积分变换_(Laplace)课件与习题
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积分变换二章12节-PPT精选文档
变换或者不存在，或者为非常义下的广义函 数给应用带来很大的不方便。
对于任意一个函数 (t ), 能否经过适当地改造
使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点？
3
首先将(t) 乘上u(t), 这样t小于零的部分的
函数值就都等于0了.
而大家知道在各种函数中, 指数函数ebt (b>0)
的上升速度是很快的了, 因而e-bt下降的速度也 是很快的.
1 e - ( s - k ) t 1( R e ( s ) k ) . s - k 0 s - k
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)> Re(k).
ekt 1 s-k
9
2.拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足: (1). 在t0的任一有限区间上分段连续; (2). 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函 数, 即存在常数M>0及c0, 使得
0
0
b 其 中 s j,f( t)( t) u ( t)
若再设F(s)Gb
s-b
j
则 得 F(s)f(t)e-stdt 0
6
定义 设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分
f(t)e- std t (s是 一 个 复 参 量 ) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写
第二章 Laplace变换
2.1 Laplace变换的概念 2.2 Laplace变换的性质 2.3 Laplace逆变换 2.4 卷积 2.5 Laplace变换的应用
1
§2.1 Laplace变换的概念
1 问题的提出 2 Laplace变换
存在定理 3 典型例题
2
1.问题的提出
对于任意一个函数 (t ), 能否经过适当地改造
使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点？
3
首先将(t) 乘上u(t), 这样t小于零的部分的
函数值就都等于0了.
而大家知道在各种函数中, 指数函数ebt (b>0)
的上升速度是很快的了, 因而e-bt下降的速度也 是很快的.
1 e - ( s - k ) t 1( R e ( s ) k ) . s - k 0 s - k
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)> Re(k).
ekt 1 s-k
9
2.拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足: (1). 在t0的任一有限区间上分段连续; (2). 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函 数, 即存在常数M>0及c0, 使得
0
0
b 其 中 s j,f( t)( t) u ( t)
若再设F(s)Gb
s-b
j
则 得 F(s)f(t)e-stdt 0
6
定义 设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分
f(t)e- std t (s是 一 个 复 参 量 ) 0
在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写
第二章 Laplace变换
2.1 Laplace变换的概念 2.2 Laplace变换的性质 2.3 Laplace逆变换 2.4 卷积 2.5 Laplace变换的应用
1
§2.1 Laplace变换的概念
1 问题的提出 2 Laplace变换
存在定理 3 典型例题
2
1.问题的提出
第二章_Laplace变换（答案）
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
积分变换 ppt课件
16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数
拉普拉斯积分变换
f (t ) u(t ) f (t )
ℒ F ( s ) (Re(s ) c )
( 3)：F ( s )在右半平面 Re(s ) c内解析， s求导，使下面微分性质 成立，即： F ( s ) 0 f (t )e st dt可在积分号下对参数
t f (t )
n
ℒ
( 1)n F ( n ) ( s ) (Re(s ) c )
CH 7 拉普拉斯变换
1、拉普拉斯变换的概念
2、拉普拉斯变换的性质 3、卷积
4、拉普拉斯逆变换
5、拉普拉斯变换的应用
1
第七章拉普拉斯积分变换
§ 7.1 拉普拉斯变换的概念
1.定义
place变换存在定理
和象函数的微分性质
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
0
f (t )e st dt,
第七章拉普拉斯积分变换
定义1：
F ( s)
0
f ( t )e st dt为f ( t )的拉普拉斯 ( Laplace)变换 ;
记作： F ( s)
ℒ f (t )
1 i st f (t ) F ( s ) e ds为F ( s )的拉普拉斯 ( Laplace)逆变换 ( t 0). i 2i
f ( t )u( t )e
t
e
iwt
dt
1 2
0
f (t )e ( iw ) t dt
F ( w )e iwF ( s)
复变函数与积分变换
积分变换第二章拉氏变换
第二章 Laplace 变换
第一节 Laplace变换概念 第二节 Laplace变换性质 第三节 Laplace逆变换
第一节 Laplace变换的概念
引入
傅里叶变换的前提 绝对可积 在整个数轴上面有意义 工程上用到的函数的特点 非绝对可积 t<0，无意义
第一节 Laplace变换的概念
引入
为了克服傅里叶变换的缺点
考虑两个函数u (t )和e t
对于任意函数(t )
(t ) u (t ) 积分区间(-,+)
(t ) e
t
衰减函数使(t )绝对可积
第一节 Laplace变换的概念
引入
函数(t )先乘以u (t )e ，再取Fourier变换
t
f (t )e dt f (t )e dt
st st 0
0
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F (s) - f (t )e dt （Re(s) 0）
- st 0 ¥
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
f( t)
1
p77
t
第二节 Laplace变换的性质
类似地，可得象函数的积分性质：
£[
f (t )] F (s)ds s t
f (t ) ds F ( s )ds 一般地，£ n s s t n
性质4（位移性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则，
£ [ eat f (t ) ] = F(s-a) ( Re(s-a)>c)
Laplace变换的性质
性质1（线性性质）：设， F1(s)= £ [f1(t)] 和 F2(s) = £[f2(t)]
第一节 Laplace变换概念 第二节 Laplace变换性质 第三节 Laplace逆变换
第一节 Laplace变换的概念
引入
傅里叶变换的前提 绝对可积 在整个数轴上面有意义 工程上用到的函数的特点 非绝对可积 t<0，无意义
第一节 Laplace变换的概念
引入
为了克服傅里叶变换的缺点
考虑两个函数u (t )和e t
对于任意函数(t )
(t ) u (t ) 积分区间(-,+)
(t ) e
t
衰减函数使(t )绝对可积
第一节 Laplace变换的概念
引入
函数(t )先乘以u (t )e ，再取Fourier变换
t
f (t )e dt f (t )e dt
st st 0
0
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F (s) - f (t )e dt （Re(s) 0）
- st 0 ¥
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
f( t)
1
p77
t
第二节 Laplace变换的性质
类似地，可得象函数的积分性质：
£[
f (t )] F (s)ds s t
f (t ) ds F ( s )ds 一般地，£ n s s t n
性质4（位移性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则，
£ [ eat f (t ) ] = F(s-a) ( Re(s-a)>c)
Laplace变换的性质
性质1（线性性质）：设， F1(s)= £ [f1(t)] 和 F2(s) = £[f2(t)]
复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt
对并返回结果 F ( s )。
(2) f = ilaplace (F ) 对函数 F ( s ) 进行 Laplace 逆变换， 对并返回结果 f ( t )。
22
3t 例 求函数 f ( t ) t e sin 2t
的 Laplace 变换。
解 Matlab 程序
clear; syms t; f = t*exp(3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)；
若L[f(t)]=F(s), 则有
F (s) L t f (t ) (2.6)
一般地有
F ( n ) (s) L [(t )n f (t )] (2.7)
利用(2.6) 式
【例2.3】求L[tsinkt]
2ks (答案: 2 2 2 ) (s k )
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2 a 2 s 【例3.5】求 L s( s2 a2 )2 t cos at
1
1 【例3.6】求 L1 ( s1)( s2)( s 3)
1 1 1 1 t 1 2t 1 3t 1 6 15 10 L s 1 s 2 s 3 e e e 6 15 10
注:书上对例4,例5,例6的计算是用“查表”的方法作 的.
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* 三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数 来进行 Laplace 变换与 Laplace 逆变换。 (1) F = laplace (f ) 对函数 f ( t ) 进行 Laplace 变换，
输出 F=atan(1/s)
其中， atan 为反正切函数。
北京大学数学物理方法(上)课件_9 Laplace变换
Laplace 变换存在的条件 Laplace 变换存在的条件也就是积分
0
∞
e−pt f (t)dt 是否对某些 p 值, 积分收敛. 在本课程中, 假设 f (t) 满足 1. f (t) 和 f (t) 在区间 0 ≤ t < ∞ 上分段连续, 在任何有限区间内的不连续点的数目是有限的; 2. f (t) 有有限的增长指数, 即存在正数 M > 0 及实数 s(增长指数), 使对于任何 t ≥ 0, |f (t)| < M eBt (3)
p0 p
F (p)dp &(p) = 0
定出 C=
∞
F (p)dp
p0 ∞
故 G(p) =
p
F (p)dp
利用这个公式, 又可以得到许多函数的 Laplace 变换. 例如 L sin ωt t
∞
=
p
q2
π p ω dq = − arctan 2 +ω 2 ω
(19)
Theorem 9.4 (卷积定理). 设 L −1 {F1 (p)} = f1 (t), L −1 {F2 (p)} = f2 (t), 则
(16b) (16c)
−1
1 (p − p0 )2 1 (p − p0 )3
= tep0 t = 1 2 p0 t t e 2
(17a) (17b)
这样, 若 F (p) 是有理函数, 则总可以通过部分分式求反演. 例如 1 p3 (p + α) 1 1 1 1 1 1 1 1 =L −1 − 2 2+ 3 − 3 3 αp α p α p α p+α 1 2 1 1 1 −αt = t − 2t + 3 − 3e 2α α α α L
积分变换_(Laplace)课件与习题
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
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2
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需 要知道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier变换的表达式为
[ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0, )上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用.
对定义在 [0,) 上的函数 f (t), 如果考虑
L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e(sjk)td t e(sjk)td t
20
0
j
2
s
1 jk
s
1 jk
s2
k
k2
,（Re(s)>0）
k L[sin kt] s2 k 2
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L[ekt ] 1 (Re(s) k). sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为
Re(s)>Re(k)
10
练习: 求单位斜坡函数
的拉氏变换 。
t
t
u
t
0,
t,
t0 t0
同理可得
L[cos kt]
s2
s k2
15
例4 求 f (t) tn (n 1)的Laplace变换.
解 如果n是正整数, 则有
t n
n! sn1
(Re(s) 0).
tn
n! sn1
当 n 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
[tn]
1 sn1
(n
1)
(Re(s) 0),
|f (t)| M e ct, 0 t < 则 f (t)的拉氏变换
F (s) f (t) estd t 0
在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的 半平面内, F(s)为解析函数.
12
Mect f (t)
M
O
t
13
说明：由条件2可知, 对于任何t值(0t<), 有
| f (t)e st |=| f (t)|et Me(c)t, Re(s)=,
f (t)e( j)tdt s j f (t)estdt F s
0
0
6
f (t)
O f (t)u(t)et
O
t
t
7
1. 定义：
设 f (t)是[0,)上的实(或复)值函数，若对参数
s j, F (s) f (t)estdt 在s平面的某一区域 0
内收敛，则称其为 f (t)的Laplace变换，记为
若令c e >0 (即 c+e = c1>c), 则
| f (t)est| Meet.
所以
f (t) est d t
M
eetd t
M
.
0
0
e
注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下); 注2:存在定理的条件是充分但非必要条件.
14
例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有
estd t 1 est 1
0
s0 s
所以 L[u(t)] 1 (Re(s) 0). s
9
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数).
根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t)] ektestd t e(sk )td t
第2章 Laplace变换
§2.1 Laplace变换的概念 §2.2 Laplace变换的性质 §2.3 Laplace逆变换 §2.4 Laplace变换的应用
1
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等 函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为 为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者 不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际 应用中受到一些限制.
解
(t ) testdt 0
= 1 tes t 1 estdt
s
0 s0
1 s2
Re s 0
(t)
tu( t )
1 s2
11
2.拉氏变换的存在定理 若函数f (t)满足: (1) 在t 0的任一有限区间上分段连续; (2) 当t时, f (t)的增长速度不超过某一指数函 数, 即存在常数 M > 0及c 0, 使得
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
f (t )et , t 0
可能有意义.
4
f1(t) 的Fourier变换可表示为
f (t )e teitdt f (t )e( i )tdt.
0
0
将 i 记为s, 可写成
F (s) f (t)estdt. 0
这就是本章要讨论的Laplace变换, 它放宽了对函 数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留 Fourier变换中许多好的性质, 更实用、更方便.
f1(t) f (t)et ( 0),
3
那么 f1(t) 容易满足在[0, )上绝对可积的 要求. 例如，f (t)为常数、多项式、正弦与余弦
函数时,
f1(t ) f (t )et ( 0)
都在 [0,)上绝对可积. 这是因为 t 时, et
是衰减速度很快的函数，称它为指数衰减函数.
如果 0 取得适当大，那么
其中 (n 1) xne xdx 是函数. 0
16
周期函数和d 函数的Laplace变换
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需 要知道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier变换的表达式为
[ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0, )上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用.
对定义在 [0,) 上的函数 f (t), 如果考虑
L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e(sjk)td t e(sjk)td t
20
0
j
2
s
1 jk
s
1 jk
s2
k
k2
,（Re(s)>0）
k L[sin kt] s2 k 2
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L[ekt ] 1 (Re(s) k). sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为
Re(s)>Re(k)
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练习: 求单位斜坡函数
的拉氏变换 。
t
t
u
t
0,
t,
t0 t0
同理可得
L[cos kt]
s2
s k2
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例4 求 f (t) tn (n 1)的Laplace变换.
解 如果n是正整数, 则有
t n
n! sn1
(Re(s) 0).
tn
n! sn1
当 n 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
[tn]
1 sn1
(n
1)
(Re(s) 0),
|f (t)| M e ct, 0 t < 则 f (t)的拉氏变换
F (s) f (t) estd t 0
在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的 半平面内, F(s)为解析函数.
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Mect f (t)
M
O
t
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说明：由条件2可知, 对于任何t值(0t<), 有
| f (t)e st |=| f (t)|et Me(c)t, Re(s)=,
f (t)e( j)tdt s j f (t)estdt F s
0
0
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f (t)
O f (t)u(t)et
O
t
t
7
1. 定义：
设 f (t)是[0,)上的实(或复)值函数，若对参数
s j, F (s) f (t)estdt 在s平面的某一区域 0
内收敛，则称其为 f (t)的Laplace变换，记为
若令c e >0 (即 c+e = c1>c), 则
| f (t)est| Meet.
所以
f (t) est d t
M
eetd t
M
.
0
0
e
注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下); 注2:存在定理的条件是充分但非必要条件.
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例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有
estd t 1 est 1
0
s0 s
所以 L[u(t)] 1 (Re(s) 0). s
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例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数).
根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t)] ektestd t e(sk )td t
第2章 Laplace变换
§2.1 Laplace变换的概念 §2.2 Laplace变换的性质 §2.3 Laplace逆变换 §2.4 Laplace变换的应用
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Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等 函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为 为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者 不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际 应用中受到一些限制.
解
(t ) testdt 0
= 1 tes t 1 estdt
s
0 s0
1 s2
Re s 0
(t)
tu( t )
1 s2
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2.拉氏变换的存在定理 若函数f (t)满足: (1) 在t 0的任一有限区间上分段连续; (2) 当t时, f (t)的增长速度不超过某一指数函 数, 即存在常数 M > 0及c 0, 使得
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
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例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
f (t )et , t 0
可能有意义.
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f1(t) 的Fourier变换可表示为
f (t )e teitdt f (t )e( i )tdt.
0
0
将 i 记为s, 可写成
F (s) f (t)estdt. 0
这就是本章要讨论的Laplace变换, 它放宽了对函 数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留 Fourier变换中许多好的性质, 更实用、更方便.
f1(t) f (t)et ( 0),
3
那么 f1(t) 容易满足在[0, )上绝对可积的 要求. 例如，f (t)为常数、多项式、正弦与余弦
函数时,
f1(t ) f (t )et ( 0)
都在 [0,)上绝对可积. 这是因为 t 时, et
是衰减速度很快的函数，称它为指数衰减函数.
如果 0 取得适当大，那么
其中 (n 1) xne xdx 是函数. 0
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周期函数和d 函数的Laplace变换