复变函数与积分变换课件
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复变函数与积分变换课件
9
根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R( z ) 1 z
mn
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m 1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
20
四、小结与思考
本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.
21
本章内容总结
孤立奇点
可去奇点 极点
函数的零点与 极点的关系
本性奇点
留数
计算方法 留数定理
1.
计算
f ( z )dz
C
留数在定积分 计算中的应用
2
0
R(sin ,cos )d f ( x )dx
z2 1 , dz ie i d , 令 z e i , 则 sin 2 zi
I
2π
0
1 d 5 3 sin
1 dz 1 3( z 2 1) iz z 5 2iz
z 1
2 2 2 dz 3z 10iz 3 3 z 1
2 i ( z )(z 3i) 3
封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化
2) 被积函数的转化
2
形如
0
2π
R(cos , sin )d
i
令ze
dz ie d
i
dz d , iz
z2 1 1 i sin (e e i ) , 2i 2iz
根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R( z ) 1 z
mn
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m 1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
20
四、小结与思考
本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.
21
本章内容总结
孤立奇点
可去奇点 极点
函数的零点与 极点的关系
本性奇点
留数
计算方法 留数定理
1.
计算
f ( z )dz
C
留数在定积分 计算中的应用
2
0
R(sin ,cos )d f ( x )dx
z2 1 , dz ie i d , 令 z e i , 则 sin 2 zi
I
2π
0
1 d 5 3 sin
1 dz 1 3( z 2 1) iz z 5 2iz
z 1
2 2 2 dz 3z 10iz 3 3 z 1
2 i ( z )(z 3i) 3
封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化
2) 被积函数的转化
2
形如
0
2π
R(cos , sin )d
i
令ze
dz ie d
i
dz d , iz
z2 1 1 i sin (e e i ) , 2i 2iz
复变函数与积分变换PPT_图文_图文
x y=-3
§1.4 复数域的几何模型---复球面
N
0
对复平面内任一 点z, 用直线将z 与N相连, 与球面 相交于P点, 则球 面上除N点外的 所有点和复平面 上的所有点有一 一对应的关系, 而N点本身可代 表无穷远点, 记 作.
这样的球面称作 x1
复球面.
x
x1
x3
除了复数的平
面表示方法外,
加减法与平行四边形 法则的几何意义:
乘、除法的几何意义
:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.
几何上 z1z2 相 当于将 z2 的 模扩大 |z1| 倍 并旋转一个角
度Arg z1 .
0
1
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的两 边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边 的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然 .
复变函数与积分变换PPT_图文_图文.ppt
引言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并
把这个方程的两个根形式地表为
。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
解：
设 z = x + i y , 方程变为
y
O
x
-i
几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨 迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直
复变函数与积分变换课件fb1-2最终版.ppt
由 f (z) 在 z0 连续, 知 u( x, y) 和 v( x, y) 在 ( x0 , y0 )处都连续, 于是 u( x, y) 和 v( x, y) 也在 ( x0 , y0 )处连续, 故 f (z) 在 z0 连续.
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28
x x0 y y0
根据定理可知, lim f (z) 不存在. z0
作业: P55：12：1），13：2），15
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24
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25
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26
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27
例4 证明: 如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续.
证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z) u( x, y) iv( x, y),
的点 w a ib.
y
A
B z1 2 3i
C
o
x
z2 1 2i
C A
v
w2 1 2i
o
u
B w1 2 3i
z1 w1, z2 w2 , ABC ABC.
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5
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
w z21
o
不存在.
证:
令 z x iy, 则 f (z) x ,
x2 y2
u( x, y) x , v( x, y) 0, x2 y2
当z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim
x0
x0
ykx
ykx
x
x2
y2
lim
x0
x x2 (kx)2
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21
lim
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28
x x0 y y0
根据定理可知, lim f (z) 不存在. z0
作业: P55：12：1），13：2），15
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例4 证明: 如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续.
证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (z) u( x, y) iv( x, y),
的点 w a ib.
y
A
B z1 2 3i
C
o
x
z2 1 2i
C A
v
w2 1 2i
o
u
B w1 2 3i
z1 w1, z2 w2 , ABC ABC.
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5
如果把 z 平面和 w 平面 重叠在一起, 不难看出w z 是关于实轴的一个对称映射.
w z21
o
不存在.
证:
令 z x iy, 则 f (z) x ,
x2 y2
u( x, y) x , v( x, y) 0, x2 y2
当z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim
x0
x0
ykx
ykx
x
x2
y2
lim
x0
x x2 (kx)2
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lim
复变函数与积分变换-PPT课件
i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2
x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n
2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2
复变函数与积分变换-李红-华中科技大学-医学演示课件-精选.ppt
n
Ci
或 f (z)dz
f (z)dz.
C
i1 Ci
..,
例题1
求
1 C z2 dz ,
C 如图所示：
i
解：存在 f (z)的解析单连通域D包含曲
i
线 C ，故积分与路径无关，仅与起点
和终点有关。
3i
从而
C
1 z2 dz
0,i
d
0, 3i
f
z0
1
2 i
C
f z
dz z z0
C1
f z
z z0
dz
z0 D.
CD C1 z0
..,
例题1
计算积分
ez
dz
C z(z 1)( z 2)
C : z r (r 1,2)
ez
解：0 r 1,
(z 1)( z 2) dz 2 i
C3
C2 C1 C3
1 0
2
..,
ez
i 2 i z(z 1) dz i 2 i 2 i ez
3e C3 z 2
3e
z(z 1)
z2
i 2 i e2 i
3e 3
§ 3.4 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它 的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一 点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上 可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要 说它有高阶导数存在了.
f (z)
1 在区域D za
0
za
Ci
或 f (z)dz
f (z)dz.
C
i1 Ci
..,
例题1
求
1 C z2 dz ,
C 如图所示：
i
解：存在 f (z)的解析单连通域D包含曲
i
线 C ，故积分与路径无关，仅与起点
和终点有关。
3i
从而
C
1 z2 dz
0,i
d
0, 3i
f
z0
1
2 i
C
f z
dz z z0
C1
f z
z z0
dz
z0 D.
CD C1 z0
..,
例题1
计算积分
ez
dz
C z(z 1)( z 2)
C : z r (r 1,2)
ez
解：0 r 1,
(z 1)( z 2) dz 2 i
C3
C2 C1 C3
1 0
2
..,
ez
i 2 i z(z 1) dz i 2 i 2 i ez
3e C3 z 2
3e
z(z 1)
z2
i 2 i e2 i
3e 3
§ 3.4 解析函数的高阶导数
一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它 的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一 点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上 可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要 说它有高阶导数存在了.
f (z)
1 在区域D za
0
za
复变函数与积分变换课件
解: ( 2)
z 1
sin z 4 dz z2 1 1
2
z 1
sin z 4 z 1 dz 1 z 1
2
sin z 4 2i z 1
2 i; 2
z 1
11
sin z 解: ( 3) 2 4 dz 由闭路复合定理, 得 z 1 z 2 sin z 4 dz 2 z 2 1 z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) C z z dz . 2 πi 0
证明: 因为 f ( z ) 在 z0 连续,
z0
C
D
则 0, ( ) 0,
2i (3(6 z 7), 而 1 i 在 C 内, 所以 f (1 i ) 2 ( 6 13i ).
9
sin z 4 dz , 其中 C : (1) z 1 1 ; 练习:计算积分 2 2 C z 1
3
关于柯西积分公式的说明: (1) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积 分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (2) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周 上的平均值. 如果 C 是圆周 z z0 R e i ,
1 2π f ( z0 ) f ( z0 R e i )d . 2π 0
2! f ( z) 可得 f ( z0 ) C ( z z )3 dz. 2i 0
18
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证
复变函数与积分变换(全套课件334P)
z 3 z 2 z 1 0根为i, 1, i
且z z z 1 ( z i)( z 1)( z i)
3 2
§1.2 复平面上的曲线和区域
一、复平面上的曲线方程 平面曲线有直角坐标方程 和参数方程
F ( x, y ) 0
x x(t ) 两种形式。 y y (t )
5 5 z 2 r2 cos i sin 6 6
3 1 r2 r2i 2 2
3 1 3 1 则z r1 2 r1i r2 2 r2i 2 2 2 2
例4
求方程
3 2
z z z 1 0 的根。并将
1 3 2 z 13 13 13
2 2
2 arg( z ) arctan 3
（3）
i 4i i i 4i i 1 3i,
10 25 10
| z | (1) 2 32 10 ,
(4)
arg( z ) arctan 3
17512ii????232357arg21argii????57re57imii???例2求下列复数的模与辐角例2求下列复数的模与辐角12i??3i231?34iii??25104ni?????????231解12231215argarctan63zz???????????1??22321131313z????????????????32arctanarg??z132133232323231iiiii??????????????23144102510iiiiiii????????103122????z3arctanarg???z3313argarctan3ii????模为141?z23arg??knz??23nkk????????满足的313cossin233niinnei????????????????3argarctan323ez????模为14例3求满足下列条件的复数z
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
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-1
f (t )称为F (s)的Laplace逆变换，记为 f (t )
[ F (s)].
F (s)称为像函数，f (t )称为像原函数.
例1 求单位阶跃函数
1, u( t ) 0,
的Laplace变换.
t0 t0
根据Laplace变换的定义， 解 运行下面的MATLAB语句. 当 Re s 0 时，
L [ f (at )] f (at )e - st dt , 故 证明 根据定义 0
s - u 1 1 s a L [ f (at )] f ( u)e du F . a 0 a a
3
延迟性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 若当 t 0 时,
证明
L [ f ( t )]
f (t ) e
- st 0
0
( t )e - st dt f
s
0
f ( t )e - st dt
sL [ f ( t )] - f (0)
sF ( s ) - f (0) (Re s s0 ).
推论
对正整数n, 有
L [ f ( n) (t )] s n F ( s) - s n-1 f (0) - - f ( n-1) (0). f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).
f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当
m !L [1] s mL [t m ].
m! 于是 L t m 1 . s
m
像函数的微分性质
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
F ( s ) -L [tf ( t )].
f (t)
f ( t ) 0, 则对任何非负实数 , 有
L [ f (t - )] e - s F ( s).
O (t - )u(t - )] e - s F ( s).
4
位移性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
]
+
-
f t u t e - b t e -i t dt
+
0
f t e
- ( b i ) t
dt
Laplace变换
将 b i 记为s, 可写成
F ( s)
0
f ( t )e - st dt .
它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留Fourier变换中许多好的性质, 更实 用、更方便.
所以 L [cos t ]
f (0) s (0) f ( n-1) (0) 0 时， f 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).
s
2
2
.
使用同样方法，可得 L [sin t ]
s
2 2
.
例5 利用微分性质 求 L t m ，m是正整数. 解： 设
1 - sT 1- e
T
0
f ( t )e - st dt ,
例4 解
求单位脉冲函数 d ( t ) 的Laplace变换. 因为
所以
-
d ( t ) f ( t )dt f (0),
L[d ( t )]
- d ( t )e dt
- st 0
d ( t )e dt 1.
二 Laplace变换存在定理 定理1 设函数 f ( t ) 在 t 0 的任何有限区间 内分段连续, 并且当 t 时, f ( t )的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0, 使得在 [0, ) 上，
f ( t ) Me s0t ,
则在半平面 Re s s0上，L [ f ( t )] 存在, 且
第九章
Laplace变换
主 要 内 容
本章介绍Laplace变换的概念、性质
以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变 换一些应用的例子.
§9.1 Laplace变换的概念
1 2 Laplace变换的定义 周期函数和d 函数的Laplace变换
Fourier变换的不足：
1 绝对可积的要求太高. 很多常见的初等函数
一、 Laplace变换的概念
设 f (t )是[0, )上的实(或复)值函数，且积分
0
f (t )e - s t dt
在s平面的某一区域内收敛，则称由该积分确定的函数
F s
0
f (t )e - s t dt
为 f (t )的Laplace变换，记为
ℒ [ f (t )]. ℒ
对正整数n, 有 f (t ) t m , 则
f (0) f (0) f
因为 f
(m)
L [ f ( n) (t )] s n F ( s )(- -1)-1 f (0) - - f ( n-1) (0). sn m
(0) 0.
1 [1] (t ) m !, L L [ f( n) (t,)] 所以 ). snF ( s s
在这个性质中，要求 f ( k ) ( t ) 存在且满足Laplace
变换存在定理的条件 (1 k n).
例4 解
求 f ( t ) cos t 的Laplace变换. 因为
f (0) 1, f (0) 0, f (t ) - 2cost,
根据 微分性质和线性性质
d L [t sin t ] F ( s ) L [sin)], t则 L [ f (t ] 设 ds >> f=t*sin(a*t);L=laplace(f)
L=
s d F ( 2) s-L [tf (t )]. - 2 2 . 2 2 2 一般地，对正整数n, ) ds s ( s 有
2 2 exp(-2/5*s)/s - s - s 1 5 5 L [u(5t F (2)] e f ( tL 设u(5st) 时,f ( t )], 则 F( L )], [若当t )] 0 [ e . 设 s) L [ s
5
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则 像原函数的 L [ f ( t )] sF ( s ) - f (0). 微分性质 微分性质 根据Laplace变换的定义和分部积分公式
例2 求指数函数 f (t ) e (其中a是复常数)
at
的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据Laplace变换的定义
>> syms t s a at at - st - ( s-a )t F ( s ) L [ f ( t )] L [e ] e e dt e dt , 0 0 >> f=exp(a*t);L=laplace(f) 这个积分当 Re s Re a 时收敛，且 L= 1 - ( s-a )t 1/(s-a) e dt , 0 s-a 所以 1 at L [e ] (Re s Re a ). s-a
一般地，对正整数n, 有
F ( n ) ( s ) (-1)n L [t n f (t )].
证明 对解析函数
F ( s)
0
f ( t )e dt
- st
求导, 右端求导时可在积分号下进行，即得.
例6
求 f ( t ) t sin t 的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据 像函数的微分性质 >> syms t s a
周期函数的Laplace变换公式.
证：L [ f ( t )]
( k 1)T
0
f ( t )e dt
- st k 0
( k 1)T
kT
f ( t )e - st dt .
令 t kT , [0, T ), 则
kT
f ( t )e dt f ( kT )e - s ( kT )d ,
L [- 2对正整数n, s 2L [cos t ] - sf (0) - f (0), cos t ] 有
L - n)Lt )] s n( s ) s n2L (0) - -]f ( ns1) (0). [ f ( 2 ( [cos F t ] - s -1 f [cos t - - ,
- st -
§9.2 Laplace变换的性质
以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数 都满足存在定理的条件. 1 线性性质 设a, b 是常数， F1 ( s ) L [ f1 ( t )],
F2 ( s ) L [ f 2 ( t )], 则 L [a f1 ( t ) b f 2 ( t )] a F1 ( s ) b F2 ( s )
Re s 0 .
三 周期函数和d 函数的Laplace变换
设 f ( t ) 是以 T 为周期的函数, 即
f ( t T ) f ( t ) ( t 0),
且在一个周期内分段连续，则
1 L [ f ( t )] 1 - e - sT
T
0
f ( t )e - st dt .
F ( s ) L [ f ( t )]
是s的解析函数, 其中 s0 称为 f ( t )的增长指数.
例3 求正弦函数 f (t ) sin k t
f (t )称为F (s)的Laplace逆变换，记为 f (t )
[ F (s)].
F (s)称为像函数，f (t )称为像原函数.
例1 求单位阶跃函数
1, u( t ) 0,
的Laplace变换.
t0 t0
根据Laplace变换的定义， 解 运行下面的MATLAB语句. 当 Re s 0 时，
L [ f (at )] f (at )e - st dt , 故 证明 根据定义 0
s - u 1 1 s a L [ f (at )] f ( u)e du F . a 0 a a
3
延迟性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 若当 t 0 时,
证明
L [ f ( t )]
f (t ) e
- st 0
0
( t )e - st dt f
s
0
f ( t )e - st dt
sL [ f ( t )] - f (0)
sF ( s ) - f (0) (Re s s0 ).
推论
对正整数n, 有
L [ f ( n) (t )] s n F ( s) - s n-1 f (0) - - f ( n-1) (0). f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).
f (0) f (0) f ( n-1) (0) 0 时， 特别地，当
m !L [1] s mL [t m ].
m! 于是 L t m 1 . s
m
像函数的微分性质
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
F ( s ) -L [tf ( t )].
f (t)
f ( t ) 0, 则对任何非负实数 , 有
L [ f (t - )] e - s F ( s).
O (t - )u(t - )] e - s F ( s).
4
位移性质 设 F ( s ) L [ f ( t )], 则
]
+
-
f t u t e - b t e -i t dt
+
0
f t e
- ( b i ) t
dt
Laplace变换
将 b i 记为s, 可写成
F ( s)
0
f ( t )e - st dt .
它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留Fourier变换中许多好的性质, 更实 用、更方便.
所以 L [cos t ]
f (0) s (0) f ( n-1) (0) 0 时， f 特别地，当 L [ f ( n ) (t )] s n F ( s ).
s
2
2
.
使用同样方法，可得 L [sin t ]
s
2 2
.
例5 利用微分性质 求 L t m ，m是正整数. 解： 设
1 - sT 1- e
T
0
f ( t )e - st dt ,
例4 解
求单位脉冲函数 d ( t ) 的Laplace变换. 因为
所以
-
d ( t ) f ( t )dt f (0),
L[d ( t )]
- d ( t )e dt
- st 0
d ( t )e dt 1.
二 Laplace变换存在定理 定理1 设函数 f ( t ) 在 t 0 的任何有限区间 内分段连续, 并且当 t 时, f ( t )的增长速度不 超过某一指数函数, 即存在常数 M 0 和 s0 0, 使得在 [0, ) 上，
f ( t ) Me s0t ,
则在半平面 Re s s0上，L [ f ( t )] 存在, 且
第九章
Laplace变换
主 要 内 容
本章介绍Laplace变换的概念、性质
以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变 换一些应用的例子.
§9.1 Laplace变换的概念
1 2 Laplace变换的定义 周期函数和d 函数的Laplace变换
Fourier变换的不足：
1 绝对可积的要求太高. 很多常见的初等函数
一、 Laplace变换的概念
设 f (t )是[0, )上的实(或复)值函数，且积分
0
f (t )e - s t dt
在s平面的某一区域内收敛，则称由该积分确定的函数
F s
0
f (t )e - s t dt
为 f (t )的Laplace变换，记为
ℒ [ f (t )]. ℒ
对正整数n, 有 f (t ) t m , 则
f (0) f (0) f
因为 f
(m)
L [ f ( n) (t )] s n F ( s )(- -1)-1 f (0) - - f ( n-1) (0). sn m
(0) 0.
1 [1] (t ) m !, L L [ f( n) (t,)] 所以 ). snF ( s s
在这个性质中，要求 f ( k ) ( t ) 存在且满足Laplace
变换存在定理的条件 (1 k n).
例4 解
求 f ( t ) cos t 的Laplace变换. 因为
f (0) 1, f (0) 0, f (t ) - 2cost,
根据 微分性质和线性性质
d L [t sin t ] F ( s ) L [sin)], t则 L [ f (t ] 设 ds >> f=t*sin(a*t);L=laplace(f)
L=
s d F ( 2) s-L [tf (t )]. - 2 2 . 2 2 2 一般地，对正整数n, ) ds s ( s 有
2 2 exp(-2/5*s)/s - s - s 1 5 5 L [u(5t F (2)] e f ( tL 设u(5st) 时,f ( t )], 则 F( L )], [若当t )] 0 [ e . 设 s) L [ s
5
设 F ( s ) L [ f ( t )], 则 像原函数的 L [ f ( t )] sF ( s ) - f (0). 微分性质 微分性质 根据Laplace变换的定义和分部积分公式
例2 求指数函数 f (t ) e (其中a是复常数)
at
的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据Laplace变换的定义
>> syms t s a at at - st - ( s-a )t F ( s ) L [ f ( t )] L [e ] e e dt e dt , 0 0 >> f=exp(a*t);L=laplace(f) 这个积分当 Re s Re a 时收敛，且 L= 1 - ( s-a )t 1/(s-a) e dt , 0 s-a 所以 1 at L [e ] (Re s Re a ). s-a
一般地，对正整数n, 有
F ( n ) ( s ) (-1)n L [t n f (t )].
证明 对解析函数
F ( s)
0
f ( t )e dt
- st
求导, 右端求导时可在积分号下进行，即得.
例6
求 f ( t ) t sin t 的Laplace变换.
解 运行下面的MATLAB语句. 根据 像函数的微分性质 >> syms t s a
周期函数的Laplace变换公式.
证：L [ f ( t )]
( k 1)T
0
f ( t )e dt
- st k 0
( k 1)T
kT
f ( t )e - st dt .
令 t kT , [0, T ), 则
kT
f ( t )e dt f ( kT )e - s ( kT )d ,
L [- 2对正整数n, s 2L [cos t ] - sf (0) - f (0), cos t ] 有
L - n)Lt )] s n( s ) s n2L (0) - -]f ( ns1) (0). [ f ( 2 ( [cos F t ] - s -1 f [cos t - - ,
- st -
§9.2 Laplace变换的性质
以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数 都满足存在定理的条件. 1 线性性质 设a, b 是常数， F1 ( s ) L [ f1 ( t )],
F2 ( s ) L [ f 2 ( t )], 则 L [a f1 ( t ) b f 2 ( t )] a F1 ( s ) b F2 ( s )
Re s 0 .
三 周期函数和d 函数的Laplace变换
设 f ( t ) 是以 T 为周期的函数, 即
f ( t T ) f ( t ) ( t 0),
且在一个周期内分段连续，则
1 L [ f ( t )] 1 - e - sT
T
0
f ( t )e - st dt .
F ( s ) L [ f ( t )]
是s的解析函数, 其中 s0 称为 f ( t )的增长指数.
例3 求正弦函数 f (t ) sin k t