傅里叶积分变换ppt课件
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傅里叶ppt课件
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2 2
f(t)21 F()ejtd21 2 j2ejtd
10cos2t 2sintd
完整编辑ppt
33
因此
0
cost sint
0
2 2
0
0
其中
+
+
A () f() c o sd , B () f() s i nd .
(2.3)
(2.2) 是 f(t) 的傅里叶积分公式的三角形式
f(t) A(),B()
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20
傅里叶积分定理：若函数 f(t) 在区间 (,+) 上满足条件
(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,
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40
(5)
F [ej0tf(t)]F(0)
像函数的 位移性质
F[ej0t f(t)] f(t)ej(0)tdt F(0).
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41
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
F[f1(t)]F1(), F[f2(t)]F2()
F [f1 ( t) f2 ( t) ] F 1 ()F 2 ()
kt
l
,
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10
偶函数 f(x) 有
f(t)a0
2
+
ak
k1
coskt,
l
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .
第五章 第二节 傅里叶积分与傅里叶变换
(一)实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换
周期为2l 的函数f (x)的傅立叶级数为：
f
x
a0
k 1
ak
cos k
l
x bk
sin
k
l
x ............5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
bk
1l
l l
f
sin
k
l
d ,......5.1.5
对于定义在区间 ， 上的函数f (x)
解：rect t 2T
1,...... t 1 即t T 2T 2
0,...... t 1 即t T 2T 2
f(t)是偶函数，可按(5.2.8)展为余弦积分
f(t) h
-T O T t
f t Acostd,
0
其中
A
2
0
f
cosd
2
T
0
h
cosd
2h
s in T
A的图形如图5-2所示，是连续谱。即f (t)代表的脉冲电波， 含有一切频率(应除去 T的整数倍频率)，它到达无线电接收机
第一节讨论的是周期为2l的函数的傅里叶级数展开，下面讨论
定义在区间 ，上的函数 f x的情形。
§5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
(一) 实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换 (二) 复数形式的傅里叶积分 (三) 傅立叶变换的基本性质
如何将定义在无穷区间上的函数展开？
方法：先将f (x)看成是周期为2l 的函数，再取2l 趋于无穷大时 的极限结果。最后f (x)可以用积分表示，称为傅里叶积分。
根据上面提出的方法，有
《傅里叶变换经典》PPT课件
F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
第五章 傅里叶变换85页PPT
f (1) (0) 0 f (1) (l) 0
例1，要求在（- ，）上，f (x)=x2,
展开为Fourier 级数，在本题 展开所得中置 x=0，由此验证:
1212 312 412 122
解：f (x)=x2，为偶函数；bk 0
1
a0
02d313
0
2
3
kx
f(x)a 0 a kco s k 1
★得
bk
1 l
l l
f()sin kd
l
★称
a
、
k
bk
为周期函数的傅里叶系数！
4、狄里希利定理：
若f (x) 满足：
(1)处处连续，或在每个周期有 有限个第一类间断点；
(2)或在每个周期有有限个极值 点，则级数收敛，且
级数和
=
f (x)
1[f(x0)f(x0)] 2
(在连续点x ) (在间断点x )
l
sinx, sin2x, L, sinkx,L
l
l
l
★设f(x)为周期为 2l 的函数将 f (x) 展开
f(x)a 0k 1(akco kls xb ksikn lx)
3、再谈周期函数族的正交性
l 1coksxdx0
l
l
l
kx
1sin dx0
l
l
lcoksxconsxd x0 (k n)
l
lHale Waihona Puke llsiknxsin nxd x0
l
l
l
(k
n)
l kx nx
cos sin d x0
l
l
l
l cos
k
x
积分变换--傅里叶变换课件
x
前面计算出
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 2 2 n w n nw n , 可将cn以竖线标在频率图上 T 2
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一
周期为8的周期函数f8(t)
f 8 (t )
n
f (t 8n),
w
一般地, 对于周期T
1 jw n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 jw n t e dt T 1 1 1 1 jw n t jw n jw n e e e Tjw n Tjw n 1 2 sin w n 2 sinc( w n ) (n 0,1,2, ) T wn T
1
例如变换核 k( t ,ω ) e jωt , 积分域 ( a,b ) ( , ), 则
F( ω )
f ( t )e jωt dt
变换核 k(t , s) e st , 积分域 (a, b) (0,), 则
F ( s)
0
f ( t )e st dt ( s为复变量)
T 2
则在T=8时,
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2, ) 4 2 n w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 8 4
w
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
1 cn sinc( w n ) (n 0,1,2,) 8 2 n w n nw n , 再将cn以竖线标在频率图上 16 8
1 T2 jnwt 合并为：cn fT (t )e dt n 0, 1, 2, T T 2
傅里叶变换__经典ppt
1
§1 Fourier积分公式 积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f (t)为基础构造 为基础构造 一周期为8的周期函数 的周期函数f 一周期为 的周期函数 8(t)
6
1 合并为： 合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为： 级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与 积分公式与 积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =
课件(PPT版)7.1_傅立叶变换的概念
推导
fT
(t)
a0 2
n1
( an
ibn 2
einω0t
an
ibn 2
e inω0t
).
令
c0
a0 2
,
cn
an
ibn 2
,
cn
an
ibn 2
,
fT (t)
cneinω0t ,
n
则有 (B)
其中,
cn
1 T
T/2 T/2
fT (t ) einω0td t ,
fT (t)
t
fT (t)
t
T/2
T/2
t
二、非周期函数的傅立叶变换
1. 简单分析 (2) 当 T 时，频率特性发生了什么变化？ 分析 Fourier 级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，
其频谱是以 ω0 2π T 为间隔离散取值的。 当 T 越来越大时，取值间隔越来越小； 当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零， 即频谱将连续取值。
变上限积分形式的函数：F(x)
x
f (t)dt
a
变换器的固定件——a f (t)dt
含参变量的积分：
F(x)
b f (tx)dt或
b
f (t - 2x)dt
a
a
而F(x) b f (t)extdt， a
对任意给定的f (t)积出的关于x的函数相应确定
即 b estdt就是一台将f (t)加工成F(s)的变换器。 a F() f (t)eitdt 傅里叶变换,且 1 eitd 称为傅氏逆变换器,并有 2 1 F ()eitd f (t) 2
傅里叶积分变换PPT课件
F( )
f (t)ej t dt
（2）
则
f (t) 1
F ( ) e j t d
2
（3）
第5页/共66页
从上面两式可以看出， f(t)和F(ω)通过指定的积分 运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式， 记为
F() F f (t)
F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆 变换式，记为
0
E e jt
j
0
E (1 cos τ j
jsin τ
)
2E
e jT 2
sin τ
2
第34页/共66页
解2
前面介绍的矩形单脉冲
f1
(t
)
E,
0,
τ t τ ;
2
2
其他
的频谱函数为
F1 ()
2E
sin
τ
2
因为f(t)可以由f1(t)在时间轴上向右平移 利用位移性质有
τ 2
得到，
F() F
故（8）式成立。这表明：一个函数积分后
的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以
因子 j。
第38页/共66页
例2 求微分积分方程
t
ax(t) bx(t) c x(t)dt h(t)
的解，其中 t , a,b, c 均为常数。
解 记 F x(t) X () F h(t) H()
在方程式两边取傅氏变换，并利用傅氏变换的微 分性质和积分性质可得
例6 求指数衰减函数
f
(t)
0,
t 0;
( 0)
e t , t 0
的频谱。
解
根据例1的结果， F ( )
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b. 若f(t)为无穷可微的函数，则 (t)f(t)dtf(0)
证明 记
(t)f(t)dt
l i0m (t)f(t)d tl i0m (t)f(t)d
t
l i0m01f(t)dtf(0) 更一般地有 (tt0)f(t)dtf(t0)
返回
第六章 傅氏变换
前进
c. 单位脉冲函数的傅氏变换F() F (t)1
f (t) F1F()
1 F()ejtd
2
21
2 j2ejtd
返回
第六章 傅氏变换
前进
2 1 (2 2 j2 2)( c t o jss ti)d n
1 (co t ssit) n j(sitn co t) d s
2 2 2 2 2
2 2 2 2
一返、回 傅氏变第换六章 傅氏变换
前进
1．傅氏积分定理
若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件：
（1） f(t)在任一有限区间上满足条件： f(t)至多有
有限个第一类间断点和极值点；
（2） f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积（即积分
f (t) dt 收敛），则有
f(t)1
2
f(τ) e jd τ ejtd（1）
。u(t)
和
1
j
()构成了一个傅氏变换对。同时得到
单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式
u (t)1 2 10 s in td (t0 )
返回
第六章 傅氏变换
前进
类似的方法可得
F -12()1 F -1 2( 0) ej0 t
所以1和2()构成了一个傅氏变换对;
e
j
t 0
和
2(0)也构成了一个傅氏变换对。
成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以
f(t0)f(t0) 来代替。 2
返回
第六章 傅氏变换
前进
2．傅氏变换的概念
若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件，则在f(t) 的连续点处，式（1）
f(t)1
2
f(τ) e jd τ ejtd成立。
设 F() f(t)ejtdt
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第六章 傅氏变换
前进
例4 求正弦函数 f(t)si n0t 的傅氏变换。
解：
F() F
f (t)
e jt
sin0tdt
e j0t ej0tejtdt
2j
1
e e j(0)t
j(0)t
dt
2j
2 1j2(0)2(0)
j( 0 ) ( 0 )
返回
第六章 傅氏变换
0
2 2
d2,
t 0;
et, t 0
返回
第六章 傅氏变换
前进
4．单位脉冲函数（狄拉克--Dirac函数）
设
0,
(t)
1
t0或t , 0t
定义单位脉冲函数为
(t)l i0m (t)
返回
第六章 傅氏变换
前进
单位脉冲函数的一些性质：
a.
(t)dt
1
l 0 im (t) d l t 0 i m (t) d l t 0 i0 m d 1 t
返回
第六章 傅氏变换
前进
1210si n td
由于
0
sin
td
0 ,
2
,t 0; t0
2
,
t0
故
f(t)1 210s i ntd 1 1 2 2 1 1 2 ,2,tt 0 0 ;;
1 0,,
t0; t0;
返回
第六章 傅氏变换
前进
这表明
1
j
()
的傅氏逆变换为u(t)
在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏 积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称 为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为 f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。
前进
我们可以看出引入δ-函数后，一些在普 通意义下不存在的积分，有了确定的数 值。工程技术上许多重要函数的傅氏变 换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方 便地表示出来，并且使许多变换的推导 大大地简化。
返回
第六章 傅氏变换
前进
5．非周期函数的频谱
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系， 这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本 概念。
f(t)叫做F(ω)的象原函数。
（2）式右端的积分运算，叫做取f(t)的傅氏变换； （3）式右端的积分运算，叫做取F(ω) 的傅氏逆
变换。象函数F(ω)和象原函数f(t)构成一个 傅氏变换对。
返回
第六章 傅氏变换
前进
3．例子
例1
求指数衰减函数函数
f
(t)
0,
t 0
e t ,t 0
的傅氏变换及其积分表达式，其中β>0。
（2）
则
f(t)21
F()ejtd
（3）
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第六章 傅氏变换
前进
从上面两式可以看出， f(t)和F(ω)通过指定的积分 运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式， 记为
F() F f (t)
F(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆 变换式，记为
f (t) F -1 F()
2 1 (c 2 o 2 t ss 2 it 2 ) n j ( s 2 it 2 n c 2 o t 2 ) d s
10co t2 s s2 i nt d
返回
第六章 傅氏变换
前进
由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的 结果：
0, t0;
costsint
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第六章 傅氏变换
前进
解：根据（2）式，傅氏变换为
F() F f (t) f(t)ejtdt
0 f(t)ejtdt f(t)ejtdt
0
返回
第六章 傅氏变换
前进
e te jtd t e ( j)td t
0
0
1 j j 22
通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达 式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得
积分变换
.
返回
第六章 傅氏变换
前进
主要内容
§1 傅里叶（Fourier）积分变换 §2 拉普拉斯(Laplace)积分变换
注：积分变换的学习中，规定： j 2 1
§1 傅里叶（Fourier）积 分变换
.
返回
第六章 傅氏变换
前进
傅里叶变换——又简称为傅氏变换
内容： 傅氏变换概念 傅氏变换性质 卷积与相关函数
证明
F() F (t)
(t)e-jtdejt
1
t 0
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第六章 傅氏变换
前进
例3
证明单位阶跃函数
u(t)
0,
1,
变换为 1 () j
t 0
的傅氏
t 0
解：只需证明
1
j
() 的傅氏逆变换为u(t)
。
f (t) F-1 F()
21 j1 ()ejtd 1 2 ()je td 2 1 s itn d