离散数学课件 第一章

1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
1. 单个命题变项（或常项）是合式公式。
2. 如果A是合式公式，则┒A是合式公式。
3. 如果A、B是合式公式，则A∨B、A∧B、 A→B、A↔B也是合式公式。
当且仅当有限次运用（1）（2）（3）所得到的 符号串是合式公式。
括号与联结词的优先级
1 公式的最外层括号可以省略； 2 联结词的优先级： ┓ 最高；
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
3) ¬ p ∧ (p∨(¬ q∧p))
命题公式的类型
永真式（重言式）：公式在一切赋值下的真值均为真 永假式（矛盾式）：公式在一切赋值下的真值均为假
可满足式： 如公式不是矛盾式就是可满足式，即至 少存在一个赋值使公式为真
矛盾式 仅可满足式 公式 可满足式 永真式
小结
1、怎样判定公式的类型？ 2、怎样求公式的成真赋值和成假赋值？
3、含有n个命题变元的公式的真值表有多少行？
4、含2、3个命题变元的命题公式至多形成多 少个不同的真值表？含n个命题变元呢？
求主合取范式的方法：
1、等值演算法； 2、真值表法；
3、利用主析取范式来得出主合取范式。
主范式有何作用？ 永真式、永假式的主析取和主合取范 式有何特点？
补充 应用举例
例1 奥运会短跑比赛现场，三位观众预测比赛结果： 甲：“美国第一，中国第三.” 乙：“日本第一，美国第三.” 丙：“中国第一，美国第二.”
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
2、内移或消去否定号；
3、利用分配律。 注：公式的范式不唯一。
5 主析取范式
极小项 公式中共有n个命题变项p1，……，pn 这n个变项的合取式中，每个变项pi和其否定 pi，均出现且两者仅出现一个，并且按命题变 项的下标排列（字母按字典序列）这样的简单 合取式称为极小项，又称布尔合取。 主析取范式 若干个不同的极小项的析取式， 称为主析取范式 。 定理 任何一个命题公式均存在一个与之等值的主 析取范式，而且是唯一的。
∧,∨,
→，
其次；
最低.
3 对于优先级相同的联结词，按从左到右 的顺序运算.
命题公式的赋值
指派（赋值）：命题公式中出现n个不同的命题变 项P1Pn ，对这n个命题给定一组真值指定称为 这个公式的一个指派或赋值或解释。 若一个公式中出现n个不同的命题变项，每个变项 分别可以取成1、0，那么该公式共有个2n不同的指 派。 成真赋值 成假赋值
设A* ，B*分别是A和B的对偶式， 如果A B，则A* B*。 这就是对偶原理。如果证明了一个等值公式，其对 偶式的等值式同时也成立。可以起到事半功倍的效 果。 例如：A（PQ）（P（PQ）） B PQ 可以证明AB 而A的对偶式为A*（PQ）（P（PQ））
14) 假言易位： AB ┑B ┑A 15) 等价否定等值式： A↔B ¬ A ¬ B 16) 归缪论: (AB) ∧( A ¬ B) ┑A
例2 用等值演算法验证等值式
教材p10—12 例1.9，1.10，1.11
1.4 联结词全功能集
n元真值函数 称F:{0,1}n{0,1}为n元真值函数. 至多可以定义多少个二元联结词？ 排斥或联结词 与非联结词 或非联结词


全功能集
一个联结词集合，若对于任何一个公式均可以用该 集合中的联结词来等值比较，就称他为全功能联 结词组（功能完备集）
如:{ ¬ ，∧，∨
}
极小的全功能集
如果一个联结词的功能完备集中不含冗余的联结词， 就不再具备这种特性，就称为极小全功能联结词组 （极小的功能完备集） 如：{ ┓, }


q→p
1.2 命题公式及其赋值
命题常项(命题常元)：真值惟一确定的命题. 记为：p,q,… 命题变项(命题变元)：真值可以变化的陈述句. 记为:p,q,… 如 p: 海子是诗人.
q 命题变元
命题常元
命题公式 将命题常项和命题变项，用逻辑联结 词和圆括号按照一定的逻辑关系连接起来的符号 串称为合式公式，简称公式。 命题公式的递归定义如下：
同类关联词语：q是p的必要条件，只有…才，只要…就， 除非…才，
练习： 1） 如果它是鸟，就能飞。 2) 只有是鸟，它才能飞。 3) 除非它是鸟，否则它就不能飞。
4) 除非明天不下雨，否则我就不去香山. 5) 我不玩游戏，除非我情绪不稳定.
5 等价 符号：↔，p ↔ q读作“p等价于q”，“ p当且仅 当q”，“p是q的充要条件”。 p ↔ q的真值表为 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↔q 1 0 0 1
{, } {, }
{ }
{ }
ห้องสมุดไป่ตู้
1.5 对偶式与范式
一 对偶式
1 定义 在仅含有联结词 , ，，的命令题公式A中， 将换成，将换成，同时T和F（既0和1）互相 替代，所得公式A*称为A的对偶式。显然A与A*互 为对偶式。
例1 试写出下列命题公式的对偶式 A：（pq） r， 则A*为（pq） r A：（pq）（p（qs）） 则A*为（pq）（p（qs））
例1 判定下列两公式是否等值？
1) p 与 ┑( ┑P)
2) (p q) r 与 p (q r)
常见的等值式
1)双重否定律 ： ┑( ┑A)A
2) 幂等律: A ∨A A, 3) 交换律: A∨B B∨A, A∧AA
4) 结合律: (A∨B)∨CA∨(B∨C)，
5) 分配律： A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) A ∧(B∨C) (A ∧ B)∨(A ∧ C) 6)德.摩根律: ┑(A ∨ B) ┑A∧┑B, ┑(A ∧ B) ┑A∨┑B
q 0 p∨q 0
p ∨ q 真值表
0
1 1
1
0 1
1
1 1
同类关联词语有：要么…要么， 注：“或”分为“相容或”和 “排斥或”两种.
4 蕴含 符号： ， p q 读作“p蕴含q”，“如果P则q”， “当p，则q”，“p是q的充分条件”。 P Q的真值表 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 1 1 0 1
假命题 真命题 不是命题 不是命题 命题 不是命题 不是命题
(4) 请把头抬起来！
(5) 火星上有生物。 (6) 我可以请假吗？ (7) 这句话是错的。
复合命题
原子命题(原子命题)：不能分解成更简单的命题 的命题。 复合命题：由若干个原子命题用命题联结词、 标点符号联结起来的命题。 命题标识符：用字母p、q、r、s、p1、…来表示 命题，这些字母称为命题标识符。
求主析取范式方法 ：
1、真值表法 ；
2、等值演算法 ；
6 主合取范式
极大项 公式中共有n个命题变项P1，……，Pn这n 个变项的简单析取式中，每个变项Pi或其否定 Pi， 必出现且两者仅出现一个，并且按命题变项的下 标排列（字母按字典序列）这样的简单析取式称 为极大项。 主合取范式 若干个不同的极大项的合取式，称为主 合取范式 定理5：任何一个命题公式均存在一个与之等值的 主合取范式，而且是唯一的。
范式：析取范式和合取范式统称为范式。
范式的性质 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合 取式都是矛盾式。
一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析 取式都是重言式。
4 范式存在定理：
任意一个命题公式均存在一个与之等值的析取范 式和合取范式 求范式的一般步骤： 1、消去联结词： 和
学习要求：
1. 上课时关闭手机或作静音处理，并且 不能打电话。 2. 必须独立完成作业。 3. 教师补充内容和例题需做笔记
联系方式:
Email: lihongjun_2002@163.com Tel: 62338357 基础楼：204
知识结构图
离散数学
数理逻辑
集合论
代数结构
图
论
第一章 命题逻辑
命题符号化练习
1 晓红和元元是朋友 p:晓红和元元是朋友.（简单命题）
2 老王或小李中有一人去上海 p:老王去上海，q:小李去上海 ┑q) (┑ p q) (p

3 除非天下大雨，否则她不在室内运动 p:天下大雨 q:她在室内运动 ┑p→┑q q→p 或者 4 不经一事，不长一智 ┑p→┑q 或者 p:经一事 q:长一智

1. 否定 符号：┑ P是命题， ┑ P读作“非P”。 P真值表为
P ┑P
1
0
0
1
2 合取 符号：∧， p∧q 读作“p且q”，“p合取q”。
P ∧ Q的真值表 P 0 Q 0 P∧Q 0
0
1 1
1
0 1
0
0 1
同类关联词语有：既…又…，不但…而且；虽然…但是，
3 析取 符号：∨
p 0
p ∨ q 读作“p或q”，“p析取q”。
7) 吸收律 : 8) 零律 :
A ∧(A ∨ B) A, A∨(A∧B) A A ∨ 1 1 , A ∧00 A ∧1 A
9) 同一律： A ∨ 0 A, 10) 排中律： A ∨ ┑A 1 11) 否定律： A ∧ ┑A 0
12) 蕴含等值式：AB ¬ A∨B
13) 等价等值式：A↔B (AB)∧(BA)
m m 1 m (r m )
1 1 1 1 3
(m r ) (m m )
000
3
1
1
1
3
z 1 z 0从而m 1
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
对偶原理2
B的对偶式为B* PQ
根据对偶原理，则A* B*也成立。
二 范式
1 文字:命题变项及其否定统称作文字。 2 简单析取式 仅由有限个文字的析取构成的析 取式称为简单析取式。
简单合取式 仅由有限个文字的合取构成的合 取式称为简单合取式。
注：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
例：指出下列式子哪些是简单析取式哪 些是简单合取式？
1.3 等值演算
1 等值定义 给定两公式A、B，若公式AB是重言式，则称 A与B等值，记为AB. 说明： 等值与等价不是一回事。等价是命题联结 词，是公式，在某些指派下为真，某些指派下 为假；等值不是逻辑联结词，而是公式关系符， A B描述了A ，B两公式之间的关系， 只有 “成立”，“不成立”的区别。 简单判定: A B 充要条件是 A与B的真值表相同.
离 散 数 学
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1)、P P 2)、p Q 3. P Q R 4. P (Q R) 5. P Q R S 简单析取式 简单合取式 简单合取式 都不是 简单合取式 都不是
6. P Q R
3 范式的概念
析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的析取 式称为析取范式。 合取范式：由有限个简单析取式的合取构成的合取 式称为合取范式。