大学高等数学经典课件2-1
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高等数学课件2-1
6. 判断可导性
不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.
思考题
函数 f ( x)在某点x0 处的导数 f ( x0 ) 与导函数 f ( x)有什么区别与联系？
思考题解答
由导数的定义知， f ( x0 ) 是一个具体 的数值， f ( x)是由于 f ( x) 在某区间I 上每 一点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值 f ( x)与之对应，所以两
解 f (0 h) f (0) h ,
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
x 0
x
f( x0 ) 存在,
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0 x) ( x0 )
《大学高等数学经典》PPT课件
记作U
0
(a).
教 案
U 0 (a) {x | 0 x a }
注意：邻域总是开集。
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等 二、映射
数 学
1、概念
电 子
设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f，使得对
教 案
X中每个元素x，按法则 f，在Y中有唯一确定的元素y与
之对应，则称f 为从X到Y的映射. 记作 f ：X→Y .
高
等
数
学
电
子 教
(函 数与 极 限)
案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等
数
第一章 函数与极限
学
电 子
第一节 映射与函数
教 案
一、集合
1、概念 具有某种特定性质的事物的总体;
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
武
汉 科
元素a属于集合M, 记作 aM
技
学 院
元素a不属于集合M, 记作 aM
数
理
科
技
学 院
g[ f (x)] 1 (x2 1) 2 x2 1 x 2
数
理
系
高 等 三、函数 数 学 1、函数概念 电 子 定义1 设数集D R,则称映射 f : D→R为定义在D上的 教 案 函数，记作 y f (x), x D
其中 f 是对应规则，D称为函数的定义域，x 叫做自
数
理
系
高
等
数
2、区间
学
电
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个
子
教 案
实数叫做区间的端点.
a,b R, 且a b.
高等数学2-1
∆x
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即 类似有
(sin x )′ = cos x (cos x )′ = − sin x
正弦余弦 求导公式
例 7 求 f(x) = loga x （a > 0，a ≠1）的导数。 ， ）的导数。 解
log a ( x + ∆ x ) − log a x ∆y f ′( x ) = lim = lim ∆ x→0 ∆ x ∆ x→0 ∆x
单 侧 导 数
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim 0 ∆x→ + ∆x
判断函数在某一点可导的充分必要条件： 判断函数在某一点可导的充分必要条件：
′ ′ 数 函 f (x)在x0 点 导 ⇔ f−(x0) = f+(x0)。 可
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处的可导性。 例 3 讨论函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处的可导性。
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则比值
∆y y − y0 f (x) − f (x0) = = x − x0 ∆x x− x0 就是割线 MN 的斜率 tanϕ 。当∆x → 0(即 x → x0) 即
沿曲线C 趋于点M 时，N 沿曲线 趋于点 ，从而可以得到切线的 斜率为
f (x) − f (x0) ∆y k = tanα = lim = lim x→x 0 ∆x→ ∆x x − x0
由此可见，前面两个引例说明， 由此可见，前面两个引例说明，曲线 y = f(x) 在点 (x0 , f(x0)) 处切线的斜率就是函数 f(x) 在点 x0 处的导数，即 处的导数，
k = f ′( x 0 )
而直线运动 s = s(t) 在时刻 t0 的瞬时速度就是 的导数， 函数 s(t) 在点 t0 的导数，即
2-1 函数及其表示(共56张PPT)
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【 解 析 】
1 ( ) 设 f(x)＝a x ＋b(a≠0 )，
则 f[f(x)]＝f(a x ＋b)＝a(a x ＋b)＋b ＝a2x＋a b ＋b＝4x＋3 .
2 a ＝4， ∴ ab＋b＝3，
解 得
a＝2， b＝1
－2
解析 －2.
π π π ∵f(4)＝－a n t 4＝－1，∴f(f(4))＝f(－1)＝2×(－1)3＝
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例1 下 列 对 应 是 否 是 从 集 合 数 ？
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1．函数与映射的概念
函数 两集合 A、B
映射
设A、B是两个 非空数集 . 设A、B是两个 非空集合 . 如果按某一个确定的对应 关系f，使对于集合A中的 任意 一个元素x在集合B中 有唯一 的元素y与之对应 称对应 f：A→B 为从集合A 到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射
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1．(课本改编题)判断下列对应是不是从 A 到 B 的 映 射 ？ 是 不是从 A 到 B 的函数？ ①A＝{x|x 是锐角}，B＝{y0 < | y≤1}，f：x→y＝n i s x ②A＝{衡水市，武汉市，郑州市}，B＝{湖北省，河南省， 湖南省，河北省}，f：每一个城市与其所属的省对应 ③A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，f：x→y＝(x－2)2.
高等数学 第二章 极限和导数2-1导数的概念
2. 曲线的切线问题 曲线 点处的切线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 当 时) 割线 M N 的斜率 f ( x ) − f ( x0 ) ta n ϕ = x − x0 切线 MT 的斜率
= lim ta n ϕ = lim
ϕ→ α
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
(1)
存在, 存在 则称函数 f ( x ) 在点 x0 处可导 并称此极限 可导, 处的导数 导数， 值为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记作 在
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x
f ′ ( x 0 ) = lim
∆ x→ 0
也可记作: 也可记作
y′
x = x0
;
处的导数为无穷大 此时，导数不存在； 在点 x0 处的导数为无穷大 . 此时，导数不存在； 2°在 一 点 的 导 数 是 因 变 量在 点 x 处 的 变 化 率 , ° 0
它 反 映 了 因 变 量 随 自 变 量 的 变 化而 变 化 的 快 慢 程 度.
时刻的瞬时速度 运动质点的位置函数 运动质点的位置函数 s = f ( t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度
LLL
二、导数的概念 内 1. 定义 定义2.1 设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0)内
有定义. 有定义
若
x0 + ∆x ∈ U ( x0 )
∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y lim = lim f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x → 0 ∆ x ∆x→ 0 ∆x
dy d f (x) ; d x x = x0 d x x = x0
《高等数学》课件第2章
2.2 函数的求导法则
2.2.1 导数的四则运算法则
引例2-3(物体的运动速度) 已知某物体作直线运动，路 程s(单位m)与时间t(单位s)的函数关系为s=t2－tlnt+5，t∈[1， 5]. 求物体在t=2 s时的速度.
分析: 问题即为求导数 ds . 因为s的表达式较复杂，
dt t=2
所以直接用定义求解很繁琐，是否有便捷的方法呢？可以看 到，s是由t2、t、lnt、5这四个基本初等函数通过加、 减、 乘 法运算组成的，而这四个基本初等函数的导数都有现成的公 式可用，因此若能找到导数的四则运算法则，则问题迎刃 而解.
解 因为y′=3x2，由导数的几何意义可知，曲线y=x3 在 点(1，1)处的切线斜率为
K=y′|x=1=3
y－1=3(x－1)
y=3x－2
y 1 1 (x 1) 3
即
y 1x 4
33
2.1.4 可导与连续的关系
设函数y=f(x)在点x处可导，即 lim y f (x) 存在，由极
x0 x
限的运算法则得
如图2-1所示，设曲线y=f(x)上有定点M0(x0，y0)和动点 M(x+Δx，y+Δy)，作割线M0M. 当动点M沿着曲线趋向于定 点M0时，割线M0M的极限位置M0T就定义为曲线在点M0处的 切线，过M0且与切线垂直的直线叫做曲线在点M0处的法线.
图2-1
割线M0M
tan y
x
其中φ为割线M0M的倾斜角. 当Δx→0时，点M将沿着 曲线无限趋于点M0，上式的极限存在，即
ds [2t ln t 1] 4 ln 2 1 2.3069 dt t=2
即物体在t=2 s时的速度约为2.3069 m/s.
大一高等数学教材2-1
( x ) x 1 .
1
( R )
1 2 1 1 . ( x ) x 2 x 2
( x ) (1) x
1
1 1
1 2. x
例4 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数. 解
a xh a x (a x ) lim h 0 h ah 1 a x lim h 0 h
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
y
y x
o
x
四、导数的几何意义与物理意义
1.几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x ) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率, 即 f ( x0 ) tan , (为倾角) o
1
－1/π
0
1/π
x
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x )的尖点 (不可导点) .
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x
o
x0
x
1 x sin , x 0 例8 讨论函数 f ( x ) , x 0, x0 在x 0处的连续性与可导性 .
lim0 x
( x0 x ) ( x0 )
x
f ( x0 ) 存在,
f ( x0 x ) f ( x0 ) 若 lim0 x x lim0 x
( x0 x ) ( x0 )
x
f ( x0 ) 存在,
且 f ( x0 ) f ( x0 ) a,
高等数学上2_课件1.ppt
FFn1
1, F2 Fn1
1 Fn2
,
n2
写出来为
1，1，2，3，5，8，13，….
例 2.3
bn
Fn Fn1
1, 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , . 2 3 5 8 13 21
bn 是按“大—小—大—小…”依次交错排列的，这
样的数列称振荡数列.显然 bn 是有界的，非单调的.
2
等来代替.
2.1.2 数列极限的概念
●关于数列极限的 N 定义，通过以上几个例子，读 者已有初步认识，再作以下几点注释以便加强.
（2） N 的相应性 一般地， N 随 的变小而变大，
因此有时为强调 N 是依赖 的，也把 N 写作 N ( ) .但这并
不意味 N 是由 唯一确定的.比如对给定的 ，当 N 100 时， n N 便有 xn a 成立，则取 N 101或更大时， n N 时必有 xn a .求 N 的目的在于证实 N 的存在
的项的值随 n 增大而增大，且无限增大. ●若当 n 无限增大时， xn 无限趋向于常数 a ，则说，
当 n 趋于无穷大时，xn 以 a 为极限.
记作
lim
n
xn
a
或
x
a
, (n
)
2.1.2 数列极限的概念
●做定量分析
1n
对例 2.4 中 xn f (n) 1 n
n N 随 n 无限增
大而无限接近 1 的过程做定量分析：
n
它是一个有界的
xn
≤
3
2 振荡数列，图像如图
2.2.
我们会发现，随着 n 的无限增大， xn 以 1 为平衡位置振
荡，而振幅越来越小，并且可以任意的小，即 xn 无限接
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武
汉 科
△y/ △x, 当△x→0时的限存在, 则称函数y=f(x)在点x0处
技
学 院
可导, 或称为f(x)在点x0存在导数, 并称此极限值为函数
数
理 系
y=f(x)在点x0处的导数, 记为 f ' ( x0 ) 即
高
等 数
f (x0 )
lim
x0
y x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
一、引例
学 1.速度的概念
电 子
某一质点沿直线作变速运动,质点所经过的路程S和时间
教 案
t的函数关系为S=f(t), 现在我们研究质点在某一时刻t0的瞬
时速度.取t0到t0+△t这一段时间间隔,在这段时间内，质点
走的路程为 △s=f(t0+ △t)- f(t0) 这一段时间的平均速
度为
武 汉
s f (t0 t) f (t0 )
汉 科
平均变化率的极限, 它反映当自变量变化时,函数变化的
技
学 院
快慢程度，导数大，函数的变化 快；导数小，函数的
数
理 系
变化慢。
高 等
例1 试按定义取函数 y x 的导数。
数 学
解: 一般由定义求导数按下面三个步骤进行;
电 子
(1)求出函数y的增量△y;
教 案
(2)写出增量比△y/ △x;
(3)使△x→0,求增量比的极限.
武 解：(1) y f (x x) f (x) x x x
汉
科
技 学
(2) y x x x
院 数
x
x
理
系
高
等 (3) lim y lim x x x lim x x x
数
x0 x x0xຫໍສະໝຸດ x0 x( x x x )
学 电 子
lim
1
1
x0 x x x 2 x
教 案
理
系 量为q0时的边际成本为
高 等
MC lim C lim C(q0 q) C(q0 )
数
q q0
q0
q
学
由此，我们可以归纳出导数的定义
电
子 二、 导数的定义
教
案 定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义, 点
x0+△x也在该邻域内，当自变量在 x0 处取得增量△x时,
相应地函数获得增量△y=f(x0+△x)-f(x0), 如果增量之比
t
t
科
技 学 院
当△t→0时,对两边取极限,如果极限存在,我们称为时刻 t0的
数 理
瞬时速度,在高等数学中把瞬时速度称为路程对时间的导数。
系
高 等 2 切线问题
数 学
有很多实际问题与曲线的切线有关, 例如有关运动的方
电 向问题, 有关光线的入射角和反射角问题等. 我们知道圆的
子 教
切线可定义为“与圆只有一个交点的直线”，对于更复杂的
学 电
即有 f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
子 教
可见函数在x0处的导数值f’(x0)就是导函数f’(x)在点x=x0的
案 函数值
f (x0 ) f (x) |xx0
有了导数的定义后,可以说变速运动的瞬时速度v 是路
武 程函数 s=f(t)对于时间的导数,即v=ds/dt, 导数的实质是
学
电 子
y
| x x0
,
y(x0
),
dy dx
| x x0
,
df (x) dx
| x x0
教
案 如果上述极限不存在, 就说函数在点x0处不可导, 或说没
有导 数，
如果上述极限为无穷大, 虽然也是极限不存在，但有时说
武
汉 科
函数 f(x) 在点x0的导数为无穷大, 即有广义导数。
技
学 院
相应地, 如果将上述极限过程为△x→0+, 就是单侧导数,
电
M0
M 任取一点M(x,y), 连接这两点的直线称
子 教
为曲线的割线, 此割线的斜率为
案
x0
x
kMM0
y y0 x x0
f (x) f (x0 ) x x0
令M点沿曲线C趋向M0点,这时x→x0,如果极限存在,
武 汉 科
k lim f (x) f (x0 )
技 学
x x0
x x0
院
数 理
都可导(在I的端点上为单侧可导),则称f(x)在区间I上可导。
武 此时，在I上每一个确定的x值，都有函数f(x)的一个确定的
汉
科
技 导数值与它相应, 这样构成的新函数叫做原函数f(x)在区间
学
院
数 理
I上的导函数，有时称为f在 I 上的导数,记作
系
高 等 数
y, y(x), dy , df (x) dx dx
数
理 系
点x0的右导数与左导数,分别为
高
等 数 学
f ( x0
)
lim
x0
y x
lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
电
子
显然, f '(x0) 存在的充分必要条件是 f ' (x0) 都存在, 且
教
案 f ' ( x0 ) f ' ( x0 ) 如果函数y=f(x)在某区间I上的每一点
高
等
数
学
电
子 教
(导数与微分)
案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高
等
数 学
第二章 导 数 与 微 分
电
子
教
我们已经研究了函数即变量之间相互依存关系,
案
现在我们进一步研究当自变量变化时，函数变化的
快慢程度，即变化率问题.这就产生导数和微分的
武
汉 科
概念。
技
学
院
数
理
系
高
第一节 导 数 概 念
等 数
我们把过点M0而以k为斜率的直线称为曲线C在点M0的切线.
系
高 3. 现在我们来研究收益对销售量的变化率---边际收益 等
数
若某商品的总收入(收益)R是销售量q的函数, 即 R=R(q)
学 电 (q>0) ，求当销售量为q0个单位时总收益的变化率？
子 教
若销售量q由q0改变到q0+△q,则总收益R取得相应的改变量
案
R R(q0 q) R(q0 )
于是总收入的平均变化率为 R R(q0 q) R(q0 )
q
q
若极限 MR lim R lim R(q0 q) R(q0 )
武
q q0
q0
q
汉
科 技
存在,则称此极限值为销售量是q0个单位时总收入的变化率.
学
院 数
类似地, 若某产品的总成本C是产量q的函数C(q), 则在产
案 曲线, 我们把曲线的切线定义为“与曲线只有一个交点的直
线”就不合适. 过p点的直线L是曲线C上的切线, 但不符合
上面的 定义. 下面我们给出切线的定义.
武
汉 科
p
L
技
学
L
院
数 理
c
系
高 等
设曲线C 是函数y=f(x)的图形, M0(x0,y0)
数 学
C
是曲线C上的一点 y0=f(x0)，在曲线C上
f (x) ( x ) 1 2x
f (1 ) ( 4
x ) |x1 4
1 2x
|x1 1 4
武 汉
在理解导数的概念和用导数的定义来求导数时，我们通
科
技 学
过上述例子应该明确下面几点.