两角差的余弦公式(说课稿)

3.1.1 两角差的余弦公式 吉林大学附属中学 吴普林

一、教材分析

本节课是高中数学必修4（人教A 版）第三章3.1.2两角差的余弦公式的内容，教学安排是1课时。

在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受。

本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式，因此本节内容对于后续内容三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。 二、学生学习情况分析

1．有利因素

本节课的内容就是“推导两角差的余弦公式”，用到的工具有“单位圆中三角函数的定义”和“平面向量数量积的定义及数量积坐标表示”。都属于刚刚学过的基础知识，内容简单，容易理解和接受，这是学习本节课的有利因素。

2．不利因素 由于使用了“平面向量的数量积”来推导公式，而向量夹角范围是[0,]π，这与两角差αβ-的围并不一致，还要分类计论，这是由使用的推导工具造成的。分类计论是学生的弱项，客观上也成为学习本节的不利因素，也成为本节课的一个难点。

三、教学目标分析

课标要求：了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；理解两角差的余弦公式.

1．知识与技能目标

理解用向量方法推导两角差的余弦公并能够初步运用.

2．过程与方法目标

在两角差余弦公式的推导过程中，进一步体会向量方法的作用，体会分类讨论的思想、联系与化归思想的运用。

3．情感、态度与价值观目标

感悟事物之间普遍联系和转化的关系。 四、教学重点、难点分析

重点：两角差的余弦公式的推导与运用

难点：两角差余弦公式的推导过程

解决难点的关键是，搞清向量夹角的范围，运用数形结合的思想，使角的关系变得形象直观，容易找到αβ-与向量的夹角θ之间的等量关系()2k αβθπ-+=，从而降代难度，化解难点。

五、教法与学法分析

1．教法分析

本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此本节课在内容的安排上，特别注意引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化分类讨论的数学思想和转化与化归的方法来惯穿各个环节。

2．学法分析

在教师的指导下，通过认真观察，积极思考，用数形结合的方法从直观上打开突破口，

探究归纳出两角差的余弦公式。 六、教学用具分析

几何画板课件 1

2

=

，32=)6030?-=

cos60cos30-呢？（显然不是）下面我们就一起探讨两角差的余弦公式? 导

(0,)αβπ-∈时

如图，(cos ,sin ),(cos OB OA ββα==cos cos sin sin OA OB αβαβ•=+ 又OA OB •=||||cos()OA OB αβ-=cos(∴cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+2．当(0,)αβπ-∉时

思考：上面图中向量,OB OA 的夹角是怎样的？，范围是怎样的？β-，且αβ-(0,)π∈）正与向量夹角的范围相符，所以我们自OA OB •=||||cos(OA OB α(0,)π呢？ 探究：利用几何画板演示，将OA 旋转 到下图的位置，显然此时αβ-已经不是

,OB OA 的夹角，在[0,2]π范围内， 是向量夹角的补角θ＋()αβ-＝2k π

此时，OA OB •=||||cos OA OB θcos()αβ-=cos cos sin αβα+综上，对任意角,αβ都有

cos()αβ-=cos α

cos15的值()cos15cos 4530=-，()cos15cos 6045=-

怎样求sin 75︒的值？

4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫

∈=- ⎝是第三象限角，

cos35cos10cos55+的值.

cos()αβ+＝？

．选作：参照教材，并上网查找两角差余弦公式的其它推导方式计说明

教学的最高的目标，是把一个复杂的问题，处理得通俗易懂。两角差的余弦公式，有多种证明方法，在教材改革过程中也经历过不同的偿试。这是因为在教学过程中，教法和学法的选择往往是上位的，它直接决定了问题处理起来的难易程度。本书采用的“向量数量积”的方式，是较简单的一种方式，而难点也由此产生，要根据向量夹角的范围来进行分类讨论，为了降低难点，我大胆采用了“从特殊到一般”的处理方式，而没有上来就分类讨论，化解了难点。另外，教材中还绍了从三角函数线的角度进行证明的一种思路，根据实际情况，进行了大胆取舍，作为课外探究内容，同时也丰富了评价的层次性，调动了学生积极性。