初中数学沪科版九年级上册21.1 二次函数
初中数学沪科版九年级上册21.1 二次函数
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a＞0 a＜0
向上 直线X=0
向下
(0,0)
（二）形如y = ax 2+k (a≠0) 的二次函数
二次函数
开口方向
对称轴 顶点坐标
y = ax 2+k
a ＞0 a ＜0
向上 直线X=0（0，K）
向下
（三）、形如y = a (x + h) 2 ( a≠0 ) 的二次函数
则a = 0.5 ,k = -2 ；函数关系式是y = 0.5x 2-2 。
(四) 形如y = a (x+h) 2 +k (a ≠0) 的二次函数
二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a（x+h) 2+k a ＞ 0 向上 直线X=-h （-h，k） a ＜ 0 向下
练习巩固2: （1）抛物线 y = 2 (x –３ ) 2+1 的开口向 上, 对称轴 X=３ , 顶点坐标是（３，1） (2)若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点 在第四象限，则a 〈0, m 〈0, n 〈0。
沪科版九年级上第21章21.1二次函数的概念典型例题及练习(无答案)
二次函数一、知识点复习1.二次函数的定义：形如c+y+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
axbx注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.2.二次函数的一般形式：任何一个二次函数的关系式都可以化成c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）y+bxax的形式，我们把c=2（c b a,,为常数，且0≠a）叫做二次函数的一般形式，+bxaxy+其中c,2分别是二次项、一次项、常数项，b a,分别是二次项系数和一次项系数。
ax,bx3.二次函数两个变量的值:（1）函数值：求函数的值就是求代数式的值。
当给定自变量x的一个值后，就有唯一的y的值与之对应，这时y的值就是函数值。
（2）自变量的值：已知函数值求自变量的值实质就是解关于自变量的一元二次方程。
当给定一个y的值，对应x的值有1个或2个或没有值与之对应。
3.列二次函数的表达式（1）列函数表达式:在实际问题中，表示两个变量的关系，需要找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，在按要求化成用含一个变量的代数式表示另一个变量的形式。
（2）实际问题列表达式的步骤：①确定自变量与因变量的实际意义①找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式；①将方程或等式整理成二次函数的一般形式。
（3）自变量的取值范围：①一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数；②但实际问题中的自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
二．考点讲解知识点1.二次函数的定义：形如c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
y+bxax注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.考点1：利用二次函数的定义识别二次函数例题1：下列函数哪些是二次函数？①25x y -=；①112-=x y ；①)31(2x x y -=；④22)1(x x y +-=；⑤p nx mx y ++=2（p n m ,,均为常数）变式练习（2019奉贤区一模）下列函数中是二次函数的是（ ）A.)1(2-=x yB.22)1(x x y --=C.2)1(-=x a yD.122-=x y考点2：二次函数的一般形式中的系数问题例题2：二次函数)3(2-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A.2B.-2C.-1D.-4变式练习 二次函数3)2(212--=x y 中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。
沪科版九年级数学上21.1二次函数(15PPT)
敢于创新
如果函数y= x +kx+1是二次函数, 0,3 则k的值一定是______
如果函数y=(k-3)x 数,则k的值一定是______ 0
k 2 - 3k+ 2 k - 3k+ 2
2
+kx+1是二次函
知识的升华
已知函数 y (k k ) x kx 2 k (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
结束寄语
书山有路勤为径, 学海无涯苦作舟, 黑发不知勤学早, 白首方悔读书迟.
2 2
k 0 k 解（1）根据题意得 k 0
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
2
( 2) 当k - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时 y是x的二次函数
小结
拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
提示: (1)关于自变量的代数式一定是二次整 式,a,b,c为常数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一 次项和常数项,但不能没有二次项.
在实践中感悟
1 （是） (2) y = x + （否） (1) y=3(x-1)² +1 x
沪科版九年级数学上21.1二次函数 (共22张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若
是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t² (5)y= _x1_²-x
(4) y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²
先化简后判断
例2、y=（m+3）xm2-7 为二次函数，求m的值。
沪科版九上数学21.1 二次函数
这里x的取值 有什么限制？
状元成才路
问 题 2 状元成才路
有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天 可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可 使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装 配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？
设增加x人，则每天装配玩具总数 y可表示为：
二次项
常数项
状状元成元才成路 才路
状元成才路
分别指出下列二次函数表达式的自变量、各项 及各项系数。
①y=6x2 , ② m 1 n2 1 n ,
22
③ y=20x2+40x+20 .
状状元成元才成路 才路
状元成才路
出题角度一 二次函数的识别
下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ 。
√①y= 2x2 2 ×③y x2(1 x2 ) 1
m 4 0,
解得m=1.
当m 1时，函数y (m - 4)xm2-5m6 mx是关于x的二次函数.
状状元成元才成路 才路
状元成才路
课堂小结
探索二次关 系式共同点
总结二次 函数概念
确定二次函数表 达式及自变量的
取值范围
二次函数y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
二次函数的判别: ①含未知数的代数式为整式； ②未知数最高次数为2； ③二次项系数不为0.
状状元成元才成路 才路
相关字母的取值(或范围)
已知y (m2 m)xm22m1 (m 3)x m2是关于x的二次函数，
求出它的解析式。
解： 根据二次函数的定义可得
m2 m2
2m 1 m 0
2
解得m=3或m=-1.
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
解： 由题意得 m2 9 0，所以 m ≠ ±3.
3. 若函数 y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4 是二次函数，
那么 m 的取值范围是什么？
解：由题意得
m2
2m
1
2，
m 1 0.
m的取值范围是 m 3.
【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧 扣概念的特征进行解题.
(2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15， 即矩形的面积为 15 cm2.
课堂小结
二次 函数
定义 一般形式
特殊形式
右边是整式； 自变量的最高指数是 2； 二次项系数 a ≠ 0.
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c 是常数)
y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c. (a ≠ 0，a，b，c 是常数)
2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( C ) A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0 C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y = 2x＋1 C．y = 3x2＋1 4. 已知函数 y = 3x2m-1－5.
例3 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元.每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 (其中 x 为 正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解：依题意知生产第 x 档次的产品，提高了(x－1)档，利 润增加了 2(x－1) 元. 则有 y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]. 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10).
九年级数学上册21.1二次函数课件新版沪科版
所以m2-m=2,
解得m1=2,m2=-1
但当m=-1时, m2-1=0 而m=2时, m2-1≠0
综上所述,m=2
驶向胜利 的彼岸
第十七页，共22页。
课堂 练习
1、下列各函数(há nshù )中，哪是正比例函数 (há nshù )?哪些一次函数(há nshù )?哪些二次 函数(há nshù )?
答： 其中(qízhōng)是正比例函数的②有⑧______(填题号)； 其中(qízhōng)是一次函数的②有④_⑧________(填题号)； 其中(qízhōng)是二次函数③的⑦有______(填题号).
第十八页，共22页。
知识拓展：
温馨(wēn xīn)提示： 同桌交对，互相帮助！
已知二次函数(há nshù )y=ax2+bx。当x=1时，y=7；当x=2时，y=10,求a、b的值
• 正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加y， 求y与x之间的函数关系.
• m是什么值时，函数y=(m-4)xm2-5m+6是关于x 的二次函数
• 已知二次函数y=ax2+c，当x=2时，y=4；当x=-1 时，y=-3。求a、c的值
• 设圆柱的高为6cm，底面半径为r cm ，底面周长 (zhōu chánɡ)为C cm ，圆柱的体积为Vcm3
思考：1.你认为判断二次函数(hánshù) 的关键是什么？
判断一个函数(hánshù)是否是二次函 数(hánshù)的关键是：未知数的最高 指数是否为2次
第十二页，共22页。
驶向胜利的 彼岸
思考：2. 二次函数的一般式y ＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一次 函数一般式y=kx+b（k≠0）在 形式(xíngshì)上有什么不同？
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1一. 教材分析《二次函数》是沪科版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要让学生了解二次函数的定义、性质和图像，以及会运用二次函数解决实际问题。
二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考的热点，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对于函数的概念和图像是有一定的了解的。
但是二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生有良好的数学思维能力和抽象思维能力。
同时，学生对于实际问题的解决能力也需要加强。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义，掌握二次函数的性质和图像；2.学会运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质；2.二次函数图像的特点；3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的定义和性质；2.使用多媒体展示二次函数的图像，帮助学生直观理解二次函数的特点；3.通过实际例题，让学生运用二次函数解决实际问题；4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.二次函数的PPT；3.实际问题的例题；4.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如抛物线射击、最大利润等问题，引导学生思考如何解决这些问题，从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数的定义、性质和图像，让学生直观地了解二次函数的特点。
同时，教师进行讲解，让学生理解二次函数的概念和性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固二次函数的知识。
教师选取一些题目进行讲解，纠正学生的错误。
5.拓展（10分钟）让学生思考一些拓展问题，如二次函数在实际生活中的应用等。
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2. n支球队参加比赛,每两队之间进行
一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队
数 n 之间的关系式.
m 1 n n 1
示为 y=6x2
沪科版教材九年级（上）
问题2
某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一 块矩形的水面，投放鱼苗。写出水面面积S与它 的长的关系。
解：设长为x m， 则宽为（20-x）m 由题意，得：S=x（20-x）
沪科版教材九年级（上）
问题3
一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天应装 配玩具190个，但如果每增加一人，那么每人每 天可少装配10个。写出增加人数与装配总数的关 系。 解：设增加x人，装配总数为y
沪科版教材九年级（上）
例1、下列函数中，哪些是二次函数？
(2)
y=x+
_1_ x
解：原函数不是二次函数.
沪科版教材九年级（上）
例1、下列函数中，哪些是二次函数？
(3) s=3-2t² 解：原函数是二次函数.
沪科版教材九年级（上）
例1、下列函数中，哪些是二次函数？
(4) y=(x+3)²-x²
解：∵ y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
21.1 二次函数 （第1课时）
藤县和平二中 莫琼芳
基础回顾 什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
沪科版教材九年级（上）
问题1:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的
棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有
一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表
示为
y=6x2
这里x的取 值有什么 限制？
沪科版教材九年级（上）
问题2
某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一 块矩形的水面，投放鱼苗。要使围成的水面面积 S最大，它的长应是多少米?
即： S= -x2 + 20x
沪科版教材九年级（上）
（1）y=6x2
（2）s= -x2 + 20x （3）y = -10x2 + 40x + 2850 认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是 常数、自变量以及函数。
函数解析式
y=6x2
自函 变数 量
xy
s= -x2 + 20x
xs
y = -10x2 + 40x + 2850 x y
解：设长为x m， 则宽为（20-x）m 由题意，得：S=x（20-x）
这里x的取 值有什么 限制？
沪科版教材九年级（上）
问题3
一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天应装 配玩具190个，但如果每增加一人，那么每人每 天可少装配10个。问增加多少人可使每天装配总 数最多？最多时是多少个？ 解：设增加x人，装配总数为y
沪科版教材九年级（上）
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
1、当b＝0时， y＝ax2＋c 2、当c＝0时， y＝ax2＋bx 3、当b＝0且c＝0时， y＝ax2
沪科版教材九年级（上）
例1、说一说，下列函数中，哪些是二次函 数？
(1) y=3(x－1)²+1
由题意，得：y=（190-10x）（15+x）
沪科版教材九年级（上）
观察： 问题1,2,3中的函数关系式: 问题1：y=6x2
问题2:
问题3：
S = x（20-x）
y =（190-10x）（15+x）
= 20x - x2
= -10x2 + 40x + 2850
= -x2 + 20x
即：y = -10x2 + 40x + 2850
沪科版教材九年级（上）
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数,
其中x是自变量。
沪科版教材九年级（上）
y=ax²+bx+c
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边自变量最高次数为 2
=6x+9 ∴原函数不是二次函数.
沪科版教材九年级（上）
例1、下列函数中，哪些是二次函数？
(5)
y
1 x2
x
解：原函数不是二次函数.
沪科版教材九年级（上）
例1、下列函数中，哪些是二次函数？
(6) v=8π r² 解：原函数是二次函数.
沪科版教材九年级（上）
想一想
函数y ax2 b x c(其中a,b ,c是常数)， 当a,b ,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
目前，我们已经学习了哪种类型的函数？
沪科版教材九年级（上）
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
?函数
沪科版教材九年级（上）
沪科版教材九年级（上）
沪科版教材九年级（上）
问题1:
正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的 棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有 一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表
由题意，得：y=（190-10x）（15+x）
这里x的取 值有什么 限制？
沪科版教材九年级（上）
0＜x＜19 的整数
作业：
• 课堂作业:课后练习、习题21.1第1、2 题。
沪科版教材九年级（上）
r r
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y=_x1_²－x
(6) v=8πr²
沪科版教材九年级（上）
例1、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1
解：∵ y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 =3x2-6x+4 ∴原函数是二次函数.
解：（1）a 0 （2）a 0,b 0
（3）a 0,b 0,c 0 沪科版教材九年级（上）
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y(cm2)与圆的半径 x（cm)
的函数关系是
y =πx2
其ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ自变量x能取哪些值呢？
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.