直线与抛物线的位置关系

故二者相切，而非相交． 答案：(1)× (2)√ (3)×
2．过(1，1)作直线与抛物线 y2＝x 只有一个公共点，这 样的直线有( A．4 条 ) B．3 条 C．2 条 D．1 条
解析：由于点(1，1)在抛物线 y2＝x 上，所以过点(1， 1)作与抛物线只有一个交点的直线，可作 2 条，一条是与抛 物线对称轴平行的直线，另一条是与抛物线相切的直线． 答案：C
1 只有一个公共点4，1，此时直线
l
①当Δ＞0， 即 k＜1 且 k≠0 时， l 与 C 有两个公共点， 此时直线 l 与 C 相交； ②当Δ＝0，即 k＝1 时，l 与 C 有一个公共点，此时 直线 l 与 C 相切； ③当Δ＜0，即 k＞1 时，l 与 C 没有公共点，此时直 线 l 与 C 相离．
[变式训练] 已知直线 l 过点
3p A－ 2 ，p，且与抛物
线 y2 ＝ 2px(p>0) 只有一个公共点，则直线 l 的方程为 ________． 解析：(1)当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时，
3p 由题意设直线 l 方程为 y－p＝kx＋ 2 (k≠0)．
答案：3x－y－11＝0
y1－y2
1．求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物 线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线动点的 规律，一般用定义法． 2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切 的必要不充分条件．
3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过 焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多 涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法 是将直线与抛物线联立， 转化为关于 x 或 y 的一元二次方 程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其 是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．
类型 1 直线与抛物线的位置关系(自主研析) [典例 1] 已知直线 l：y＝kx＋1，抛物线 C：y2＝4x， 当 k 为何值时，l 与 C 有一个公共点、两个公共点、没有 公共点？ y＝kx＋1， [自主解答] 将 l 和 C 的方程联立得 2 y ＝4x，
消去 y，得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 1 当 k＝0 时，方程(*)只有一个解，为 x＝ ，此时 y＝ 4 1. 所以直线 l 与 C 平行于 x 轴． 当 k≠0 时，方程(*)是一个一元二次方程，
[ 变式训练 ] 若将上例中的抛物线方程改为“y2 ＝ 6x”，则弦 AB 所在直线方程是________． 弦两端点 A(x1， y)， 设直线上任意一点坐标为(x， 解析： y1)，B(x2，y2)． 因为 A，B 在抛物线上，
2 y ， x 6 ＝ 所以 y2 2 ＝ 6x 2 . 1 1
两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)． 因为 y1＋y2＝2， 6 所以 k＝ ＝ ＝3， x1－x2 y1＋y2 所以直线的方程为 y－1＝3(x－4)， 即 3x－y－11＝0.
[变式训练] 顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被 直线 x－2y－1＝0 截得的弦长为 15，求抛物线方程． 解：设抛物线方程为：x2＝ay(a≠0)，
2 x ＝ay， 由方程组 x－2y－1＝0.
消去 y 得：2x2－ax＋a＝0，因直线与抛物线有两个 交点，
所以Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即 a＜0 或 a＞8. 设两交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， a a 则 x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 2 2 1 y1－y2＝ (x1－x2)， 2 弦长为|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2＝
2．弦长公式 设直线 l 的方程为：y＝kx＋m，抛物线的方程为 y2 ＝2px(p＞0)，直线与抛物线相交，两个交点为 P1，P2， 将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 x(或 y)的一元 二次方程形式： ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( 或 ay2 ＋ by ＋ c ＝ 0) ．设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则弦长|P1P2|＝ 1 1＋ 2|y1－y2|. k 1＋k2|x1－x2|或
当Δ＝0 时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0 时，直线与抛物线相离，无交点． (2)若 k＝0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线 平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相 切的必要不充分条件．
设直线 l：x＝m，抛物线 y2＝2px(p＞0)． 当 m＜0 时，直线与抛物线相离，无交点； 当 m＝0 时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当 m＞0 时，直线与抛物线相交，有两个交点． 2．研究直线与抛物线的位置关系，要注意直线的斜 率是否存在，直线过焦点时，要注意焦点弦公式的利用．
将直线 l 的方程与 y2＝2px 联立，消去 x 得 ky2－2py ＋(2＋3k)p2＝0. 1 由 Δ＝0 得，k＝ 或 k＝－1. 3 所以直线 l 的方程为 2x－6y＋9p＝0，或 2x＋2y＋p ＝0.
当直线 l 与 x 轴平行时，直线 l 与抛物线只有一个交 点，此时，y＝p，故满足条件的直线共有三条，其方程为： 2x－6y＋9p＝0，或 2x＋2y＋p＝0，或 y＝p. 答案：2x－6y＋9p＝0，或 2x＋2y＋p＝0，或 y＝p.
2.3 直线与抛物线的位置关系
[学习目标] 1.明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线 的位置关系的判定方法(重点)． 2.会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位 置关系、弦长及弦中点等问题(难点)．
1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的位置关系有相离、相切、相交．
(2)直线与抛物线的对称轴平行时， 直线与抛物线有 1 个交点． 温馨提示 直线与抛物线只有一个公共点时， 不只直线与抛物线 相切的情况，还有直线与抛物线的对称轴平行的情况，是 相交而非相切．
1 所以判别式 Δ＝(－1) －4a＝0，所以 a＝ . 4
2
答案：B
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4. 抛物线顶点在坐标原点，以 y 轴为对称轴，过焦 点且与 y 轴垂直的弦长为 16，则抛物线方程为________． 解析：因为过焦点且与对称轴 y 轴垂直的弦长等于 p 的 2 倍， 所以所求抛物线方程为 x2＝±16y. 答案：x2＝±16y
法二：设弦 AB 所在直线的方程为 y＝k(x－4)＋1.
2 y ＝8x， 联立 y＝k（x－4）＋1，
消去 x，得 ky2－8y－32k＋8＝0， 此方程的两根就是弦 AB 端点 A，B 两点的纵坐标， 8 由根与系数的关系得 y1＋y2＝ . k
又 y1＋y2＝2，所以 k＝4. 所以弦 AB 所在直线的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0.
归纳升华 1．已知曲线和弦的中点，求弦所在直线的方程的基 本思想就是求出斜率 k. 2．先设出端点坐标，但又不求出端点坐标，代入曲 线方程，然后作差，采用消元法求出斜率 k 的方法常称作 “点差法”，特别是对“中点弦”问题非常有效．
3． 圆锥曲线中的中点弦问题， 通常设交点， 运用“点 差法”求解．
b2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝1－b，x1x2＝ . 4 所以|x1－x2|＝ （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1－2b. 所以|AB|＝ 1＋22|x1－x2|＝ 5· 1－2b＝3 5， 1 所以 1－2b＝9，解得 b＝－4＜ ，所以 b 的值为－4. 2
归纳升华 1．直线与抛物线相交和椭圆、双曲线方法上类似， 常用韦达定理和用设而不求的解题方法． 2．涉及弦长时，常用韦达定理来表示弦长或借助弦 长公式求其他量．
类型 2 直线被抛物线所截的弦长问题 [典例 2] 设直线 y＝2x＋b 与抛物线 y2＝4x 交于 A， B 两点，已知弦 AB 的长为 3 5，求 b 的值． y＝2x＋b， 解：由 2 消去 y，得 4x2＋4(b－1)x＋b2＝ y ＝4x， 0. 1 由Δ＞0，得 b＜ . 2
3．抛物线 y＝ax2＋1 与直线 y＝x 相切，则 a 等于 ( ) 1 1 1 A. B. C. D．1 8 4 2
2 y ＝ ax ＋1， 解析：由 消去 y，得 ax2－x＋1＝0. y＝x，
因为直线 y＝x 与抛物线 y＝ax2＋1 相切， 所以方程 ax2－x＋1＝0 有两相等实根．
综上所述，当 k＝1 或 k＝0 时，直线 l 与 C 有一个共 点． 当 k＜1 且 k≠0 时，直线 l 与 C 有两个公共点； 当 k＞1 时，直线 l 与 C 没有公共点．
归纳升华 1．设直线 l：y＝kx＋m，抛物线 y2＝2px(p＞0)，将 直线方程与抛物线方程联立，整理成关于 x 的方程 k2x2 ＋(2km－2p)x＋m2＝0. (1)若 k≠0， 当Δ＞0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一条直线与抛物线只有一个公共点则二者一定 相切．( )
(2)过点(1， 0)的直线 l 被抛物线 y2＝4x 截得的最短弦 长为 4.( )
(3)直线 x－ 2y＋1＝0 与抛物线 y2＝x 的关系是相 交．( )
解析：(1)错误．直线与抛物线只有一个公共点，除 了相切情况，还有直线与抛物线对称轴平行的情况． (2)正确．(1，0)恰为 y2＝4x 的焦点，过焦点的弦中 通径是最短的，其通径为 4. x－2y＋1＝0， 2 (3)错误．由 2 ⇒y －2y＋1＝0，Δ＝0， y ＝ x
• 直线与抛物线交点个数的判断方法 • 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方 程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0， • ①若a≠0， • 当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； • 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； • 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点． • ②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于 抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有 一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
5 （x1－x2）2＝ 4 1 5（a2－8a）. 4 因为|AB|＝ 15，
5 [（x1＋x2）2－4x1x2]＝ 4
1 所以 5（a2－8a）＝ 15， 4
即 a2－8a－48＝0，解得 a＝－4 或 a＝12. 所以所求抛物线方程为：x2＝－4y 或 x2＝12y.
类型 3 抛物线的中点弦及弦长问题 [典例 3] 过点 Q(4，1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰 被点 Q 所平分，求弦 AB 所在直线的方程． 解：法一：设以点 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为
2 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 y2 ＝ 8 x ， y 1 1 2＝8x2，所以(y1＋
y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
又 y1＋y2＝2，所以 y1－y2＝4(x1－x2)， 即 4＝ ，所以 k＝4. x1－x2 所以弦 AB 所在直线的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. y1－y2