工程力学 第3章 力偶系
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工程力学(静力学与材料力学)第三章力偶系详解
FB
r M2 0 ∑ M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
• 作业3-1,3-4,3-8
考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-4
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在 摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OA⊥OB，α = 30°，且系统平衡。 求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反 力。 解：受力分析
M1
R
F1
M
F2
2
M1 + M2 = rBA×F1 + rBA×F2 = rBA×( F1 + F2 ) = rBA×R = M
如有n个力偶，按上法依次合成, 最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1 +M2 + … +Mn = ∑M I
B
rBA
A
F2
F1
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。 M = M 1+ M 2+ … + M n = ∑M i
性质三
证：
力偶没有合力
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可 找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线 共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与 性质二矛盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等 效而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡 力偶只能与力偶相平衡
§3-4 力偶系的合成
设有两个力偶，由性质一,将 力偶中两力分别移到两力偶作用面 交线上的两点 A 和 B,可得到两个 汇交力系，其合力分别为R 、 R ’ 。
工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
工程力学 第3章 力偶系
M 2 F2 , F2'
M F1'
r1
F F1 F2 F ' F1' F2'
F2' MR F, F '
F2
F1 F
M2
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且
第三章 力偶系
§1 力对点之矩矢 一、 平面力对点之矩（回顾）
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。
BF
dA L
O
力F对O点之矩定义为： Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩 为正，反之为负。
第三章 力偶系
二、力对点之矩矢量 1、空间力矩三个要素：
一、力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三章 力偶系
B d
F’
F A
M
B
F
rBA
F’ d A
1. 定义：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力 称为力偶，用符号 ( F , F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离 d 称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MO z
O xr
工程力学(第三章)
MR
y
MR Mz cos MR
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
即：力偶系平衡
一、平面力偶系的平衡条件
M R M（代数和） i
M 0
平面力偶系的平衡方程
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
力对点之矩矢
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。
（代数量） 一、平面中力对点之矩（力矩）
F
O
h
定义：M O
F Fh
正负号规定： 力使物体绕矩心逆转为正，顺转为负。
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。 1、平面问题
（代数量） 力矩作用面
矩心 O h
力臂
定义： M O F Fh
A
O x
y
Fx
z
y
Fy
x
A x, y, z ,
F Fx , Fy , Fz
（一）、力对点的矩
1、平面问题
MO
F Fh
MO F
O
h
z
F
F
2、空间问题
MO F r F
x
（二）、力对轴的矩
空间： 力偶对空间任一点的矩矢恒等于力偶矩矢， 而与矩心位置无关。
性质二 力偶可在其作用面内任意移转，或移到另
一平行平面，而不改变对刚体的作用效应。
= =
F
F
F
F
工程力学 04力偶系.ppt
Theoretical Mechanics
§3-1、力对点之矩矢
（3）力对点之矩矢的基本性质 作用于刚体上的二力对刚体产生的绕一点的转动效应， 可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别 对该点之矩矢的矢量和。
即 MO =MO (F1 )+MO (F2 )
推广：力系（F1，F2，- - -，Fn）对刚体产生的绕一点的
（2）力F与z轴相交
2019年11月10日星期日
理论力学
Theoretical Mechanics
§3-2、力对轴之矩
5.力对任意l 轴（方向l°）之矩
Ml (F) MA(F)l
A为l 轴上任意一点
z
F
M A(F)
r l轴
y
对任意l 轴之矩的几何意义
A
l x
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力
§3-1、力对点之矩矢
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
一.平面力系中力对点之矩（代数量）
简称力矩
1.现象
2.定义 M0 F F d
F
o 力矩中心
d 力臂
力矩作用面
两个要素：
大小：力F与力臂的乘积 方向：转动方向
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同理：
Mx（F）= Fz y Fy z
My（F ) = Fx z Fz x
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§3-2、力对轴之矩 空间力对点的矩与空间力对轴的矩的关系（力矩关系定理）:
Mo (F )x yFz zFy M x (F )
§3-1、力对点之矩矢
（3）力对点之矩矢的基本性质 作用于刚体上的二力对刚体产生的绕一点的转动效应， 可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢等于二力分别 对该点之矩矢的矢量和。
即 MO =MO (F1 )+MO (F2 )
推广：力系（F1，F2，- - -，Fn）对刚体产生的绕一点的
（2）力F与z轴相交
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§3-2、力对轴之矩
5.力对任意l 轴（方向l°）之矩
Ml (F) MA(F)l
A为l 轴上任意一点
z
F
M A(F)
r l轴
y
对任意l 轴之矩的几何意义
A
l x
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力
§3-1、力对点之矩矢
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
一.平面力系中力对点之矩（代数量）
简称力矩
1.现象
2.定义 M0 F F d
F
o 力矩中心
d 力臂
力矩作用面
两个要素：
大小：力F与力臂的乘积 方向：转动方向
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同理：
Mx（F）= Fz y Fy z
My（F ) = Fx z Fz x
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§3-2、力对轴之矩 空间力对点的矩与空间力对轴的矩的关系（力矩关系定理）:
Mo (F )x yFz zFy M x (F )
工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第3章 力偶系
6
力偶的等效条件
作用于刚体上的两个力偶等效的条件是力偶矩矢相等， 即两个力偶矩矢相等的力偶等效。
力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效,也不能与一个力平衡。 性质二 力偶可在其作用面或平行平面内任意移动,而 不改变力偶对刚体的作用效应。
性质三 只要力偶矩矢的大小与方向不变,即使改变力 与力偶臂的大小，均不改变力偶对刚体的作用效应。
工程力学（静力学与材料力学）
4
§2 力偶矩矢与力偶的性质
力偶
力偶-等值、反向、作用线平行的力F与F’组成的力系, 并用（F,F’）表示。
力偶作用面-两力作用线所在平面
力偶臂-两力作用线间垂直距离d
力偶系-作用于刚体上的一组力偶
平面力偶系-各力偶作用面的方位 相同的力偶系
空间力偶系-各力偶作用面的方位
工程力学（静力学与材料力学）
7
§3 力偶系的合成与平衡条件
力偶系的合成
刚体上两个力偶,力偶矩矢 M1与M2，转换至A与B点,得
M1rF1 M2 rF2
F F1F2 形成M
M rF r(F1F2) rF1rF2
M M1M2 MR
n
MR Mi
i1
空间力偶系可合成为一合力偶，其力偶矩矢等于
系内各分力偶矩矢的矢量和 。
MO (F )Fd
MO (F ) 2ABO
平面力对点之矩是代数量，使刚体绕矩心沿逆时针
方向转动者为正，反之为负。
工程力学（静力学与材料力学）
2
力对点之矩矢
空间力系各力，使刚体绕同一点转动的转轴方位不 同, 力对点之矩应该用矢量表示，即力对点之矩矢。
MO (F ) r F
r-A点对于O点的矢径 rF Frsin Fd
工程力学：第三章 空间问题的受力分析
。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
工程力学第三章 力 偶 系
§3-5 力偶系的合成 对于任意一个力偶系，可以将力偶矩矢移到一个汇交点， 再按照矢量合成的方法将矢量合成为一个合矢量，这个合矢 量就是力偶系的合力偶。而且有：
MR = M1+ M2+ + Mn = ∑M
对于平面力偶系，力偶只有顺时针和逆时针两种转向，所 以力偶可以看成代数量规定:逆时针为正、顺时会为负。 所以平面力偶系的合力偶
MR = M1+ M2+ …+ Mn = ∑M
§3-6 力偶系的平衡条件 对于任意一个力偶系，它的平衡条件是合力偶矩矢为零。
即：MR = ∑M = 0
M1x+ M2x+ + Mnx = ∑Mx = 0 M1y+ M2y+ + Mny = ∑My = 0 M1z+ M2z+ + MnZ = ∑Mz = 0
二、空间中力对点之矩 M0（F）= r × F
§3-2力对轴之矩 一、力对轴之矩的概念
1、定义：对力使它所作用的物体绕轴转动效果的度量。 它是一个代数量。
2、特例：力与轴平行： MZ（F）=0 力与轴相交： MZ（F）=0
力与轴在同一平面内时力对轴之矩为零。 3、合力矩定理：合力对任一轴之矩等于各分力对同一 轴之矩的代数和。
§3-4 力偶的等效条件和性质 一、力偶的等效条件（41页） 两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。 二、力偶的性质 1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。 2、力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平 面，而不改变对刚体的作用效果。
=
=
=
3、在保持力偶的转向和力偶矩的大小不变的条件下， 可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变 力偶对刚体的作用。
工程力学第3章(力偶系)
工程力学
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
Engineering Mechanics
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第三章 力偶系 §3-1 力对点之矩矢
力偶臂d 力偶臂 1=200mm， ，
，力偶臂d ， F2 = F2' = 120N，力偶臂 2=300mm ， F3 = F3' = 80 N，
M 1 = 100 × 0.2 = 20
N.m N.m
M 2 = 120 × 0.3 = 36
M 3 = 80 × 0.18 = 14.4 N.m
M Rx M Ry = ∑ M y = M 1 = 20 N.m
二、力对轴之矩的 解析表达式
M x ( F ) = M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = -zFy + yFz M y ( F ) = M y ( Fz ) + M y ( Fx ) = -xFz + zFx M z ( F ) = M z ( Fx ) + M z ( Fy ) = -yFx + xFy
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
M R = M1 + M 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + M n = ∑ M
合力偶矩矢的大小 M R = ( ∑ M x ) 2 + ( ∑ M y )2 + ( ∑ M z )2 合力偶矩矢的方向
R
∑M cos( M ，i ) =
cos( M R，j ) = MR
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
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力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.
性质3：平面力偶等效定理 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体 的作用效果不变。
=
=
=
=
=
=
=
只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度.力偶的 臂和力的大小都不是力偶的特征量。今后常用 如图所示的符号表示力偶。M为力偶的矩。
与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正， 反之为负。常用单位N·m或kN·m
二、力矩与合力矩的解析表达式
1. 力对点之矩矢的概念
r F r * F * | sin( r , F ) |
如: i j i * j * | sin( i , j ) |
1*1*sin 90 1
同平面的两个力偶,只要它们的力偶矩大小相等,转 动方向相同,则两力偶必等效.
两个推论： ①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作 用效应。
②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力 的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
3.5 (平面)力偶系的合成
作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系.
FR F1 F2 Fn
r
即
FR
r
MO
FFR1r FM2OFi r
Fn
平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于 所有各分力对于该点之矩的代数和。
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo (Q )
解：①用力对点的矩法
第三章 力偶系
静力学基本物理量：力与力偶 力偶的定义
作用于刚体上大小相等、方向相反且不共 线的两个力组合而成的力系-力偶 力偶臂 两力作用线之间的距离d 力偶系
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
为了描述力对刚体运动的转动效应，需引入力对点的矩 (简称为力矩)的概念。
设有两个力偶
=
=
M1 F1 d1 ,
M1 F11 d , FR F11 F22 ,
M2 F2 d2 M2 F22 d FR F11 F22
这样得到新的力偶 (FR , FR )，则
M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2
已知：M1, M2 , Mn;
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
M F d
Байду номын сангаас
MO1 F, F MO1 F MO1 F
F d x1 F x1 Fd
力矩的符号 M F 力偶矩的符号 M O
MO2
F
,
F
F
d
x2
F
x2
F 'd Fd
三个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 c.作用面
已知：力 ,力 在三根轴上的分力 ， ，
，力 作用点的坐标 x, y, z， 求：力F对 x,
y, z轴的矩。
比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式： 即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。
3.4 力偶矩矢和力偶的等效
1.力偶
力系由称两为个力等偶值，、记反作向、F不 ,共F线 的（平行）力组成的
M O FR
xi Fiy yi Fix ..
3、力对点之矩矢的基本性质
作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转 动效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩 矢等于二力分别对该点之矩矢的矢量和。
MO FR MO Fi
M O FR
xi Fiy yi Fix ..
解得
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
例 题 3- 3
两力偶作用在板上，尺寸如图。已知 F1=F2=1.5 kN , F3=F4=1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
解：由式 M = M1 + M2
则
M = – F1 ·0.18 m–F3 ·0.08m = – 350 N·m
负号表明转向为顺时针。
n
M Mi Mi
i 1
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零.
例3-2
已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm;
求： 光滑螺柱AB所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
FAl M1 M2 M3 0
任选一段距离d
M1 F1d
M2 F2d
Mn Fnd
=
=
F F F F F F F F
R
1
2
n
R
1
2
n
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
结论：
M
m1
m2
mn
n
mi
i1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
解: 各力偶的合力偶距为
M m1 m2 m3 m4 4(15) 60 Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N
B
60 0.2
300N
N A NB 300 N
思考题 3- 1
一力偶 (F1 , F1)作用在Oxy 平面内，另一力偶 (F2 , F2) 作用在Oyz 平面内，它们的力偶矩大小相等
(如图)。试问此两力偶是否等效，为什么？
思考题 3- 2
如 图所示，在物体上作用有两力偶 (F1 , F1)和 (F2 , F2) 其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什 么？
思考题 3- 3 支持，图在示力圆偶盘M由O和点力处F的的轴作承 用 偶下被处力于F平所衡平。衡能？不为能什说么力？
矢量叉积的结果是一矢量,方向垂直于两矢 量所在的截面,指向由右手螺旋法则确定.大小 为两矢量形成面积的2倍.
M0 F
F
r
2、力矩与合力矩的解析表达式
M O F M O Fy M O Fx
x F sin y F cos
Fy
Fx
x Fy y Fx
MO FR MO Fi
3.1 平面力对点之矩的概念
一、平面力对点之矩（力矩） 力F与点O位于同一平面内，
点O称为矩心，点O到力的作用 线的垂直距离h称为力臂。定义
M0 F F h
两个要素：
1.大小：力F与力臂的乘积
2.方向：转动方向
3.
MO(F )
=2⊿AOB=F•d
,2倍⊿形面积。M 0
F
r
F
平面上力对点之矩 是一个代数量，它的绝对值等于力的大小
力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
2
力偶与力偶矩的性质
性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
力偶不 能合成为一 个力，也不 能用一个力 来平衡。力 和力偶是静 力学的两个 基本要素。
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩， 而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。
如有平面力系(F1, F2, F3, …Fn)作用在刚体上使其绕平面上 任一点O转动，其转动效应可用一代数量Mo度量，且Mo
等于各力对O点之距的代数和，即
Mo = Mo(F1) + Mo(F2) + Mo(F3) + … +Mo(Fn)
4、汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
30
作业:3-5,3-8
谢谢关注!
例题47页3-5,四连杆机构在图示位置平衡, 30o, 90试o
求平衡时 M1 / M2 的值.
3B0o , 90o
30o ,A 90o M1
解: AB是二力杆
M2
FAB
O1A杆力偶系平衡
M1=FAB*6a*sin
FAB
M1
O2B杆力偶系平衡
M2=FAB*8a
M2
联立 M1 / M2 =3/8
例 题 3- 4
长为 l=4 m的简支梁的两端A、B 处
作用有两个力偶，大小各为M1 =16 N·m，
M2 = 4 N·m，转向如图。试求A、B支座的约束力。
解：作AB梁的受力图。AB梁上作用有两个力
偶组成的平面力偶系，在 A、 B 处的约束力也必须组
成一个同平面的力偶 (FA , FB )才能与之平衡。
mO
(F
)
F
d
F
l sin
mo (Q ) Ql ②应用合力矩定理
mO(F )Fx lFy lctg
mo (Q ) Ql
3-2 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念 Mz(F) = MA(F2) 对Oz轴的力矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩 为零。
二、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
DB=2r， =30°，不计各
杆自重，试求M1和M2 之 间的关系。
分别画出受力图。OA=r，OB=2r写出杆OA和DB的 平衡方程：
∑M = 0 对OA：
M1 FABrcos 0
对OB：
M2 2FBArcos 0
因为 FAB FBA 所以求得 M2 2M1
例3-6 ：在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直 径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
性质3：平面力偶等效定理 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体 的作用效果不变。
=
=
=
=
=
=
=
只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度.力偶的 臂和力的大小都不是力偶的特征量。今后常用 如图所示的符号表示力偶。M为力偶的矩。
与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正， 反之为负。常用单位N·m或kN·m
二、力矩与合力矩的解析表达式
1. 力对点之矩矢的概念
r F r * F * | sin( r , F ) |
如: i j i * j * | sin( i , j ) |
1*1*sin 90 1
同平面的两个力偶,只要它们的力偶矩大小相等,转 动方向相同,则两力偶必等效.
两个推论： ①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作 用效应。
②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力 的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
3.5 (平面)力偶系的合成
作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系.
FR F1 F2 Fn
r
即
FR
r
MO
FFR1r FM2OFi r
Fn
平面汇交力系
M0 FR M0 Fi
平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于 所有各分力对于该点之矩的代数和。
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo (Q )
解：①用力对点的矩法
第三章 力偶系
静力学基本物理量：力与力偶 力偶的定义
作用于刚体上大小相等、方向相反且不共 线的两个力组合而成的力系-力偶 力偶臂 两力作用线之间的距离d 力偶系
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
为了描述力对刚体运动的转动效应，需引入力对点的矩 (简称为力矩)的概念。
设有两个力偶
=
=
M1 F1 d1 ,
M1 F11 d , FR F11 F22 ,
M2 F2 d2 M2 F22 d FR F11 F22
这样得到新的力偶 (FR , FR )，则
M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2
已知：M1, M2 , Mn;
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
M F d
Байду номын сангаас
MO1 F, F MO1 F MO1 F
F d x1 F x1 Fd
力矩的符号 M F 力偶矩的符号 M O
MO2
F
,
F
F
d
x2
F
x2
F 'd Fd
三个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 c.作用面
已知：力 ,力 在三根轴上的分力 ， ，
，力 作用点的坐标 x, y, z， 求：力F对 x,
y, z轴的矩。
比较力对点之矩和力对轴之矩，可得如下关系式： 即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。
3.4 力偶矩矢和力偶的等效
1.力偶
力系由称两为个力等偶值，、记反作向、F不 ,共F线 的（平行）力组成的
M O FR
xi Fiy yi Fix ..
3、力对点之矩矢的基本性质
作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转 动效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩 矢等于二力分别对该点之矩矢的矢量和。
MO FR MO Fi
M O FR
xi Fiy yi Fix ..
解得
FA
FB
M1 M2 l
M3
200N
例 题 3- 3
两力偶作用在板上，尺寸如图。已知 F1=F2=1.5 kN , F3=F4=1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。
解：由式 M = M1 + M2
则
M = – F1 ·0.18 m–F3 ·0.08m = – 350 N·m
负号表明转向为顺时针。
n
M Mi Mi
i 1
Mi 0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零.
例3-2
已知：M1 M 2 10N m, M3 20N m, l 200mm;
求： 光滑螺柱AB所受水平力.
解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
M 0
FAl M1 M2 M3 0
任选一段距离d
M1 F1d
M2 F2d
Mn Fnd
=
=
F F F F F F F F
R
1
2
n
R
1
2
n
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M2 Mn
结论：
M
m1
m2
mn
n
mi
i1
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
解: 各力偶的合力偶距为
M m1 m2 m3 m4 4(15) 60 Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N
B
60 0.2
300N
N A NB 300 N
思考题 3- 1
一力偶 (F1 , F1)作用在Oxy 平面内，另一力偶 (F2 , F2) 作用在Oyz 平面内，它们的力偶矩大小相等
(如图)。试问此两力偶是否等效，为什么？
思考题 3- 2
如 图所示，在物体上作用有两力偶 (F1 , F1)和 (F2 , F2) 其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什 么？
思考题 3- 3 支持，图在示力圆偶盘M由O和点力处F的的轴作承 用 偶下被处力于F平所衡平。衡能？不为能什说么力？
矢量叉积的结果是一矢量,方向垂直于两矢 量所在的截面,指向由右手螺旋法则确定.大小 为两矢量形成面积的2倍.
M0 F
F
r
2、力矩与合力矩的解析表达式
M O F M O Fy M O Fx
x F sin y F cos
Fy
Fx
x Fy y Fx
MO FR MO Fi
3.1 平面力对点之矩的概念
一、平面力对点之矩（力矩） 力F与点O位于同一平面内，
点O称为矩心，点O到力的作用 线的垂直距离h称为力臂。定义
M0 F F h
两个要素：
1.大小：力F与力臂的乘积
2.方向：转动方向
3.
MO(F )
=2⊿AOB=F•d
,2倍⊿形面积。M 0
F
r
F
平面上力对点之矩 是一个代数量，它的绝对值等于力的大小
力偶矩 M F d 2 1 F d 2ABC
2
力偶与力偶矩的性质
性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
力偶不 能合成为一 个力，也不 能用一个力 来平衡。力 和力偶是静 力学的两个 基本要素。
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩， 而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。
如有平面力系(F1, F2, F3, …Fn)作用在刚体上使其绕平面上 任一点O转动，其转动效应可用一代数量Mo度量，且Mo
等于各力对O点之距的代数和，即
Mo = Mo(F1) + Mo(F2) + Mo(F3) + … +Mo(Fn)
4、汇交力系的合力矩定理
FR Fi F1 F2 Fn
30
作业:3-5,3-8
谢谢关注!
例题47页3-5,四连杆机构在图示位置平衡, 30o, 90试o
求平衡时 M1 / M2 的值.
3B0o , 90o
30o ,A 90o M1
解: AB是二力杆
M2
FAB
O1A杆力偶系平衡
M1=FAB*6a*sin
FAB
M1
O2B杆力偶系平衡
M2=FAB*8a
M2
联立 M1 / M2 =3/8
例 题 3- 4
长为 l=4 m的简支梁的两端A、B 处
作用有两个力偶，大小各为M1 =16 N·m，
M2 = 4 N·m，转向如图。试求A、B支座的约束力。
解：作AB梁的受力图。AB梁上作用有两个力
偶组成的平面力偶系，在 A、 B 处的约束力也必须组
成一个同平面的力偶 (FA , FB )才能与之平衡。
mO
(F
)
F
d
F
l sin
mo (Q ) Ql ②应用合力矩定理
mO(F )Fx lFy lctg
mo (Q ) Ql
3-2 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念 Mz(F) = MA(F2) 对Oz轴的力矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩 为零。
二、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
DB=2r， =30°，不计各
杆自重，试求M1和M2 之 间的关系。
分别画出受力图。OA=r，OB=2r写出杆OA和DB的 平衡方程：
∑M = 0 对OA：
M1 FABrcos 0
对OB：
M2 2FBArcos 0
因为 FAB FBA 所以求得 M2 2M1
例3-6 ：在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直 径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?