为，所以，因为与夹角为钝角，所以，即，解得又不反向共线，所以，解得综上，且.19. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．（1）求三棱柱的表面积；()2,1a =()2,1A -AB a ⊥ AB = B ()()2,1,4,3a b ==- 2a b - a b λ+ λ()3,3-()1,19λ>-12λ≠-(),B m n 2a b -a b λ+(),B m n ()2,1AB m n =-+AB a ⊥()()2210m n -++=AB =22(2)(1)5m n -++=33m n =⎧⎨=-⎩11m n =⎧⎨=⎩B ()3,3-()1,1()()2,1,4,3a b ==-()()26,7,24,3a b a b λλλ-=-+=+-2a b -a b λ+()()20a b a b λ-⋅+<()()624730λλ-++-<9λ>-,a b()()63724,0λλλ--≠+<12λ≠-9λ>-12λ≠-111ABC A B C -1AA ⊥ABC AB BC ⊥D AC 12AA AB ==3BC =111ABC A B C -（2）求证：平面．【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求三棱柱每个面的面积相加即可；（2）利用线面平行的判定定理证明即可.【小问1详解】因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，所以侧面，，均为矩形．因为，所以底面，均为直角三角形．因为，，所以．所以三棱柱的表面积为．【小问2详解】连接交于点，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点．因为为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．20. 已知的内角的对边分别为，且，______（1）求的面积；（2）求角的平分线的长.1AB ∥1BCD 16+1AA ⊥ABC 111ABC A B C -11BCC B 11BAA B 11CAA C AB BC ⊥ABC 111A B C 12AA AB ==3BC=AC ===111ABC A B C -()(11122322231622AB BC AC AA AB BC ++⋅+⨯⋅=++⨯+⨯⨯⨯=+1B C 1BC O OD 11BCC B O 1B C D AC 1OD AB ∥1AB ⊄1BC D OD ⊂1BC D 1AB ∥1BC D ABC ,,A B C ,,a b c 7,3a b ==ABC S A AD在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答.【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）选①：根据，求得角C ，再利用三角形面积公式求解；选②：利用正弦定理得到，化简求得边c ，再利用余弦定理求得角A ，再利用三角形面积公式求解；选③：根据，根据二倍角公式求得角A ，再利用余弦定理求得边c ，再利用三角形面积公式求解；（2）选①：先利用余弦定理求得边c 和角A ，再由解；选②：由（1）得到结论利用1）得到结论利用【小问1详解】解：选①：因为，所以，又，所以，所以，所以选②：因为，所以由正弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，所以，332AC CB ⋅=- 12cos 72cos 13A B -=-2sin 2A A =158332AC CB ⋅=- 12cos 7sin 2cos 13sin A a AB b B-===-2sin 2A A =11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=332AC CB ⋅=- ()33cos 2ab C π-=-7,3a b ==11cos 14C =sin C =1sin 2ABC S ab C ==7,3a b ==12cos 7sin 2cos 13sin A a AB b B-===-sin 2sin cos 2sin cos sin -=-B B A A B A sin sin 2sin cos 2sin cos 2sin +=+=A B B A A B C 2a b c +=5c =由余弦定理可得，，由，所以，所以选③：因为，所以，由，所以，由余弦定理可得，，所以，所以【小问2详解】选①：由余弦定理可得，，所以.所以，由，所以，因为所以.选②：由（1）知：，，所以解得.选③：由（1）知：，，2221cos 22b c a A bc +-==-()0,A π∈23A π=1sin 2ABC S bc A ==2sin 2AA =22sin cos 222A A A =()0,,cos 02A A π∈>2tan 23A A π==2221cos 22b c a A bc +-==-5c =1sin 2ABC S bc A ==2222cos 25c b a ab C =+-=5c =2221cos 22b c a A bc +-==-()0,A π∈23A π=11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=158AD =3,5b c ==23A π=11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=158AD =3,5b c ==23A π=所以解得.21. 如图，在三棱柱中，已知侧面，，（1）求证：平面；（2）是线段上的动点，当平面 平面时，求线段的长；（3）若为的中点，求二面角平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析； （2）； （3.【解析】【分析】（1）由，，根据线面垂直的判定定理即可证结论；（2）先证面面，因此过作交线的垂线，可得到平面，即可求得=；（3）由上一问面，故过作交所在直线为点，则为所求平面的二面角，利用三角函数即可求值．【小问1详解】证明：侧面，侧面，得，由，知，即，11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=158AD =111ABC A B C -AB ⊥11BB C C 11π1,2,3BC AB BB BCC ===∠=1C B ⊥ABC P 1BB 1C AP ⊥11AA B B 1B P E 1BB 11C AE A --12AB ⊥1C B 1C B CB ⊥11ABB A ⊥11BB C C 1C 1C P 1C AP ⊥11AA B B 1B P 121C P ⊥11AA B B P PH AE ⊥AE H 1C HP ∠AB ⊥11BB C C 1C B ⊂11BB C C AB ⊥1C B 111π1,2,3BC CC BB BCC ===∠=190C CB ∠=︒1C B CB ⊥又交于点A ，且都在面内，故平面.【小问2详解】由已知侧面，面，知面面，过作于，面，面面，则面，因面，故平面平面，此时.【小问3详解】由（2）：面，面，则过P 作交于，且都在面内，所以面，则二面角平面角为或其补角，由，则，且，所以， ，故.,CB BAABC 1C B ⊥ABC AB ⊥11BB C C AB ⊂11ABB A 11ABB A ⊥11BB C C 1C 11C P BB ⊥P 1C P ⊂11BB C C 11ABB A 111BB C C BB =1C P ⊥11AA B B 1C P ⊂1C AP 1C AP ⊥11AA B B 111ππcoscos 33B P B C BC ===121C P ⊥11AA B B AE ⊂11AA B B 1C P AE ⊥PH AE ⊥AE H 1C P PH P = 1C PH ⊥AE 1C PH 11C AE A --1C HP ∠PHE ABE PH PE AB AE =12,,2AB PE AE ===PH =1C P =11tan C P C HP PH ∠===1cos C HP ∠=。
河南省郑州市高一中高一下学期期中数学试卷
河南省郑州市高一中高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·山东模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）对于直线m、n和平面，若，则“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1 ， h2 ，h3 ， h4 ，则它们的大小关系正确的是（）A . h2＞h1＞h4B . h1＞h2＞h3C . h3＞h2＞h4D . h2＞h4＞h14. （2分） (2016高一下·大同期中) 若| |=1，| |=2， = ，且，则与的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°5. （2分） (2016高一下·大同期中) 设向量 =（1，﹣3）， =（﹣2，4）， =（﹣1，﹣2），若表示向量4 ，4 ﹣2 ，2（﹣），的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量为（）A . （2，6）B . （﹣2，6）C . （2，﹣6）D . （﹣2，﹣6）6. （2分） (2016高一下·大同期中) sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A .B .C . -D .7. （2分） (2016高一下·大同期中) 函数y=sin（2x+ ）•cos（x﹣）+cos（2x+ ）•sin（﹣x）的图象的一条对称轴方程是（）A . x=B . x=C . x=πD . x=8. （2分） (2016高一下·大同期中) 在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M为腰BC的中点，则 =（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2016高一下·大同期中) 已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2）B . （，+∞）C . （﹣2，）D . （﹣）10. （2分） (2016高一下·大同期中) 在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 正三角形11. （2分） (2016高一下·大同期中) y=sin（2x﹣）﹣sin2x的一个单调递增区间是（）A . [﹣， ]B . [ ，π]C . [ π，π]D . [ ， ]12. （2分） (2016高一下·大同期中) △ABC中，，，若，则m+n=（）A .B .C .D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·吕梁模拟) 中，、、角的对边为、、，其中，若，，，则等于________．14. （1分）(2019·浙江) 我国南宋著名数学家秦九韶(约1202-1261)被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．他独立推出了“三斜求积”公式，求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角B形面积的公式，就是S= ，现如图，已知平面四边形ABCD中，AD=1，AC= ，∠ADC=120°，AB= ，BC=2，则平面四边形ABCD的面积是________。
河南省郑州市高一下学期数学期中考试试卷
河南省郑州市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 数列 1，3，6，10，…的一个通项公式 （ ）A.B.C. D.2. （2 分） 在中，，，，则的面积为（ ）．A.B.C.D.3. （2 分） 若不等式与不等式A . 12:7B . 7:12C . -12:7D . -3 :44. （2 分） (2019 高一下·上杭期中) 如果的解集相同，则 p:q 等于（ ） ,那么下列不等式中正确的是（ ）A.第 1 页 共 11 页B. C. D.5.（2 分）(2016 高二上·福州期中) 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 S15＞0，S16＜0，则 中最大的是（ ）A. B. C. D. 6. （2 分） 若△ABC 的三个内角满足 tanAtanBtanC＞0，则△ABC 是（ ） A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 D . 任意三角形7. （2 分） (2017·衡阳模拟) 已知不等式组 的最大值为（ ）所对应的平面区域面积为 2+2π，则A. B. C.6 D.7第 2 页 共 11 页8. （2 分） (2017 高二下·营口会考) 已知变量 x，y 满足约束条件 A . ﹣3 B.0，则 z=x﹣y 的最小值为（ ）C. D.39. （2 分） 在等比数列 中，， 则能使不等式成立的最大正整数 n 是（ ）A.5B.6C.7D.810. （2 分） (2012·江西理) 在中，，则的周长为（ ）A. B.C.D. 11. （2 分） (2017 高二上·莆田月考) 等比数列的首项为 1，项数是偶数，所有得奇数项之和为 85，所有的 偶数项之和为 170，则这个等比数列的项数为（ ） A.4 B.6第 3 页 共 11 页C.8D . 1012. （2 分） (2019 高三上·朝阳月考) 在平面直角坐标系中，锐角 的顶点与 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为 则（ ）．将角 沿逆时针方向旋转角后，得到角 ，A.的最大值为 ，的最小值为B.的最大值为，的最小值为C.的最大值为，的最小值为D.的最大值为，二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)的最小值为13. （1 分） (2020·南京模拟) 若数列 是公差不为 0 的等差数列，、、成等差数列，则 的值为________.14. （1 分） 在等式 整数的和的最小值是________=1 的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正15. （1 分） (2017 高三上·天水开学考) 数列{an}中，a1=1，an=+1，则 a4=________．16. （1 分） (2018·中山模拟)中,的面积最大值为________．, 为 边上的点,且,,则三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） (2020·甘肃模拟) 设椭圆 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .（1） 求椭圆 的方程;第 4 页 共 11 页的右焦点为 ，离心率为 ，过点（2） 若 点共线，且上存在两点 ，求四边形，椭圆 上存在两个 的面积的最小值.点满足：三点共线，三18. （10 分） (2018 高一上·浙江期中) 已知函数．（1） 若 a＝0 时，求函数的零点；（2） 若 a＝4 时，求函数在区间[2，5]上的最大值和最小值；（3） 当时，不等式恒成立，求实数 a 的取值范围．19. （10 分） (2018·潍坊模拟) 已知等比数列 的前 项和为 ，，，是，的等差中项.（1） 求数列 的通项公式；（2） 设，数列的前 项和为 ，求 .20. （10 分） (2018 高一下·苏州期末) 如图，长方形材料中，已知，.点 为材料内部一点，中裁剪出四边形材料于， ，满足于 ，且 ，点 、， 分别在边. 现要在长方形材料 ， 上.（1） 设，试将四边形材料的面积表示为 的函数，并指明 的取值范围；（2） 试确定点 在 上的位置，使得四边形材料的面积 最小，并求出其最小值.21. （10 分） (2013·安徽理) 设函数 fn（x）=﹣1+x+ +第 5 页 共 11 页+…+（x∈R，n∈N+），证明：（1） 对每个 n∈N+，存在唯一的 x∈[ ，1]，满足 fn（xn）=0；（2） 对于任意 p∈N+，由（1）中 xn 构成数列{xn}满足 0＜xn﹣xn+p＜ ．22. （10 分） (2019 高一下·上海月考) 已知、.是方程的两个根，求证：第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、 18-1、第 8 页 共 11 页18-2、 18-3、19-1、 19-2、第 9 页 共 11 页20-1、20-2、21-1、21-2、第 10 页 共 11 页22-1、第11 页共11 页。