习题2 母函数
习 题 二2-1 求下列数列的母函数（n ＝0,1,2，…）：（1）()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n α1 ； （2）{ n ＋5 }（3）{ n (n －1) } ； （4）{ n (n ＋2) }（解）（1）()x G ＝()∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01n n nx n α＝()∑∞=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n nx n α＝()αx -1 （2）()x G ＝()∑∞=+05n nx n ＝()∑∑∞=∞=++041n n n nx x n＝()x x n n -+'∑∞=+1401＝xx n n -+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=+1401＝x x -+'⎪⎭⎫⎝⎛--14111＝()x x -+-14112＝()2145x x--（3）()x G ＝()∑∞=-01n nxn n ＝()∑∞=--++222100n n xn n x＝()()∑∞=++0212n nxn n x＝()∑∞=+"022n n x x＝"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=+022n n x x ＝"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 122＝()3212x x - （4）()x G ＝()∑∞=+02n nxn n ＝()()()∑∑∑∞=∞=∞=-+-++0121n n n nn nx x n xn n＝()()x x x n n n n --'-"∑∑∞=+∞=+1112＝x x x n n n n --'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=+∞=+110102＝x x x x x --'⎪⎭⎫⎝⎛--"⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11112 ＝()()x x x -----11111223＝()3213x x x --组合数学 22-2 证明序列C (n ，n )，C (n ＋1，n )，C (n ＋2，n )，…的母函数为()111+-n x（证）已知集合{}n e e e S ⋅∞⋅∞⋅∞=，，， 21的r-组合的母函数为()∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-0111r r nx r r n x 所以序列()n n C ,，()n n C ,1+，()n n C ,2+，……的母函数为()x G ＝ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛rx n r n x n n x n n x n n 21021 ＝∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0r rx r r n ＝()∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++011r rx r r n ＝()111+-n x2-3 设S ＝{}4321,,,e e e e ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞，求序列{}n a 的母函数，其中a n 是S 的满足下列条件的n 组合数：（1） S 的每个元素都出现奇数次； （2） S 的每个元素出现3的倍数次； （3） e 1不出现，e 2至多出现一次；（4） e 1只出现1、3或11次，e 2只出现2、4或5次； （5） S 的每个元素至少出现10次。
（解）（1）()x G ＝()453+++x x x ＝()4241x x -；（2）()x G ＝()49631 ++++x x x ＝()4311x -；（3）()x G ＝()()23211 +++++x x x x ＝()211x x-+；（4）()x G ＝()()()2325421131 ++++++++x x x x x x x x x＝()216151********x x x x x x x x x -+++++++；（5）()x G ＝()4121110+++x x x＝()4401x x -。
第二章 母函数及其应用 32-4 投掷两个骰子，点数之和为r (2≤r ≤12)，其组合数是多少？ 2-5 投掷4个骰子，其点数之和为12的组合数是多少？2-6 红、黄、蓝三色的球各8个，从中取出9个，要求每种颜色的球至少一个，问有多少种不同的取法？（解）设从中取r 个的不同取法有r a 种，那么，数列r a 的母函数为()x G ＝()3832x x x x ++++＝()16109843278732x x x x x x x ++++++++()832x x x x ++++⋅ ＝24109854335282163x x x x x x x ++++++++因此所求方案数为9a ＝28另法：原问题等价于从集合S ＝{}c b a ⋅⋅⋅888,,中取出9个元素，且每个元素至少取一个。
现在先把元素a 、b 、c 各取一个，然后再随意选出6个，则问题转变为从集合1S ＝{}c b a ⋅⋅⋅777,,中取出6个元素，且每个元素个数不限，求重复组合的方案数。
又由于每个元素的个数大于6，故从1S 中取6个元素与从集合2S ＝{}c b a ⋅∞⋅∞⋅∞,,中取出6个元素的组合数一样多，从而知不同的取法为28286163==-+C C2-7 将币值为2角的人民币，兑换成硬币（壹分、贰分和伍分）可有多少种兑换方法？（解）这是求正整数n 的分项只能等于1、2、5的分拆数。
设n 的分拆数为 n a ，则n a 的母函数为()x G ＝()()()+++++++++105422111x x x x x x＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎤⎢⎢⎡++++++++ nx n x x x x x 21332215432 ()+++⋅1051x x＝ ++++++++2054322943221x x x x x x所以，共有20a ＝29种兑换方法。
2-8 有1克重砝码2枚，2克重砝码3枚，5克重砝码3枚，要求这8个砝码只许放在天平的一端。
能称几种重量的物品？有多少种不同的称法？（解）设秤r 克重的物体有r a 种秤法，那么数列{{}r a 的母函数是()()()()151056422111x x x x x x x x x G +++⋅+++++=展开后得组合数学 4()1110987654323222332221x x x x x x x x x x x x G +++++++++++=222120191817161514131223242323x x x x x x x x x x x +++++++++++因此，能称1～22克共22种重量的物品，所有不同的称法总数为()1G ＝3×4×4＝482-9 证明不定方程n x x x +++ 21＝r 的正整数解组的个数为 ()11--n r C ,。
（证）问题可以视为将r 个相同的1放入n 个盒子。
由于将i x 之间的值互换，对应不同的解，所以盒子不同。
设共有r a 个解，则由式（2.1.1）知r a 的母函数为()x G ＝()nx x x +++32＝nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-1＝∑∞=-+01r rrr n nx Cx ＝∑∞=+-+01r rn r r n x C ＝∑∞=--01k knk k x C＝∑∞=--011k kn k x C 所以r a ＝()11--n r C ,2-10 求方程z y x ++＝24 的大于1的整数解的个数。
（解）原方程即 ⎩⎨⎧=≥=++.,,,,321224321i x x x x i，令1-=i i x y ()321,,=i ，可得等价方程⎩⎨⎧=≥=++.,,,,321121321i y y y y i 由上题知后者共有()13121--,C ＝190组正整数解，从而知原不定方程的大于1的整数解的个数为190。
2-11 设a n ＝()∑=+n k k k n C 02,，b n＝()∑=++nk k k n C 012,其中a 0＝1，b 0＝0，（1） 试证a n ＋1＝a n ＋b n ＋1， b n ＋1＝a n ＋b n ； （2） 求出{ a n }，{ b n }之母函数A (x )，B (x )。
（解）（1）由序列的定义1+n a ＝∑+=++1021n k k k n C ＝∑+=++++112101n k kk n n C C第二章 母函数及其应用 5＝∑∑+=-++=++++111211201n k k k n n k k kn n C CC＝∑∑=+++=+++nk k k n nk k k n nC CC 0121120＝∑∑+=+++=++112102n k k k n nk kkn C C1+n b ＝∑+=+++10121n k k kn C＝()()112120121+++=++++∑n n nk k k n C C ＝∑∑=++=++n k k k n nk k kn C C1202 ＝n n b a +（2）由母函数的定义及（1）中所知数列n a 和n b 的关系知()x A ＝∑∞=0n nn xa ＝()∑∞=-++110n n n n x b a a＝∑∑∞=∞=--++11111n n n n n n x b x a x＝∑∑∞=∞=++01n nn n nn x b x a x＝()()x B x xA ++1()x B ＝∑∞=0n nn xb ＝()∑∞=--++1110n nn n x b a b ＝∑∑∞=--∞=--++1111110n n n n n n x b x xa x＝()()x xB x xA+组合数学 6即函数()x A 和()x B 满足方程()()()()()()⎩⎨⎧+=++=x xB x xA x B x B x xA x A 1 解之得()x A ＝2311x x x +--，()xB ＝231x x x+- 2-12 设S ＝{}k e e e ⋅∞⋅∞⋅∞,,,21 ，求序列{}n p 的母函数，其中p n 是S 的满足下列条件的n 排列数：（1）S 的每个元素都出现奇数次； （2）S 的每个元素至少出现4次； （3）e i 至少出现i 次（i ＝1,2, …,k ）； （3） e i 至多出现i 次（i ＝1,2, …,k ）。
（解）（1）()x G e ＝kx x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ !!!53153＝kx x e e ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2； （2）()x G e ＝kx x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ !!!654654＝kx x x x e ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----!!32132；（3）()x G e ＝()()∏=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++ki i i i i x i x i x 12121 !!!＝()∏=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------ki i x i x x x e 112121!! ； （4）()x G e ＝∏=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++ki i i x x x 12211!!!2-13 把23本书分给甲、乙、丙、丁四人，要求这四个人得到的书的数量分别不得超过9本、8本、7本、6本，问（1） 若23本书相同，有多少种不同的分法？ （2） 若23本书都不相同，又有多少种不同的分法？2-14 8台计算机分给3个单位，第一个单位的分配量不超过3台，第二单位不超过4台，第三单位不超过5台，问共有几种分配方案？（解）设分配n 台计算机的分配方案有n a 种，则n a 的母函数为第二章 母函数及其应用 7()x G ()()()543243232111x x x x x x x x x x x x ++++++++++++＝1＋876543214171817141063x x x x x x x x +++++++＋12111093610x x xx +++所以分配8台计算机共有8a ＝14种方案。
幂函数练习题及答案
幂函数练习题及答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ）A ．yx =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x=-142．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1-C ．4D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3x y -=B ．3-=x y C ．32x y =D ．13-=x y4．函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数8．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是（ ） A ．]6,(--∞B ．),6[+∞-C ．]1,(--∞D ．),1[+∞-9． 如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<10． 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 11．函数y x=-32的定义域是 .12．的解析式是.13．942--=a ax y是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .14．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m xy mn k∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 .1α3α4α2α三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤(共76分) . 15．（12分）比较下列各组中两个值大小 （1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与--16．（12分）已知幂函数f x x m Z x y y m m ()()=∈--223的图象与轴，轴都无交点，且关于 轴对称，试确f x ()的解析式.17．（12分）求证：函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数.18．（12分）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）19．（14分）由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为10x），涨价后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里a,b 均为正常数，且a <10，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.20．（14分）利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）.（1）y x x x x y x =++++=---22532221221（）()．参考答案一、CCBAD DCADA 二、11． (,)0+∞； 12．)0()(34≥=x x x f ； 13．5；14．k m ,为奇数，n 是偶数； 三、15． 解：（1）+∞<<<+∞=7.06.00),0(116上是增函数且在函数x y1161167.06.0<∴ （2）函数),0(35+∞=在x y 上增函数且89.088.00<<.)89.0()88.0(,89.088.089.088.0353535353535-<-∴->-∴<∴即16． 解：由.3,1,13203222⎪⎩⎪⎨⎧∈-=--≤--Z m m m m m m 得是偶数.)(1,)(3140-===-=x x f m x x f m 时解析式为时解析式为和17．解： 显然)()()(33x f x x x f -=-=-=-，奇函数； 令21x x <，则))(()()(22212121323121x x x x x x x x x f x f ++-=-=-，其中，显然021<-x x ，222121x x x x ++=2222143)21(x x x ++，由于0)21(221≥+x x ，04322≥x ，且不能同时为0，否则021==x x ，故043)21(22221>++x x x .从而0)()(21<-x f x f . 所以该函数为增函数. 18．解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下： （1）323x x y ==定义域[0，+∞)，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，+∞)是增函数；.),0(16),0(15),0(14),0[3),0[22133223232331上减函数函数，在既不是奇函数也不是偶定义域为）（是减函数；是奇函数，在定义域）（是减函数；是偶函数，在定义域）（是增函数；，是偶函数，在定义域为）（是增函数；，是奇函数，在定义域为）（+∞==+∞==+∞==+∞==+∞==+--+--+-R xx y UR R x x y UR R x x y R x x y R x x y通过上面分析，可以得出（1）↔（A ），（2）↔（F ），（3）↔（E ），（4）↔（C ），（5）↔（D ），（6）↔（B ）.19．解：设原定价A 元，卖出B 个，则现在定价为A(1+10x )， 现在卖出个数为B(1－10bx)，现在售货金额为A(1+10x ) B(1－10bx )=AB(1+10x )(1－10bx )，应交税款为AB(1+10x )(1－10bx )·10a，剩余款为y = AB(1+10x)(1－10bx ))101(a -= AB )1101100)(101(2+-+--x b x b a ， 所以b b x )1(5-=时y 最大 要使y 最大，x 的值为b b x )1(5-=.20．解：（1）1)1(1112112222222++=+++=++++=x x x x x x x y 把函数21,x y =的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象.（2）1)2(35--=-x y 的图象可以由35-=x y 图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到.图象略。
组合数学第2章答案
组合数学第2章答案2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()46414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x -2.3 已知母函数G （X ）=25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B A G （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x ---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
习题1排列组合-2母函数
习题11、 基本题：1～9，14，16，19，22～23，29，312、 加强题：11～12，17，18，21，283、 关联题：10，27，4、 提高题：13，15，20，24～26，30，321-1 在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？（解）问题相当于求在相异元素{}9,7,5,3,1中不重复地取1个、2个、…、4个元素的所有排列数，答案为45352515P P P P +++＝5+20+60+120＝2051-2 比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？(1) 每位的数字全不同；(2) 每位数字不同且不出现数字2与7。
（解）（1）分类统计：①一位正整数有919=P 个；②两位正整数有1919P P ⨯＝81个；③三位正整数有2919P P ⨯＝9×9×8＝648个；④千位数小于5的四位数有3914P P ⨯＝4×9×8×7＝2016个；⑤千位数等于5，百位数小于4的数有28141P P ⨯⨯＝4×8×7＝224个。
由乘法法则，满足条件的数的总个数为9＋81＋648＋2016＋224＝2978（2）仿（1），总个数为17P ＋1717P P ⨯＋2717P P ⨯＋3713P P ⨯＋26131P P ⨯⨯＝7＋49＋294＋630＋150＝11301-3 一教室有两排，每排8个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。
（解）（1）5人在前排就座，其坐法数为 ()58,P ，4人在后排就座，其坐法数为 ()48,P ，还空7个坐位，让剩下的54514=--个人入坐，就座方式为 ()57,P 种，由乘法法则，就座方式总数为()58,P ()48,P ()57,P ＝28 449 792 000 （2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也如此。
母函数
G ( x ) ( x )( x )( x )( x i ) x 8 1 4 0 x18 x 28
i i i i 1 i 1 i2 i 4
5
6
7
10
而x 18的 系 数 140就 是 所 求 的分配方案数。
15
例 从 n双 互 相 不 同 的 鞋 取 中 出 r只 （ r n） ， 要 求 其 中 没 有 任 何 两 只成 是对 的 ， 问 共 有 多 少不 种同 的 取法？
于是本题相当于 分 析 ： 令 S {5 e1 ,6 e 2 ,7 e 3 ,10 e 4 }, 多 重 集 S的 18可 重 组 合 问 题 。 其中e 1至 少 出 现 1次 ， 最 多 出 现 5次 ；2e 至 少 出 现 1次 ， 最 多 现 出 6次 ； e 3至 少 出 现 2次 , 最 多 出 现 7次 ；4e 至 少 出 现 4次 ， 最 多 现 出 10次 。 由 推 论 6， 相 应 的 母 函 数为
2 4 2r
1 ） n （ 1 x 2 ）
n
1 2 n 证 G(x) ( 1 x ) 2 n ( 1 x )
n n k 1 2k k 2k ( 1) k x k x k 0 k 0
8
如果多重集 S { n1 e 1, n 2 e 2 ,, n m e m }， 则S的 r可 重 组 合 数 相 当 于 方 程 x 1 x 2 x n r x 1 n1, x 2 n 2 ,, x m n m 的 非负 整 数解 的 个 数相 。应的母函数为 G ( x ) ( 1 x x 2 x n1 ) ( 1 x x 2 x n2 ) ( 1 x x 2 x nm )
母函数
母函数
定义对给定序列构造一个函数，称为序列的母函数。
其中，序列只作为标志用，称为标志函数。
派生1：普通型母函数
当标志函数为时，即母函数为，称这类母函数为普通型母函数，可记作。
定理1：
设从元集合中取个元素组合，若限定元素出现次数的集合为，则该组合数序列的母函数为:
常用到的普通型母函数有：
例题：求位十进制正数中出现偶数个的数的个数
设表示位十进制正数中出现偶数个的数的个数，表示位十进制正数中出现奇数个的数的个数，不难得出：设序列，的母函数分别为：
由得：
再由得：
由、可得：
更进一步的，
即:
派生2：指数型母函数
当标志函数为时，即母函数为，称此类母函数为指数型母函数，可记作。
定理2：
从多重集中选区个元素排列，若元素出现的次数集合为，则该排列数序列的母函数为：
所谓多重集（multiset）之于集合（set），英文写出来差不多就懂了。
函数中，除以是因为排列中这个相同元素的先后是不考虑的。
常见的指数型母函数（的Tylor展开式）：
例题：求由这个数字组成的位数字的个数（每个数字出现次数可以为，且出现的次数为偶数）。
设满足条件的位数字的数目为（特别地，规定），则序列的母函数为：
故。
附录：
推荐的文档组合数学--母函数与递推朱全民。
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
函数中的同构法
同构法（一至四）一、六大基本函数——母函数xx x f e )(1=, x x f x e )(2=, x x x f e )(3= x x x f ln )(4=)(ln 1x f =, x x x f ln )(5=, x x x f ln )(6= 特点：（1）可以互相转化，变化形式较多；（2）导数易求，具有极值点，图像容易画；（3）可以配合变量分离法、切线法、必要条件探路法等使用。
x x x ln e >>（阶数间的关系）,1e +>x x )1ln(+>x x （0>x ）二、例题解析（一）第一组习题例1（2020﹒福建模拟）函数x x x f e )1()(+=的最小值为 .例2（2020﹒惠州期末）函数)0(e )(1>=-x xx f x 的最小值为 .例3（2020﹒韶关期末）函数)0(e )(2>=x xx f x的最小值为 .例4（2020﹒荆州期末）函数x x x x f ln 1)(+=的单调递增区间为 .例5（2020﹒广州越秀月考）函数21ln )(xx x f +=的最大值为 .例6（2020﹒成都二诊）函数xx x f ln )(=，x x x g -⋅=e )(，若存在),0(1+∞∈x ，R x ∈2，使得)0()()(21<==k k x g x f 成立，则k x x e )(212⋅的最大值为为 . （二）第二组习题例1（2020﹒武汉模拟）设实数0>λ，若对任意的),0(+∞∈x ，不等式0ln ≥-λλx e x 恒成立，则λ的取值范围是 .例2（2020﹒全国四模）不等式x e mx mx ln 2≥⋅恒成立，则实数m 的取值范围为 .例3（2020﹒贵州调研）设实数0>m ，若对任意的e ≥x ，不等式0ln 2≥-⋅xm mx x x 恒成立，则实数m 的最大值为 .例4（2020﹒衡水期末）已知0x 是方程0ln e 222=+x x x 的实根，则0x 应满足的关系式为 . （0ln 200=+x x ）例5（2020﹒全国四模）对任意的),0(+∞∈x ，0ln )11()1(>+-+x xe k kx 恒成立，则实数k 的取值范围为 .例6（2019武汉调研﹒2020安徽六安模考）若)0()ln(e >+--a a a ax a x ，关于x 的不等式0)(>x f 恒成立，则实数a 的取值范围为 .（两种方法）（三）第三组习题（朗博同构）广义朗博：x x x x ln e e +=，a x x a ln e e +=，x x x x ln 22e e +=母函数：01e )(≥--=x x f x （当0=x 时成立）01ln e )(≥---=x x x x g x ，即1ln e ≥--x x x x （当0ln 00=+x x 时成立） 例1（2020﹒江苏期末）函数x x x x f x ln e )(--=的最小值为 .例2（2020﹒镇海中学模拟）若0>x 时，恒有01ln 2)3(e 32≥--+-x x k x x 成立，则实数k 的取值范围为 .（可以数形结合理解）例3（2020﹒湘豫名校联考）不等式1ln e 3+≥--x x a x x 对任意1>x 恒成立，则实数a 的取值范围为 .例4（2020﹒全国模拟考）若函数1ln )e ()(2---=x a x x f x 无零点，则整数a 的最大值是 .例5（2020﹒山东高考原题）已知函数a x a x f x ln ln e )(1+-=-，（1）当e =a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若1)(≥x f ，求a 的取值范围。
考点11 幂函数(练习)(解析版)
考点11：幂函数【题组一 幂函数定义辨析】1．已知函数()()22231m m f x m m x +-=--是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m = 。
【答案】-1 【解析】函数()()22231m m f x m m x +-=--是幂函数，211m m ∴--=，解得：2m =或1m =-，2m =时，()f x x =，其图象与两坐标轴有交点不合题意，1m =-时，()41f x x =，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故1m =-。
2．函数2()(1)n f x n n x =--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数n =_______【答案】﹣1【解析】函数f （x ）＝（n 2﹣n ﹣1）x n 是幂函数，∴n 2﹣n ﹣1＝1，解得n ＝﹣1或n ＝2；当n ＝﹣1时，f （x ）＝x ﹣1，在x ∈（0，+∞）上是减函数，满足题意； 当n ＝2时，f （x ）＝x 2，在x ∈（0，+∞）上是增函数，不满足题意．综上，n ＝﹣1．故答案为：﹣1．3．2222()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =______. 【答案】2【解析】2222()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-. 当2m =时，()2f x x -=，在(0,)x ∈+∞上是减函数，满足；当1m =-时，()f x x =，在(0,)x ∈+∞上是增函数，排除.综上所述：2m =.故答案为：2.4．若幂函数a y x =的图像过点(28)，，则a =__________． 【答案】3 【解析】幂函数a y x =的图像过点()28，，3282,3a a ∴===，故答案为3. 5．幂函数()()22m f x m m x =+在[)0,+∞上为单调递增的，则m =______.【答案】12【解析】由幂函数()()22m f x m m x =+在[)0,+∞上为单调递增的， 所以2210m m m ⎧+=⎨>⎩，解得12m =.故答案为:12. 6．幂函数()()223mm f x x m --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，且关于y 轴对称，则m 的值为______. 【答案】1,1,3-【解析】由于幂函数()()223m m f x x m --=∈Z 的图像与坐标轴没有公共点，所以{}2230131,0,1,2,3m m m m --≤⇒-≤≤⇒∈-，又因为函数为偶函数，故分别代入检验可知：1,1,3m =-满足；故填： 1,1,3-7．幂函数()222533m m y m m x+-=-+在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为_________.【答案】1 【解析】由题意可得22331250m m m m ⎧-+=⎨+-<⎩，解得1m =，故答案为：1 【题组二 幂函数性质】1．幂函数25y x -=的定义域为_________(用区间表示).【答案】()(),00,-∞⋃+∞ 【解析】幂函数25y x -=，20x ∴>，解得0x ≠，∴函数y 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞．故答案为：()(),00,-∞⋃+∞．2．已知幂函数()y f x =的图象过点(,则这个函数的定义域为__________．【答案】[)0,+∞【解析】由题意可知，设()()f x x R αα=∈函数()f x 图象过点((2)2f α∴==即12α=∴()f x =要使得函数()f x =0x ≥，即函数()f x 的定义域为[)0,+∞.故答案为：[)0,+∞ 3．使(3－2x －x 234)－有意义的x 的取值范围是________.【答案】(－3，1)【解析】()332432x x-⎛⎫--=，要使表达式有意义，必有2032x x -->，解得31x -<<，故答案为()3,1-.4．若1144(1)(32)a a --+<-,则a 的取值范围是 ______ 【答案】23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】幂函数y x α=，当0α<时是减函数，函数 14y x-=的定义域为()0,∞+， 所以有1320a a +>->，解得2332a <<，故答案为 23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ . 5．若()()1133132a a --+<-，则实数a 的取值范围是______. 【答案】23(,)(,1)32-∞- 【解析】由题得11331111()(),132132a a a a<∴<+-+-，所以110132a a -<+-， 所以321320,0(1)(32)(1)(23)a a a a a a a ----<∴<+-+-，所以(1)(23)(32)0a a a +--<， 所以2332a <<或1a <-,所以a 的取值范围为23(,)(,1)32-∞-.故答案为：23(,)(,1)32-∞- 6．若 1.30.3(0.3)(1.3)>m m ，则实数m 的取值范围是________.【答案】0m <【解析】由题： 1.3000.300.30.31 1.3 1.3<<==<，考虑幂函数()m f x x =，()()1.30.30.3 1.3f f >，根据幂函数的性质，()0,mm f x x >=在()0,x ∈+∞单调递增， ()00,m f x x ==在()0,x ∈+∞为常数函数，()0,m m f x x <=在()0,x ∈+∞单调递减，此题只需()mf x x =在()0,x ∈+∞单调递减，所以0m <.故答案为：0m < 7．若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围 .【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a 的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 8．不等式()()2233131x x ->+的解为 。
组合数学 第2章 母函数
第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。
新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。
其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。
母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。
2.1 母 函 数（一）母函数（1）定义定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n nnxax G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()nx +1。
例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是+++++=-nxx x x2111（3）说明● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝xx -1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
（4）常用母函数（二）组合问题（1）组合的母函数定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋ n 2＋…＋ n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j ji x 10＝∑=n r r r x a 0 (2.1.1) 其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n .定理2.1.1的最大优点在于：● 将无重组合与重复组合统一起来处理；● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。
组合数学 第四章2母函数的性质
§4.3 在选优法上的应用
可见做两次试验，至少可把区间缩至原来区
间的2/3，比如
f (，x1)进一f 步(x2在)
(a, x区2 ) 间上找极值点。若继续用三等分法，
将面对着这一实事即其中 点的x1 试验没发挥其
作用。为此设想在 区间(0的,1)两个对称点
分别x做,l 试 x验。
0 lx x 1
§4.3 在选优法上的应用
__________ __________ ____ ) Fn2 Fn(Fn1 Fn1) FnFn1 Fn1Fn
F12 F 22 Fn2 Fn Fn1
§4.3 在选优法上的应用
设函数 y f (x) 在区间 (a,b) 上有一单峰
极值点，假定为极大点。
所谓单峰极值，即只有一个极值点 ，而且
设保留(0, x) 区间，继续在 (0, x) 区间的下面 两个点 x2, (1 x)x 处做试验，若
x2 1 x
则前一次1 x 的点的试验，这一次可继续使
用可节省一次试验。
x2 x 1 0
x 1 5 0.618 2
0 0.382 (0.618)2 0.618
1
§4.3 在选优法上的应用
______________
F2n F2n2
F1 F3 F5 F2n1 F2n
§4.3 若干等式
3） 证明：
F12
F
2 2
F12 F2F1
Fn2 Fn Fn1
F22 F2 (F3 F1) F2F3 F2F1
F32 F3 (F4 F2 ) F3F4 F2F3
§4.2 母函数的性质
例. A(x) sin x x x3 x5 3! 5!