分式线性变换--很好很强大

§2 分式线性变换一、教学目标或要求：理解分式线性变换的映射性质及应用 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：分式线性变换的映射性质，例题 重点：分式线性变换 难点：应用三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：4-11§2 分式线性变换1、分式线性变换及其分解分式线性变换的概念 称变换dcz baz w ++=(7.3) 为分式线性变换或Möbius 变换，其中的d c b a ,,,为复常数，且0≠-bc ad ．记为 。

规定时，， 时， 。

线性变换将扩充平面一一变换为扩充平面,逆变换 也是线性变换。

线性变换可分解为以下二种类型变换的复合(Ⅰ) 整线性变换 (当时,)(Ⅱ)反演变换 (当时,)(Ⅰ)型变换的几何意义——整线性变换下,原象与象是不改变图形方向的相似变换。

(Ⅱ)型变换的几何意义。

其中具有性质:，并且对称点都在过单位圆心的同一射线上。

把平面上的单位圆周映成平面上的单位圆周,并把单位圆周内(外)部映成单位圆外(内)部。

规定圆心 与为关于单位圆周的对称点。

线性变换的复合仍是线性变换。

几个初等函数的映射性质1.h z w += (h 为常数)的映射性质： (1)是一个平移变换．(2)在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． (3)将圆周映射为圆周．2.kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： (1)是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加．(2)在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． 3.zw 1=的映射性质： (1)该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． (2)在复平面上除0=z 外，处处是保角的．(3)将圆周映射为圆周． 对于z 平面上的圆周（或直线）0)(22=++++D Cy Bx y x A映射zw 1=当0,0≠≠D A 时，将圆周映射为圆周； 当0,0=≠D A 时，将圆周映射为直线； 当0,0≠=D A 时，将直线映射为圆周； 当0,0==D A 时，将直线映射为直线． 分式线性变换的映射性质（7.3）式的“结构”是由平移变换、旋转与伸长（或缩短）变换及反演变换复合而成．1. 线性变换的保形性定义 两曲线在无穷远点处的交角是指它们在反演变换之下的象曲线在原点处的交角。

定理 7.7 线性变换 在扩充复平面上是保形的。

证 由于在扩充复平面是单叶的，故只需证其保角。

对于(Ⅱ)型变换，当，时，，由定理7.4知解析函数在导数不为处保角,当,时，由定义知也是保角的。

对于(Ⅰ)型变换，，,当时是保角的；当时,令,，则 ，即 ，于是 ，，故在处也是保角的。

综上所述，即得。

3. 线性变换的保交比性定义7.4扩充复平面上相异的四个点构成的量称为它们的交比，记为；当四点中有一个为时，包含此点的项用代替，即若，则,也就是先将当作有限的，再令取极限而得。

定理7.8线性变换下，四点的交比不变。

证记，则，故若中有一个为，则类似可证。

定理7.9设线性变换得扩充平面上的三个相异点指定变为，则此线性变换被唯一确定，并且可写为(即三对对应点唯一确定一个线性变换)。

证设,满足。

由知，四个常数中至少一个不为,不妨设,则，将代入，由方程组的理论, 是唯一确定的。

例 试求将点1,0,∞分别映射为点∞,1,0的分式线性变换．解 令1,0,321==∞=z z z ，∞===321,1,0w w w ，则由（7.11）式得zw -=11即为所求． 4.线性变换的保圆周性定理7.10 线性变换将平面上的圆周(直线)变为圆周或直线。

证 1º显然整线性变换(Ⅰ)将圆周(直线)变为圆周(直线),对反演变换(Ⅱ)，将直线 变为,当时表示直线,当时，表示圆周。

同样，将圆周 (,) 变为，当时表示直线,当时表示圆周。

2º若将扩充复平面上的直线看作半径无穷大的圆周,则线性变换在扩充复平面上将圆周变换成圆周。

3º要确定线性变换将平面上圆周的内部变换为平面圆周的内部还是外部有两种方法。

可以再内部取一点，若，在的内(外)部，则变换将的内部变换成的内(外)部；也可用另一种方法,在上依次取三点,当观察者绕依方向进行时，区域若在的左侧，则在平面上相应依次沿，，绕行时,确定的相应区域仍在观察者左侧。

5. 线性变换的保对称点性 定义7.5 关于圆周对称是指都在过圆心的同一射线上，且；约定 与对应。

定理7.11 设)(z f w =为分式线性变换，若扩充z 平面上两点1z 与2z 关于圆周c 对称，则)(11z f w =与)(22z f w =两点关于圆周)(c f c ='对称． 定理7.12 设关于圆周 对称，则关于对称。

6. 线性变换的应用1．求将上半平面保形变换为上半平面的线性变换。

证 由于此变换将实轴变换为实轴，故,均为实数。

又取，则，即,故所求变换为 满足均为实数且。

2. 求将上半平面0Im >z 映射为单位圆1<w 的分式线性变换，且使点α=z)0(Im >α映射为点0=w解 用构造法．依题意，所求映射应将z 平面上的实轴映射为w 平面上的单位圆周1:=w c ．由于要求将点α=z 映射为点0=w ，而关于z 平面上的实轴与点α对称的点是α，关于w 平面上的圆周c 与点0=w 对称的点是∞，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，拟求映射除应将点α=z 映射为点0=w 外，还应将点α=z 映射为点∞=w ．又因所求映射是分式线性变换，故可构造为xOy( z )vuO ( w )α1 -1c●●k z z kw ,αα--=为待定系数为确定k ，只须利用该变换需将实轴上的点x z =映射为单位圆周1=w 上的点的事实，即当x z =时，有αα--=x x kw k =1= 由此得θθ,e i =k 为任意实数．至此，便得θαααθ,0Im ,e i >--=z z w 为任意实数 （7.12）经验证，（7.12）式即为所求．事实上，当x z =时，由（7.12）式得ααθ--⋅=x x w i e 1= 又（7.12）式是分式线性变换，故（7.12）式将z 平面上的实轴（上半平面的边界）映射为w 平面上的圆周1=w （单位圆的边界）．又由于当α=z 时，由（7.12）式得0=w ，而该点位于圆1<w 中，所以，由保域性定理（定理7.1）可知，（7.12）式将0Im >z 映射为1<w ，且将点)0(Im >αα映射为点0=w ．至于（7.12）式是分式线性变换是明显的，故（7.12）式即为所求．3．求将1<z 映射为1<w 的分式线性变换，使得点)1(<=ααz 映射为点0=w （图2）．解 用构造法．依题意，所求映射应将z 平面上的单位圆周1:=z c 映射为w 平面上的单位圆周1:='w c ．由于要求将点)1(<αα映射为点0=w ，而关于圆周c 与点α对称的点是α1图2( z )( w )（见图7-2），关于圆周c '与点0=w 对称的点是∞，所以，由分式线性变换具有保对称点性可知，所求变换应将点α=z 映射为点0=w ，且将点α1=z 映射为点∞=w ，又因所求变换是分式线性变换，故可构造为k z z k w '--'=,1αα为待定系数即zz k w ααα--'-=1 令k k '-=α，得k zz kw ,1αα--=为待定系数为确定k ，利用c 上的点的像一定位于c '上的事实，不失一般性，可取点1=z 代入上式后应满足1=w ，即αα--⋅=11k w k =1= 于是，θθ,e i =k 为任意实数．于是，经验证θαααθ,1,1e i <--=zz w 为任意实数 （7.13）即为所求．例 若a 、b 、c 、d 均为实数，且ad-bc>0,则d cz baz w ++=将上半平面0Im >z 保形变换为上半工半平台0Im >w 。

证明：因为a ，b ，c ，为实数。

所以d cz baz w ++=将实数变为实数，从而此变换将实轴0Im =z 变为实轴0Im =z 。

且当z 为实数时，()02>+-=d cz bcad dz dw ，即(),00'>x f ()0arg 0'=∴x f 。

这表明实轴经过变换后的旋转角为零，即将正实轴的方向变到正实轴方向。

Y v()Z w →0X ()w()n f →0w因此，实轴变成实轴是同向的。

所以，0Im >z w→0Im >w由此例可以看出，若a ，b ，c ，d 为实数，则实轴→实轴。

当0>-bc ad 时，则上半平台f→上半平台 当0<-bc ad 时，则上半平台f→下半平台，因为0<-bc ad ，故()00'<x f ，故()π=0'arg x f 。

因此，实轴经变换后的旋转角为π，即将正实轴方向变到负实轴方向。