积分变换 ppt课件
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积分变换与微分方程PPT课件
In[4]:=NDSolve[{y’[x]==y[x],y[1]==1},y,{x,0,1}]
Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察
In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]==y[x],
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[expr,t,s]
对expr的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}] 对expr的多维拉普拉斯变换
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解
Mathematica命令为
1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换
Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察
In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]==y[x],
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[expr,t,s]
对expr的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}] 对expr的多维拉普拉斯变换
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解
Mathematica命令为
1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换
积分变换第6讲ppt课件
即 L [ f (t)] sF (s) - f (0) (Re(s) c)
完整版课件
4
推论 若L [f(t)]=F(s), 则
L [f ''(t)]=sL [f'(t)]-f '(0)
=s{sL [f(t)]-f(0)}-f '(0)
=s2L [f(t)]-sf(0)-f '(0)
...
L [f(n)(t)]=sL [f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)
因为
L
[sin
kt ]
k s2 k2
根据上述微分性质可知
L
[t sin
kt ]
-
d ds
s2
k
k
2
2ks (s2 k 2)2
同理可得
L
[t cos
kt
]
-
d ds
s
2
s
k
2
2s2 - 1 2s2 - s2 - k2 s2 - k2
( s 2 k 2 ) 2 s 2 k ( s 2 完整版课件 2 k 2 ) 2
( s 2 k 2 )102
3. 积分性质 若L [f(t)]=d
t
1 s
F
(s)
( 2 .8 )
证 设 h (t ) t f (t ) d t , 则有 0 h (t ) f (t ), 且 h (0 ) 0
由上述微分性质 , 有
L [ h (t )] s L [ h (t )] - h (0 ) sL [ h (t )],
(2.6)
和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c.
(2.7)
复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
南大复变函数与积分变换课件51孤立奇点
重点与难点：重点在于理解复数和复变函数的基本概念，掌握复变函数的微积分和积 分变换的方法；难点在于理解孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
教学方法：采用讲解、演示和练习相结合的方式，通过例题和习题的练习，加深对知 识点的理解和掌握 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
● 课件中关于孤立奇点的判定
● 判定：对于可去奇点，可以通过计算函数在该点的极限值来判断；对于极点和本性奇点，可以通过观察函数在该点附近的 性质来判断。 课件中关于孤立奇点的应用
● 课件中关于孤立奇点的应用
● 应用：孤立奇点在复变函数和积分变换中有着广泛的应用，例如在求解某些微分方程时，可以通过寻找函数的孤立奇点来 确定解的形态。
南大复变函数与积分变 换课件内容概述
课件结构与内容安排
课件结构：按照知识点进行划分，每个知识点都配有相应的例题和习题 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
内容安排：先介绍复数和复变函数的基本概念，再介绍复变函数的微积分、级数和积分变换等 内容，最后介绍孤立奇点的相关理论和应用 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字，以便观者 准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点
复变函数的定义
复数的基本概念 复变函数的定义 复变函数的性质 复变函数的应用
积分变换.ppt
L [ekt ] 1 (P145) sk
1
f (t ) L 1[F (s)]
t
24
有
f
(t
)
1 t
L
1
1[
s1
1] s1
1 (et et ) 1 (et et )
t
t
积分性质 1
设Ff(s()t )=L[ tf(Lt)],1则[F有(s)]
t
2t
解 L [ sht ] =L [1 et 1 et ] 22
1 ( 1 1 ) F(s) 2 s1 s1
由像函数的积分性质, 有 L [ekt ] 1
f (t)
sk
L [ t ] s F (s)ds
27
sht 1 1 1
L
[
t
]
2 s
( s1
但在工程实际应用中, 许多以时间t 作为自 变量的函数往往在 t 0时是无意义的或者 是不需要考虑的. 这样的函数都不能取傅 氏变换. 因此, 傅氏变换的应用范围受到相 当大的限制.
对这些函数f(t)能否经过适当地改造, 使其 进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？ 答案是可以的, 就是拉普拉斯变换.
L [ t f (t)dt] 1F (s)
0
s
此外, 我们还有象函数的积分性质
L [ f (t)]
f (t ) est dt
F (s)ds
t
0t
s
26
或
f(t) = tL 1[ F (s)ds] s
例 求 f (t ) sht et et 的拉氏变换
《积分变换法》课件
信号处理
在频域中，积分变换法可用于 滤波、降噪和信号分析。
电路分析
积分变换法可帮助分析电路的 稳定性、频率响应和系统性能。
总结
优缺点
积分变换法具有数学表达简单、普适性强等优点，但对初始条件敏感。
与其他方法的比较
相比其他方法，积分变换法可以更方便地处理连续和离散函数。
发展趋势
未来，积分变换法将继续应用于自动控制、信号处理和电子技术等领域，不断发展和完善。
《积分变换法》PPT课件
欢迎来到本次《积分变换法》PPT课件。让我们一起探索积分变换法的定义、 分类、常见方法以及在控制工程、信号处理和电路分析中的应用。
什么是积分变换法？
定义
积分变换法是一种数学方法，通过对函数的积分来研究和处理一些问题。
分类
积分变换法分为拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等不同类型。
1 参考文献
常见的积分变换频域，可用于信号
处理和频谱分析。
3
拉普拉斯变换
将函数从时域转换到频域，广泛应用于 控制系统和信号分析。
Z变换
将离散信号从时域转换到Z域，在数字信 号处理和系统分析中有重要应用。
积分变换法的应用
控制工程
积分变换法可用于控制系统的 建模、参数估计和控制器设计。
拉普拉斯积分变换 PPT课件
记为 F(s) L f (t)
F(s)称为 f (t)的拉氏变换（或称为象函数）。
2
若F(s)是f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为F(s)的拉 氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t) L1F(s)
可以看出，f (t) (t 0)的拉氏变换，实际上就是 f (t)u(t)e t 的傅氏变换。
解 Lsin kt sin ktestdt 0
e st s2 k2
(s sin
kt
k
cos kt)
0
s2
k
k2
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
Lcoskt
s2
s
k2
(Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换。
解
利用性质： f (t) (t)dt f (0) ，有
即
L
t 0
f
(t )dt
1 s
L
f
(t)
1 s
F (s)
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏 变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。
20
重复应用积分性质可得：
L
t
dt
t
dt
0
0
n次
t 0
f
(t)dt
1 sn
F (s)
此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：
L
7
则 f (t) 的拉氏变换
F (s) f (t) est dt 0
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在 Re(s) c 的半平面内，F(s)为解析函数。
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
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有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
量那样, 以统一的方式加以解决.
0 t0
给函数序列
d
(t)
1
0t，
d(t)
1/
0 t
定义
d
(t)
lim
0
d
(t)
0
t0。 t0
O
d d ( t) d t l i m 0 ( t) d t l i m 00 1 d t 1
t0 t0 t0
(二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式
ejn t co n stjsin n t (1.3.8)
e j n t cn o t s jsn itn ( 1 .3 .9 )
co nts1(ej nt ej nt) (1 .3 .1)0 2
sin nt1(ej ntej nt) (1.3.1)1
记为F-1[F(ω)]
例1
求矩形脉冲函数
f
(t)
1,
t 1 的付氏变换及其积分
表达式。
0, t 1
F() f(t)eitdt 1 eitdteit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21 F()eitd10F()costd 102s incostd20sin costd
bnT 2 T 2 T 2fT(t)sin n td(tn1,2,3, )
在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为
1 2f(t00)f(t00) (二)付氏级数的复指数形式
fT(t) Cnjewnt n (三)付氏积分
任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期
函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
q(t) 10,,
t 0; t 0.
d q (t) q (tt) q (t)
i(t) lim
d t t 0
t
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在 普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
即 Tl im fT(t)f(t)
f(t)2 1 f(t)ejw dt e tjБайду номын сангаас dt w
这个公式称为函数f (t)的付里叶积分公式
付氏积分定理 若f (t)在(-∞，+∞)上满足下列
条件：
1°在任一有限区间满足狄利克雷条件；
2°
f (t)dt
则积发
F(w) f(t)ejwdt 存t 在,并且在f
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0 ) lt i0q m (0 tt) q (0 ) lt i0 m 1 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
dt 0
t 0 t 0
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
fT(t)a 2 0n 1(a nco nts b nsinn t)
(1 .1 .1 )
其中 2T称为频率，频率ω对应的周期T与fT(t) 的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)的n
次谐波频率。
a0
2 T
T
2 T
2
fT(e)dt
dnT 2 T 2T 2fT(e)dt(n1,2,3,)
积分变换
第一章 付里叶变换
§1.1 付氏积分
§1.2 付氏变换 §1.3 付氏变换的公式和性质
§1.4 卷积与相关函数
第二章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
§2.2 拉氏变换的基本公式和性质
§2.3 拉氏逆变换 §2.4 拉氏变换的应用
第一章 付里叶变换
§1.1 付氏积分
(一)付氏级数
称实系数R上的实值函数 f（t） 在闭区间[a,b]
(t)的连续点处
f(t)21 F(w)ejwdt t而在f (t)的间断点t0处，应以
1 2f(t00)f(t00)代替该式左端的f (t)。
注 非周期函数满足付氏积分定理的条件1°，
才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数。
满足付氏积分定理的第2°条,才能保证
存
在。
lim
T
fT
(t)
§1.2 付氏变换
(一)定义1.1.1 设f (t)和F(ω)分别是定义在R上 的实值和复值函数，称它们是一组付里叶变换对，
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)21 F(w)ejwdt w
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
t 0 的 傅 氏 变 换 及 其 t 0
积 分 表 达 式 ,其 中 0 .
f (t)
F()f(t)ejtdt
t
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 22
f(t)21 F()ejtd21 2 j 2ejtd 10cos2t 2sintd
因 此 0 cos2 t 2 sintd e 0 /2 t
sin cos t
0
d
2 4
0
因此可知当t 0时,有
| t | 1 | t | 1 | t | 1
sin x d x sinc( x ) d x
0x
0
2
另 外 ， 由 F = 2 s i n 可 作 出 频 谱 图 :
F
2 k s i n 0
2 3
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
2j
2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲
函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就 会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条
件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一
类间断点；
⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
从T为周期的周期函数fT(t)，如果在
T 2
,
T2上 满
足狄利克雷条件，那么在
T 2
,
T上2 fT(t)可以展成付
氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为